Использование систем компьютерной алгебры в учебном процессе
А.
С. ШевченкоБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Шевченко
А.
С. Использование систем компьютерной алгебры в учебном процессе // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2016. – Т. 15. – С.
206–210. – URL:
http://e-koncept.ru/2016/86942.htm.
Аннотация. Статья посвящена использованию систем компьютерной алгебры для инженерных и научно-технических расчетов при подготовке студентов по математическим, естественнонаучным, общепрофесиональным и специальным дисциплинам.
Текст статьи
Шевченко Алеся Сергеевна,кандидат физикоматематическихнаук, доцент кафедры математики и прикладной информатикиФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет»Рубцовский институт (филиал), г.Рубцовскibragimova.a.s@mail.ru
Использование систем компьютерной алгебрыв учебном процессе
Аннотация.Статья посвящена использованию систем компьютерной алгебры для инженерных и научнотехнических расчетов при подготовке студентов по математическим, естественнонаучным, общепрофессиональным и специальным дисциплинам.Ключевыеслова:Maple, MathcadPrime, Excel, методы оптимизации, задача о назначениях.
Введение.Одной из ключевых компетентностей будущего специалиста как экономического, так и технического профилей является способность применения математических методов в сочетании с информационными технологиями. Способность достижения значимых результатов в профессиональной деятельности часто напрямую связана с осведомленностью о методах и способах решения математических задач с использованием специального программного обеспечения. Владение хотя бы однойиз систем компьютерной алгебры(СКА), такихкак Maple[14], Mathematica, MathCAD, MatLab, Maxima,позволяет будущему специалисту, не владеющему в полной мере техникой математических преобразований, самостоятельно выполнять громоздкие вычисления, решать сложные прикладные задачи.СКМсущественным образом меняют мир образования и науки.Они ‒облегчают решение сложных математических задач, тем самым избавляют учащихся от массы рутинных вычислений и высвобождают их время для обдумывания алгоритмов решения задач, более обоснованной постановки их решения, многовариантного подхода и представления результатов в наиболее наглядной форме. ‒снимают психологический барьер у учащихся при изучении математических дисциплин, делая их интересными, достаточно простыми и доступными для понимания;‒повышают интенсивность практических занятий;‒расширяют спектр возможностей преподавателя (исследователя), высвобождают его время для новых разработок;‒расширяют круг решаемых задач практического содержания: моделирование и имитирование физических, экономических процессов и явлений;‒
повышают наглядность и конкретность абстрактныхконцепций, как в процессе обучения, так и в исследованиях; ‒упрощают создание пояснительных записок, отчетов, статей и прочие; ‒повышаю интерес к процессу обучения.Компьютерная алгебра–это всего лишь инструмент, позволяющий сосредоточить внимание студента на понятиях, логике методов и алгоритмов, освобождая его от необходимости освоения громоздких, незапоминающихся и потому бесполезных вычислительных процедур. Иными словами, применение компьютерной алгебрыпозволяет ускорить и упростить выполнение рутинных действий, выкладок и избавить от появления досадных ошибок, но онине избавляют от необходимости думать.Несмотря на всепроникающий прогресс компьютерных технологий, постижение теоретических основ математики и методов решения инженерноэкономических задач невозможно без классических теорем и алгоритмов [56].Внедрение вычислительной техники в учебный процесс поставило на повестку дня задачу создания учебников по различным дисциплинам, ориентированных на использование систем компьютерной алгебры.Мною разработаныучебнометодические пособия «Численные методы»[3], «Вариационное исчисление»[4],«Лабораторный практикум по Методамоптимизации» с использованием систем компьютерной алгебры. Данные пособия предназначены для студентов всех форм обучения направления подготовки «Прикладная информатика». Отдельные темы могут быть использованы для изучения студентами направления подготовки «Менеджмент», «Государственное муниципальное управление», «Экономика».Более подробно рассмотрим «Лабораторный практикум «Методы оптимизации», содержащийтемы «Задача составления рациона», «Транспортная задача», «Задача о назначениях», «Задачи на безусловный экстремум», «Задачи на условный экстремум», «Задача коммивояжера», «Задача о минимальном пути в графе», «Матричные игры».В лабораторном практикуме изложены кратные теоретические сведения и примеры решения типовых задач. Основной упор сделан на приобретение навыков использования математического аппарата и формирования умений решения, поставленных задач, с помощью доступного программного обеспечения, т.е. математических пакетов Maple, MathcadPrimeи среды электронных таблиц MSExcel. Каждый тип задач сопровождается подробным пошаговым описанием составления математической модели задачи и путей решения. В каждой лабораторной работе по 10 вариантов индивидуальных заданий.Содержание лабораторного практикума составлено в соответствии с учебной программой и на основе курса лекций по дисциплине «Методы оптимизации»[5,6]Структуралабораторной работыследующая:−Тема лабораторной работы.−Цель работы.−Необходимые теоретические сведения.−Задача и еематематическая модель.−Решение задачи в пакете Maple.−Решение задачи в пакете MathcadPrime.−Решение задачи в среде электронных таблиц MSExcel.−Исходные данные для лабораторной работы
Пример лабораторной работы.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3 «ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ»
Цель работы:овладеть навыками составления математической модели задачи о назначениях и ее решения в математических пакетах Maple, MathcadPrimeи в MSExcel.
Требуется:−изучить теоретический материал;−выполнить математическую постановку задачи;−решить задачу в математических пакетах Maple, MathcadPrimeи в среде электронных таблиц MSExcel.
Необходимые теоретические сведенияЗадача о назначенияхявляется типичным примером оптимального принятия управленческих решений. Эта задача позволяет распределить объекты из некоторого множества по группе субъектов из другого множества и это распределение должно соответствовать оптимальности одного или нескольких итоговых показателей. Данная задача имеет место при назначении людей на должности или работы, автомашин на маршруты, водителей на машины, при распределении студенческих групп по аудиториям, научных тем по научноисследовательским лабораториям и т.п. Пусть требуется выполнить nразличных работ и имеется nмеханизмов (машин) для их выполнения, причем каждый механизм может использоваться на любой работе. Производительность механизма на различных работах, вообще говоря, различна. Обозначим через производительность iго механизма на jй работе. Задача заключается в таком распределении механизмов по работам, при котором суммарная производительность максимальна.Построим математическую модель этой задачи.Сопоставим каждому из возможных вариантов распределения машин по работам набор значений неизвестных , относительно которых условимся, что , если в данном варианте iй механизм назначается на jю работу, и , если iй механизм назначается не наjю работу. Для любого варианта среди чисел должно быть точно nединиц, причем должны выполняться условия: (каждый механизм назначается на одну работу); (на каждую работу назначен один механизм). Суммарная производительность при данном варианте назначения машин на работы выразится суммой: .Математическая постановка задачи:
при ограничениях:
Условия выводят задачу о назначениях из класса задач линейного программирования, так как они нелинейны. Задачи математического программирования, в которых на переменные наложены такие условия, называются задачами с булевыми переменными. Посколькувсе остальные условия и целевая функция нашей задачи линейны, мы должны формально отнести её к классу задач линейного программирования с булевыми переменными. Однако задачу можно рассмотреть как частный случай транспортной (и, следовательно, просто линейной) задачи. В самом деле, если отбросить последнее условие, заменив его условиями неотрицательности переменных, то задача превращается в обычную транспортную задачу, имеющую ту особенность, что в ней все и все , равны единице.Задача. Некоторая компания имеет четыре сбытовые базы и четыре заказа, которые необходимо доставить различным потребителям. Складские помещения каждой базы вполне достаточны для того, чтобы вместить один из этих заказов. В табл. 3.1 содержится информация о расстоянии между каждой базой и каждым потребителем. Как следует распределить заказы по сбытовым базам, чтобы общая дальность транспортировки была минимальной?Таблица 1
Сбытовая базаРасстояние, миль ПотребителиIIIIIIIV168727583256605863338403545447424045
Решение.Для решения задачи составим ее математическую модель.1. Введем обозначения:
2. Составим целевую функцию –минимальная дальность транспортировки:
(1)3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.3.1. Каждая сбытовая база вмещает один заказ. Это ограничение можно записать в виде:
(2)3.2. Каждый заказ распределяется на одну сбытовую базу. Это ограничение можно записать так:
(3)3.3. Бинарность переменных :
− бинарные (двоичные),
(4)Таким образом, целевая функция (1) и ограничения (2−4) образуют математическую модель задачи о назначениях.
Решение задачи в пакете Maple[1,2]1.Подключаем пакеты linalg и simplex:�restart:with(simplex):2.Задаем матрицу назначений, матрицу расстояний между каждой базой и каждым потребителем и целевую функцию:�x:=matrix(4,4);
�C:=matrix([[68,72,75,83], [56,60,58,63], [38,40,35,45], [47,42,40,45]]);
�Z:=sum(sum(C[i,j]*x[i,j], i=1..4), j=1..4);
3.Находимоптимальноерешение:�minimize(Z, {sum(x[1,j],j=1..4)=1, sum(x[2,j],j=1..4)=1, sum(x[3,j],j=1..4)=1, sum(x[4,j],j=1..4)=1, sum(x[i,1],i=1..4)=1, sum(x[i,2],i=1..4)=1, sum(x[i,3], i=1..4)=1, sum(x[i,4],i=1..4)=1}, NONNEGATIVE);
4. Представляем полученное решение в матричном виде:�v:=matrix([[1,0,0,0], [0,0,0,1], [0,0,1,0],[0,1,0,0]]);
5.Определяем минимальную дальность транспортировки:�sum(sum(C[i,j]*v[i,j],i=1..4),j=1..4);
Решение задачи в пакете MathcadPrimeДля решения задачи в пакете MathcadPrimeнеобходимо:1.Задать исходные данные.2.На вкладке «Математика» выбрать «Блок решения».3.В области «Начальные приближения» присвоить переменным, т.е. матрице Xначальные (любые, например, нулевые) значения и задать целевую функцию.4.В области «Ограничения» ввести все необходимые ограничения.5.В области «Решатель» найти оптимальное решение с помощью функции minimizeи вычислить минимальную дальность транспортировки(см. рис.1).
Рис.1.
Решение задачи в среде электронных таблиц MSExcel[7]
1.Идентифицируйте свою работу, переименовав Лист1 в«Титульный лист» и записав номер лабораторной работы, ее название, кто выполнил и проверил.2.На следующем листе (см. рис. 2.), с именем «Задача о назначениях», создайте таблицу для ввода условий задачи и введите исходные данные.3.Матрицу назначений заполните пока нулевыми значениями.4.Матрицу назначений дополните столбцом справа и строкой снизу.5.В ячейку D20введите формулу целевой функции –стоимость перевозок: СУММПРОИЗВ(C5:F8;C14:F17).6. В ячейку G14запишите формулу: СУММ(C14:F14).Эту формулу скопируйте автозаполнением в остальные ячейки диапазона G15:G17.7. В ячейку C18запишите функцию: СУММ(C14:C17).Эту формулу скопируйте автозаполнением в остальные ячейки диапазона D18: F18.
Рис. 2
8. На вкладке «Данные» выберете пункт «Поиск решения».9. В появившемся окне «Параметры поиска решения» нужно выполнить необходимые установки (см. рис. 3):−Введите абсолютный адрес целевой ячейки $D$20 в поле «Оптимизировать целевую функцию» или щёлкните по кнопке , затем по ячейке D20 и снова по кнопке .−Введите направление целевой функции, щёлкнув левой кнопкой мыши по селекторному полю «Минимум».−В поле «Изменяя ячейки переменных» впишите абсолютный адрес диапазона ячеек $C$14:$F$17 или щёлкните по кнопке , выделите мышью диапазон ячеек C14:F17 и снова щёлкните по кнопке .−В поле «В соответствии с ограничениями» введите ограничения с помощью кнопки «Добавить».При этом вызывается диалоговое окно «Добавление ограничения», показанное на рис. 4.Введите систему ограничений (2). В поле «Ссылка на ячейки» щёлкните по кнопке , затем выделите мышью диапазон ячеек G14÷G17 и снова щёлкните по кнопке , в следующем поле установите знак , нажав , затем в поле «Ограничение» введите 1 (см. рис. 4). Нажмите «Добавить».
Рис.3
Рис.4
Аналогично введите систему ограничений (3). В поле «Ссылка на ячейки» щёлкните по кнопке , затем выделите мышью диапазон ячеек C18:F18 и снова щёлкните по кнопке , в следующем поле установите знак , нажав , затем в поле «Ограничение» введите 1 (см. рис.5). Нажмите «Добавить».
Рис. 5
Теперь введите ограничение (4). В поле «Ссылка на ячейки» щёлкните по кнопке , затем выделите мышью диапазон ячеек С14:F17 и снова щёлкните по кнопке , в следующем поле установите «бин», нажав , поле «Ограничение» заполнится автоматически, появится «бинароное» (см. рис. 6). Нажмите «ОК».
Рис. 6.
−Установите галочку «Сделать переменные без ограничений неотрицательными».−Выберете метод решения «Поиск решения линейных задач симплексметодом»−Нажмите «Найти решение». В появившемся окне «Результаты поиска решения» нажмите «ОК».Результат полученных вычислений представлен на рис. 7.
Выводы.Решая задачу в Mapleи MathcadPrimeперевозки осуществляются со сбытовой базы 1 к потребителю I, с базы 2 —к потребителю IV, с базы 3 —к потребителю III и с базы 4 —к потребителю II. Минимальная дальность перевозок составляет 68 60 35 45 208 миль.Решая задачу в MSExсelперевозки осуществляются со сбытовой базы 1 к потребителю I, с базы 2 —к потребителю II, с базы 3 —к потребителю III и с базы 4 —к потребителю IV. Минимальная дальность перевозок составляет 68 60 35 45 208 миль.
Рис. 7
Исходные данные для лабораторной работыРаспределить работы таким образом, чтобы минимизировать временные затраты на выполнение всех работ при условии, что каждый из претендентов получит одну и только одну из работ. Матрица временных затрат каждого претендента на выполнение каждой из работ приведена в табл. 2(№номер варианта).Таблица 2РаботникиНомера работ12345678910Иванов7№9115193463Петров414№11114122353Сидоров№1720№169164671Копылов4171012№16143731Минин251881851613Жаров71718820№7327Власов31№3234№53№Демченко6№21154№11Серёгин№13743522№4Панин335№3№311№Подобные лабораторные занятия интегрируют фундаментальные знания, практические умения инавыки студентов в области прикладной математики и информационных технологий.
Заключение.В заключение отметим, что компьютерные информационные технологии на сегодняшний день становятся приоритетом в развитии высшего образования. Их применение способствует экономии учебного времени при выполнении на компьютере трудоемких вычислительных работ, воспитанию самостоятельности, повышению качества преподавания, формированию академических и профессиональных компетенций у студентов. Практика показывает, что применение математических пакетовв учебном процессе существенно обогащает процесс обучения, облегчая восприятие материала, стимулирует самостоятельную работу студентов, способствуя их интеллектуальному развитию. Кроме того, приобретенные знания используются в дальнейшем при написании курсовых и дипломных работ, при проведении научноисследовательскойработы студентов.Таким образом, использование математических пакетов в учебном процессе позволяет перейти на новый, более глубокий и качественный уровень преподавания математических дисциплин.
Ссылки на источники1.Дьяконов
В.П. Maple9.5/10/11 в математике, физике и образовании. −М.: ДМК Пресс, СОЛОНПРЕСС, 2011. − 752 с.2.СдвижковО.А. Математика на компьютере: Maple8. –М.: СОЛОНПресс, 2003. –176с.3.Шевченко, А. С. Использование математического пакета Maple при проведении лабораторных работ по курсу «Численные методы» // Молодой ученый. − 2015. − №9. − С. 12221225.4.Шевченко А.С. Применение математического пакета Maple к решению вариационных задач // Молодой ученый. −2015. −№22. −С. 3337.5.Пантелеев А.В., Летова Т.А.. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учебное пособие. –2е изд., исправл. –М.: Высш. Шк., 2005. –544 с.6.Экономикоматематические методы и модели: Задачник / Под ред. С.И. Макарова, С.А. Севастьяновой. − М.: КноРус, 2009. − 208c.7.ОрловаИ.В. Экономикоматематические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL / Практикум: Учебное пособие для вузов. − М.: ЗАО «Финстатинформ», 2000. − 136 с.
Использование систем компьютерной алгебрыв учебном процессе
Аннотация.Статья посвящена использованию систем компьютерной алгебры для инженерных и научнотехнических расчетов при подготовке студентов по математическим, естественнонаучным, общепрофессиональным и специальным дисциплинам.Ключевыеслова:Maple, MathcadPrime, Excel, методы оптимизации, задача о назначениях.
Введение.Одной из ключевых компетентностей будущего специалиста как экономического, так и технического профилей является способность применения математических методов в сочетании с информационными технологиями. Способность достижения значимых результатов в профессиональной деятельности часто напрямую связана с осведомленностью о методах и способах решения математических задач с использованием специального программного обеспечения. Владение хотя бы однойиз систем компьютерной алгебры(СКА), такихкак Maple[14], Mathematica, MathCAD, MatLab, Maxima,позволяет будущему специалисту, не владеющему в полной мере техникой математических преобразований, самостоятельно выполнять громоздкие вычисления, решать сложные прикладные задачи.СКМсущественным образом меняют мир образования и науки.Они ‒облегчают решение сложных математических задач, тем самым избавляют учащихся от массы рутинных вычислений и высвобождают их время для обдумывания алгоритмов решения задач, более обоснованной постановки их решения, многовариантного подхода и представления результатов в наиболее наглядной форме. ‒снимают психологический барьер у учащихся при изучении математических дисциплин, делая их интересными, достаточно простыми и доступными для понимания;‒повышают интенсивность практических занятий;‒расширяют спектр возможностей преподавателя (исследователя), высвобождают его время для новых разработок;‒расширяют круг решаемых задач практического содержания: моделирование и имитирование физических, экономических процессов и явлений;‒
повышают наглядность и конкретность абстрактныхконцепций, как в процессе обучения, так и в исследованиях; ‒упрощают создание пояснительных записок, отчетов, статей и прочие; ‒повышаю интерес к процессу обучения.Компьютерная алгебра–это всего лишь инструмент, позволяющий сосредоточить внимание студента на понятиях, логике методов и алгоритмов, освобождая его от необходимости освоения громоздких, незапоминающихся и потому бесполезных вычислительных процедур. Иными словами, применение компьютерной алгебрыпозволяет ускорить и упростить выполнение рутинных действий, выкладок и избавить от появления досадных ошибок, но онине избавляют от необходимости думать.Несмотря на всепроникающий прогресс компьютерных технологий, постижение теоретических основ математики и методов решения инженерноэкономических задач невозможно без классических теорем и алгоритмов [56].Внедрение вычислительной техники в учебный процесс поставило на повестку дня задачу создания учебников по различным дисциплинам, ориентированных на использование систем компьютерной алгебры.Мною разработаныучебнометодические пособия «Численные методы»[3], «Вариационное исчисление»[4],«Лабораторный практикум по Методамоптимизации» с использованием систем компьютерной алгебры. Данные пособия предназначены для студентов всех форм обучения направления подготовки «Прикладная информатика». Отдельные темы могут быть использованы для изучения студентами направления подготовки «Менеджмент», «Государственное муниципальное управление», «Экономика».Более подробно рассмотрим «Лабораторный практикум «Методы оптимизации», содержащийтемы «Задача составления рациона», «Транспортная задача», «Задача о назначениях», «Задачи на безусловный экстремум», «Задачи на условный экстремум», «Задача коммивояжера», «Задача о минимальном пути в графе», «Матричные игры».В лабораторном практикуме изложены кратные теоретические сведения и примеры решения типовых задач. Основной упор сделан на приобретение навыков использования математического аппарата и формирования умений решения, поставленных задач, с помощью доступного программного обеспечения, т.е. математических пакетов Maple, MathcadPrimeи среды электронных таблиц MSExcel. Каждый тип задач сопровождается подробным пошаговым описанием составления математической модели задачи и путей решения. В каждой лабораторной работе по 10 вариантов индивидуальных заданий.Содержание лабораторного практикума составлено в соответствии с учебной программой и на основе курса лекций по дисциплине «Методы оптимизации»[5,6]Структуралабораторной работыследующая:−Тема лабораторной работы.−Цель работы.−Необходимые теоретические сведения.−Задача и еематематическая модель.−Решение задачи в пакете Maple.−Решение задачи в пакете MathcadPrime.−Решение задачи в среде электронных таблиц MSExcel.−Исходные данные для лабораторной работы
Пример лабораторной работы.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3 «ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ»
Цель работы:овладеть навыками составления математической модели задачи о назначениях и ее решения в математических пакетах Maple, MathcadPrimeи в MSExcel.
Требуется:−изучить теоретический материал;−выполнить математическую постановку задачи;−решить задачу в математических пакетах Maple, MathcadPrimeи в среде электронных таблиц MSExcel.
Необходимые теоретические сведенияЗадача о назначенияхявляется типичным примером оптимального принятия управленческих решений. Эта задача позволяет распределить объекты из некоторого множества по группе субъектов из другого множества и это распределение должно соответствовать оптимальности одного или нескольких итоговых показателей. Данная задача имеет место при назначении людей на должности или работы, автомашин на маршруты, водителей на машины, при распределении студенческих групп по аудиториям, научных тем по научноисследовательским лабораториям и т.п. Пусть требуется выполнить nразличных работ и имеется nмеханизмов (машин) для их выполнения, причем каждый механизм может использоваться на любой работе. Производительность механизма на различных работах, вообще говоря, различна. Обозначим через производительность iго механизма на jй работе. Задача заключается в таком распределении механизмов по работам, при котором суммарная производительность максимальна.Построим математическую модель этой задачи.Сопоставим каждому из возможных вариантов распределения машин по работам набор значений неизвестных , относительно которых условимся, что , если в данном варианте iй механизм назначается на jю работу, и , если iй механизм назначается не наjю работу. Для любого варианта среди чисел должно быть точно nединиц, причем должны выполняться условия: (каждый механизм назначается на одну работу); (на каждую работу назначен один механизм). Суммарная производительность при данном варианте назначения машин на работы выразится суммой: .Математическая постановка задачи:
при ограничениях:
Условия выводят задачу о назначениях из класса задач линейного программирования, так как они нелинейны. Задачи математического программирования, в которых на переменные наложены такие условия, называются задачами с булевыми переменными. Посколькувсе остальные условия и целевая функция нашей задачи линейны, мы должны формально отнести её к классу задач линейного программирования с булевыми переменными. Однако задачу можно рассмотреть как частный случай транспортной (и, следовательно, просто линейной) задачи. В самом деле, если отбросить последнее условие, заменив его условиями неотрицательности переменных, то задача превращается в обычную транспортную задачу, имеющую ту особенность, что в ней все и все , равны единице.Задача. Некоторая компания имеет четыре сбытовые базы и четыре заказа, которые необходимо доставить различным потребителям. Складские помещения каждой базы вполне достаточны для того, чтобы вместить один из этих заказов. В табл. 3.1 содержится информация о расстоянии между каждой базой и каждым потребителем. Как следует распределить заказы по сбытовым базам, чтобы общая дальность транспортировки была минимальной?Таблица 1
Сбытовая базаРасстояние, миль ПотребителиIIIIIIIV168727583256605863338403545447424045
Решение.Для решения задачи составим ее математическую модель.1. Введем обозначения:
2. Составим целевую функцию –минимальная дальность транспортировки:
(1)3. Сформулируем ограничения рассматриваемой задачи.3.1. Каждая сбытовая база вмещает один заказ. Это ограничение можно записать в виде:
(2)3.2. Каждый заказ распределяется на одну сбытовую базу. Это ограничение можно записать так:
(3)3.3. Бинарность переменных :
− бинарные (двоичные),
(4)Таким образом, целевая функция (1) и ограничения (2−4) образуют математическую модель задачи о назначениях.
Решение задачи в пакете Maple[1,2]1.Подключаем пакеты linalg и simplex:�restart:with(simplex):2.Задаем матрицу назначений, матрицу расстояний между каждой базой и каждым потребителем и целевую функцию:�x:=matrix(4,4);
�C:=matrix([[68,72,75,83], [56,60,58,63], [38,40,35,45], [47,42,40,45]]);
�Z:=sum(sum(C[i,j]*x[i,j], i=1..4), j=1..4);
3.Находимоптимальноерешение:�minimize(Z, {sum(x[1,j],j=1..4)=1, sum(x[2,j],j=1..4)=1, sum(x[3,j],j=1..4)=1, sum(x[4,j],j=1..4)=1, sum(x[i,1],i=1..4)=1, sum(x[i,2],i=1..4)=1, sum(x[i,3], i=1..4)=1, sum(x[i,4],i=1..4)=1}, NONNEGATIVE);
4. Представляем полученное решение в матричном виде:�v:=matrix([[1,0,0,0], [0,0,0,1], [0,0,1,0],[0,1,0,0]]);
5.Определяем минимальную дальность транспортировки:�sum(sum(C[i,j]*v[i,j],i=1..4),j=1..4);
Решение задачи в пакете MathcadPrimeДля решения задачи в пакете MathcadPrimeнеобходимо:1.Задать исходные данные.2.На вкладке «Математика» выбрать «Блок решения».3.В области «Начальные приближения» присвоить переменным, т.е. матрице Xначальные (любые, например, нулевые) значения и задать целевую функцию.4.В области «Ограничения» ввести все необходимые ограничения.5.В области «Решатель» найти оптимальное решение с помощью функции minimizeи вычислить минимальную дальность транспортировки(см. рис.1).
Рис.1.
Решение задачи в среде электронных таблиц MSExcel[7]
1.Идентифицируйте свою работу, переименовав Лист1 в«Титульный лист» и записав номер лабораторной работы, ее название, кто выполнил и проверил.2.На следующем листе (см. рис. 2.), с именем «Задача о назначениях», создайте таблицу для ввода условий задачи и введите исходные данные.3.Матрицу назначений заполните пока нулевыми значениями.4.Матрицу назначений дополните столбцом справа и строкой снизу.5.В ячейку D20введите формулу целевой функции –стоимость перевозок: СУММПРОИЗВ(C5:F8;C14:F17).6. В ячейку G14запишите формулу: СУММ(C14:F14).Эту формулу скопируйте автозаполнением в остальные ячейки диапазона G15:G17.7. В ячейку C18запишите функцию: СУММ(C14:C17).Эту формулу скопируйте автозаполнением в остальные ячейки диапазона D18: F18.
Рис. 2
8. На вкладке «Данные» выберете пункт «Поиск решения».9. В появившемся окне «Параметры поиска решения» нужно выполнить необходимые установки (см. рис. 3):−Введите абсолютный адрес целевой ячейки $D$20 в поле «Оптимизировать целевую функцию» или щёлкните по кнопке , затем по ячейке D20 и снова по кнопке .−Введите направление целевой функции, щёлкнув левой кнопкой мыши по селекторному полю «Минимум».−В поле «Изменяя ячейки переменных» впишите абсолютный адрес диапазона ячеек $C$14:$F$17 или щёлкните по кнопке , выделите мышью диапазон ячеек C14:F17 и снова щёлкните по кнопке .−В поле «В соответствии с ограничениями» введите ограничения с помощью кнопки «Добавить».При этом вызывается диалоговое окно «Добавление ограничения», показанное на рис. 4.Введите систему ограничений (2). В поле «Ссылка на ячейки» щёлкните по кнопке , затем выделите мышью диапазон ячеек G14÷G17 и снова щёлкните по кнопке , в следующем поле установите знак , нажав , затем в поле «Ограничение» введите 1 (см. рис. 4). Нажмите «Добавить».
Рис.3
Рис.4
Аналогично введите систему ограничений (3). В поле «Ссылка на ячейки» щёлкните по кнопке , затем выделите мышью диапазон ячеек C18:F18 и снова щёлкните по кнопке , в следующем поле установите знак , нажав , затем в поле «Ограничение» введите 1 (см. рис.5). Нажмите «Добавить».
Рис. 5
Теперь введите ограничение (4). В поле «Ссылка на ячейки» щёлкните по кнопке , затем выделите мышью диапазон ячеек С14:F17 и снова щёлкните по кнопке , в следующем поле установите «бин», нажав , поле «Ограничение» заполнится автоматически, появится «бинароное» (см. рис. 6). Нажмите «ОК».
Рис. 6.
−Установите галочку «Сделать переменные без ограничений неотрицательными».−Выберете метод решения «Поиск решения линейных задач симплексметодом»−Нажмите «Найти решение». В появившемся окне «Результаты поиска решения» нажмите «ОК».Результат полученных вычислений представлен на рис. 7.
Выводы.Решая задачу в Mapleи MathcadPrimeперевозки осуществляются со сбытовой базы 1 к потребителю I, с базы 2 —к потребителю IV, с базы 3 —к потребителю III и с базы 4 —к потребителю II. Минимальная дальность перевозок составляет 68 60 35 45 208 миль.Решая задачу в MSExсelперевозки осуществляются со сбытовой базы 1 к потребителю I, с базы 2 —к потребителю II, с базы 3 —к потребителю III и с базы 4 —к потребителю IV. Минимальная дальность перевозок составляет 68 60 35 45 208 миль.
Рис. 7
Исходные данные для лабораторной работыРаспределить работы таким образом, чтобы минимизировать временные затраты на выполнение всех работ при условии, что каждый из претендентов получит одну и только одну из работ. Матрица временных затрат каждого претендента на выполнение каждой из работ приведена в табл. 2(№номер варианта).Таблица 2РаботникиНомера работ12345678910Иванов7№9115193463Петров414№11114122353Сидоров№1720№169164671Копылов4171012№16143731Минин251881851613Жаров71718820№7327Власов31№3234№53№Демченко6№21154№11Серёгин№13743522№4Панин335№3№311№Подобные лабораторные занятия интегрируют фундаментальные знания, практические умения инавыки студентов в области прикладной математики и информационных технологий.
Заключение.В заключение отметим, что компьютерные информационные технологии на сегодняшний день становятся приоритетом в развитии высшего образования. Их применение способствует экономии учебного времени при выполнении на компьютере трудоемких вычислительных работ, воспитанию самостоятельности, повышению качества преподавания, формированию академических и профессиональных компетенций у студентов. Практика показывает, что применение математических пакетовв учебном процессе существенно обогащает процесс обучения, облегчая восприятие материала, стимулирует самостоятельную работу студентов, способствуя их интеллектуальному развитию. Кроме того, приобретенные знания используются в дальнейшем при написании курсовых и дипломных работ, при проведении научноисследовательскойработы студентов.Таким образом, использование математических пакетов в учебном процессе позволяет перейти на новый, более глубокий и качественный уровень преподавания математических дисциплин.
Ссылки на источники1.Дьяконов
В.П. Maple9.5/10/11 в математике, физике и образовании. −М.: ДМК Пресс, СОЛОНПРЕСС, 2011. − 752 с.2.СдвижковО.А. Математика на компьютере: Maple8. –М.: СОЛОНПресс, 2003. –176с.3.Шевченко, А. С. Использование математического пакета Maple при проведении лабораторных работ по курсу «Численные методы» // Молодой ученый. − 2015. − №9. − С. 12221225.4.Шевченко А.С. Применение математического пакета Maple к решению вариационных задач // Молодой ученый. −2015. −№22. −С. 3337.5.Пантелеев А.В., Летова Т.А.. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учебное пособие. –2е изд., исправл. –М.: Высш. Шк., 2005. –544 с.6.Экономикоматематические методы и модели: Задачник / Под ред. С.И. Макарова, С.А. Севастьяновой. − М.: КноРус, 2009. − 208c.7.ОрловаИ.В. Экономикоматематические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL / Практикум: Учебное пособие для вузов. − М.: ЗАО «Финстатинформ», 2000. − 136 с.
