О некоторых приложениях эллиптического интеграла
ART 96219
Авторы:
С.
И. Марченко, Л.
И. Сербина
С.
И. Марченко, Л.
И. Сербина Библиографическое описание статьи для цитирования:
Марченко
С.
И.,
Сербина
Л.
И. О некоторых приложениях эллиптического интеграла // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2016. – Т. 15. – С.
1501–1505. – URL:
http://e-koncept.ru/2016/96219.htm.
Аннотация. Приводятся основные принципы введения понятия «эллиптический интеграл», и рассматривается применение эллиптического интеграла в математических методах исследования движения по заданной кривой.
Текст статьи
Сербина Людмила Ивановна,доктор физикоматематических наук, профессор кафедры математики и информатики ГБОУ ВО «Ставропольский государственный педагогический институт», г. Ставропольlserbina@mail.ru
Марченко Сергей Игоревич,студент кафедры математики и информатики ГБОУ ВО «Ставропольский государственный педагогический институт», г. Ставропольmister.semarchenko@yandex.ru
О некоторых приложениях эллиптического интеграла
Аннотация.Приводятся основные принципы введения понятия эллиптический интеграл и рассматриваются применение эллиптического интеграла в математических методах исследования движения по заданной кривой.Ключевые слова:интегрирование, дифференцирование, элементарные функции, эллиптический интеграл.
В основе систематического развития дифференциального и интегрального исчисления лежит тесная взаимная связь между задачами интегрирования и дифференцирования.В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции ݂(ݔ)найти ее производную или дифференциал. Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию ܨ(ݔ), зная ее производную или дифференциал: ܨ′(ݔ)=݂(ݔ).Операция интегрирования, состоящая в обращении процесса дифференцирования, является одной из типичных задач на построение обратной операции, которые встречаются в математике.Операция дифференцирования является более элементарной операцией чем интегрирование, так как она не выводит за пределы известного о элементарных функций. В соответствии с правилами дифференцирования, всякая функция, выраженная с помощью элементарных функций,может быть всегда продифференцирована и ее производная является такая функция, которая выражается через эллиптические функции. Обратная задача интегрирования, оказывающая почти всегда более важной, чем задача дифференцирования. Но однако, в противоположность дифференцированию операция интегрирования эллиптических функций не всегдавыражается через элементарные функции или, как говорят, интеграл «не берется» элементарно. Поэтому основной проблемой интегрирования является интегрирование в элементарных функциях.Первым и самым важным примером, выводящим нас за пределы области элементарных функций, является эллиптический интеграл. [1]Эллиптические интегралы, это такие интегралы, подынтегральная функция которых рационально выражается через переменную интегрирования и корень, квадратный от многочлена, третьей или четвертой степени, которые в общем виде могут быть представлены функцией следующего вида:
ܨ(ݖ)=∫݂(ݖ)݀ݖ
(1)�где ݂(ݔ)есть рациональная функция от ݖи квадратного корня √�(ݖ)из многочлена �(ݖ)=ܽ0ݖ4+ܽ1ݖ3+ܽ2ݖ2+ܽ3ݖ+ܽ4=ܽ0(ݖ−�1)(ݖ−�2)(ݖ−�3)(ݖ−�4), не имеющего кратных корней.В общем случае эллиптический интеграл (1) не может быть выражен в элементарных функциях. Однако для каждого эллиптического интеграла (1) с помощью подстановок существует алгоритм приведения к сумме элементарных функций и линейной комбинации трех сравнительно простых типов эллиптических интегралов первого, второго и третьего рода, которые имеют вид:
∫݀ݖ√(1−ݖ2)(1−݇2ݖ2),∫ݖ2݀ݖ√(1−ݖ2)(1−݇2ݖ2),�
�
(2)∫݀ݖ(1+ℎݔ2)√(1−ݖ2)(1−݇2ݖ2),где ݇<1, ℎ
комплексный параметр.Заметим, что многие интегралы на первый взгляд совершенно иного вида приводятся с помощью простых подстановок к эллиптическим интегралам вида (2) например, интеграл:∫݀ݑ√cos�−cosݔпутем подстановки ܷ=cos�2переходит в интеграл −݇√2=∫ௗ�√(1−�3)(1−�2�2),݇=1௦�2.Интеграл ∫ௗ�√cos2�путем подстановки ܷ=sinݔпереходит в интеграл:∫݀ݑ√(1−ܷ2)(1−2ܷ2),
а интеграл ∫ௗ�√1−�2௦�2�подстановкой ܷ=sinݔпереходитвинтеграл:∫݀ݑ√(1−ܷ2)(1−݇2ܷ2)В общем случае эллиптические интегралы (2) не могут быть выражены в элементарных функциях.Поэтому Лежандр внес дальнейшие упрощения. В результате непосредственной подстановки ݖ=sin�первый из них переходит в определенный интеграл:∫݀ݖ√1−݇2ݏ�݊2�=ܨ(݇;�)�0Второй интеграл имеет вид∫݀ݖ√1−݇2ݏ�݊2�=1݇2∫݀�√1−݇2ݏ�݊2�−1݇2∫√1−݇2ݏ�݊2��0�0�0݀�т. е. приводится к предыдущему интегралу и к новому интегралуܧ(݇;�)=∫√1−݇2ݏ�݊2�݀��0.Третий интеграл при указанной подстановке переходит в определенный интеграл вида:∫݀�(1+ℎݏ�݊2�)√1−݇2ݏ�݊2��0Среди этих трех стандартных эллиптических интегралов особую важность и частое применение имеют первые два. Эти интегралы, если считать, при �=0они обращаются в нуль, в случае переменного верхнего предела интегрирования, Лежандр обозначил соответственно через функции ܨ(݇;�)и ܧ(݇;�).Здесь кроме независимой переменной �,указан параметр ݇, называемый модулем.Для функций Лежандра часто встречающихся в приложениях установлен ряд формул и составлены таблицы их значений для различных значений �и ݇.Благодаря этому в математике функции ܨ(݇;�)и ܧ(݇;�)рассматриваются на равных правах с известными элементарными функциями.Эллиптические интегралы, находят многочисленные и важные применения в различных вопросах аналитической геометрии, физики и механике.В интегральном исчислении впервые такого рода интегралы появились в задачах вычисления длины дуг кривых второго порядка. Так при вычислении дуги эллипса ݔ=acosݐ,ݕ=ܾݏ�݊ݐот верхнего конца малой оси до любой его точки в первом квадрате находим, что:݈=∫√(ݔ′(ݐ))2+(ݕ′(ݐ))2݀ݐ=∫√ܽ2ݏ�݊2ݐ+ܾ2ܿݏ2ݐ݀ݐ=௧0௧0=∫√ܽ2−(ܽ2−ܾ2)ݏ�݊2ݐ௧0݀ݐ=ܽ∫√1−݇2ݏ�݊2ݐ݀ݐ=ܽܧ(݇;ݐ),௧0
где ݇=√2+2–эксцентриситет эллипса.Таким образом, длина дуги эллипса выражается эллиптическим интегралом второгорода. Решение этой задачи объясняет название эллиптический интеграл.В частности длина четверти дуги эллипса выражается через полный эллиптический интеграл второго рода:ܽ∫√1−݇2ݏ�݊2ݐ݀ݐ=ܽܧ(݇),�20а длина всей кривой будет݈=4ܽܧ(݇′).Рассмотрим применение эллиптического интеграла к математическому исследованию движения материальной точки по заданной кривой.[2]Простейший пример такого движения, представляет собой колебание математического маятника. Физическим осуществлением математического маятника может служить твердое небольшое тело, подвешенное в поле сил тяжести на длинной нити и колеблющееся вокруг точки подвеса. При этом считаем, что можно пренебречь линейными размерами тела по сравнению с длиной нити ݈. Здесь заданной кривой является окружность радиуса ݈:ݔ=݈cos�,
ݕ=݈sin�,где�=�(ݐ)угол отклонения от положения покоя в момент времени ݐт. е. низшей точки окружности.Движение тела будет известно, если будет определена функция�(ݐ), а затем и период колебания. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии, который утверждает, что во время движения тела, сумма его кинетической и потенциальной энергии остается постоянной. [3]
Потенциальная энергия нашего тела ܷ=݉݃ℎ, где ݉–масса, ݃–ускорение силы тяжести, ℎ
высота центра масс от какой либо фиксированной горизонтальной плоскостью.Например, над горизонтальной плоскостью, проходящей через положение центра массы в состоянии покоя. Тогда ܷ=−݈݉݃(cos�−cos�0),его кинетическая энергия ܶ=12݉ݒ2=12݉(݂�′(ݐ))2.Следовательно, уравнение энергии имеет вид 12݈݉2(�′(ݐ))2+݈݉݃(cos�−cos�0)=0Откуда находим, что݀�݀ݐ=√2݈݃(cos�−cos�0)Интегрируя, последнее равенство, получим:
ݐ=1√2√݈݃∫݀�√cos�−cos�0=√݈݃∫݀�√ݏ�݊2�02−ݏ�݊2�2�−��−�
(3)При этом �(0<�<�)означает угол наибольшего отклонения тела, с которого опустили материальную точку при ݐ=0со скоростью нуль.Для вычисления интеграла (3) введем новую переменную с помощью подстановки: sin�2=ܷsin�02.Тогда, так как 12cos�2݀�=sin�02݀ݑ.Откуда находим, что݀�=2sin�02cos�2݀ݑ=2sin�02√1−�2௦�2�02݀ݑ, √ݏ�݊2�02−ݏ�݊2�2=sin�02√1−ܷ2.Тогда интеграл (3), преобразуется к виду:ܶ=4√݈݃∫݀ݑ√(1−ܷ2)(1−ܷ2ݏ�݊2�02)10
Полагая, в последнем интеграле ݇=sin�22получим:ܶ=4√݈݃∫݀ݑ√(1−ܷ2)(1−ܷ2ݏ�݊2�02)=4√݈݃ܧ(݇).10Таким образом, период колебания тела выражен с помощью полного эллиптического интеграла. Откуда следует, что период колебания не зависит от угла наибольшего отклонения �0.Отметим, что уравнение (3) с помощью интегрирования, выражает время ݐ, которое материальная точка затрачивает для прохождения пути от значения параметра �0до значение параметра �.Обратная функция �=�(ݐ)для найденной функции ݐ=ݐ(�)позволяет полностью описать процесс движения, так как для каждого момента времени ݐможно определить точку кривой:ݔ=݈cos(�(ݐ)),
ݕ=݈sin(�(ݐ)),через которую движущая материальная точка проходит в данный момент.[4]Ссылки на источники1. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа.Москва.: ФИЗМАТЛИТ., 2002. 317.2. КурантР. Курс дифференциального и интегрального исчисления.Москва.: Мгту им. Н. Э. Баумана., 2002. 234.3.Ландсберг Г. С. Элементарный учебник физики.Москва.: Физикоматематическая литература., 2001.19.4. Перышкин А. В. Курс физики. Механика.Москва.: Просвещение., 1966.10.
Марченко Сергей Игоревич,студент кафедры математики и информатики ГБОУ ВО «Ставропольский государственный педагогический институт», г. Ставропольmister.semarchenko@yandex.ru
О некоторых приложениях эллиптического интеграла
Аннотация.Приводятся основные принципы введения понятия эллиптический интеграл и рассматриваются применение эллиптического интеграла в математических методах исследования движения по заданной кривой.Ключевые слова:интегрирование, дифференцирование, элементарные функции, эллиптический интеграл.
В основе систематического развития дифференциального и интегрального исчисления лежит тесная взаимная связь между задачами интегрирования и дифференцирования.В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции ݂(ݔ)найти ее производную или дифференциал. Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию ܨ(ݔ), зная ее производную или дифференциал: ܨ′(ݔ)=݂(ݔ).Операция интегрирования, состоящая в обращении процесса дифференцирования, является одной из типичных задач на построение обратной операции, которые встречаются в математике.Операция дифференцирования является более элементарной операцией чем интегрирование, так как она не выводит за пределы известного о элементарных функций. В соответствии с правилами дифференцирования, всякая функция, выраженная с помощью элементарных функций,может быть всегда продифференцирована и ее производная является такая функция, которая выражается через эллиптические функции. Обратная задача интегрирования, оказывающая почти всегда более важной, чем задача дифференцирования. Но однако, в противоположность дифференцированию операция интегрирования эллиптических функций не всегдавыражается через элементарные функции или, как говорят, интеграл «не берется» элементарно. Поэтому основной проблемой интегрирования является интегрирование в элементарных функциях.Первым и самым важным примером, выводящим нас за пределы области элементарных функций, является эллиптический интеграл. [1]Эллиптические интегралы, это такие интегралы, подынтегральная функция которых рационально выражается через переменную интегрирования и корень, квадратный от многочлена, третьей или четвертой степени, которые в общем виде могут быть представлены функцией следующего вида:
ܨ(ݖ)=∫݂(ݖ)݀ݖ
(1)�где ݂(ݔ)есть рациональная функция от ݖи квадратного корня √�(ݖ)из многочлена �(ݖ)=ܽ0ݖ4+ܽ1ݖ3+ܽ2ݖ2+ܽ3ݖ+ܽ4=ܽ0(ݖ−�1)(ݖ−�2)(ݖ−�3)(ݖ−�4), не имеющего кратных корней.В общем случае эллиптический интеграл (1) не может быть выражен в элементарных функциях. Однако для каждого эллиптического интеграла (1) с помощью подстановок существует алгоритм приведения к сумме элементарных функций и линейной комбинации трех сравнительно простых типов эллиптических интегралов первого, второго и третьего рода, которые имеют вид:
∫݀ݖ√(1−ݖ2)(1−݇2ݖ2),∫ݖ2݀ݖ√(1−ݖ2)(1−݇2ݖ2),�
�
(2)∫݀ݖ(1+ℎݔ2)√(1−ݖ2)(1−݇2ݖ2),где ݇<1, ℎ
комплексный параметр.Заметим, что многие интегралы на первый взгляд совершенно иного вида приводятся с помощью простых подстановок к эллиптическим интегралам вида (2) например, интеграл:∫݀ݑ√cos�−cosݔпутем подстановки ܷ=cos�2переходит в интеграл −݇√2=∫ௗ�√(1−�3)(1−�2�2),݇=1௦�2.Интеграл ∫ௗ�√cos2�путем подстановки ܷ=sinݔпереходит в интеграл:∫݀ݑ√(1−ܷ2)(1−2ܷ2),
а интеграл ∫ௗ�√1−�2௦�2�подстановкой ܷ=sinݔпереходитвинтеграл:∫݀ݑ√(1−ܷ2)(1−݇2ܷ2)В общем случае эллиптические интегралы (2) не могут быть выражены в элементарных функциях.Поэтому Лежандр внес дальнейшие упрощения. В результате непосредственной подстановки ݖ=sin�первый из них переходит в определенный интеграл:∫݀ݖ√1−݇2ݏ�݊2�=ܨ(݇;�)�0Второй интеграл имеет вид∫݀ݖ√1−݇2ݏ�݊2�=1݇2∫݀�√1−݇2ݏ�݊2�−1݇2∫√1−݇2ݏ�݊2��0�0�0݀�т. е. приводится к предыдущему интегралу и к новому интегралуܧ(݇;�)=∫√1−݇2ݏ�݊2�݀��0.Третий интеграл при указанной подстановке переходит в определенный интеграл вида:∫݀�(1+ℎݏ�݊2�)√1−݇2ݏ�݊2��0Среди этих трех стандартных эллиптических интегралов особую важность и частое применение имеют первые два. Эти интегралы, если считать, при �=0они обращаются в нуль, в случае переменного верхнего предела интегрирования, Лежандр обозначил соответственно через функции ܨ(݇;�)и ܧ(݇;�).Здесь кроме независимой переменной �,указан параметр ݇, называемый модулем.Для функций Лежандра часто встречающихся в приложениях установлен ряд формул и составлены таблицы их значений для различных значений �и ݇.Благодаря этому в математике функции ܨ(݇;�)и ܧ(݇;�)рассматриваются на равных правах с известными элементарными функциями.Эллиптические интегралы, находят многочисленные и важные применения в различных вопросах аналитической геометрии, физики и механике.В интегральном исчислении впервые такого рода интегралы появились в задачах вычисления длины дуг кривых второго порядка. Так при вычислении дуги эллипса ݔ=acosݐ,ݕ=ܾݏ�݊ݐот верхнего конца малой оси до любой его точки в первом квадрате находим, что:݈=∫√(ݔ′(ݐ))2+(ݕ′(ݐ))2݀ݐ=∫√ܽ2ݏ�݊2ݐ+ܾ2ܿݏ2ݐ݀ݐ=௧0௧0=∫√ܽ2−(ܽ2−ܾ2)ݏ�݊2ݐ௧0݀ݐ=ܽ∫√1−݇2ݏ�݊2ݐ݀ݐ=ܽܧ(݇;ݐ),௧0
где ݇=√2+2–эксцентриситет эллипса.Таким образом, длина дуги эллипса выражается эллиптическим интегралом второгорода. Решение этой задачи объясняет название эллиптический интеграл.В частности длина четверти дуги эллипса выражается через полный эллиптический интеграл второго рода:ܽ∫√1−݇2ݏ�݊2ݐ݀ݐ=ܽܧ(݇),�20а длина всей кривой будет݈=4ܽܧ(݇′).Рассмотрим применение эллиптического интеграла к математическому исследованию движения материальной точки по заданной кривой.[2]Простейший пример такого движения, представляет собой колебание математического маятника. Физическим осуществлением математического маятника может служить твердое небольшое тело, подвешенное в поле сил тяжести на длинной нити и колеблющееся вокруг точки подвеса. При этом считаем, что можно пренебречь линейными размерами тела по сравнению с длиной нити ݈. Здесь заданной кривой является окружность радиуса ݈:ݔ=݈cos�,
ݕ=݈sin�,где�=�(ݐ)угол отклонения от положения покоя в момент времени ݐт. е. низшей точки окружности.Движение тела будет известно, если будет определена функция�(ݐ), а затем и период колебания. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии, который утверждает, что во время движения тела, сумма его кинетической и потенциальной энергии остается постоянной. [3]
Потенциальная энергия нашего тела ܷ=݉݃ℎ, где ݉–масса, ݃–ускорение силы тяжести, ℎ
высота центра масс от какой либо фиксированной горизонтальной плоскостью.Например, над горизонтальной плоскостью, проходящей через положение центра массы в состоянии покоя. Тогда ܷ=−݈݉݃(cos�−cos�0),его кинетическая энергия ܶ=12݉ݒ2=12݉(݂�′(ݐ))2.Следовательно, уравнение энергии имеет вид 12݈݉2(�′(ݐ))2+݈݉݃(cos�−cos�0)=0Откуда находим, что݀�݀ݐ=√2݈݃(cos�−cos�0)Интегрируя, последнее равенство, получим:
ݐ=1√2√݈݃∫݀�√cos�−cos�0=√݈݃∫݀�√ݏ�݊2�02−ݏ�݊2�2�−��−�
(3)При этом �(0<�<�)означает угол наибольшего отклонения тела, с которого опустили материальную точку при ݐ=0со скоростью нуль.Для вычисления интеграла (3) введем новую переменную с помощью подстановки: sin�2=ܷsin�02.Тогда, так как 12cos�2݀�=sin�02݀ݑ.Откуда находим, что݀�=2sin�02cos�2݀ݑ=2sin�02√1−�2௦�2�02݀ݑ, √ݏ�݊2�02−ݏ�݊2�2=sin�02√1−ܷ2.Тогда интеграл (3), преобразуется к виду:ܶ=4√݈݃∫݀ݑ√(1−ܷ2)(1−ܷ2ݏ�݊2�02)10
Полагая, в последнем интеграле ݇=sin�22получим:ܶ=4√݈݃∫݀ݑ√(1−ܷ2)(1−ܷ2ݏ�݊2�02)=4√݈݃ܧ(݇).10Таким образом, период колебания тела выражен с помощью полного эллиптического интеграла. Откуда следует, что период колебания не зависит от угла наибольшего отклонения �0.Отметим, что уравнение (3) с помощью интегрирования, выражает время ݐ, которое материальная точка затрачивает для прохождения пути от значения параметра �0до значение параметра �.Обратная функция �=�(ݐ)для найденной функции ݐ=ݐ(�)позволяет полностью описать процесс движения, так как для каждого момента времени ݐможно определить точку кривой:ݔ=݈cos(�(ݐ)),
ݕ=݈sin(�(ݐ)),через которую движущая материальная точка проходит в данный момент.[4]Ссылки на источники1. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа.Москва.: ФИЗМАТЛИТ., 2002. 317.2. КурантР. Курс дифференциального и интегрального исчисления.Москва.: Мгту им. Н. Э. Баумана., 2002. 234.3.Ландсберг Г. С. Элементарный учебник физики.Москва.: Физикоматематическая литература., 2001.19.4. Перышкин А. В. Курс физики. Механика.Москва.: Просвещение., 1966.10.
