• Выпуски
  • Основные выпуски
  • Приложения
• Авторам
  • Правила публикации статей
  • Технические требования
  • Оплата
  • Лицензионный договор
  • График публикаций
• Редакционный совет
• Публикационная этика
• О журнале
  • Общая информация
  • Список авторов
  • Контакты
• Издательство МЦИТО

Редакционно-издательские услуги Международные публикации Бесплатные вебинары

ЛевинВиталийИльич,доктортехническихнаук,профессор,PhD, FullProfessor. ЗаслуженныйдеятельнаукиРФ.Пензенскийгосударственныйтехнологическийуниверситетvilevin@mail.ru

Теоретическиеосновыисследованияинтервальныхфункцийметодамиинтервальнодифференциальногоисчисления

Аннотация.Актуальность.Рассмотренысуществующиеподходыкрасчету,анализу,синтезуиоптимизациисистемвусловияхнеопределенности.Исследованиенеопределенныхсистемформулируетсяввидезадачрасчета,анализаисинтезаразличныхфункцийснедетерминированнымипараметрами,служащихсоответствующимихарактеристикамиданныхсистем.Этизадачизначительносложнееихдетерминированныханалогов,которыеприходитсярешатьприисследованиисистемсдетерминированными(точноизвестными)параметрами.Усложнениесвязаностем,чтоалгебранедетерминированныхчиселсложнееалгебрыдетерминированныхчисел.Цельстатьи.Вданнойстатьесформулированаиподробноописаназадачавычисленияианализаповедениянеполностьюопределеннойфункции,заданнойсточностьюдоинтервалазначений.Метод.Длярешенияэтойзадачипредложенметоддетерминизации,которыйпозволяетсвестизадачукдвуманалогичным‬дляверхнейинижнейграничныхфункцийисходнойнеполностьюопределеннойфункции.Вэтомметодеиспользованаппаратинтервальнойматематикииинтервальнодифференциальногоисчисления.Выделеныразличныетипывозможногоповеденияинтервальныхфункций(постоянство,возрастание,убывание,расширение,сужение)иразличныетипыэкстремальныхточектакихфункций(например,точкамаксимума,точкаминимума,точкамаксимальногорасширения,точкаминимальногорасширения).Новизна.Доказанытеоремы,позволяющиеопределятьучасткиразличногоповеденияинтервальныхфункцийиточкисразличнымивидамиэкстремума.Результат.Подробнорассмотренаипроиллюстрировананапримереработапредложенногоалгоритмадетерминизации,позволяющегоанализироватьповедениеинтервальныхфункций.Ключевыеслова:оптимизация,неопределенность,детерминированнаяфункция,интервальнаяфункция,анализповеденияфункций.

ВведениеСовременнаянаукаипрактикаобработкиинформациихорошосправляетсясзадачамиисследованияразличныхсистемсполностьюопределенными(детерминированными)параметрами.Этизадачиобычноформулируютсякакзадачирасчета,анализаисинтезатехилииныхфункцийсдетерминированнымипараметрами,служащихсоответствующимихарактеристикамиизучаемыхсистем.Однаконапрактикечастовстречаютсядругиесистемы‬системыснеточноизвестными,т.е.неполностьюопределенными(недетерминированными)параметрами.Причиныпоявлениятакихсистемзаключаютсявестественнойнеопределенности,свойственноймногимреальнымпроцессам,происходящимвсистемах;внеточномзаданиипараметровбольшинствасистемиззанеизбежныхпогрешностейприихвычисленииилиизмерении;визменениивовременинекоторыхпараметровсистем;внеобходимостисовместногоисследованияцелыхсемействоднотипныхсистем,имеющиходинаковыефункциихарактеристикииразличающиесялишьзначениямипараметровэтихфункций.Исследованиевведенныхнеопределенныхсистемформулируетсяввидезадачрасчета,анализаисинтезаразличныхфункцийснедетерминированнымипараметрами,служащихсоответствующимихарактеристикамиданныхсистем.Всеэтизадачизначительносложнееихвышеупомянутыхдетерминированныханалогов,которыеприходитсярешатьприисследованиисистемсполностьюопределенными(детерминированными)параметрами.Усложнениесвязаностем,чтоалгебранедетерминированныхчиселвсегдасложнееалгебрыдетерминированныхчисел.Внастоящейстатьеисследуютсяуказанныеболеесложныезадачирасчетаианализанеточнозаданных(недетерминированных)функцийинтервальноготипа.Вкачествематематическогоаппаратаиспользуетсяинтервальнаяалгебраиинтервальнодифференциальноеисчисление.Цельюработыявляетсяустранениепротиворечиямеждутребующимирешенияновымисложнымизадачамиисуществующимиподходами,непригоднымидляихрешения.Дляэтогоразрабатываютсяновые,адекватныеэтимзадачаммоделииметоды.

1.ПостановказадачиРассмотримобычную(детерминированную)функциюоднойнезависимойпеременной, (1)однозначноотображающуюзаданноемножествонезависимыхпеременныхвзаданноемножествозависимыхпеременныхвсоответствииснекоторымзаконом,которыйиназываетсяфункцией.Хорошоизвестно,чтозадачарасчета(вычислениязначений)функции(1)решаетсяспомощьюадекватногоэтойзадачематематическогоаппаратаалгебрывещественныхчисел,прииспользованииподходящихметодоввычисления,азадачаанализаповеденияфункции(1)‬спомощьюадекватногоейаппаратаклассическогодифференциальногоисчисления[1].Теперьрассмотримнедетерминированную(именно,интервальную)функциюоднойнезависимойпеременной[2], (2)однозначноотображающуюзаданноемножествонезависимыхвещественных(какивслучае(1))переменныхвзаданноемножествозависимыхпеременныхинтервалов,всоответствиисзаконом,которыйиназываетсяинтервальнойфункцией.Согласноопределению(2),любуюинтервальнуюфункциюможнопредставитьввидепарыобычныхфункций, (3)которыеимеютвид (4)Извыражений(),(4)видно,чтоинтервальнаяфункцияэквивалентнапареобычныхфункций,изкоторыхперваяоднозначноотображаетзаданноемножествонезависимыхпеременныхфункциивмножество

нижнихграницинтервалов‬зависимыхпеременныхэтойфункции,автораяоднозначноотображаеттожемножествовмножествоверхнихграництехжеинтервалов

‬зависимыхпеременныхэтойфункции.Задачанастоящейработызаключаетсявпостроениидвухсистематическихпроцедур(алгоритмов),связанныхсизучениеминтервальныхфункцийвида(2).Аименно:1. Процедурарасчета(вычислениязначений)интервальнойфункции;2.Процедураанализаповеденияинтервальнойфункции.Влитературехорошоизученатолькозадачавычисленияинтервальнойфункции,котораясводитсяквычислениюдетерминированныхнижнейиверхнейграничныхфункцийинтервальнойфункции[3,4].Задачаанализаповеденияинтервальнойфункцииизученагораздохуже,чтосвязаносразнобоемввыборекритериевсравненияинтервальныхчисел[5,6].Всвязисэтимизлагаемыйвстатьеподходквычислениюианализуповеденияинтервальнойфункции,основанныйнаматематическистрогомиединомметодедетерминизации,т.е.сведениеисследованияинтервальнойфункциикизучениюееверхнейинижнейграничныхфункцийявляетсявесьмаактуальным.Другиеподходыкзадачеизложеныв[8,9].

2.РешениезадачивычисленияинтервальнойфункцииНачнемсрешениябазовойзадачирасчета(вычислениязначений)интервальнойфункции.Здесьвозможныдваслучая.Случай1.Интервальнаяфункциязаданавразделенномвиде,вкоторомверхняяинижняяграницыинтервальногозначенияфункциивыраженыкаждаяпоотдельности.Этотвидпредставленияинтервальнойфункциивытекаетизвыражений(2)‬(4). Именно,из(2),()следуетявноепредставлениеинтервальнойфункцииввидеинтервала, (5)границыкоторогосогласно(5)выражаютсяформулами. (6)Такимобразом,вычислениеинтервальногозначенияинтервальнойфункции(2),соответствующегозначениюнезависимойпеременнойэтойфункции,осуществляетсяпоследующемуалгоритму.Шаг1.Записываемвычисляемуюинтервальнуюфункциютипа(2)вразделенномвиде(5),(6)спомощьюнижнейиверхнейграничныхфункцийфункции(2).Шаг2.Вычисляемнижнююграничнуюфункцию,используядляэтогокакойлибоподходящийизвестныйметодвычисленияобычных(детерминированных)функций[].Шаг.Вычисляемверхнююграничнуюфункцию,используятужеметодику,чтоинашаге2.Шаг4.Соединяявычисленныезначениянижнейиверхнейграничныхфункций,получаемявноепредставление(5)вычисленнойинтервальнойфункции(2)ввидеинтервала.Случай2.Интервальнаяфункцияданавнеразделенномвиде,т.е.ввидесуперпозицииэлементарныхинтервальныхфункций:интервальногосложенияивычитания,умноженияинтерваланавещественноечисло,умноженияиделенияинтервалов[4].Вэтомслучаепередсобственновычислениеминтервальнаяфункцияприводитсякразделенномувиду,послечегокфункцииприменяетсячетырехшаговыйалгоритмслучая1.Приведениелюбойинтервальнойфункциикразделенномувидуможноосуществитьспомощьюосновныхформулинтервальнойматематики,выражающихрезультатыэлементарныхпреобразованийинтервалов[4] (7)приусловии,чтоинтервалнесодержитнуля.Пример1.Привестикразделенномувидуинтервальнуюфункцию

вобласти.

Решение.Применяякзаданнойинтервальнойфункциипоследовательнотретью,первуюичетвертуюформулы(7),получимнужныйвидфункции

Такимобразом,,инаконец,разделеннаяформазаданнойинтервальнойфункции.

3.Решениезадачианализаповеденияинтервальнойфункции:сравнениеинтерваловПерейдемкописаниюупомянутойранее(п.1)задачианализаповеденияинтервальнойфункции.Постановкаэтойзадачианалогичнапостановкезадачианализаповеденияобычнойдетерминированнойфункцииивключает,впервуюочередь,отыскание1)интерваловвозрастанияфункции;2)интерваловубыванияфункции;)интерваловпостоянствазначенийфункции;4)точекмаксимумафункции;5)точекминимумафункции.Постановказадачианализаповеденияинтервальнойфункцииможетещевключатьотысканиеособыхинтервалов(особыхточек)интервальнойфункции. Существованиетакихинтервалов(такихточек)связаносинтервальнымхарактеромэтойфункции.Уобычныхдетерминированныхфункцийтакиеинтервалы(точки)отсутствуют.Очевидно,решениезадачанализаповеденияинтервальнойфункциитребуетсравнениявеличининтервалов.Всвязисэтимнижекраткоизложеныосновныерезультатытеориисравненияинтервалов[5,6].Рассмотримдваинтервалаи.Попытаемсясравнитьвеличиныэтихинтервалов,рассматриваяихкакинтервальныечисла.Прямоесравнениеинтерваловинаосновеотношенийотдельныхпарвещественныхчисел, где,невсегдавозможно,таккаквобщемслучаеоднипарычиселбудутнаходитьсявотношении,адругие‬впротивоположномотношении. Поэтомуостаетсяреализоватьсравнениеинтерваловнатеоретикомножественномуровне,рассматриваякаждыйинтервалихкакединоецелое,неделимоеначасти.Приэтомоперациивзятиямаксимумаиминимумадвухинтерваловиможноввестиввидеследующихтеоретикомножественныхконструкций. (8)Такимобразом,взятиемаксимума(минимума)двухинтервалов,определяется,согласно(8),какнахождениемножествамаксимумов(минимумов) двухточныхвеличини,приусловии,чтоэтивеличиныпробегаютвсевозможныезначениясоответственноизинтервалови.Теперьдлятого,чтобыинтервалыиможнобылосравнитьповеличине,установивихотношение

или,нужно,чтобы1)введенныеоперациинадэтимиинтерваламисуществовали;2)этиоперациидаваливрезультатеодинизоперандов:или;)этиоперациибылисогласованы,т.е.еслибольшим(меньшим)оказываетсяодинизинтервалов,томеньшим(большим)являетсядругойизних.Сформулированноеусловиесравнимостивеличининтерваловявляется,очевиднонеобходимымидостаточным.Нетруднодоказать,чтоусловиесогласованностиоперацийнадинтерваламивсегдавыполняется.Очевиднотакже,чтоэтиоперациисуществуютдлялюбойпарыинтервалов,причемрезультатомоперациивобщемслучаеоказываетсянекоторыйновыйинтервал,отличныйкакот,такиот.Такимобразом,необходимымидостаточнымусловиемсравнимостиинтервалов

иоказываетсяусловие,покоторомуоперацииидолжныиметьсвоимрезультатомодинизинтервалов‬

или.Изэтойформулировкиусловиясравнимостиинтерваловвыводятсяразличныеегоконструктивныеформы,удобныедляпрактическогоприменения.Этиформысодержатсявнижеследующихтеоремах1‬4.Теорема1.Длятогочтобыдваинтервалаибылисравнимыповеличинеинаходилисьвотношении,необходимоидостаточновыполненияусловий, (9)адлятогочтобыэтиинтервалыбылисравнимыповеличинеинаходилисьвотношении,необходимоидостаточновыполненияусловий. (10)Изтеоремывидно,чтоинтервалысравнимыповеличине(поотношениюили)инаходятсявэтомотношениитолькотогда,когдавтакомжеотношениинаходятсяиходноименныеграницыи.Значениетеоремы1втом,чтоонасводитсравнениеинтерваловивыборбольшего(меньшего)изнихкочевиднойоперациисравненияграницуказанныхинтервалов,являющихсявещественнымичислами.Теорема2.Длятогочтобыдваинтервалаибылинесравнимыповеличине(поотношениюили),т.е.ненаходилисьвотношенииили,необходимоидостаточновыполненияусловий. (11)Интервалыинесравнимыпоотношениям, толькотогда,когдаодинизнихполностьюнакрываетдругой.Смыслпредложения2втом,чтооновыявляетсуществованиеслучаевнесравнимостиинтерваловпоотношениям

и,вотличиеотвещественныхчисел,которыевсегдасравнимыпоэтимотношениям.Несравнимостьнекоторыхинтервалов‬естественныйрезультаттого,чтоинтервальныечисла,вотличиеотобычныхвещественныхчисел,задаютсянеточно,аснеопределенностью(числопринимаетнекотороезначениевзаданноминтервале,ноприэтомнеуточняется,какоеименноэтозначение).Будемрассматриватьтеперьсистемунесколькихинтервалов (12)Сравнениепоотношениямвеличининтерваловуказаннойсистемы(12),рассматриваемыхкакинтервальныечисла,реализуетсяврезультатепопарногосравненияуказанныхинтервалов,выполняемоговсоответствиистеоремами1, 2. Главныерезультаты,получаемыеэтимпутем,содержатсявнижеследующихтеоремахи4.Теорема3.Длятогочтобывсистеменесколькихинтервалов(12)существовалмаксимальныйинтервал,которыйнаходитсясовсемиостальнымиинтерваламивотношении,иэтиминтерваломявлялся, необходимоидостаточно,чтобыграницыэтогоинтервалабылирасположеныотносительноодноименныхграницвсехостальныхинтерваловсогласноусловиям. (13)Теорема4.Длятогочтобывсистеменесколькихинтервалов(12)существовалминимальныйинтервал,которыйнаходитсясовсемиостальнымиинтерваламивотношении,иэтиминтерваломявлялся, необходимоидостаточно,чтобыграницырассматриваемогоинтервалабылирасположеныотносительноодноименныхграницвсехостальныхинтерваловпоусловиям. (14)Какпоказываюттеоремы,4,интервалявляетсямаксимальным(минимальным) всистемеинтерваловтолькотогда,когдамаксимальны(минимальны)егонижняяграница‬срединижнихграницвсехинтерваловиеговерхняяграница‬средиверхнихграницвсехинтервалов.Подобнослучаюсравнениядвухинтервалов,сравнениелюбогочислаинтерваловсистемыневыявитмаксимального(минимального)интервала,еслиинтервалы,входящиевсистему,попарнонесравнимы.Досихпормыимеливвидупроцедурывыделения,вообщеговоря,нестрогомаксимального(нестрогоминимального)интервала,основанныенатеоретикомножественныхоперациях(8)длявычислениянестрогогомаксимума(нестрогогоминимума)двухинтервалов.Аналогичноэтомувводятсяпроцедурывыделениястрогомаксимального(строгоминимального)интервала,т.е.единственногоинтервала,являющегосямаксимальным(минимальным).Будемсчитатьсовпадающиеинтервалыравнымипоопределению,т.е.дляинтервалови, взятыхпроизвольно,условиеихравенствавводитсятакимобразом:. (15)Изформулы(15)следует,чтонеравнымиявляютсяинтервалы,удовлетворяющиеусловию. (16)Теперьопределениетого,чтонекоторыйинтервалявляетсястрогомаксимальнымиздвухинтерваловможнозаписатьввиде, (17)аналогичнымобразом,определениетого,чтоинтервалявляетсястрогоминимальнымиздвухинтерваловзаписываетсяввиде. (18)Здесь,‬теоретикомножественныеоперации(8)вычислениямаксимумаиминимумадвухинтервалов.Изформулировкиусловий(17),(18)сравнимостиинтерваловкакстрогихнеравенствмеждунимиможновывестиразличныеконструктивныеформыэтихусловий,удобныедляпрактическогоприменения.Этиформысодержатсявследующихпредложениях5‬8,которыеподобныпредложениям1‬4,дающимудобныеконструктивныеформысравнимостиинтерваловввиденестрогихнеравенств.Теорема5.Длятогочтобыдваинтервалабылисравнимыповеличинеинаходилисьвотношении,необходимоидостаточновыполненияусловий, (19)адлятогочтобыэтиинтервалыбылисравнимыповеличинеинаходилисьвотношении,необходимоидостаточновыполненияусловий. (20)Изданнойтеоремывытекает,чтоинтервалы

исравнимыповеличине(поотношениюили)инаходятсявуказанномотношениитолькотогда,когдавтомжеотношениинаходятсяихнижниеграницы(приэтомверхниеграницынаходятсявсоответствующемнестрогомотношении‬дляэто,адляэто)илиихверхниеграницы(приэтомнижниеграницынаходятсявсоответствующемнестрогомотношении).Теорема6.Длятогочтобыдваинтервалаибылинесравнимыповеличине(поотношениюили),т.е.ненаходилисьвотношенииили,необходимоидостаточновыполненияусловий. (21)Итак,интервалыинесравнимыпоотношениям,тольковтехслучаях,когдаодинизнихполностью©накрываетªдругойлибокогдаинтервалыравнымеждусобой.Значениетеоремы6втом,чтоонапоказываетсуществованиеслучаевнесравнимостиинтерваловпоотношениямидажетогда,когдасравниваемыеинтервалынеравнымеждусобой,атолько©накрываютªодиндругой.Этаситуациясущественноотличаетсяотситуациисосравнениемвещественныхчисел,гденеравныечиславсегдасравнимыпоотношениями.Рассмотримтеперьсистемунесколькихинтервалов(12).Сравнениепоотношениямивеличининтерваловсистемы(12),рассматриваемыхкакинтервальныечисла,реализуетсяпутемпопарногосравненияэтихинтервалов,всоответствиистеоремами5и6.Основныерезультатыполучаемыеэтимпутем,изложенывнижеследующихтеоремах7, 8.Теорема7.Длятогочтобывсистемеизнесколькихинтервалов(12)существовалмаксимальныйинтервал,которыйнаходитсясовсемиостальнымиинтерваламивотношении,иэтиминтерваломявлялся, необходимоидостаточно,чтобыграницыэтогоинтервалабылирасположеныотносительноодноименныхграницвсехостальныхинтерваловсогласноусловиям. (22)Теорема8.Длятогочтобывсистемеизнесколькихинтервалов(12)существовалминимальныйинтервал,которыйнаходитсясовсемиостальнымиинтерваламивотношении,иэтиминтерваломявлялся, необходимоидостаточно,чтобыграницыданногоинтервалабылирасположеныотносительноодноименныхграницвсехостальныхинтерваловсогласноусловиям. (22)4.Решениезадачианализаповеденияинтервальнойфункции.Основныетеоремыиалгоритм.Впредыдущемпунктемыизложиливспомогательныйдлязадачианализаповеденияинтервальнойфункцииматериал,связанныйсосравнениеминтервальныхвеличин.Теперьмызаймемсясобственноанализомповеденияинтервальныхфункций.Рассмотримпроизвольнуюинтервальнуюфункцию(2).Предположим, этафункциязаданавразделенномвиде(5),(6).Этонеограничиваетобщностирассмотрения,таккакфункция,заданнаявнеразделенномвиде,всегдаможетбытьприведенакразделенномувиду(см.п.).Будемтакжесчитать, чтонижняяиверхняяграничныефункциинашейинтервальнойфункциинепрерывныидифференцируемы.Сформулируемусловия,прикоторыхзаданнаяфункциявозрастает,убывает,остаетсяпостоянной,достигаетмаксимума(минимума),ведетсебяиным,отличнымотуказанных,способом.Поаналогиисобычными(детерминированными)функциями[1]введемпонятиявозрастания,убывания,постоянства,максимумаиминимумаинтервальнойфункции.Определение1.Интервальнаяфункцияназываетсявозрастающейнаинтервале,еслидлялюбыхиизданногоинтервала,длякоторых,выполняетсянеравенство.Определение2.Интервальнаяфункцияназываетсяубывающейнаинтервале,еслидлялюбыхиизданногоинтервала,длякоторых, выполняетсянеравенство.Определение.Интервальнаяфункция

являетсяпостояннойнаинтервале,еслидлялюбыхиизупомянутогоинтервала,длякоторых, выполняетсянеравенство.Определение4.Точканазываетсяточкоймаксимумаинтервальнойфункции,ачисло‬максимумомуказаннойфункции,еслидлявсехточекизнекоторойокрестноститочки,несовпадающихс,истиннострогоенеравенство.Определение5.Точканазываетсяточкойминимумаинтервальнойфункции,ачисломинимумомэтойфункции,еслидлявсехточекизнекоторойокрестноститочки,несовпадающихс,выполняетсястрогоенеравенство.Введемтеперьпонятиярасширенияисуженияинтервальнойфункции,которыенеприменимыкобычным(детерминированным)функциям.Определение6.Интервальнаяфункцияназываетсярасширяющейсянаинтервале,еслидлялюбыхточекиизэтогоинтервала,длякоторых,интервалполностьюнакрываетинтервал.Определение7.Интервальнаяфункцияназываетсясужающейсянаинтервале,еслидлялюбыхиизуказанногоинтервала,длякоторых, интервалполностьюнакрываетинтервал.Определение8.Точка

называетсяточкоймаксимальногорасширенияинтервальнойфункции,ачисло‬максимальнойширинойуказаннойфункции,еслидлявсехточекизнекоторойокрестноститочки,несовпадающихс,интервалполностью©накрываетªинтервал.Определение9.Точкубудемназыватьточкоймаксимальногосуженияинтервальнойфункции,ачисло‬минимальнойширинойфункции,еслидлявсехточекнекоторойокрестноститочки,несовпадающихс,интервалполностьюнакрывает.Сформулируемидокажемусловия,которыеопределяюттоилииноеповедениеинтервальнойфункции.Теорема9.Длятогочтобыинтервальнаяфункциябыланаинтервале, необходимоидостаточно,чтобынауказанноминтервалееенижняяграничнаяфункциябылавозрастающей,аверхняяграничнаяфункция‬неубывающейлибо,наоборот,функциябылавозрастающей,афункция‬неубывающей.Доказательство.Представимфункциювинтервальнойформе(5): .Возрастаниеэтойфункциинаинтервалесогласноопределению(1)означает,чтодлялюбыхизэтогоинтервала,таких,что,выполняетсянеравенство,которое,согласнотеореме5,приводиткдвумвозможнымвариантам:.Итак,верноодноиздвух:либонаинтерваленижняяграничнаяфункцияинтервальнойфункциивсюдуявляетсявозрастающей,аееверхняяграничнаяфункция‬неубывающейлибонаоборот,являетсявозрастающей,а‬неубывающей,чтоитребовалосьдоказать.Теорема10.Длятогочтобыинтервальнаяфункциябылаубывающейнаинтервале,необходимоидостаточно,чтобынаэтоминтервалееенижняяграничнаяфункцияубывала,аверхняяграничнаяфункция‬невозрасталалибо,наоборот,функциябылаубывающей,афункция‬невозрастающей.Доказательствоаналогичнодоказательствутеоремы9,однакоиспользуетопределение2вместоопределения1.Теорема11.Длятогочтобыинтервальнаяфункциябылапостояннойнаинтервале,необходимоидостаточно,чтобынаэтоминтервалееенижняяиверхняяграничныефункциибылипостоянными.Доказательствоследуетпрямоизопределенияинтервалакакмножествавсехвещественныхчиселмеждузаданнымидвумячислами‬границамиинтервала,включаяисамиэтиграницы.Теорема12.Длятогочтобыточкабылаточкоймаксимумаинтервальнойфункции,ачисло‬максимумомэтойфункции,необходимоидостаточно,чтобывэтойточкедостигаламаксимумаеенижняяграничнаяфункцияинедостигаламинимумаееверхняяграничнаяфункцияилидостигаламаксимумаееверхняяграничнаяфункцияинедостигаламинимумаеенижняяграничнаяфункция.Доказательство.Представимфункциювинтервальнойформе(5): .Существованиемаксимумаэтойфункциивточкепоопределению4означает,чтодлявсехточекизнекоторойокрестноститочки,несовпадающихс,выполняетсянеравенствоили,винтервальнойформе.Последнеенеравенство,согласнотеореме5,эквивалентноусловию.Условиялевойскобкипоказывают,чтовточкефункцияобращаетсявмаксимум,афункциянеобращаетсявминимум.Условияжеправойскобкипоказывают,чтовточкефункцияобращаетсявмаксимум, афункциянеобращаетсявминимум.Чтоитребовалосьдоказать.Теорема1.Длятогочтобыточкаявляласьточкойминимумаинтервальнойфункции,ачислоявлялосьееминимумом,необходимоидостаточно,чтобывэтойточкедостигаламинимумаеенижняяграничнаяфункцияинедостигаламаксимумаееверхняяграничнаяфункцияили,наоборот,достигаламинимумаверхняяграничнаяфункцияинедостигаламаксимуманижняяграничнаяфункция.Доказательствотеоремы1аналогичнодоказательствутеоремы12,нопривлекаетопределение5.Теорема14.Длятогочтобыинтервальнаяфункциябыларасширяющейсянаинтервале,необходимоидостаточно,чтобынаэтоминтервалебылаубывающейеенижняяграничнаяфункцияибылавозрастающейееверхняяграничнаяфункция.Доказательство.Длялюбыхизинтервала,таких,что,всилурасширенияфункциинаэтоминтерваледолжновыполнятьсятакоеусловие:интервалполностьюнакрываетинтервал.Выражаяэтиинтервалыявновинтервальнойформе,будемиметьусловиенакрытияинтервалов:.Первоенеравенствопоказывает,чтофункцияявляетсяубывающей,второе‬что

‬возрастающая.Чтоитребовалосьдоказать.Теорема15.Длятогочтобыинтервальнаяфункциябыласужающейсянаинтервале,необходимоидостаточно,чтобынаэтоминтервалебылаубывающейееверхняяграничнаяфункцияибылавозрастающейеенижняяграничнаяфункция.Доказательствоаналогичнодоказательствутеоремы14.Теорема16.Длятогочтобыточкабылаточкоймаксимальногорасширенияинтервальнойфункции,ачисломаксимальнойширинойэтойфункции,необходимоидостаточно,чтобывнекоторойокрестноститочкислевафункциябыларасширяющейся,авнекоторойокрестноститочкисправаонабыласужающейся.Теорема17.Длятогочтобыточкабылаточкоймаксимальногосуженияинтервальнойфункции,ачисломинимальнойширинойуказаннойфункции,необходимоидостаточно,чтобывнекоторойокрестноститочкислевафункциябыласужающейся,авнекоторойокрестноститочкисправаонабыларасширяющейся.Доказательстватеорем16,17следуютпрямоизопределений8,9точекмаксимальногорасширенияисуженияинтервальнойфункции.Анализповеденияинтервальнойфункции,какпоказываетизложенныйвэтомпараграфематериал,всегдасводитсяканализуповедениядвухобычныхдетерминированныхфункций:нижнейиверхнейграничныхфункцийфункции.Этопозволяетиспользоватьдляанализаповеденияинтервальныхфункцийхорошоизвестныеиразработанныеметодыанализаповеденияобычных(детерминированных)функций,основанныенаиспользованииклассическогодифференциальногоисчисления[1].Приэтомалгоритманализаповеденияпроизвольнойинтервальнойфункцииможетбытьописанследующимобразом.Шаг1.Проверкаформы,вкоторойзаданаисходнаяинтервальнаяфункция,подлежащаяанализу.Еслиэтаформанеразделенная,т.е.неимеющаявидаинтервала,гдеи‬соответственнонижняяиверхняяграничныефункциизаданнойинтервальнойфункции,топереходкшагу2.Еслионаразделенная,т.е.имеющаяуказанныйвид,топереходкшагу.Шаг2.Приведениефункцииизнеразделенноговидакразделенномуспомощьюбазовыхформулинтервальнойалгебры(7)(пример1).Шаг.Анализповедениянижнейграничнойфункцииинтервальнойфункцииспомощьюизвестныхметодованализаповеденияобычных(детерминированных)функций,наосновеклассическогодифференциальногоисчисления.Входеэтогоанализаустанавливаеминтервалывозрастанияиубыванияфункции,атакжеточкиеемаксимумовиминимумов.Шаг4.Анализповеденияверхнейграничнойфункциинашейинтервальнойфункции.Онвыполняетсятемижеметодамиипотойжепрограмме,чтоипредыдущийшаг.Шаг5.Составлениесводнойтаблицыповеденияобеихграничныхфункций

(табл.1)путемзаполнениявнейпервых3строк,всоответствиисрезультатоманализаповеденияфункций,(шаги,4).Шаг6.Анализэтойтаблицыспомощьютеорем9‬15,позволяющихидентифицироватьпоследовательныеинтервалы

внейкакинтервалывозрастания,убывания,расширенияилисуженияанализируемойинтервальнойфункции, апромежуточныеточкимеждуинтерваламикакточкимаксимума(минимума)функцииилиточкимаксимума(минимума)еерасширенияилисужения.Например,еслинанекотороминтервалефункциявозрастает,анасоседнеминтервалеонаубывает,такчтовточкеонамаксимальна,иприэтомфункциянаобоихинтервалахпостоянная,тосогласнотеоремам9,10,12интервальнаяфункциянаинтервалевозрастает,вточкедостигаетмаксимума,затемнаинтервалеубывает.Послевыполненияшага6заполняютчетвертуюстрокусводнойтаблицыповеденияинаэтоманализповедениязаданнойинтервальнойфункциизаканчивается.Характерныйвозможныйвидчетвертойстрокисводнойтаблицыповеденияинтервальнойфункциипоказанвтабл.1.Порезультатаманализаможновычертитьграфикинтервальнойфункции(рис.1).

6.ЗаключениеВнастоящейстатьеразработанысистематическиеметодырешениязадачрасчетаианализаповедениянедетерминированныхфункцийинтервальноготипа,вкоторыхфункцииопределяютсясточностьюдоинтервалавозможныхзначений.Вкачествематематическогоаппаратаиспользованыинтервальнаяалгебраидифференциальныехарактеристикиверхнейинижнейграницизучаемыхинтервальныхфункций,которыеможнорассматриватькакспециальноедифференциальноеисчислениедлянеточнозадаваемыхфункцийинтервальноготипа.Использованиеразработанныхметодовиматематическогоаппаратапозволилодостичьпоставленнойвработецели‬устранениепротиворечиямеждуновымисложнымизадачамиисуществующими,непригоднымидляихрешенияподходами.

Таблица1





…



монотоннаявозможныйэкстремумf1илиf2монотоннаявозможныйэкстремумf1илиf2монотоннаявозможныйэкстремумf1илиf2монотонная…монотоннаявозможныйэкстремумf1илиf2монотонная

монотоннаявозможныйэкстремумf1илиf2монотоннаявозможныйэкстремумf1илиf2монотоннаявозможныйэкстремумf1илиf2монотонная…монотоннаявозможныйэкстремумf1илиf2монотонная

возрастаниемаксимумубываниеминимумрасширениемаксимальноерасширениесужение…сужениемаксимальноесужениерасширение

Рис.1.

Ссылкинаисточники1.ФихтенгольцГ.М.Курсдифференциальногоиинтегральногоисчисления.Т.1.‬М.:Физматлит,2001.2.ЛевинВ.И.Интервальнаяпроизводнаяиначаланедетерминистскогодифференциальногоисчисления//Онтологияпроектирования.‬2012. ‬№4..МилнВ.Э.Численныйанализ.‬М.:Издательствоиностраннойлитературы,1980.расширениеубываниесужениеПоведениефункцииПоведениефункцииПоведениефункциимакс012436759815324761432





минмаксмаксмаксмаксминминминминмаксмаксубываниеубываниевозрастаниевозрастаниерасширениесужениеубываниевозрастаниевозрастаниеубываниевозрастаниеубываниевозрастаниевозрастаниеубываниевозрастаниеубывание4.АлефельдГ.,ХерцбергерЮ.Введениевинтервальныевычисления.‬М:Мир,1987.5.ЛевинВ.И.Интервальныеметодыоптимизациисистемвусловияхнеопределенности.‬Пенза:ИздвоПензенскоготехнолог.инта,1999.‬101с.6.ЛевинВ.И.Оптимизациявусловияхинтервальнойнеопределенности.Методдетерминизации//Автоматикаивычислительнаятехника.‬2012. ‬№4.7.ЛевинВ.И.Оптимизациявусловияхнеопределенностиметодомдетерминизации//Радиоэлектроника.Информатика.Управление.‬2015. ‬№4(5).8.ВересниковГ.С.Оптимизацияснеопределеннымипараметрами//Управлениеразвитиемкрупномасштабныхсистем.Материалывосьмоймеждународнойконференции.‬М.:ИПУРАН.Т.1.‬2015. 9.ГасановИ.И.,ЕрешкоФ.И.Моделинеопределенностиприуправлениинафинансовыхрынках//Управлениеразвитиемкрупномасштабныхсистем.Материалывосьмоймеждународнойконференции.‬М.:ИПУРАН.Т.1.‬2015.