Диофантовы уравнения второй степени от трёх переменных

К диофантовым уравнениям приводят задачи, по смыслу которых неизвестные значения величин могут быть только целыми числами. Долгое время надеялись отыскать общий способ решения любого диофантова уравнения. Однако в 1970 г. ленинградский математик Ю. В. Матиясевич доказал, что такого общего способа быть не может. Тем не менее, можно найти общие подходы к решению некоторых классов диофантовых уравнений.

В одной из предыдущих статей мы рассматривали решение уравнения

х² + ру²  =z²

где  р, x, y, z ϵ N,  р – простое  число. Была поставлена задача найти решения для более сложного уравнения

х² + kу²  =  z²  (1)

где  k, x, y, zϵ N,  k – свободное от квадратов любое нечётное число. 

Очевидно, что если ‹х, у, z› – решение уравнения (1), то  и любая тройка            ‹lх, lу, lz›,  где  l ϵ N,  также  является решением уравнения (1). Основными мы будем называть те тройки решений, для которых нет ни одного, отличного от единицы, натурального числа, делящего все три числа х, у, z без  остатка. То есть такие, для которых (х, у, z) = 1.

Легко показать, что тогда также выполняются условия

(х, kу) = (z, kу) = (х, z) = 1. (2)

Действительно,  положим, например,  что k|х,  то  есть  х = kх₁.  Имеем,   k² х₁² + kу²  =  z².   Откуда  следует, что   k|z, то есть  z = kz₁, тогда   kх₁² + у²  = kz₁²,  но  тогда  k|у, а  значит (х, у, z) = k≠1,  что противоречит условию (х, у, z)=1. Полученное противоречие доказывает необходимость условия  (х, kу) = 1.  Аналогично можно доказать, что   (z, kу) = (х, z) = 1.

Для  отыскания  решений  уравнения  (1) будем  рассматривать  не  само  уравнение  (1),  а равносильное  ему  уравнение

рy² = (z + x)(z – х),(3)

Таким образом, в результате проведённого исследования были  найдены общие формулы решения диофантова уравненияй второй степени от трёх переменных. На основе полученных решений, можно сделать вывод, что  найденные подходы могут быть использованы к нахождению общих решений близких диофантовых уравнений.