Экспоненциальная характеристика двучленного уравнения второго порядка со стационарным оператором
ART 970711
Авторы:
Я.
С. Крамер, Л.
К. Орлик
Я.
С. Крамер, Л.
К. Орлик Библиографическое описание статьи для цитирования:
Крамер
Я.
С.,
Орлик
Л.
К. Экспоненциальная характеристика двучленного уравнения второго порядка со стационарным оператором // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2017. – Т. 39. – С.
1921–1925. – URL:
http://e-koncept.ru/2017/970711.htm.
Аннотация. Получена оценка роста решений линейного дифференциального уравнения в частных производных со старшим членом. Установлен вид экспоненциальной характеристики двучленного уравнения второго порядка со стационарным оператором. Метод основан на исследовании решений операторных уравнений специального вида, изучении спектра операторного коэффициента.
Ключевые слова:
экспоненциальная характеристика, банахово пространство, дифференциальные уравнения в частных производных, операторные уравнения, спектр оператора
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Текст статьи
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(1)
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ݧ(ݢେdzݢୈ)−ࠀ(ݢେ)−ࠂ(ݢୈ)+ࠀ(΄), ɸʇɽɮɱɰɱɸ ɯɼɬɹɴʃɹʇɱ ɿɽɷɺɮɴʋ ɶ ɹɿɷɱɮʇɸ. ɛɼɴ ʉɾɺɸ ɷɱɮɿʊ ʃɬɽɾʈ ɿɼɬɮɹɱɹɴʋ ɸɺɲɹɺ ɽʃɴɾɬɾʈ ɹɱɴɳɸɱɹɹɺɵ, ɬ ɶ ɻɼɬɮɺɵ ʃɬɽɾɴ ɻɼɴɭɬɮɴɾɽʋ ɮʇɼɬɲɱɹɴɱܵࠀ(ݢୈ)+ܵࠂ(ݢୈ)−ܵࠀ(΄),ɶɺɾɺɼɺɱ ɹɱ ɴɳɸɱɹɴɾ ɻɺɼʋɰɺɶ ʉɶɽɻɺɹɱɹʂɴɬɷʈɹɺɯɺ ɼɺɽɾɬ ɻɼɬɮɺɵ ʃɬɽɾɴ, ɱɽɷɴ
ࠀ(ݢେ)˝ࠂ(ݢୈ)ɴɸɱʊɾɽɺɺɾɮɱɾɽɾɮɿʊʅɴɵ ɻɺɼʋɰɺɶ ɼɺɽɾɬ. Ɏ ɽɴɷɿ ʉɾɺɯɺ ɳɬɸɱʃɬɹɴʋ ɸɺɲɹɺ ɽ ɽɬɸɺɯɺ ɹɬʃɬɷɬ ɽʃɴɾɬɾʈ, ʃɾɺ ɿɼɬɮɹɱɹɴɱ (1)ɼɬɽɽɸɬɾɼɴɮɬɱɾɽʋ ɻɼɴ ɹɿɷɱɮʇʁ ɯɼɬɹɴʃɹʇʁ ɿɽɷɺɮɴʋʁ:ݧ(ݢେdz΄)=΄dzݧ(΄dzݢୈ)=΄
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(2).ɐɷʋ ʃɬɽɾɹɺɯɺ ɽɷɿʃɬʋ߫େ=߫ୈ,߬େ=߬ୈ.ɐɷʋɻɼɺɽɾɺɾʇ ɴɳɷɺɲɱɹɴʋ ɽɹɬʃɬɷɬɭɿɰɱɸ ɻɺɷɬɯɬɾʈ, ʃɾɺ
߫େ=߫ୈ=߫େ=߫=΄.ɞɼɱɭɺɮɬɹɴɱ߫େ=߫ୈɹɱ ɿɸɱɹʈʄɬɱɾ ɺɭʅɹɺɽɾɴ, ɾɬɶ ɶɬɶ ʉɾɺɯɺ ɸɺɲɹɺ ɰɺɭɴɾʈɽʋ ɽ ɻɺɸɺʅʈʊ ɳɬɸɱɹʇ ɹɱɳɬɮɴɽɴɸʇʁ ɻɱɼɱɸɱɹɹʇʁ. ɔɾɬɶ, ɻɿɽɾʈ ɻɼɬɮɬʋ ʃɬɽɾʈ ݔ ɻɼɺɭɱɯɬɱɾ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺܷܹdz.ɛɼɺɴɹɾɱɯɼɴɼɿɱɸ ɺɭɱ ʃɬɽɾɴ ɿɼɬɮɹɱɹɴʋ (1)ɻɺ ݢେdzݢୈɽɺɺɾɮɱɾɽɾɮɱɹɹɺ, ɮ ɴɹɾɱɼɮɬɷɬʁቐ݃dzݢେቑɴቐ݃dzݢୈቑ. ɟʃɴɾʇɮɬʋɿɽɷɺɮɴʋ (2), ɻɺɷɿʃɴɸ ʉɶɮɴɮɬɷɱɹɾɹɺɱ ɺɻɱɼɬɾɺɼɹɺɱ ɿɼɬɮɹɱɹɴɱ:ݧ−݇େ݇ୈܵݧ=݇େ݇ୈݔ
ɯɰɱ S1, S2Ãɺɻɱɼɬɾɺɼʇ ɴɹɾɱɯɼɴɼɺɮɬɹɴʋ: ݇େݔ(ݢେdzݢୈ)=සݔ(ݡେdzݡୈ)௹ݒݡେ݇ୈݔ(ݢେdzݢୈ)=සݔ(ݢେdzݡୈ)௹ݒݡୈ
Ɏ P9R ɭʇɷɺ ɻɺɶɬɳɬɹɺ, ʃɾɺ ɼɱʄɱɹɴɱ ʉɾɺɯɺ ɿɼɬɮɹɱɹɴʋ ɸɺɲɹɺ ɳɬɻɬɽɬɾʈ ɮ ɮɴɰɱ ɰɮɺɵɹɺɯɺ ɶɺɹɾɿɼɹɺɯɺ ɴɹɾɱɯɼɬɷɬ:ݧ=(େୈ೦)ୈ(ܽ−ߵେ݇େ)େ݇େ(ܽ−ߵୈ݇ୈ)େ݇ୈ(ܵ−ߵେߵୈܽ)େݔݒߵେݒߵୈజ2జ1
(3)ɓɰɱɽʈ ɶɺɹɾɿɼ ɮɹɿɾɼɱɹɹɱɯɺ ɴɹɾɱɯɼɴɼɺɮɬɹɴʋ߭ୈÃɻɼɺɴɳɮɺɷʈɹʇɵ, ɺɶɼɿɲɬʊʅɴɵ "0", ɬ ɶɺɹɾɿɼ ɹɬɼɿɲɹɺɯɺ ɴɹɾɱɯɼɴɼɺɮɬɹɴʋ߭େɰɺɷɲɱɹ ɺɶɼɿɲɬɾʈ ɽɻɱɶɾɼ ɽɱɸɱɵɽɾɮɬ ɺɻɱɼɬɾɺɼɺɮ
ௌత2, ɶɺɯɰɬߵୈɻɼɺɭɱɯɬɱɾ ɮɱɽʈ ɶɺɹɾɿɼ ߭ୈǶɎ ɶɬʃɱɽɾɮɱ ɾɬɶɴʁ ɶɺɹɾɿɼɺɮ ɸɺɲɹɺ ɮɳʋɾʈ ɺɶɼɿɲɹɺɽɾɴ ɰɺɽɾɬɾɺʃɹɺ ɭɺɷʈʄɺɯɺ ɼɬɰɴɿɽɬ; ɺɰɹɬɶɺ, ɻɺɽɶɺɷʈɶɿ ɸʇ ɽɾɼɱɸɴɸɽʋɺʂɱɹɴɾʈ ɼɺɽɾ ɼɱʄɱɹɴʋ ɹɬɴɭɺɷɱɱ ɾɺʃɹɺ, ɸʇ ɮʇɭɱɼɱɸ ɮ ɶɬʃɱɽɾɮɱ
߭େdz߭ୈɰɿɯɴ ɾɬɶɴʁ ɺɶɼɿɲɹɺɽɾɱɵ, ɽɾʋɹɿɾʇɱ ʁɺɼɰɬɸɴ, ɷɱɲɬʅɴɸɴ ɮ ɻɼɬɮɺɵ ɻɺɷɿɻɷɺɽɶɺɽɾɴ:݆ݓߵେ=߮େ,݆ݓߵୈ=߮ୈɛɼɴ ʉɾɺɸ߮େdz߮ୈɰɺɷɲɹʇ ɭʇɾʈ ɽɮʋɳɬɹʇ ɿɽɷɺɮɴɱɸ, ʃɾɺ߭େɺʁɮɬɾʇɮɬɱɾ ɽɻɱɶɾɼ ɽɱɸɱɵɽɾɮɬ
ௌత2. ɚʃɱɮɴɰɹʇ ɽɷɱɰɿʊʅɴɱ ʀɺɼɸɿɷʇ:
{(ܽ−ߵେ݇େ)େ݇େݔ=ݓత1(௹1௸1)௹ݔ(ݡେdzݢୈ)ݒݡେ(ܽ−ߵୈ݇ୈ)େ݇ୈݔ=ݓత2(௹2௸2)௹ݔ(ݢେdzݡୈ)ݒݡୈ
(4)
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ɓɹɬʃɴɾ, ɱɽɷɴ ɸʇ ɮʇɭɱɼɱɸ
߮େ>(௪ϐత)2ఝ2, ɾɺ ɶɺɹɾɿɼ ߭େɺʁɮɬɾɴɾ ɸɹɺɲɱɽɾɮɺ ɳɹɬʃɱɹɴɵ తత2.ɐɷʋ ɾɺɯɺ, ʃɾɺɭʇ ʉɾɺɾ ɶɺɹɾɿɼ߭ୈɺʁɮɬɾɴɷ ɽɻɱɶɾɼʇ ɮɽɱʁ ɺɻɱɼɬɾɺɼɺɮௌత2, ɶɺɯɰɬߵୈɻɼɺɭɱɯɬɱɾ
߭ୈ, ɹɿɲɹɺ ʃɾɺɭʇ߮େɿɰɺɮɷɱɾɮɺɼʋɷɺ ɹɱɼɬɮɱɹɽɾɮɿ
߮େ>ݡݣݞ(ܵ)(݆ݓϐߵ)ୈ߮ୈdzɯɰɱ ʃɱɼɱɳ
(ܵ)ɺɭɺɳɹɬʃɱɹ ɽɻɱɶɾɼ ɺɻɱɼɬɾɺɼɬ ܵ. ɩɾɺɾ ɽɻɱɶɾɼ ɱɽɾʈɺɯɼɬɹɴʃɱɹɹɺɱ ɳɬɸɶɹɿɾɺɱ ɸɹɺɲɱɽɾɮɺ, ɻɺʉɾɺɸɿ
ݡݣݞɸɺɲɹɺ ɳɬɸɱɹɴɾʈ ɹɬ
ݛݏݦ. ɛɺɷɿʃɴɸ ߮େ߮ୈ>ݛݏݦఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈɑɽɷɴ ɾɱɻɱɼʈ ɿʃɱɽɾʈ ʀɺɼɸɿɷʇ (4),(3)ɾɺ ɸʇ ɻɼɴɮɱɰɱɸ ɶ ɽɷɱɰɿʊʅɱɸɿ ɼɱɳɿɷʈɾɬɾɿ.ɛɿɽɾʈ ɮ ɶɼɬɱɮɺɵ ɳɬɰɬʃɱ(1) (2)ɻɼɬɮɬʋ ʃɬɽɾʈ
ݔ(ݢେdzݢୈ)
ɻɼɺɭɱɯɬɱɾ ɸɹɺɲɱɽɾɮɺ ɺɯɼɬɹɴʃɱɹɹʇʁ ʀɿɹɶʂɴɵ:ݡݣݞԳݔ(ݢେdzݢୈ)Գ<ύɐɷʋ ɾɺɯɺ, ʃɾɺɭʇ ɮɽɱ ɼɱʄɱɹɴʋ ݧ(ݢେdzݢୈ)ݧ(ݢ΅dzݢΆ)
ɶɼɬɱɮɺɵ ɳɬɰɬʃɴ ɿɰɺɮɷɱɾɮɺɼʋɷɴ ɹɱɼɬɮɱɹɽɾɮɿԳݧ(ݢେdzݢୈ)Գ≤ܸݓఛ1௹1ఛ2௹2
(߬େ=߬ୈ
ɻɺɽɾɺʋɹɹʇ,ܸ=ܸ௫)ɰɺɽɾɬɾɺʃɹɺ, ʃɾɺɭʇ ɮʇɻɺɷɹʋɷɺɽʈ ɿɽɷɺɮɴɱ
߬େ߬ୈ>¡•¬ఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈ
(5)
ɛɿɽɾʈ ɾɱɻɱɼʈ ɻɼɬɮɬʋ ʃɬɽɾʈ ݔ(ݢେdzݢୈ) ɶɼɬɱɮɺɵ ɳɬɰɬʃɴ (1) (2)
ɻɼɺɭɱɯɬɱɾ ɻɼɺɴɳɮɺɷʈɹɺɱ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺ ܷܹచ1dzచ2ɠɺɼɸɿɷʇ (4)ɰɬʊɾ ɮɺɳɸɺɲɹɺɽɾʈ ɺʂɱɹɴɾʈ ʉɶɽɻɺɹɱɹʂɴɬɷʈɹʇɵ ɼɺɽɾ ɮʇɼɬɲɱɹɴɵ.(ܽ−ߵେ݇େ)େ݇େݔɴ (ܽ−ߵୈ݇ୈ)େ݇ୈݔɛɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɬ ɽɺɮɺɶɿɻɹɺɽɾɱɵɼɱʄɱɹɴɵɮ ɳɬɮɴɽɴɸɺɽɾɴ ɺɾ ɽɺɺɾɹɺʄɱɹɴʋ ɸɱɲɰɿ߫େdz߬େdz߫ୈdz߬ୈɻɼɱɰɽɾɬɮɷɱɹʇ ɮ ɾɬɭɷɴʂɱ 1.ɞɬɭɷɴʂɬ 1
࣍૬dz࣎૬࣍૭dz࣎૭ɛɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺ ɽɺɮɺɶɿɻɹɺɽɾɴ ɼɱʄɱɹɴɵ߫େ<߬େ߫ୈ<߬ୈܷܹఛ1dzఛ2
߫େ<߬େ߫ୈ>߬ୈ
ܷܹఛ1dzచ2
߫େ>߬େ߫ୈ<߬ୈܷܹచ1dzఛ2߫େ>߬େ߫ୈ>߬ୈ
ܷܹచ1dzచ2߫େ<߬େ߫ୈ=߬ୈ
ܷܹఛ1dzచ2ఞdz
߯>΄߫େ=߬େ߫ୈ<߬ୈ
ܷܹచ1ఞdzఛ2dz
߯>΄߫େ=߬େ߫ୈ=߬ୈܷܹచ1ఞdzచ2ఞdz߯>΄Ɏɽɱ ʉɾɴ ɼɱɳɿɷʈɾɬɾʇ ɴɸɱʊɾ ʁɬɼɬɶɾɱɼ ɰɺɽɾɬɾɺʃɹʇʁ ɿɽɷɺɮɴɵ, ɶɺɾɺɼʇɸ ɰɺɷɲɹʇ ɿɰɺɮɷɱɾɮɺɼʋɾʈ ʃɴɽɷɬ
߬େ߬ୈɰɷʋ ɾɺɯɺ, ʃɾɺɭʇ ɴɳݔّܷܹచ1dzచ2ɽɷɱɰɺɮɬɷɺݧّܷܹఛ1dzఛ2. ɘʇ ɰɺɶɬɲɱɸ, ʃɾɺ ʉɾɴ ɿɽɷɺɮɴʋ ɹɱ ɾɺɷʈɶɺ ɰɺɽɾɬɾɺʃɹʇ, ɹɺ ɴ ɹɱɺɭʁɺɰɴɸʇ.ɐɷʋ ɻɺɷɿʃɱɹɴʋ ʉɾɺɯɺ ɭɺɷɱɱ ɾɺɹɶɺɯɺ ɼɱɳɿɷʈɾɬɾɬ ɸʇ ɮɺɽɻɺɷʈɳɿɱɸɽʋ ɺɰɹɴɸ ɻɼɱɰɷɺɲɱɹɴɱɸ /ɷɱɸɸɺɵ/, ɶɺɾɺɼɺɱ ɻɼɴɹɬɰɷɱɲɴɾ ɘ. Ɍ. ɜɿɾɸɬɹɿ ɴ ɻɼɴɮɱɰɱɹɺ ɮ P9].ɛɼɴɸɱɹɴɾɱɷʈɹɺ ɶ ɹɬʄɱɸɿ ɽɷɿʃɬʊ ʉɾɺ ɻɼɱɰɷɺɲɱɹɴɱ ɽɺɽɾɺɴɾ ɮ ɽɷɱɰɿʊʅɱɸ.ɜɬɽɽɸɺɾɼɴɸ ɺɻɱɼɬɾɺɼ Ãʀɿɹɶʂɴʊϑ=ϑ(ߵେdzߵୈ)=(ܽ−ௌత1త2)େ
(6)ɛɬɼɿ ʃɴɽɱɷ (ߵେdzߵୈ)ɹɬɳɺɮɱɸ ɼɱɯɿɷʋɼɹɺɵɾɺʃɶɺɵ, ɱɽɷɴ(ߔɽɿʅɱɽɾɮɿɱɾ ɴ ʋɮɷʋɱɾɽʋ ɺɯɼɬɹɴʃɱɹɹʇɸ ɺɻɱɼɬɾɺɼɺɸ ɮ ܹ. Ɏɻɼɺɾɴɮɹɺɸ ɽɷɿʃɬɮ (ߵେdzߵୈ)ɹɬɳɺɮɱɸ ɺɽɺɭɺɵɾɺʃɶɺɵ.ɑɽɷɴ (ߵେdzߵୈ)ɶɬɶɬʋɷɴɭɺ ɺɽɺɭɬʋ ɾɺʃɶɬ, ɶɺɾɺɼɬʋ ʋɮɷʋɱɾɽʋ ɻɼɱɰɱɷʈɹɺɵ ɰɷʋ ɸɹɺɲɱɽɾɮɬ ɼɱɯɿɷʋɼɹʇʁ ɾɺʃɱɶ, ɾɺ ɷɴɭɺ ɽɿʅɱɽɾɮɿɱɾ ݦࠅܹ, ԳݦԳ=΅ɾɬɶɺɱ, ʃɾɺ(ܽ−ܵߵେߵୈ)େݦ==త1త2(త1త10)(త2త20)ݦ−(ܽ−ௌత1త2)େௌత10dzత20(త1త1త10+త2త2త20)ݦ
(7)
ɷɴɭɺ ɽɿʅɱɽɾɮɿʊɾ ɰɮɱ ɻɺɽɷɱɰɺɮɬɾɱɷʈɹɺɽɾɴ:
ݦ௳ࠅܹ,Գݦ௳Գ=΅,ݎ௳ࠅܹ,ݎ௳ծ΄ɾɬɶɴɱ,ʃɾɺ
(ܽ−ܵߵେߵୈ)େݦ௳==త1త2(త1త10)(త2త20)ݦ௳−(ܽ−ௌత1త2)େௌత10dzత20(త1త1త10+త2త2త20)ݦ௳+ ݎ௳
(8)
ɓɬɸɱɾɴɸ, ʃɾɺ ɮ ɰɬɹɹɺɵ ɽɷɿʃɬɱ ɺɽɺɭʇɱ ɾɺʃɶɴ(ߵେdzߵୈ)ɾɱ ɴ ɾɺɷʈɶɺ ɾɱ, ɰɷʋ ɶɺɾɺɼʇʁ ɻɼɺɴɳɮɱɰɱɹɴɱ ߵେߵୈ ʋɮɷʋɱɾɽʋ ɾɺʃɶɺɵ ɽɻɱɶɾɼɬ ɺɻɱɼɬɾɺɼɬ ܵ.ɑɽɷɴߵ
ɯɼɬɹɴʃɹɬʋ ɾɺʃɶɬ ɽɻɱɶɾɼɬܵ, ɾɺ ɱɽɾʈɮ ɻɼɺɴɳɮɺɷʈɹɺɵ ɱɱ ɺɶɼɱɽɾɹɺɽɾɴ ɴɸɱʊɾɽʋ ɼɱɯɿɷʋɼɹʇɱ ɾɺʃɶɴܵ, ɾɺ ɺɽɺɭɬʋ ɾɺʃɶɬ(ߵେdzߵୈ)ɺɻɱɼɬɾɺɼʀɿɹɶʂɴɴϑdzɾɬɶɬʋ, ʃɾɺ ߵେߵୈ=ߵ ʋɮɷʋɱɾɽʋ ɻɼɱɰɱɷʈɹɺɵ ɰɷʋ ɸɹɺɲɱɽɾɮɬ ɼɱɯɿɷʋɼɹʇʁ ɾɺʃɱɶ ɺɻɱɼɬɾɺɼ ʀɿɹɶʂɴɴϑ.ɘʇ ɰɺɶɬɲɱɸ, ʃɾɺ ɽʀɺɼɸɿɷɴɼɺɮɬɹɹʇɱɮʇʄɱɼɱɳɿɷʈɾɬɾʇ, ʋɮɷʋʊɾɽʋ ɾɺʃɹʇɸɴ.Ɏɺ ɮɽɱʁ ɻɱɼɱʃɴɽɷɱɹɹʇʁ ɽɷɿʃɬʋʁ ɼɬɽɽɿɲɰɱɹɴʋ ɭɿɰɿɾ ɻɼɺɮɺɰɴɾʈɽʋ ɻɺ ɺɰɹɺɸɿ ɴ ɾɺɸɿ ɲɱ ɻɷɬɹɿ. ɛɺʉɾɺɸɿ ɸʇ ɺɯɼɬɹɴʃɴɸɽʋ ɷɴʄʈɺɰɹɴɸ ʁɬɼɬɶɾɱɼɹʇɸ ɽɷɿʃɬɱɸ. ɛɿɽɾʈȧ1ȧ2≤¡•¬ఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈ
(9)ɜɬɽɽɸɺɾɼɴɸ ɽɷɿʃɬɵ, ɶɺɯɰɬ ɴɸɱɱɾ ɸɱɽɾɺ ɽɾɼɺɯɺɱ ɹɱɼɬɮɱɹɽɾɮɺ:
ȧ1ȧ2<¡•¬ఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈ
(9È)
ɐɺɶɬɲɱɸ, ʃɾɺ ɻɼɴ ɳɬɰɬɹɹʇʁ߫େdz߫ୈ,ɹɬɻɼɴɸɱɼ,߫େ=΄dz߫ୈ=΄,ɾɺ ɱɽɾʈɻɼɴ ݔ(ݢେdzݢୈ),ɻɼɺɭɱɯɬʊʅɱɸ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɱܷܹdz,ɸɹɺɲɱɽɾɮɺ ɼɱʄɱɹɴɵ
{ݧ(ݢେdzݢୈ)}ɶɼɬɱɮɺɵ ɳɬɰɬʃɴ (1) (2) ɹɱ ɻɺɶɼʇɮɬɱɾɽʋ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺɸ ܷܹఛ1dzఛ2
. ɔɳ (9)ɽɷɱɰɿɱɾ, ʃɾɺ ɮ ɽɻɱɶɾɼɱ ɺɻɱɼɬɾɺɼɬ ܵɹɬɵɰɱɾɽʋ ɾɬɶɬʋɯɼɬɹɴʃɹɬʋ (ɰɷʋ ɽɻɱɶɾɼɬ)ɾɺʃɶɬ ߵɴ ɾɬɶɴɱ ɽɺɸɹɺɲɴɾɱɷɴ ߵେdzߵୈ, ʃɾɺ ߵେߵୈ=ߵ; (ߵେdzߵୈ)
ɺɽɺɭɬʋ ɾɺʃɶɬ ɺɻɱɼɬɾɺɼ ʀɿɹɶʂɴɵ ϑ(ߵେdzߵୈ) ; (ߵେdzߵୈ) Ã ɻɼɱɰɱɷʈɹɬʋ ɾɺʃɶɬ ɰɷʋ ɸɹɺɲɱɽɾɮɬ ɼɱɯɿɷʋɼɹʇʁ ɾɺʃɱɶ ʉɾɺɵ ɺɻɱɼɬɾɺɼʀɿɹɶʂɴɴ݆ݓߵେ>߬େdz݆ݓߵୈ>߬ୈ.ɛɼɴɸɱɹɴɸ ɶ ʉɾɺɵ ɺɽɺɭɺɵ ɾɺʃɶɱ ɷɱɸɸɿ1ɴɳ P10R, ɻɼɴʃɱɸ ɺɯɼɬɹɴʃɴɸɽʋɰɷʋ ɻɼɺɽɾɺɾʇ ɽɷɿʃɬɱɸ (7). Ɏʇɭɱɼɱɸ ɮ ɶɬʃɱɽɾɮɱ ɻɼɬɮɺɵʃɬɽɾɴݔ(ݢେdzݢୈ) ɻɺɽɾɺʋɹɹʇɵ ʉɷɱɸɱɹɾ ݦɴɳ (7).ɛɺɰɽɾɬɮɷʋʋ ɳɹɬʃɱɹɴʋ(ܽ−ௌత1త2)େݦ ɴɳ(7)ɮ ʀɺɼɸɿɷɿ (3), ɻɺɷɿʃɴɸ:
ݧ=−(΅Άߺݗ)ୈ(ܽ−ߵେ݇େ)େ݇େ(ܽ−ߵୈ݇ୈ)େ݇ୈߵେߵୈ(ߵେ−ߵେ)(ߵୈ−ߵୈ)−జ2జ1−(ܽ−ܵߵେߵୈ)େܵߵେdzߵୈ(ߵେߵେ−ߵେ+ߵୈߵୈ−ߵୈ)ݦݒߵେߵେݒߵୈߵୈ=ݧେ+ݧୈɯɰɱݧେ=−(΅Άߺݗ)ୈ(ܽ−ߵେ݇େ)େ݇େ(ܽ−ߵୈ݇ୈ)େ݇ୈజ2జ1ߵେߵୈ(ߵେ−ߵେ)(ߵୈ−ߵୈ)ݦݒߵେߵେݒߵୈߵୈ==(ܽ−ߵେ݇େ)େ݇େ(ܽ−ߵୈ݇ୈ)େ݇ୈݦ
ݧୈ=−(΅Άߺ௮)ୈ(ܽ−ߵେ݇େ)େ݇େ(ܽ−ߵୈ݇ୈ)େ݇ୈజ2జ1(ܽ−ܵߵେߵୈ)େܵߵେdzߵୈππ(ߵେߵେ−ߵେ+ߵୈߵୈ−ߵୈ)ݦݒߵେߵେݒߵୈߵୈɝɷɿʃɬɵ (8)ɹɴɶɬɶɴʁ ɰɺɻɺɷɹɴɾɱɷʈɹʇʁ ɻɼɴɹʂɴɻɴɬɷʈɹʇʁ ɾɼɿɰɹɺɽɾɱɵ ɹɱ ɮʇɳʇɮɬɱɾ.ɟʃɴɾʇɮɬʋ, ʃɾɺ
ۧۨۦۨۥ(ܽ−ߵେ݇େ)େ݇େݔ(ݢେdzݢୈ)
=සݓత1(௹1௸1)௹ݔ(ݡେdzݢୈ)ݒݡେ(ܽ−ߵୈ݇ୈ)େ݇ୈݔ(ݢେdzݢୈ)=සݓత2(௹2௸2)௹ݔ(ݢେdzݡୈ)ݒݡୈ
ɔ ɻɺɷɬɯɬʋ ݔ(ݢେdzݢୈ)=ݦ, ɻɺɷɿʃɴɸ
ݧେ=େత10dzత20(΅−ݓత10௹1)(΅−ݓత20௹2)ݦ (10)
Ɏɧɣɔɝɗɔɘ ɾɱɻɱɼʈ ݧୈ. ɍɱɼʋ ɮ ɶɬʃɱɽɾɮɱ ߭େdz߭ୈ. ɺɶɼɿɲɹɺɽɾɴ ɽ ʂɱɹɾɼɺɸ ɮ »0¼ ɰɺɽɾɬɾɺʃɹɺ ɭɺɷʈʄɴʁ ɼɬɰɴɿɽɺɮ, ɸɺɲɱɸ ɻɴɽɬɾʈ:
త10త1త10=ϕ(త10త1)௶େை௶; త20త2త20=ϕ(త20త2)௵େை௶,
ɴ ɰɬɷɱɱ (ܽ−ߵେ݇େ)େ݇େ=ϕߵେ௳݇େ௳େை௳; (ܽ−ߵୈ݇ୈ)େ݇ୈ=ϕߵୈ௲݇ୈ௲େை௲;(ܽ−ܵߵେߵୈ)େ=ෟ(ܵߵେߵୈ)ୈை௷ɛɺɰɽɾɬɮɷʋʋʉɾɴ ɼɬɳɷɺɲɱɹɴʋɮ ʀɺɼɸɿɷɿ ɰɷʋ ݧୈ,ɴ ɮʇɻɺɷɹʋʋ ɻɺʃɷɱɹɹɺɱ ɴɹɾɱɯɼɴɼɺɮɬɹɴɱ ɽ ɿʃɱɾɺɸ ɾɺɯɺ, ʃɾɺߵ௰ݒߵ={΄ˤ˥˝ݙ≠−΅Άߺݗˤ˥˝ݙ=−΅dzɻɺɷɿʃɬɱɸ ɮɺɳɸɺɲɹɺɽɾʈ ɽɮɱɼɹɿɾʈ ɼʋɰʇ ɽɷɱɰɿʊʅɴɸ ɺɭɼɬɳɺɸ: ݧୈ=(ܽ−݇େ݇ୈܵ)େ݇େ݇ୈ(ܽ−ߵେ݇େ)େߵେ݇େݦ
++(ܽ−݇େ݇ୈܵ)େ݇େ݇ୈ(ܽ−ߵୈ݇ୈ)େߵୈ݇ୈݦ
(11)ɔɳ ʀɺɼɸɿɷ (10), (11)ɷɱɯɶɺ ɻɺɷɿʃɴɾʈ ɾɼɱɭɿɱɸʇɵ ɼɱɳɿɷʈɾɬɾ.ɛɺɮɱɰɱɸ ɰɺɶɬɳɬɾɱɷʈɽɾɮɺ ɺɾ ɻɼɺɾɴɮɹɺɯɺ.ɛɿɽɾʈ ɻɼɴ ɮɽʋɶɺɸ ݔעܷܹdz ɼɱʄɱɹɴɱ
ݧעܷܹఛ1dzఛ2,ɾɺ ɱɽɾʈ
Գݧ(ݢେdzݢୈ)Գ=Գ(ܽ−݇େ݇ୈܵ)େ݇େ݇ୈݔԳ<ܸݓఛ1௹1ఛ2௹2 , ܸ=ܸ௫
(12)ɛɼɴ ݔ=ݦɴɸɱɱɸ:ݧ=ݧେ+ݧୈݧେ=΅ߵେdzߵୈ(΅−ݓత10௹1)(΅−ݓత20௹2)ǴԳݧ(ݢେdzݢୈ)Գݓ௪త10௹1௪త20௹2=΅ȓߵେߵୈȓ΅−ݓత10௹1ݓ௪త10௹1΅−ݓత20௹2ݓ௪త20௹2ɫɽɹɺ, ʃɾɺ Գݧ(ݢେdzݢୈ)Գݓ௪త10௹1௪త20௹2շ΄ˤ˥˝ݢେծύdzݢୈծύɝ ɰɼɿɯɺɵ ɽɾɺɼɺɹʇ,ɻɼɴ ݔ=ݦעܷܹdz ɮɽɷɱɰɽɾɮɴɱ(12)Գ(௹1dz௹2)Գ௪ೕೢജ10ೱ1ైೕೢജ20ೱ2ծ΄ˤ˥˝ݢେծύdzݢୈծύɎ ɾɺ ɲɱ ɮɼɱɸʋԳݧୈ(ݢେdzݢୈ)Գݓ௪త10௹1௪త20௹2ծ΄ˤ˥˝ݢେdzݢୈծύɛɺɽɷɱɰɹɱɱ ɷɱɯɶɺ ɮʇɾɱɶɬɱɾ ɴɳ ʀɺɼɸɿɷʇ (11). ɐɱɵɽɾɮɴɾɱɷʈɹɺ, ɾɬɶ ɶɬɶ ݧ=(ܽ−݇େ݇ୈܵ)େ݇େ݇ୈݦ ,
ɾɺ ݧୈ=(ܽ−ߵେ݇େ)େ݇େݧ
+(ܽ−ߵୈ݇ୈ)େ݇ୈݧ==සݓత10(௹1௸1)௹1ݧ(ݡେdzݢୈ)ݒݡେ+සݓత20(௹2௸2)௹2ݧ(ݢେdzݡୈ)ݒݡୈɠɿɹɶʂɴʋ, ɻɼɴɹɬɰɷɱɲɬʅɬʋ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɿ
ܷܹఛ1dzఛ2dzɺɾ ɻɼɴɸɱɹɱɹɴʋ ɺɻɱɼɬɾɺɼɺɮ (ܽ−ߵେ݇େ)େ݇େ ɴɷɴ (ܽ−ߵୈ݇ୈ)େ݇ୈ ɻɼɱɺɭɼɬɳɿɱɾɽʋ ɮ ʀɿɹɶʂɴʊ ɴɳ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɬ ܷܹ௪త10dzఛ2 ɴɷɴ Cܹఛ1dz௪త20 ɽɺɺɾɮɱɾɽɾɮɱɹɹɺ. ɞɬɶɴɸ ɺɭɼɬɳɺɸ ɼɬɮɱɹɽɾɮɺ
ݧ=ݧେ+ݧୈ,ɽɺɰɱɼɲɴɾ ɻɼɺɾɴɮɺɼɱʃɴɱ:ɱɽɷɴ ɼɬɳɰɱɷɴɾʈ ɺɭɱ ʃɬɽɾɴ ɹɬ ݓ௪త10௹1௪త20௹2 ɴ ɻɺɷɺɲɴɾʈ ݢେdzݢୈծύ,ɾɺ ɷɱɮɬʋ ʃɬɽɾʈ ɴ ɮɾɺɼɺɱ ɽɷɬɯɬɱɸɺɱ ɻɼɬɮɺɵ ʃɬɽɾɴ ɿɽɾɼɱɸʋɾɽʋ ɶ ɹɿɷʊ, ɮ ɾɺɮɼɱɸʋ, ɶɬɶ ɻɱɼɮɺɱ ɽɷɬɯɬɱɸɺɱ ɻɼɬɮɺɵ ʃɬɽɾɴ ɹɱ ɭɿɰɱɾ ɭɱɽɶɺɹɱʃɹɺ ɸɬɷʇɸ.ɜɬɽɽɸɺɾɼɴɸ ɾɱɻɱɼʈ ɽɷɿʃɬɵ, ɶɺɯɰɬ ɮ(9)ɴɸɱɱɾ ɸɱɽɾɺ ɼɬɮɱɹɽɾɮɺ
ȧ1ȧ2=¡•¬ఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈ
(9Æ)
ɛɺɶɬɲɱɸ, ʃɾɺ ɴ ɮ ʉɾɺɸ ɽɷɿʃɬɱ ɻɼɴ ݔ, ɻɼɺɭɱɯɬʊʅɱɸ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺ ܷܹఛ1dzఛ2 ɸɹɺɲɱɽɾɮɺ ɼɱʄɱɹɴɵ ɹɱ ɻɺɶɼʇɮɬɱɾɽʋ ʉɾɴɸ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺɸ. ɐɺɶɬɳɬɾɱɷʈɽɾɮɺ ɻɺɮɱɰɱɸ ɺɾ ɻɼɺɾɴɮɹɺɯɺ. ɛɿɽɾʈ ɻɼɴ ݔࠅܷܹఛ1dzఛ2ɮɽɱɯɰɬ ݧࠅܷܹఛ1dzఛ2. ɩɾɺ ɳɹɬʃɴɾ, ʃɾɺ ɷɴɹɱɵɹʇɵ "ɼɬɳɼɱʄɬʊʅɴɵ" ɺɻɱɼɬɾɺɼݧ=ʤݔɰɱɵɽɾɮɿɱɾ ɮ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɱ ܷܹఛ1dzఛ2. ɛɺ ɷɱɸɸɱ 2[10]ʉɾɺɾ ɺɻɱɼɬɾɺɼ ɳɬɸɶɹɿɾ ɴ,ɽɷɱɰɺɮɬɾɱɷʈɹɺ,ɺɯɼɬɹɴʃɱɹ ɻɺ ɹɺɼɸɱ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɬ ܷܹఛ1dzఛ2.ɫɽɹɺ, ʃɾɺ ɱɽɷɴ ɮ ɶɼɬɱɮɺɵ ɳɬɰɬʃɱ (1)(2) ɺɻɱɼɬɾɺɼ ܵ ɻɺɰɮɱɼɯɹɿɾʈ ɻɼɺɴɳɮɺɷʈɹɺɸɿ, ɹɺ ɰɺɽɾɬɾɺʃɹɺ ɸɬɷɺɸɿ ɻɺ ɹɺɼɸɱ ɮɺɳɸɿʅɱɹɴʊ, ɾɺ ɰɷʋ ɹɺɮɺɵ ɶɼɬɱɮɺɵ ɳɬɰɬʃɴ ɺɯɼɬɹɴʃɱɹɹɺɽɾʈ ɼɬɳɼɱʄɬʊʅɱɯɺ ɺɻɱɼɬɾɺɼɬ ɽɺʁɼɬɹɴɾɽʋ. Ɏ ɽɬɸɺɸ ɰɱɷɱ:ʤሃ=ቐܽ−݇େ݇ୈ(ܵ+߯ܶ)ቑେ݇େ݇ୈ=ቐܽ−݇େ݇ୈܵ+݇େ݇ୈ߯ܶ)ቑେ݇େ݇ୈ==ቐ(ܽ−݇େ݇ୈܵ)(ܽ−(ܽ−݇େ݇ୈܵ)େ݇େ݇ୈ߯ܶ)ቑେ݇େ݇ୈʤሃ=(ܽ−߯ʤܶ)େʤ={ෟ߯௳(ʤܶ)௳ை௳൳ʤɜʋɰ ɮ ɻɺɽɷɱɰɹɱɵ ʃɬɽɾɴ ɽʁɺɰɴɾɽʋ ɴ ɽɿɸɸɬ ɱɯɺ ʋɮɷʋɱɾɽʋ ɺɯɼɬɹɴʃɱɹɹʇɸ ɺɻɱɼɬɾɺɼɺɸ, ɱɽɷɴ ɾɺɷʈɶɺ߯<΅ԳʤԳచ1dzచ2ԳܶԳచ1dzచ2Ɏɺɳʈɸɱɸ ɮ ɶɬʃɱɽɾɮɱ ɮɺɳɸɿʅɱɹɴʋ ɺɻɱɼɬɾɺɼ ߯ܵ, ɾɺ ɱɽɾʈɻɿɽɾʈ ʤሃ=(ܽ−݇େ݇ୈܵԴ)େ݇େ݇ୈ=ቐܽ−݇େ݇ୈ(΅+߯)ܵቑେ݇େ݇ୈɎɽɱ ɾɺʃɶɴ ɽɻɱɶɾɼɬ ɺɻɱɼɬɾɺɼɬ ܵ
ɻɼɴ ʉɾɺɸ ɿɸɹɺɲɬʊɾɽʋ ɹɬ΅+߯, ɾɺ ɱɽɾʈɴʁ ɸɺɰɿɷʈ ɿɸɹɺɲɴɾɽʋ ɹɬ ʉɾɺ ʃɴɽɷɺ, ɬ ɬɼɯɿɸɱɹɾ ɹɱ ɴɳɸɱɹɴɾɽʋ. ɫɽɹɺ, ʃɾɺ ɻɼɴ ʉɾɺɸ ݛݏݦఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈ=(΅+߯)ݛݏݦఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈɑɽɷɴ ɰɷʋ ɻɼɱɲɹɱɯɺ ɺɻɱɼɬɾɺɼɬ
ܵɴɸɱɷɺ ɸɱɽɾɺ (9Æ), ɾɺ ɰɷʋ ɹɺɮɺɯɺ ɺɻɱɼɬɾɺɼɬ
ܵԴɭɿɰɱɾ ɴɸɱɾʈ ɸɱɽɾɺ (9È). əɺ ɮ ɽɷɿʃɬɱ (9È)ɸʇ ɰɺɶɬɳɬɷɴ, ʃɾɺ ɱɽɷɴ ɻɼɬɮɬʋ ʃɬɽɾʈ ɻɼɺɭɱɯɬɱɾ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺ
ܷܹఛ1dzఛ2(ɴ ɰɬɲɱ
ܷܹdz), ɾɺ ɽɺɺɾɮɱɾɽɾɮɿʊʅɬʋ ɽɺɮɺɶɿɻɹɺɽɾʈ ɼɱʄɱɹɴɵ {ݧ(ݢେdzݢୈ)}ɹɱ ɻɺɶɼʇɮɬɱɾɽʋ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺɸܷܹఛ1dzఛ2. ɛɺɷɿʃɱɹɺɻɼɺɾɴɮɺɼɱʃɴɱ.Ɏ ɴɾɺɯɱ ɻɼɴʄɷɴ ɶ ɽɷɱɰɿʊʅɱɸɿɼɱɳɿɷʈɾɬɾɿ.ɛɿɽɾʈ ɮ ɶɼɬɱɮɺɵ ɳɬɰɬʃɱ (1)Ã(2)ɻɼɬɮɬʋ ʃɬɽɾʈ ɻɼɺɭɱɯɬɱɾ ɹɱɶɺɾɺɼɺɱ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺ
ܷܹఛ1dzఛ2.ɐɷʋɾɺɯɺ, ʃɾɺɭʇ ɽɺɮɺɶɿɻɹɺɽɾʈ ɽɺɺɾɮɱɾɽɾɮɿʊʅɴʁ ɼɱʄɱɹɴɵ ɻɺɶɼʇɮɬɷɺɽʈ ʉɾɴɸ ɲɱ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺɸ, ɹɱɺɭʁɺɰɴɸɺ ɴ ɰɺɽɾɬɾɺʃɹɺ, ʃɾɺɭʇ ɮʇɻɺɷɹʋɷɺɽʈ ɿɽɷɺɮɴɱ:߬େ߬ୈ>¡•¬ఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈɌɹɬɷɺɯɴʃɹʇɸɴ ɼɬɽɽɿɲɰɱɹɴʋɸɴ ɸɺɲɹɺ ɴɽɽɷɱɰɺɮɬɾʈ ɶɬɲɰʇɵ ɴɳ ɽɷɿʃɬɱɮ, ɻɼɱɰɽɾɬɮɷɱɹɹʇʁ ɮ ɾɬɭɷɴʂɱ 1.ɛɺɰɮɺɰʋ ɺɭʅɴɵ ɴɾɺɯ, ɸɺɲɹɺ ɽʀɺɼɸɿɷɴɼɺɮɬɾʈ ɽɷɱɰɿʊʅɱɱ ɻɼɱɰɷɺɲɱɹɴɱ.ɛɿɽɾʈ ɮ ɶɼɬɱɮɺɵ ɳɬɰɬʃɱ (I)(2)ɻɼɬɮɬʋ ʃɬɽɾʈ ɻɼɺɭɱɯɬɱɾ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺ ܷܹచ1dzచ2. ɐɷʋ ɾɺɯɺ, ʃɾɺ ɭʇɽɺɮɺɶɿɻɹɺɽɾʈ ɼɱʄɱɹɴɵ ݧɻɺɶɼʇɮɬɷɺɽʈ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺɸ ܷܹఛ1dzఛ2 ɹɱɺɭʁɺɰɴɸɺ, ʃɾɺɭʇ ߬େ≥߫େǴ߬ୈ≥߫ୈǴ߬େ߬ୈ≥ݛݏݦఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈɴ ɰɺɽɾɬɾɺʃɹɺ, ʃɾɺɭʇ ߬େ>߫େǴ߬ୈ>߫ୈǴ߬େ߬ୈ>ݛݏݦఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈɑɽɷɴ ɲɱ߬େ=߫େǴ߬ୈ=߫ୈǴ߬େ߬ୈ=ݛݏݦఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈ,ɾɺ ɽɿʅɱɽɾɮɿɱɾ ݔࠅܷܹఛ1dzఛ2 ɰɷʋ ɶɺɾɺɼɺɯɺ ݧࠅܷܹఛ1dzఛ2ɔɾɺɯɺɮɺɸɿ ɼɱɳɿɷʈɾɬɾɿ ɸɺɲɹɺ ɰɬɾʈ ɽɷɱɰɿʊʅɱɱ ɹɬɯɷʋɰɹɺɱ ɾɺɷɶɺɮɬɹɴɱ.ɛɿɽɾʈ (߫େdz߫ୈ)Ãɾɺʃɶɬ, ɺɾɮɱʃɬʊʅɬʋ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɿ ܷܹచ10dzచ20, ɴɳ ɶɺɾɺɼɺɯɺ ɭɱɼɿɾɽʋ ɻɼɬɮʇɱ ʃɬɽɾɴ ݔ(ݢେdzݢୈ)ɶɼɬɱɮɺɵ ɳɬɰɬʃɴ (1) Ã(2). ɖɬɶɺɮʇ ɲɱ ɾɺʃɶɴ (߬େdz߬ୈ), ɰɷʋ ɶɺɾɺɼʇʁ ɽɺɺɾɮɱɾɽɾɮɿʊʅɴɱ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɬ ܷܹఛ1dzఛ2ɻɺɶɼʇɮɬʊɾ ɽɺɮɺɶɿɻɹɺɽɾʈ ɼɱʄɱɹɴɵ?Ɏʇʃɴɽɷɴɸ ߭=ݛݏݦఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈ. Ɏ ɻɷɺɽɶɺɽɾɴ (߫େdz߫ୈ)ɼɬɽɽɸɺɾɼɴɸ ɻɼɬɮɿʊ ɮɱɾɮʈ ɯɴɻɱɼɭɺɷʇ ߫ୈ=జచ1; ߫େ>΄.ɜɬɳɷɴʃɬɱɸ ɰɮɬ ɽɷɿʃɬʋ:10. ɞɺʃɶɬ (߫େdz߫ୈ)ɷɱɲɴɾ ɮʇʄɱ (ɻɼɬɮɱɱ) ʉɾɺɵ ɮɱɾɮɴ. ɞɺɯɰɬ ɸɹɺɲɱɽɾɮɺ ɰɺɻɿɽɾɴɸʇʁ ɾɺʃɱɶ (߬େdz߬ୈ)Ãɶɮɬɰɼɬɹɾ, ɼɬɽɻɺɷɺɲɱɹɹʇɵ ɽɻɼɬɮɬ ɴ ɽɮɱɼʁɿ ɺɾ(߫େdz߫ୈ). (ɝɾɺɼɺɹʇ ɶɮɬɰɼɬɹɾɬ ɻɬɼɬɷɷɱɷʈɹʇ ɶɺɺɼɰɴɹɬɾɹʇɸ ɺɽʋɸ) (ɼɴɽ. 1).20. ɞɺʃɶɬ (߫େdz߫ୈ)ɷɱɲɴɾ ɹɴɲɱ (ɷɱɮɱɱ) ʉɾɺɵ ɮɱɾɮɴ. ɞɺɯɰɬ ɸɹɺɲɱɽɾɮɺ ɰɺɻɿɽɾɴɸʇʁ ɾɺʃɱɶ ɽɺɽɾɺɴɾ ɴɳ ɾɺʃɱɶ ɿɻɺɸʋɹɿɾɺɯɺ ɶɮɬɰɼɬɹɾɬ, ɶɺɾɺɼʇɱ ɹɬʁɺɰʋɾɽʋ ɮʇʄɱ (ɻɼɬɮɱɱ) ɮɱɾɮɴ ɯɴɻɱɼɭɺɷʇ (ɼɴɽ. 2).
ɝɽʇɷɶɴ ɹɬ ɴɽɾɺʃɹɴɶɴ1.ɜɿɾɸɬɹ ɘ.Ɍ. ɚ ɻɺɼʋɰɶɱ ʉɶɽɻɺɹɱɹʂɴɬɷʈɹɺɯɺ ɼɺɽɾɬ ɼɱʄɱɹɴɵ ɹɱɶɺɾɺɼʇʁ ɽɴɽɾɱɸ ɷɴɹɱɵɹʇʁ ɰɴʀʀɱɼɱɹʂɴɬɷʈɹʇʁ ɿɼɬɮɹɱɹɴɵ ɽ ʃɬɽɾɹʇɸɴ ɻɼɺɴɳɮɺɰɹʇɸɴ// ɐɌə ɝɝɝɜ, 124:4 (1959) ɝ.764Ã7672.ɜɿɾɸɬɹ ɘ.Ɍ. ɚɭ ɺɯɼɬɹɴʃɱɹɹɺɽɾɴ ɼɱʄɱɹɴɵ ɹɱɶɺɾɺɼʇʁ ɶɷɬɽɽɺɮ ɹɱɽɾɬʂɴɺɹɬɼɹʇʁ ɶɼɬɱɮʇʁ ɳɬɰɬʃ ɮ ɭɬɹɬʁɺɮɺɸ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɱ// ɞɱɳɴɽʇ ɶɼ. ɹɬɿʃ. ɽɺɺɭʅɱɹɴɵ ɘɱɲɰɿɹɬɼɺɰɹɺɯɺ ɶɺɹɯɼɱɽɽɬ ɸɬɾɱɸɬɾɴɶɺɮ, ɝɱɶʂɴʋ 5, ɘ: (1966) ɝ.70Ã713.Orlik L.K., Rutman M.A. Exponential indices of solutions of ordinary linear differential equations with periodic coefficients// Russian Mathematics. 1982. ɞ. 26. ʝ 6. ɝ.1041064.Orlik L.K. Exponential characteristic of a linear differential equation of first order in Banach space // Ukrainian Mathematical Journal.1989. ɞ. 41, ʝ 9. ɝ. 111111125.ɚɼɷɴɶ ɗ.ɖ. ɚɭ ʉɶɽɻɺɹɱɹʂɴɬɷʈɹɺɵ ʁɬɼɬɶɾɱɼɴɽɾɴɶɱ ɴɹɾɱɯɼɬɷʈɹɺɯɺ ɺɻɱɼɬɾɺɼɬ Ɏɺɷʈɾɱɼɼɬ ɽ ɻɱɼɴɺɰɴʃɱɽɶɴɸ ʋɰɼɺɸ, ɳɬɮɴɽʋʅɴɸ ɺɾ ʃɱɾʇɼɱʁ ɻɱɼɱɸɱɹɹʇʁ // ɐɴʀʀɱɼɱɹʂɴɬɷʈɹʇɱ ɿɼɬɮɹɱɹɴʋ. 1989. ɞ. 25, C 10. ɝ. 181918216.ɚɼɷɴɶ ɗ.ɖ. ɩɶɽɻɺɹɱɹʂɴɬɷʈɹɬʋ ʁɬɼɬɶɾɱɼɴɽɾɴɶɬ ɹɱɶɺɾɺɼʇʁ ɷɴɹɱɵɹʇʁ ɿɼɬɮɹɱɹɴɵ ɽ ʃɬɽɾɹʇɸɴ ɻɼɺɴɳɮɺɰɹʇɸɴ, ɺɭɷɬɰɬʊʅɴʁ ɽɾɬɼʄɴɸ ʃɷɱɹɺɸ // Ɏ ɽɭɺɼɹɴɶɱ: ɘɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɴɱ ɸɱɾɺɰʇ ɴ ɻɼɴɷɺɲɱɹɴʋ 14 ɸɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɴɱ ʃɾɱɹɴʋ ɜɏɝɟ: ɾɼɿɰʇ. ɜɺɽɽɴɵɽɶɴɵ ɯɺɽɿɰɬɼɽɾɮɱɹɹʇɵ ɽɺʂɴɬɷʈɹʇɵ ɿɹɴɮɱɼɽɴɾɱɾ.2005.ɝ.76Ã827.ɚɼɷɴɶ ɗ.ɖ. ɚɰɱɽɽɶɴɵ ɸɬɾɱɸɬɾɴɶ ɜɿɾɸɬɹ ɘ.Ɍ.: ɽɺɮɱɾɽɶɬʋ ʉɻɺʁɬ ɴ ɸɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɺɱ ɹɬɽɷɱɰɴɱ// Ɏ ɽɭɺɼɹɴɶɱ: ɘɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɺɱ ɸɺɰɱɷɴɼɺɮɬɹɴɱ ɽɺʂɴɬɷʈɹʇʁ ɻɼɺʂɱɽɽɺɮ ɴ ɽɺɮɼɱɸɱɹɹʇɱ ɺɭɼɬɳɺɮɬɾɱɷʈɹʇɱ ɾɱʁɹɺɷɺɯɴɴ.2012.ɝ.1391528.ɜɿɾɸɬɹ ɘ.Ɍ. ɚ ɹɱɶɺɾɺɼʇʁ ɺɻɱɼɬɾɺɼɹʇʁ ɿɼɬɮɹɱɹɴʋʁ ɮ ɻɺɷɿɿɻɺɼʋɰɺʃɱɹɹɺɸ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɱ, ɴɸɱʊʅɴʁ ɻɼɴɸɱɹɱɹɴɱ ɮ ɾɱɺɼɴɴ ɿɽɾɺɵʃɴɮɺɽɾɴ ɻɺ ɗʋɻɿɹɺɮɿ// ɐɌə, 101 (1955), ʝ2. Ãɝ.217Ã2209.ɜɿɾɸɬɹ ɘ.Ɍ. ɝɻɱɶɾɼɬɷʈɹʇɱ ɻɼɴɳɹɬɶɴ ɿɽɾɺɵʃɴɮɺɽɾɴ ɻɺ ɗʋɻɿɹɺɮɿ ɰɷʋ ɹɱɶɺɾɺɼʇʁ ɽɴɽɾɱɸ ɷɴɹɱɵɹʇʁ ɰɴʀʀɱɼɱɹʂɴɬɷʈɹʇʁ ɿɼɬɮɹɱɹɴɵ ɽ ʃɬɽɾɹʇɸɴ ɻɼɺɴɳɮɺɰɹʇɸɴ// ɐɌə, 101 (1955), ʝ6. ɝ.993Ã99610.ɖɼɬɸɱɼ ɫ.ɝ., ɚɼɷɴɶ ɗ.ɖ. ɚ ɼɬɽʄɴɼɱɹɴɴ ɻɺɹʋɾɴʋ ɿɽɾɺɵʃɴɮɺɽɾɴ ɻɺ ɗʋɻɿɹɺɮɿ //əɬɿʃɹɺÃɸɱɾɺɰɴʃɱɽɶɴɵ ʉɷɱɶɾɼɺɹɹʇɵ ɲɿɼɹɬɷ »ɖɺɹʂɱɻɾ¼.2017.
Рис. 1Рис. 2
ɚɼɷɴɶ ɗʊɭɺɮʈ ɖɺɹɽɾɬɹɾɴɹɺɮɹɬ,ɻɼɺʀɱɽɽɺɼ, ɶɬɹɰɴɰɬɾ ʀɴɳɴɶɺÃɸɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɴʁ ɹɬɿɶ, ɻɼɺʀɱɽɽɺɼ ɶɬʀɱɰɼʇ ɴɹʀɺɼɸɬɾɴɶɴ ɴ ɻɼɴɶɷɬɰɹɺɵ ɸɬɾɱɸɬɾɴɶɴɜɺɽɽɴɵɽɶɺɯɺ ɯɺɽɿɰɬɼɽɾɮɱɹɹɺɯɺ ɽɺʂɴɬɷʈɹɺɯɺ ɿɹɴɮɱɼɽɴɾɱɾɬ, ɯ. ɘɺɽɶɮɬLubov.orlik@gmail.com
ɩɶɽɻɺɹɱɹʂɴɬɷʈɹɬʋ ʁɬɼɬɶɾɱɼɴɽɾɴɶɬ ɿɼɬɮɹɱɹɴʋ ɯɴɻɱɼɭɺɷɴʃɱɽɶɺɯɺ ɾɴɻɬ ɮ ɭɬɹɬʁɺɮɺɸ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɱ
Ɍɹɹɺɾɬʂɴʋ. ɛɺɷɿʃɱɹɬɺʂɱɹɶɬ ɼɺɽɾɬ ɼɱʄɱɹɴɵ
ɷɴɹɱɵɹɺɯɺ ɰɴʀʀɱɼɱɹʂɴɬɷʈɹɺɯɺ ɿɼɬɮɹɱɹɴʋ ɮ ʃɬɽɾɹʇʁ ɻɼɺɴɳɮɺɰɹʇʁ ɮɾɺɼɺɯɺ ɻɺɼʋɰɶɬ ɮ ɭɬɹɬʁɺɮɺɸ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɱ. ɟɽɾɬɹɺɮɷɱɹɮɴɰ ʉɶɽɻɺɹɱɹʂɴɬɷʈɹɺɵ ʁɬɼɬɶɾɱɼɴɽɾɴɶɴɰɮɿʃɷɱɹɹɺɯɺɯɴɻɱɼɭɺɷɴʃɱɽɶɺɯɺ ɿɼɬɮɹɱɹɴʋ ɽɺ ɽɾɬʂɴɺɹɬɼɹʇɸ ɺɻɱɼɬɾɺɼɺɸ. ɘɱɾɺɰ ɺɽɹɺɮɬɹ ɹɬ ɴɽɽɷɱɰɺɮɬɹɴɴ ɼɱʄɱɹɴʋ ʉɶɮɴɮɬɷɱɹɾɹɺɯɺɺɻɱɼɬɾɺɼɹɺɯɺɿɼɬɮɹɱɹɴʋɽɻɱʂɴɬɷʈɹɺɯɺ ɮɴɰɬ, ɴɳɿʃɱɹɴɴ ɽɻɱɶɾɼɬ ɺɻɱɼɬɾɺɼɹɺɯɺ ɶɺʉʀʀɴʂɴɱɹɾɬɖɷʊʃɱɮʇɱ ɽɷɺɮɬ:ɭɬɹɬʁɺɮɺ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺ,ɰɴʀʀɱɼɱɹʂɴɬɷʈɹʇɱ ɿɼɬɮɹɱɹɴʋɮ ʃɬɽɾɹʇʁ ɻɼɺɴɳɮɺɰɹʇʁ, ɺɻɱɼɬɾɺɼɹʇɱ ɿɼɬɮɹɱɹɴʋ, ɽɻɱɶɾɼ ɺɻɱɼɬɾɺɼɬ, ʉɶɽɻɺɹɱɹʂɴɬɷʈɹɬʋ ʁɬɼɬɶɾɱɼɴɽɾɴɶɬɖ 110ɷɱɾɴʊ ɖɼɱɵɹɬ ɘɬɼɶɬ ɏɼɴɯɺɼʈɱɮɴʃɬɖ 100ɷɱɾɴʊ ɜɿɾɸɬɹɬ ɘɺɴɽɱʋ Ɍɼɺɹɺɮɴʃɬ
əɬɽɾɺʋʅɬʋ ɼɬɭɺɾɬ ɻɱɼɮɬʋ ɴɳ ʂɴɶɷɬ ɼɬɭɺɾɬɮɾɺɼɺɮ, ɻɺɽɮʋʅʌɹɹɺɯɺɴɽɽɷɱɰɺɮɬɹɴʊ ʉɶɽɻɺɹɱɹʂɴɬɷʈɹɺɯɺ ɼɺɽɾɬ ɼɱʄɱɹɴɵ ɷɴɹɱɵɹʇʁ ɰɴʀʀɱɼɱɹʂɴɬɷʈɹʇʁ ɿɼɬɮɹɱɹɴɵ ɮ ʃɬɽɾɹʇʁ ɻɼɺɴɳɮɺɰɹʇʁ ɽɺ ɽɾɬɼʄɴɸ ʃɷɱɹɺɸ.ɛɺɽɾɼɺɱɹʇ ʉɶɽɻɺɹɱɹʂɴɬɷʈɹʇɱ ʁɬɼɬɶɾɱɼɴɽɾɴɶɴɼʋɰɬ ɰɮɿʃɷɱɹɹʇʁ ɿɼɬɮɹɱɹɴɵ ɮ ʃɬɽɾɹʇʁ ɻɼɺɴɳɮɺɰɹʇʁ ɽɺ ɽɾɬʂɴɺɹɬɼɹʇɸɴ ɺɻɱɼɬɾɺɼɬɸɴ:
ళ2ళ௹1ళ௹2−ܵݧ=ݔ(ݢେdzݢୈ); ళ1ై2ైۀై೫ళ௹11ళ௹22ళ௹೫೫−ܵݧ=ݔ(ݢେdzݢୈdzǷdzݢ௳),ɯɴɻɱɼɭɺɷɴʃɱɽɶɺɯɺ ɮɻɺɷɹɱ ɷɴɹɱɵɹɺɯɺ ɿɼɬɮɹɱɹɴʋ ɮɾɺɼɺɯɺ ɻɺɼʋɰɶɬ ɺɭʅɱɯɺ ɮɴɰɬɽɺ ɽɾɬʂɴɺɹɬɼɹʇɸɴ ɺɻɱɼɬɾɺɼɬɸɴ, ɻɼɴɮɱɰɱɹɹɺɱ ɶʁɬɼɬɶɾɱɼɴɽɾɴɶɬɸ:ళ2ళ௹1௩௹2−ܵ௩௩௹1−ܶ௩௩௹2−ܷݍ=ݔ(ݢେdzݢୈ).ɓɬɾɱɸ ɼɬɽɽɸɺɾɼɱɹʇɾɬɶɴɱ ɲɱ ɻɺ ɮɴɰɿ ɿɼɬɮɹɱɹɴʋ ɮɾɺɼɺɯɺ ɻɺɼʋɰɶɬ, ɹɺ ɽ ɹɱɽɾɬʂɴɺɹɬɼɹʇɸɴ ɺɻɱɼɬɾɺɼɬɸɴ. ɛɼɱɰɻɺɷɬɯɬɱɾɽʋ, ʃɾɺ ʡ=ʡ(ݢେdzݢୈ)dzܶ=ܶ(ݢେdzݢୈ)dzܷ=ܷ(ݢେdzݢୈ)
ɶɺɸɻɬɶɾɹʇɱ ɽɱɸɱɵɽɾɮɬ ɷɴɹɱɵɹʇʁ ɺɻɱɼɬɾɺɼɺɮ, ɴɸɱʊʅɴɱ ɽɷɬɭɿʊ ɮɬɼɴɬʂɴʊɹɬ ɭɱɽɶɺɹɱʃɹɺɽɾɴ.ɔ ɹɬɶɺɹɱʂ, ɼɬɽɽɸɺɾɼɱɹɺɿɼɬɮɹɱɹɴɱ ɺɭʅɱɯɺ ɮɴɰɬ (ɽɺ ɽɾɬɼʄɴɸ ʃɷɱɹɺɸ):ࠄ12ۀ೫ݧࠄݢ1େݒݢ2ୈݒݢ೫௳−ϕܵݟେdzݟୈdzǷݟ௳ࠄ௶1௶2ۀ௶೫ݧࠄݢ௶1େݒݢ௶2ୈݒݢ௶೫௳=ݔ(ݢେdzݢୈdzǷdzݢ௳)ɜɿɾɸɬɹ ɘ.Ɍ. P1,2R ɮɻɱɼɮʇɱ ɮɮɱɷ ɻɺɹʋɾɴɱ, ɿɽɾɬɹɬɮɷɴɮɬʊʅɱɱ ɳɬɮɴɽɴɸɺɽɾʈ ɸɱɲɰɿ ɻɺɼʋɰɶɺɸ߫ʉɶɽɻɺɹɱɹʂɴɬɷʈɹɺɯɺ ɶɷɬɽɽɬ, ɴɳ ɶɺɾɺɼɺɯɺ ɭɱɼɿɾɽʋ ɻɼɬɮʇɱ ʃɬɽɾɴ, ɴ ɹɴɲɹɱɵ ɯɼɬɹʈʊȧɻɺɼʋɰɶɺɮ ʉɶɽɻɺɹɱɹʂɴɬɷʈɹʇʁ ɶɷɬɽɽɺɮ, ɽɺɰɱɼɲɬʅɴʁ ɽɺɺɾɮɱɾɽɾɮɿʊʅɿʊ ɽɺɮɺɶɿɻɹɺɽɾʈ ɼɱʄɱɹɴɵ ɰɴʀʀɱɼɱɹʂɴɬɷʈɹɺɯɺ ɿɼɬɮɹɱɹɴʋ. əɱɿɭʇɮɬʊʅɬʋ ʀɿɹɶʂɴʋ¹(߫)=ݗݜݔ߬ɻɺɳɲɱ ɮ ɼɬɭɺɾɬʁ ɚɼɷɴɶ ɗ.ɖ. ɻɺɷɿʃɴɷɬ ɹɬɳɮɬɹɴɱ ʉɶɽɻɺɹɱɹʂɴɬɷʈɹɺɵ ʁɬɼɬɶɾɱɼɴɽɾɴɶɴ ɰɴʀʀɱɼɱɹʂɴɬɷʈɹɺɯɺ ɿɼɬɮɹɱɹɴʋ P3,4,5,6].ɝʀɺɼɸɿɷɴɼɿɱɸ ɻɺɽɾɬɹɺɮɶɿ ɳɬɰɬʃɴ ɻɼɴɸɱɹɴɾɱɷʈɹɺ ɶ ɿɼɬɮɹɱɹɴʊ ɺɭʅɱɯɺ ɮɴɰɬ.ɛɿɽɾʈ ɿɼɬɮɹɱɹɴɱ ɼɬɽɽɸɬɾɼɴɮɬɱɾɽʋ ɰɷʋ ɻɼɺɽɾɺɾʇ ɴ ɹɱ ɮ ɿʅɱɼɭ ɺɭʅɹɺɽɾɴ ɻɼɴ ɹɿɷɱɮʇʁ ɹɬʃɬɷʈɹʇʁ ɿɽɷɺɮɴʋʁ ɖɺʄɴɏɿɼɽɬݧ௯ȓ௹೧=ࠄݧࠄݢ௯ȓ௹೧=ۀ=ࠄ೧େݧࠄݢ೧େ௯ȓ௹೧=΄
(ݘ=΅dzΆdzǷdzݜ)ɛɿɽɾʈ ɻɼɬɮɬʋʃɬɽɾʈɿɼɬɮɹɱɹɴʋ Ãɷɴɹɱɵɹɺɱ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺ ɹɱɻɼɱɼʇɮɹʇʁʀɿɹɶʂɴɵݔ(ݢେdzݢୈdzǷdzݢ௳) ɽɺ ɳɹɬʃɱɹɴʋɸɴ ɮ ɭɬɹɬʁɺɮɺɸ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɱ ܹ, ɿɰɺɮɷɱɾɮɺɼʋʊʅɱɱɿɽɷɺɮɴʊ:ݡݣݞเݔ(ݢେdzݢୈdzǷݢ௳)เݓచ1௹1ۀdzచ2௹೫<ύɩɾɺ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺ,ɺɭɺɳɹɬʃɬɱɸɺɱܷܹచ1dzచ2dzǷdzచ೫,ʋɮɷʋɱɾɽʋ ɭɬɹɬʁɺɮʇɸ ɽ ɹɺɼɸɺɵԳݔԳచ1dzచ2dzǷdzచ೫=ݡݣݞเݔ(ݢେdzݢୈdzǷݢ௳)เݓచ1௹1ۀdzచ2௹೫
ɛɿɽɾʈ ɻɼɬɮɬʋ ʃɬɽɾʈ
ɿɼɬɮɹɱɹɴʋɻɼɺɭɱɯɬɱɾ ɮɽɱ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺܷܹచ1dzచ2dzǷdzచ೫. ɖɬɶɴɸ ɿɽɷɺɮɴʋɸ ɰɺɷɲɹʇ ɿɰɺɮɷɱɾɮɺɼʋɾʈ ʃɴɽɷɬ߬େdz߬ୈdzǷdz߬௳, ʃɾɺɭʇ ɽɺɺɾɮɱɾɽɾɮɿʊʅɬʋ ɽɺɮɺɶɿɻɹɺɽɾʈ ɼɱʄɱɹɴɵ ɻɺɶɼʇɮɬɷɬɽʈ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺɸܷܹఛ1dzఛ2dzǷdzఛ೫?ɝʁɱɸɬ ɰɺɶɬɳɬɾɱɷʈɽɾɮɬ ɻɼɱɰɽɾɬɮɷʋɱɾ ɽɺɭɺɵ ɼɬɳɮɴɾɴɱ ɻɼɴɸɱɹɴɾɱɷʈɹɺ ɶ ɹɬʄɱɸɿ ɭɺɷɱɱ ɺɭʅɱɸɿ ɽɷɿʃɬʊ ɸɱɾɺɰɬ ɘ.Ɍ. ɜɿɾɸɬɹɬ P7,8].ɛɺ ɻɺɽɾɬɹɺɮɶɱ ɮɺɻɼɺɽɬɳɬɰɬʃɬ ɭɷɴɲɱ ɮɽɱɯɺ ɶ ɼɬɭɺɾɱ ɘ.Ɍ. ɜɿɾɸɬɹɬ[1,9], ɺɰɹɬɶɺ, ɮ ʉɾɺɵ ɻɺɽɷɱɰɹɱɵ ɼɺɽɾ ɼɱʄɱɹɴʋ ɽɼɬɮɹɴɮɬɷɽʋ ɽ ɼɺɽɾɺɸ ʉɶɽɻɺɹɱɹɾʇݓచ(௹1௹2ۀ௹೫). ɘɱɲɰɿ ɾɱɸ ɴɸɱɱɾ ɽɸʇɽɷ ɴɳɿʃɬɾʈ ɴ ɺʂɱɹɴɮɬɾʈ ɻɺɼʋɰɺɶ ʉɶɽɻɺɹɱɹʂɴɬɷʈɹɺɯɺ ɼɺɽɾɬ ɻɺ ɶɬɲɰɺɵ ɻɱɼɱɸɱɹɹɺɵ ɮ ɺɾɰɱɷʈɹɺɽɾɴ. Ɏ ʃɬɽɾɹɺɽɾɴ, ɮ ɹɱɶɺɾɺɼʇʁ ɽɷɿʃɬʋʁ ɻɼɱɰɽɾɬɮɷʋɱɾ ɴɹɾɱɼɱɽ ɴɽɽɷɱɰɺɮɬɹɴɱ ɿɽɷɺɮɴɵ, ɻɼɴ ɶɺɾɺɼʇʁ ɼɱʄɱɹɴʋ ɰɬɹɹɺɯɺ ɿɼɬɮɹɱɹɴʋ ɺɽɾɬɱɾɽʋ ɺɯɼɬɹɴʃɱɹɹʇɸ ɻɺ ɹɱɶɺɾɺɼʇɸ ɴɳ ɻɱɼɱɸɱɹɹʇʁ, ɬ ɻɺ ɰɼɿɯɴɸ ɴɸɱɱɾ ɻɺɼʋɰɶɴ ʉɶɽɻɺɹɱɹʂɴɬɷʈɹɺɯɺ ɼɺɽɾɬ ɹɱ ɮʇʄɱ ɳɬɰɬɹɹʇʁ. ɩɾɺ ɳɹɬʃɴɾ, ʃɾɺ ɮ ɶɬʃɱɽɾɮɱ ʀɿɹɶʂɴɴ, ɽ ɶɺɾɺɼɺɵ ɽɼɬɮɹɴɮɬɱɾɽʋ ɼɱʄɱɹɴɱ, ɽɷɱɰɿɱɾ ɼɬɽɽɸɬɾɼɴɮɬɾʈ ʉɶɽɻɺɹɱɹɾɿ:ݓచ1௹1చ1௹2ۀచ1௹೫Ƕɞɬɶɺɱ ɴɽɽɷɱɰɺɮɬɹɴɱ ɽɺɽɾɬɮɷʋɱɾ ɽɺɰɱɼɲɬɹɴɱ ʂɴɶɷɬ ɼɬɭɺɾ, ɮ ɶɺɾɺɼɺɸ ɻɺɽɾɼɺɱɹʇ ʉɶɽɻɺɹɱɹʂɴɬɷʈɹʇɱ ʁɬɼɬɶɾɱɼɴɽɾɴɶɴ ɻɱɼɱʃɴɽɷɱɹɹʇʁ ɷɴɹɱɵɹʇʁ ɰɴʀʀɱɼɱɹʂɴɬɷʈɹʇʁ ɿɼɬɮɹɱɹɴɵ ɮ ʃɬɽɾɹʇʁ ɻɼɺɴɳɮɺɰɹʇʁ ɽɺ ɽɾɬɼʄɴɸ ʃɷɱɹɺɸ.ɔɾɬɶ, ɼɬɽɽɸɺɾɼɴɸɰɮɿʃɷɱɹɹɺɱ ɿɼɬɮɹɱɹɴɱ ɮɾɺɼɺɯɺ ɻɺɼʋɰɶɬ ɽɺ ɽɾɬʂɴɺɹɬɼɹʇɸ ɺɻɱɼɬɾɺɼɺɸ{ళ2ళ௹1ళ௹2−ܵݧ=ݔ(ݢେdzݢୈ)΄عݢେdzݢୈ<ύ
(1)
ɻɼɴ ɯɼɬɹɴʃɹʇʁ ɿɽɷɺɮɴʋʁ ɏɿɼɽɬ:ݧ(ݢେdz΄)=ࠀ(ݢେ)dzݧ(΄dzݢୈ)=ࠂ(ݢୈdz),ࠂ(΄)=ࠀ(΄)ɓɰɱɽʈݔ(ݢେdzݢୈ)dzݧ(ݢେdzݢୈ)dzࠀ(ݢେ)dzࠂ(ݢୈ)
ʀɿɹɶʂɴɴ ɴɳCE,ɾɺ ɱɽɾʈɹɱɻɼɱɼʇɮɹʇɱ ʀɿɹɶʂɴɴ, ɳɹɬʃɱɹɴʋ ɶɺɾɺɼʇʁ ɻɼɴɹɬɰɷɱɲɬɾ ɭɬɹɬʁɺɮɿ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɿ ܹdzܵÃɷɴɹɱɵɹʇɵɺɯɼɬɹɴʃɱɹɹʇɵɺɻɱɼɬɾɺɼ, ɰɱɵɽɾɮɿʊʅɴɵ ɮ ܹ.Ɏɮɺɰʋ ɹɺɮɿʊ ɹɱɴɳɮɱɽɾɹɿʊ ʀɿɹɶʂɴʊ
ݧ(ݢେdzݢୈ)−ࠀ(ݢେ)−ࠂ(ݢୈ)+ࠀ(΄), ɸʇɽɮɱɰɱɸ ɯɼɬɹɴʃɹʇɱ ɿɽɷɺɮɴʋ ɶ ɹɿɷɱɮʇɸ. ɛɼɴ ʉɾɺɸ ɷɱɮɿʊ ʃɬɽɾʈ ɿɼɬɮɹɱɹɴʋ ɸɺɲɹɺ ɽʃɴɾɬɾʈ ɹɱɴɳɸɱɹɹɺɵ, ɬ ɶ ɻɼɬɮɺɵ ʃɬɽɾɴ ɻɼɴɭɬɮɴɾɽʋ ɮʇɼɬɲɱɹɴɱܵࠀ(ݢୈ)+ܵࠂ(ݢୈ)−ܵࠀ(΄),ɶɺɾɺɼɺɱ ɹɱ ɴɳɸɱɹɴɾ ɻɺɼʋɰɺɶ ʉɶɽɻɺɹɱɹʂɴɬɷʈɹɺɯɺ ɼɺɽɾɬ ɻɼɬɮɺɵ ʃɬɽɾɴ, ɱɽɷɴ
ࠀ(ݢେ)˝ࠂ(ݢୈ)ɴɸɱʊɾɽɺɺɾɮɱɾɽɾɮɿʊʅɴɵ ɻɺɼʋɰɺɶ ɼɺɽɾɬ. Ɏ ɽɴɷɿ ʉɾɺɯɺ ɳɬɸɱʃɬɹɴʋ ɸɺɲɹɺ ɽ ɽɬɸɺɯɺ ɹɬʃɬɷɬ ɽʃɴɾɬɾʈ, ʃɾɺ ɿɼɬɮɹɱɹɴɱ (1)ɼɬɽɽɸɬɾɼɴɮɬɱɾɽʋ ɻɼɴ ɹɿɷɱɮʇʁ ɯɼɬɹɴʃɹʇʁ ɿɽɷɺɮɴʋʁ:ݧ(ݢେdz΄)=΄dzݧ(΄dzݢୈ)=΄
(2)ɛɿɽɾʈ ɻɼɬɮɬʋ ʃɬɽɾʈ ݔ(ݢ)ɻɼɺɭɱɯɬɱɾ ɸɹɺɲɱɽɾɮɺ ɮɽɱʁ ʀɿɹɶʂɴɴ ɴɳ ܷܹ,ɿɰɺɮɷɱɾɮɺɼʋʊʅɴʁ ɿɽɷɺɮɴʊ:ݡݣݞԳݔ(ݢେdzݢୈ)Գݓచ1௹1చ2௹2<ύɛɺɷɬɯɬʋݡݣݞԳݔ(ݢେdzݢୈ)Գݓచ1௹1చ2௹2=ԳݔԳచ1dzచ2ɔ ɺɽɹɺɮʇɮɬʋɽʈ ɹɬ ɷɱɸɸɱ I[10]ɼɬɽɽɸɬɾɼɴɮɬɱɸ ʉɾɺ ɸɹɺɲɱɽɾɮɺ ɶɬɶ ɭɬɹɬʁɺɮɺɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺ,ɺɭɺɳɹɬʃɴɮɱɯɺܷܹచ1dzచ2. Ɏ ɰɬɷʈɹɱɵʄɱɸ ɽʃɴɾɬɱɸ, ʃɾɺ߫େdz߫ୈغ΄.əɬʄɬ ʂɱɷʈ ɹɬɵɾɴ ɮɺɱ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɬܷܹఛ1dzఛ2, ɶɺɾɺɼʇɱɻɺɶɼʇɮɬʊɾ ɽɺɮɺɶɿɻɹɺɽɾʈ ɼɱʄɱɹɴɵ pݧr (ɶɼɬɱɮɺɵ ɳɬɰɬʃɴ (1)
(2).ɐɷʋ ʃɬɽɾɹɺɯɺ ɽɷɿʃɬʋ߫େ=߫ୈ,߬େ=߬ୈ.ɐɷʋɻɼɺɽɾɺɾʇ ɴɳɷɺɲɱɹɴʋ ɽɹɬʃɬɷɬɭɿɰɱɸ ɻɺɷɬɯɬɾʈ, ʃɾɺ
߫େ=߫ୈ=߫େ=߫=΄.ɞɼɱɭɺɮɬɹɴɱ߫େ=߫ୈɹɱ ɿɸɱɹʈʄɬɱɾ ɺɭʅɹɺɽɾɴ, ɾɬɶ ɶɬɶ ʉɾɺɯɺ ɸɺɲɹɺ ɰɺɭɴɾʈɽʋ ɽ ɻɺɸɺʅʈʊ ɳɬɸɱɹʇ ɹɱɳɬɮɴɽɴɸʇʁ ɻɱɼɱɸɱɹɹʇʁ. ɔɾɬɶ, ɻɿɽɾʈ ɻɼɬɮɬʋ ʃɬɽɾʈ ݔ ɻɼɺɭɱɯɬɱɾ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺܷܹdz.ɛɼɺɴɹɾɱɯɼɴɼɿɱɸ ɺɭɱ ʃɬɽɾɴ ɿɼɬɮɹɱɹɴʋ (1)ɻɺ ݢେdzݢୈɽɺɺɾɮɱɾɽɾɮɱɹɹɺ, ɮ ɴɹɾɱɼɮɬɷɬʁቐ݃dzݢେቑɴቐ݃dzݢୈቑ. ɟʃɴɾʇɮɬʋɿɽɷɺɮɴʋ (2), ɻɺɷɿʃɴɸ ʉɶɮɴɮɬɷɱɹɾɹɺɱ ɺɻɱɼɬɾɺɼɹɺɱ ɿɼɬɮɹɱɹɴɱ:ݧ−݇େ݇ୈܵݧ=݇େ݇ୈݔ
ɯɰɱ S1, S2Ãɺɻɱɼɬɾɺɼʇ ɴɹɾɱɯɼɴɼɺɮɬɹɴʋ: ݇େݔ(ݢେdzݢୈ)=සݔ(ݡେdzݡୈ)௹ݒݡେ݇ୈݔ(ݢେdzݢୈ)=සݔ(ݢେdzݡୈ)௹ݒݡୈ
Ɏ P9R ɭʇɷɺ ɻɺɶɬɳɬɹɺ, ʃɾɺ ɼɱʄɱɹɴɱ ʉɾɺɯɺ ɿɼɬɮɹɱɹɴʋ ɸɺɲɹɺ ɳɬɻɬɽɬɾʈ ɮ ɮɴɰɱ ɰɮɺɵɹɺɯɺ ɶɺɹɾɿɼɹɺɯɺ ɴɹɾɱɯɼɬɷɬ:ݧ=(େୈ೦)ୈ(ܽ−ߵେ݇େ)େ݇େ(ܽ−ߵୈ݇ୈ)େ݇ୈ(ܵ−ߵେߵୈܽ)େݔݒߵେݒߵୈజ2జ1
(3)ɓɰɱɽʈ ɶɺɹɾɿɼ ɮɹɿɾɼɱɹɹɱɯɺ ɴɹɾɱɯɼɴɼɺɮɬɹɴʋ߭ୈÃɻɼɺɴɳɮɺɷʈɹʇɵ, ɺɶɼɿɲɬʊʅɴɵ "0", ɬ ɶɺɹɾɿɼ ɹɬɼɿɲɹɺɯɺ ɴɹɾɱɯɼɴɼɺɮɬɹɴʋ߭େɰɺɷɲɱɹ ɺɶɼɿɲɬɾʈ ɽɻɱɶɾɼ ɽɱɸɱɵɽɾɮɬ ɺɻɱɼɬɾɺɼɺɮ
ௌత2, ɶɺɯɰɬߵୈɻɼɺɭɱɯɬɱɾ ɮɱɽʈ ɶɺɹɾɿɼ ߭ୈǶɎ ɶɬʃɱɽɾɮɱ ɾɬɶɴʁ ɶɺɹɾɿɼɺɮ ɸɺɲɹɺ ɮɳʋɾʈ ɺɶɼɿɲɹɺɽɾɴ ɰɺɽɾɬɾɺʃɹɺ ɭɺɷʈʄɺɯɺ ɼɬɰɴɿɽɬ; ɺɰɹɬɶɺ, ɻɺɽɶɺɷʈɶɿ ɸʇ ɽɾɼɱɸɴɸɽʋɺʂɱɹɴɾʈ ɼɺɽɾ ɼɱʄɱɹɴʋ ɹɬɴɭɺɷɱɱ ɾɺʃɹɺ, ɸʇ ɮʇɭɱɼɱɸ ɮ ɶɬʃɱɽɾɮɱ
߭େdz߭ୈɰɿɯɴ ɾɬɶɴʁ ɺɶɼɿɲɹɺɽɾɱɵ, ɽɾʋɹɿɾʇɱ ʁɺɼɰɬɸɴ, ɷɱɲɬʅɴɸɴ ɮ ɻɼɬɮɺɵ ɻɺɷɿɻɷɺɽɶɺɽɾɴ:݆ݓߵେ=߮େ,݆ݓߵୈ=߮ୈɛɼɴ ʉɾɺɸ߮େdz߮ୈɰɺɷɲɹʇ ɭʇɾʈ ɽɮʋɳɬɹʇ ɿɽɷɺɮɴɱɸ, ʃɾɺ߭େɺʁɮɬɾʇɮɬɱɾ ɽɻɱɶɾɼ ɽɱɸɱɵɽɾɮɬ
ௌత2. ɚʃɱɮɴɰɹʇ ɽɷɱɰɿʊʅɴɱ ʀɺɼɸɿɷʇ:
{(ܽ−ߵେ݇େ)େ݇େݔ=ݓత1(௹1௸1)௹ݔ(ݡେdzݢୈ)ݒݡେ(ܽ−ߵୈ݇ୈ)େ݇ୈݔ=ݓత2(௹2௸2)௹ݔ(ݢେdzݡୈ)ݒݡୈ
(4)
ɝɾɼɱɸʋɽʈ ɶ ɾɺɸɿ, ʃɾɺɭʇ ɻɺɰʇɹɾɱɯɼɬɷʈɹʇɱ ʀɿɹɶʂɴɴ ɮ ʀɺɼɸɿɷɱ (3)ɴɸɱɷɴ ɮɺɳɸɺɲɹɺ ɸɱɹʈʄɴɵ ɻɺɼʋɰɺɶ ɼɺɽɾɬ ɻɺݢେdzݢୈ, ɸʇ ɰɺɷɲɹʇ ɰɺɭɴɮɬɾʈɽʋ ɮɺɳɸɺɲɹɺ ɸɱɹʈʄɴʁ ɳɹɬʃɱɹɴɵ݆ݓߵେɴ
݆ݓߵୈ.ɝɷɱɰɺɮɬɾɱɷʈɹɺ,߮େdz߮ୈ,ɺɻɼɱɰɱɷʋʊʅɴɱ ɻɺɷɺɲɱɹɴɱ ɿɻɺɸʋɹɿɾʇʁ ʁɺɼɰ, ɾɺɲɱ ɰɺɷɲɹʇ ɭʇɾʈ ɮɺɳɸɺɲɹɺ ɸɱɹʈʄɴɸɴ.ɛɿɽɾʈ ߵୈ=߮ୈ+ݗ߾
ߵ
ɺɰɹɬ ɴɳ ɾɺʃɱɶ ɽɻɱɶɾɼɬ ɺɻɱɼɬɾɺɼɬ ܵ. ɖɺɹɾɿɼ ߭େ ɰɺɷɲɱɹ ɺɶɼɿɲɬɾʈ ɽɻɱɶɾɼ
ௌత2, ɳɹɬʃɴɾ ߮େ>݆ݓతత2ɣɬɽɾʈʊ߭ୈʋɮɷʋɱɾɽʋ ɰɿɯɬ ɺɶɼɿɲɹɺɽɾɴ ɺʃɱɹʈ ɭɺɷʈʄɺɯɺ ɼɬɰɴɿɽɬ.əɬ ʉɾɺɵ ʃɬɽɾɴ ɶɺɹɾɿɼɬ
ቬతత2ቬ, ɬ ɳɹɬʃɴɾ ɴ݆ݓతత2ɺʃɱɹʈ ɸɬɷɬ.ɛɺɽɸɺɾɼɴɸ, ɶɬɶ ɴɳɸɱɹʋɱɾɽʋ
తత2, ɶɺɯɰɬߵୈɻɼɺɭɱɯɬɱɾ ʁɺɼɰɿ.ɛɿɽɾʈ
ߵ=߶+ݗ߷.ɞɺɯɰɬ ݆ݓߵߵୈ=߶߮ୈ+߷߾߮ୈୈ+߾ୈɗɱɯɶɺ ɮɴɰɱɾʈ, ʃɾɺݛݏݦ݆ݓߵߵୈ=(݆ݓϐߵ)ୈ߮ୈ
ɓɹɬʃɴɾ, ɱɽɷɴ ɸʇ ɮʇɭɱɼɱɸ
߮େ>(௪ϐత)2ఝ2, ɾɺ ɶɺɹɾɿɼ ߭େɺʁɮɬɾɴɾ ɸɹɺɲɱɽɾɮɺ ɳɹɬʃɱɹɴɵ తత2.ɐɷʋ ɾɺɯɺ, ʃɾɺɭʇ ʉɾɺɾ ɶɺɹɾɿɼ߭ୈɺʁɮɬɾɴɷ ɽɻɱɶɾɼʇ ɮɽɱʁ ɺɻɱɼɬɾɺɼɺɮௌత2, ɶɺɯɰɬߵୈɻɼɺɭɱɯɬɱɾ
߭ୈ, ɹɿɲɹɺ ʃɾɺɭʇ߮େɿɰɺɮɷɱɾɮɺɼʋɷɺ ɹɱɼɬɮɱɹɽɾɮɿ
߮େ>ݡݣݞ(ܵ)(݆ݓϐߵ)ୈ߮ୈdzɯɰɱ ʃɱɼɱɳ
(ܵ)ɺɭɺɳɹɬʃɱɹ ɽɻɱɶɾɼ ɺɻɱɼɬɾɺɼɬ ܵ. ɩɾɺɾ ɽɻɱɶɾɼ ɱɽɾʈɺɯɼɬɹɴʃɱɹɹɺɱ ɳɬɸɶɹɿɾɺɱ ɸɹɺɲɱɽɾɮɺ, ɻɺʉɾɺɸɿ
ݡݣݞɸɺɲɹɺ ɳɬɸɱɹɴɾʈ ɹɬ
ݛݏݦ. ɛɺɷɿʃɴɸ ߮େ߮ୈ>ݛݏݦఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈɑɽɷɴ ɾɱɻɱɼʈ ɿʃɱɽɾʈ ʀɺɼɸɿɷʇ (4),(3)ɾɺ ɸʇ ɻɼɴɮɱɰɱɸ ɶ ɽɷɱɰɿʊʅɱɸɿ ɼɱɳɿɷʈɾɬɾɿ.ɛɿɽɾʈ ɮ ɶɼɬɱɮɺɵ ɳɬɰɬʃɱ(1) (2)ɻɼɬɮɬʋ ʃɬɽɾʈ
ݔ(ݢେdzݢୈ)
ɻɼɺɭɱɯɬɱɾ ɸɹɺɲɱɽɾɮɺ ɺɯɼɬɹɴʃɱɹɹʇʁ ʀɿɹɶʂɴɵ:ݡݣݞԳݔ(ݢେdzݢୈ)Գ<ύɐɷʋ ɾɺɯɺ, ʃɾɺɭʇ ɮɽɱ ɼɱʄɱɹɴʋ ݧ(ݢେdzݢୈ)ݧ(ݢ΅dzݢΆ)
ɶɼɬɱɮɺɵ ɳɬɰɬʃɴ ɿɰɺɮɷɱɾɮɺɼʋɷɴ ɹɱɼɬɮɱɹɽɾɮɿԳݧ(ݢେdzݢୈ)Գ≤ܸݓఛ1௹1ఛ2௹2
(߬େ=߬ୈ
ɻɺɽɾɺʋɹɹʇ,ܸ=ܸ௫)ɰɺɽɾɬɾɺʃɹɺ, ʃɾɺɭʇ ɮʇɻɺɷɹʋɷɺɽʈ ɿɽɷɺɮɴɱ
߬େ߬ୈ>¡•¬ఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈ
(5)
ɛɿɽɾʈ ɾɱɻɱɼʈ ɻɼɬɮɬʋ ʃɬɽɾʈ ݔ(ݢେdzݢୈ) ɶɼɬɱɮɺɵ ɳɬɰɬʃɴ (1) (2)
ɻɼɺɭɱɯɬɱɾ ɻɼɺɴɳɮɺɷʈɹɺɱ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺ ܷܹచ1dzచ2ɠɺɼɸɿɷʇ (4)ɰɬʊɾ ɮɺɳɸɺɲɹɺɽɾʈ ɺʂɱɹɴɾʈ ʉɶɽɻɺɹɱɹʂɴɬɷʈɹʇɵ ɼɺɽɾ ɮʇɼɬɲɱɹɴɵ.(ܽ−ߵେ݇େ)େ݇େݔɴ (ܽ−ߵୈ݇ୈ)େ݇ୈݔɛɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɬ ɽɺɮɺɶɿɻɹɺɽɾɱɵɼɱʄɱɹɴɵɮ ɳɬɮɴɽɴɸɺɽɾɴ ɺɾ ɽɺɺɾɹɺʄɱɹɴʋ ɸɱɲɰɿ߫େdz߬େdz߫ୈdz߬ୈɻɼɱɰɽɾɬɮɷɱɹʇ ɮ ɾɬɭɷɴʂɱ 1.ɞɬɭɷɴʂɬ 1
࣍૬dz࣎૬࣍૭dz࣎૭ɛɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺ ɽɺɮɺɶɿɻɹɺɽɾɴ ɼɱʄɱɹɴɵ߫େ<߬େ߫ୈ<߬ୈܷܹఛ1dzఛ2
߫େ<߬େ߫ୈ>߬ୈ
ܷܹఛ1dzచ2
߫େ>߬େ߫ୈ<߬ୈܷܹచ1dzఛ2߫େ>߬େ߫ୈ>߬ୈ
ܷܹచ1dzచ2߫େ<߬େ߫ୈ=߬ୈ
ܷܹఛ1dzచ2ఞdz
߯>΄߫େ=߬େ߫ୈ<߬ୈ
ܷܹచ1ఞdzఛ2dz
߯>΄߫େ=߬େ߫ୈ=߬ୈܷܹచ1ఞdzచ2ఞdz߯>΄Ɏɽɱ ʉɾɴ ɼɱɳɿɷʈɾɬɾʇ ɴɸɱʊɾ ʁɬɼɬɶɾɱɼ ɰɺɽɾɬɾɺʃɹʇʁ ɿɽɷɺɮɴɵ, ɶɺɾɺɼʇɸ ɰɺɷɲɹʇ ɿɰɺɮɷɱɾɮɺɼʋɾʈ ʃɴɽɷɬ
߬େ߬ୈɰɷʋ ɾɺɯɺ, ʃɾɺɭʇ ɴɳݔّܷܹచ1dzచ2ɽɷɱɰɺɮɬɷɺݧّܷܹఛ1dzఛ2. ɘʇ ɰɺɶɬɲɱɸ, ʃɾɺ ʉɾɴ ɿɽɷɺɮɴʋ ɹɱ ɾɺɷʈɶɺ ɰɺɽɾɬɾɺʃɹʇ, ɹɺ ɴ ɹɱɺɭʁɺɰɴɸʇ.ɐɷʋ ɻɺɷɿʃɱɹɴʋ ʉɾɺɯɺ ɭɺɷɱɱ ɾɺɹɶɺɯɺ ɼɱɳɿɷʈɾɬɾɬ ɸʇ ɮɺɽɻɺɷʈɳɿɱɸɽʋ ɺɰɹɴɸ ɻɼɱɰɷɺɲɱɹɴɱɸ /ɷɱɸɸɺɵ/, ɶɺɾɺɼɺɱ ɻɼɴɹɬɰɷɱɲɴɾ ɘ. Ɍ. ɜɿɾɸɬɹɿ ɴ ɻɼɴɮɱɰɱɹɺ ɮ P9].ɛɼɴɸɱɹɴɾɱɷʈɹɺ ɶ ɹɬʄɱɸɿ ɽɷɿʃɬʊ ʉɾɺ ɻɼɱɰɷɺɲɱɹɴɱ ɽɺɽɾɺɴɾ ɮ ɽɷɱɰɿʊʅɱɸ.ɜɬɽɽɸɺɾɼɴɸ ɺɻɱɼɬɾɺɼ Ãʀɿɹɶʂɴʊϑ=ϑ(ߵେdzߵୈ)=(ܽ−ௌత1త2)େ
(6)ɛɬɼɿ ʃɴɽɱɷ (ߵେdzߵୈ)ɹɬɳɺɮɱɸ ɼɱɯɿɷʋɼɹɺɵɾɺʃɶɺɵ, ɱɽɷɴ(ߔɽɿʅɱɽɾɮɿɱɾ ɴ ʋɮɷʋɱɾɽʋ ɺɯɼɬɹɴʃɱɹɹʇɸ ɺɻɱɼɬɾɺɼɺɸ ɮ ܹ. Ɏɻɼɺɾɴɮɹɺɸ ɽɷɿʃɬɮ (ߵେdzߵୈ)ɹɬɳɺɮɱɸ ɺɽɺɭɺɵɾɺʃɶɺɵ.ɑɽɷɴ (ߵେdzߵୈ)ɶɬɶɬʋɷɴɭɺ ɺɽɺɭɬʋ ɾɺʃɶɬ, ɶɺɾɺɼɬʋ ʋɮɷʋɱɾɽʋ ɻɼɱɰɱɷʈɹɺɵ ɰɷʋ ɸɹɺɲɱɽɾɮɬ ɼɱɯɿɷʋɼɹʇʁ ɾɺʃɱɶ, ɾɺ ɷɴɭɺ ɽɿʅɱɽɾɮɿɱɾ ݦࠅܹ, ԳݦԳ=΅ɾɬɶɺɱ, ʃɾɺ(ܽ−ܵߵେߵୈ)େݦ==త1త2(త1త10)(త2త20)ݦ−(ܽ−ௌత1త2)େௌత10dzత20(త1త1త10+త2త2త20)ݦ
(7)
ɷɴɭɺ ɽɿʅɱɽɾɮɿʊɾ ɰɮɱ ɻɺɽɷɱɰɺɮɬɾɱɷʈɹɺɽɾɴ:
ݦ௳ࠅܹ,Գݦ௳Գ=΅,ݎ௳ࠅܹ,ݎ௳ծ΄ɾɬɶɴɱ,ʃɾɺ
(ܽ−ܵߵେߵୈ)େݦ௳==త1త2(త1త10)(త2త20)ݦ௳−(ܽ−ௌత1త2)େௌత10dzత20(త1త1త10+త2త2త20)ݦ௳+ ݎ௳
(8)
ɓɬɸɱɾɴɸ, ʃɾɺ ɮ ɰɬɹɹɺɵ ɽɷɿʃɬɱ ɺɽɺɭʇɱ ɾɺʃɶɴ(ߵେdzߵୈ)ɾɱ ɴ ɾɺɷʈɶɺ ɾɱ, ɰɷʋ ɶɺɾɺɼʇʁ ɻɼɺɴɳɮɱɰɱɹɴɱ ߵେߵୈ ʋɮɷʋɱɾɽʋ ɾɺʃɶɺɵ ɽɻɱɶɾɼɬ ɺɻɱɼɬɾɺɼɬ ܵ.ɑɽɷɴߵ
ɯɼɬɹɴʃɹɬʋ ɾɺʃɶɬ ɽɻɱɶɾɼɬܵ, ɾɺ ɱɽɾʈɮ ɻɼɺɴɳɮɺɷʈɹɺɵ ɱɱ ɺɶɼɱɽɾɹɺɽɾɴ ɴɸɱʊɾɽʋ ɼɱɯɿɷʋɼɹʇɱ ɾɺʃɶɴܵ, ɾɺ ɺɽɺɭɬʋ ɾɺʃɶɬ(ߵେdzߵୈ)ɺɻɱɼɬɾɺɼʀɿɹɶʂɴɴϑdzɾɬɶɬʋ, ʃɾɺ ߵେߵୈ=ߵ ʋɮɷʋɱɾɽʋ ɻɼɱɰɱɷʈɹɺɵ ɰɷʋ ɸɹɺɲɱɽɾɮɬ ɼɱɯɿɷʋɼɹʇʁ ɾɺʃɱɶ ɺɻɱɼɬɾɺɼ ʀɿɹɶʂɴɴϑ.ɘʇ ɰɺɶɬɲɱɸ, ʃɾɺ ɽʀɺɼɸɿɷɴɼɺɮɬɹɹʇɱɮʇʄɱɼɱɳɿɷʈɾɬɾʇ, ʋɮɷʋʊɾɽʋ ɾɺʃɹʇɸɴ.Ɏɺ ɮɽɱʁ ɻɱɼɱʃɴɽɷɱɹɹʇʁ ɽɷɿʃɬʋʁ ɼɬɽɽɿɲɰɱɹɴʋ ɭɿɰɿɾ ɻɼɺɮɺɰɴɾʈɽʋ ɻɺ ɺɰɹɺɸɿ ɴ ɾɺɸɿ ɲɱ ɻɷɬɹɿ. ɛɺʉɾɺɸɿ ɸʇ ɺɯɼɬɹɴʃɴɸɽʋ ɷɴʄʈɺɰɹɴɸ ʁɬɼɬɶɾɱɼɹʇɸ ɽɷɿʃɬɱɸ. ɛɿɽɾʈȧ1ȧ2≤¡•¬ఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈ
(9)ɜɬɽɽɸɺɾɼɴɸ ɽɷɿʃɬɵ, ɶɺɯɰɬ ɴɸɱɱɾ ɸɱɽɾɺ ɽɾɼɺɯɺɱ ɹɱɼɬɮɱɹɽɾɮɺ:
ȧ1ȧ2<¡•¬ఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈ
(9È)
ɐɺɶɬɲɱɸ, ʃɾɺ ɻɼɴ ɳɬɰɬɹɹʇʁ߫େdz߫ୈ,ɹɬɻɼɴɸɱɼ,߫େ=΄dz߫ୈ=΄,ɾɺ ɱɽɾʈɻɼɴ ݔ(ݢେdzݢୈ),ɻɼɺɭɱɯɬʊʅɱɸ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɱܷܹdz,ɸɹɺɲɱɽɾɮɺ ɼɱʄɱɹɴɵ
{ݧ(ݢେdzݢୈ)}ɶɼɬɱɮɺɵ ɳɬɰɬʃɴ (1) (2) ɹɱ ɻɺɶɼʇɮɬɱɾɽʋ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺɸ ܷܹఛ1dzఛ2
. ɔɳ (9)ɽɷɱɰɿɱɾ, ʃɾɺ ɮ ɽɻɱɶɾɼɱ ɺɻɱɼɬɾɺɼɬ ܵɹɬɵɰɱɾɽʋ ɾɬɶɬʋɯɼɬɹɴʃɹɬʋ (ɰɷʋ ɽɻɱɶɾɼɬ)ɾɺʃɶɬ ߵɴ ɾɬɶɴɱ ɽɺɸɹɺɲɴɾɱɷɴ ߵେdzߵୈ, ʃɾɺ ߵେߵୈ=ߵ; (ߵେdzߵୈ)
ɺɽɺɭɬʋ ɾɺʃɶɬ ɺɻɱɼɬɾɺɼ ʀɿɹɶʂɴɵ ϑ(ߵେdzߵୈ) ; (ߵେdzߵୈ) Ã ɻɼɱɰɱɷʈɹɬʋ ɾɺʃɶɬ ɰɷʋ ɸɹɺɲɱɽɾɮɬ ɼɱɯɿɷʋɼɹʇʁ ɾɺʃɱɶ ʉɾɺɵ ɺɻɱɼɬɾɺɼʀɿɹɶʂɴɴ݆ݓߵେ>߬େdz݆ݓߵୈ>߬ୈ.ɛɼɴɸɱɹɴɸ ɶ ʉɾɺɵ ɺɽɺɭɺɵ ɾɺʃɶɱ ɷɱɸɸɿ1ɴɳ P10R, ɻɼɴʃɱɸ ɺɯɼɬɹɴʃɴɸɽʋɰɷʋ ɻɼɺɽɾɺɾʇ ɽɷɿʃɬɱɸ (7). Ɏʇɭɱɼɱɸ ɮ ɶɬʃɱɽɾɮɱ ɻɼɬɮɺɵʃɬɽɾɴݔ(ݢେdzݢୈ) ɻɺɽɾɺʋɹɹʇɵ ʉɷɱɸɱɹɾ ݦɴɳ (7).ɛɺɰɽɾɬɮɷʋʋ ɳɹɬʃɱɹɴʋ(ܽ−ௌత1త2)େݦ ɴɳ(7)ɮ ʀɺɼɸɿɷɿ (3), ɻɺɷɿʃɴɸ:
ݧ=−(΅Άߺݗ)ୈ(ܽ−ߵେ݇େ)େ݇େ(ܽ−ߵୈ݇ୈ)େ݇ୈߵେߵୈ(ߵେ−ߵେ)(ߵୈ−ߵୈ)−జ2జ1−(ܽ−ܵߵେߵୈ)େܵߵେdzߵୈ(ߵେߵେ−ߵେ+ߵୈߵୈ−ߵୈ)ݦݒߵେߵେݒߵୈߵୈ=ݧେ+ݧୈɯɰɱݧେ=−(΅Άߺݗ)ୈ(ܽ−ߵେ݇େ)େ݇େ(ܽ−ߵୈ݇ୈ)େ݇ୈజ2జ1ߵେߵୈ(ߵେ−ߵେ)(ߵୈ−ߵୈ)ݦݒߵେߵେݒߵୈߵୈ==(ܽ−ߵେ݇େ)େ݇େ(ܽ−ߵୈ݇ୈ)େ݇ୈݦ
ݧୈ=−(΅Άߺ௮)ୈ(ܽ−ߵେ݇େ)େ݇େ(ܽ−ߵୈ݇ୈ)େ݇ୈజ2జ1(ܽ−ܵߵେߵୈ)େܵߵେdzߵୈππ(ߵେߵେ−ߵେ+ߵୈߵୈ−ߵୈ)ݦݒߵେߵେݒߵୈߵୈɝɷɿʃɬɵ (8)ɹɴɶɬɶɴʁ ɰɺɻɺɷɹɴɾɱɷʈɹʇʁ ɻɼɴɹʂɴɻɴɬɷʈɹʇʁ ɾɼɿɰɹɺɽɾɱɵ ɹɱ ɮʇɳʇɮɬɱɾ.ɟʃɴɾʇɮɬʋ, ʃɾɺ
ۧۨۦۨۥ(ܽ−ߵେ݇େ)େ݇େݔ(ݢେdzݢୈ)
=සݓత1(௹1௸1)௹ݔ(ݡେdzݢୈ)ݒݡେ(ܽ−ߵୈ݇ୈ)େ݇ୈݔ(ݢେdzݢୈ)=සݓత2(௹2௸2)௹ݔ(ݢେdzݡୈ)ݒݡୈ
ɔ ɻɺɷɬɯɬʋ ݔ(ݢେdzݢୈ)=ݦ, ɻɺɷɿʃɴɸ
ݧେ=େత10dzత20(΅−ݓత10௹1)(΅−ݓత20௹2)ݦ (10)
Ɏɧɣɔɝɗɔɘ ɾɱɻɱɼʈ ݧୈ. ɍɱɼʋ ɮ ɶɬʃɱɽɾɮɱ ߭େdz߭ୈ. ɺɶɼɿɲɹɺɽɾɴ ɽ ʂɱɹɾɼɺɸ ɮ »0¼ ɰɺɽɾɬɾɺʃɹɺ ɭɺɷʈʄɴʁ ɼɬɰɴɿɽɺɮ, ɸɺɲɱɸ ɻɴɽɬɾʈ:
త10త1త10=ϕ(త10త1)௶େை௶; త20త2త20=ϕ(త20త2)௵େை௶,
ɴ ɰɬɷɱɱ (ܽ−ߵେ݇େ)େ݇େ=ϕߵେ௳݇େ௳େை௳; (ܽ−ߵୈ݇ୈ)େ݇ୈ=ϕߵୈ௲݇ୈ௲େை௲;(ܽ−ܵߵେߵୈ)େ=ෟ(ܵߵେߵୈ)ୈை௷ɛɺɰɽɾɬɮɷʋʋʉɾɴ ɼɬɳɷɺɲɱɹɴʋɮ ʀɺɼɸɿɷɿ ɰɷʋ ݧୈ,ɴ ɮʇɻɺɷɹʋʋ ɻɺʃɷɱɹɹɺɱ ɴɹɾɱɯɼɴɼɺɮɬɹɴɱ ɽ ɿʃɱɾɺɸ ɾɺɯɺ, ʃɾɺߵ௰ݒߵ={΄ˤ˥˝ݙ≠−΅Άߺݗˤ˥˝ݙ=−΅dzɻɺɷɿʃɬɱɸ ɮɺɳɸɺɲɹɺɽɾʈ ɽɮɱɼɹɿɾʈ ɼʋɰʇ ɽɷɱɰɿʊʅɴɸ ɺɭɼɬɳɺɸ: ݧୈ=(ܽ−݇େ݇ୈܵ)େ݇େ݇ୈ(ܽ−ߵେ݇େ)େߵେ݇େݦ
++(ܽ−݇େ݇ୈܵ)େ݇େ݇ୈ(ܽ−ߵୈ݇ୈ)େߵୈ݇ୈݦ
(11)ɔɳ ʀɺɼɸɿɷ (10), (11)ɷɱɯɶɺ ɻɺɷɿʃɴɾʈ ɾɼɱɭɿɱɸʇɵ ɼɱɳɿɷʈɾɬɾ.ɛɺɮɱɰɱɸ ɰɺɶɬɳɬɾɱɷʈɽɾɮɺ ɺɾ ɻɼɺɾɴɮɹɺɯɺ.ɛɿɽɾʈ ɻɼɴ ɮɽʋɶɺɸ ݔעܷܹdz ɼɱʄɱɹɴɱ
ݧעܷܹఛ1dzఛ2,ɾɺ ɱɽɾʈ
Գݧ(ݢେdzݢୈ)Գ=Գ(ܽ−݇େ݇ୈܵ)େ݇େ݇ୈݔԳ<ܸݓఛ1௹1ఛ2௹2 , ܸ=ܸ௫
(12)ɛɼɴ ݔ=ݦɴɸɱɱɸ:ݧ=ݧେ+ݧୈݧେ=΅ߵେdzߵୈ(΅−ݓత10௹1)(΅−ݓత20௹2)ǴԳݧ(ݢେdzݢୈ)Գݓ௪త10௹1௪త20௹2=΅ȓߵେߵୈȓ΅−ݓత10௹1ݓ௪త10௹1΅−ݓత20௹2ݓ௪త20௹2ɫɽɹɺ, ʃɾɺ Գݧ(ݢେdzݢୈ)Գݓ௪త10௹1௪త20௹2շ΄ˤ˥˝ݢେծύdzݢୈծύɝ ɰɼɿɯɺɵ ɽɾɺɼɺɹʇ,ɻɼɴ ݔ=ݦעܷܹdz ɮɽɷɱɰɽɾɮɴɱ(12)Գ(௹1dz௹2)Գ௪ೕೢജ10ೱ1ైೕೢജ20ೱ2ծ΄ˤ˥˝ݢେծύdzݢୈծύɎ ɾɺ ɲɱ ɮɼɱɸʋԳݧୈ(ݢେdzݢୈ)Գݓ௪త10௹1௪త20௹2ծ΄ˤ˥˝ݢେdzݢୈծύɛɺɽɷɱɰɹɱɱ ɷɱɯɶɺ ɮʇɾɱɶɬɱɾ ɴɳ ʀɺɼɸɿɷʇ (11). ɐɱɵɽɾɮɴɾɱɷʈɹɺ, ɾɬɶ ɶɬɶ ݧ=(ܽ−݇େ݇ୈܵ)େ݇େ݇ୈݦ ,
ɾɺ ݧୈ=(ܽ−ߵେ݇େ)େ݇େݧ
+(ܽ−ߵୈ݇ୈ)େ݇ୈݧ==සݓత10(௹1௸1)௹1ݧ(ݡେdzݢୈ)ݒݡେ+සݓత20(௹2௸2)௹2ݧ(ݢେdzݡୈ)ݒݡୈɠɿɹɶʂɴʋ, ɻɼɴɹɬɰɷɱɲɬʅɬʋ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɿ
ܷܹఛ1dzఛ2dzɺɾ ɻɼɴɸɱɹɱɹɴʋ ɺɻɱɼɬɾɺɼɺɮ (ܽ−ߵେ݇େ)େ݇େ ɴɷɴ (ܽ−ߵୈ݇ୈ)େ݇ୈ ɻɼɱɺɭɼɬɳɿɱɾɽʋ ɮ ʀɿɹɶʂɴʊ ɴɳ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɬ ܷܹ௪త10dzఛ2 ɴɷɴ Cܹఛ1dz௪త20 ɽɺɺɾɮɱɾɽɾɮɱɹɹɺ. ɞɬɶɴɸ ɺɭɼɬɳɺɸ ɼɬɮɱɹɽɾɮɺ
ݧ=ݧେ+ݧୈ,ɽɺɰɱɼɲɴɾ ɻɼɺɾɴɮɺɼɱʃɴɱ:ɱɽɷɴ ɼɬɳɰɱɷɴɾʈ ɺɭɱ ʃɬɽɾɴ ɹɬ ݓ௪త10௹1௪త20௹2 ɴ ɻɺɷɺɲɴɾʈ ݢେdzݢୈծύ,ɾɺ ɷɱɮɬʋ ʃɬɽɾʈ ɴ ɮɾɺɼɺɱ ɽɷɬɯɬɱɸɺɱ ɻɼɬɮɺɵ ʃɬɽɾɴ ɿɽɾɼɱɸʋɾɽʋ ɶ ɹɿɷʊ, ɮ ɾɺɮɼɱɸʋ, ɶɬɶ ɻɱɼɮɺɱ ɽɷɬɯɬɱɸɺɱ ɻɼɬɮɺɵ ʃɬɽɾɴ ɹɱ ɭɿɰɱɾ ɭɱɽɶɺɹɱʃɹɺ ɸɬɷʇɸ.ɜɬɽɽɸɺɾɼɴɸ ɾɱɻɱɼʈ ɽɷɿʃɬɵ, ɶɺɯɰɬ ɮ(9)ɴɸɱɱɾ ɸɱɽɾɺ ɼɬɮɱɹɽɾɮɺ
ȧ1ȧ2=¡•¬ఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈ
(9Æ)
ɛɺɶɬɲɱɸ, ʃɾɺ ɴ ɮ ʉɾɺɸ ɽɷɿʃɬɱ ɻɼɴ ݔ, ɻɼɺɭɱɯɬʊʅɱɸ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺ ܷܹఛ1dzఛ2 ɸɹɺɲɱɽɾɮɺ ɼɱʄɱɹɴɵ ɹɱ ɻɺɶɼʇɮɬɱɾɽʋ ʉɾɴɸ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺɸ. ɐɺɶɬɳɬɾɱɷʈɽɾɮɺ ɻɺɮɱɰɱɸ ɺɾ ɻɼɺɾɴɮɹɺɯɺ. ɛɿɽɾʈ ɻɼɴ ݔࠅܷܹఛ1dzఛ2ɮɽɱɯɰɬ ݧࠅܷܹఛ1dzఛ2. ɩɾɺ ɳɹɬʃɴɾ, ʃɾɺ ɷɴɹɱɵɹʇɵ "ɼɬɳɼɱʄɬʊʅɴɵ" ɺɻɱɼɬɾɺɼݧ=ʤݔɰɱɵɽɾɮɿɱɾ ɮ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɱ ܷܹఛ1dzఛ2. ɛɺ ɷɱɸɸɱ 2[10]ʉɾɺɾ ɺɻɱɼɬɾɺɼ ɳɬɸɶɹɿɾ ɴ,ɽɷɱɰɺɮɬɾɱɷʈɹɺ,ɺɯɼɬɹɴʃɱɹ ɻɺ ɹɺɼɸɱ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɬ ܷܹఛ1dzఛ2.ɫɽɹɺ, ʃɾɺ ɱɽɷɴ ɮ ɶɼɬɱɮɺɵ ɳɬɰɬʃɱ (1)(2) ɺɻɱɼɬɾɺɼ ܵ ɻɺɰɮɱɼɯɹɿɾʈ ɻɼɺɴɳɮɺɷʈɹɺɸɿ, ɹɺ ɰɺɽɾɬɾɺʃɹɺ ɸɬɷɺɸɿ ɻɺ ɹɺɼɸɱ ɮɺɳɸɿʅɱɹɴʊ, ɾɺ ɰɷʋ ɹɺɮɺɵ ɶɼɬɱɮɺɵ ɳɬɰɬʃɴ ɺɯɼɬɹɴʃɱɹɹɺɽɾʈ ɼɬɳɼɱʄɬʊʅɱɯɺ ɺɻɱɼɬɾɺɼɬ ɽɺʁɼɬɹɴɾɽʋ. Ɏ ɽɬɸɺɸ ɰɱɷɱ:ʤሃ=ቐܽ−݇େ݇ୈ(ܵ+߯ܶ)ቑେ݇େ݇ୈ=ቐܽ−݇େ݇ୈܵ+݇େ݇ୈ߯ܶ)ቑେ݇େ݇ୈ==ቐ(ܽ−݇େ݇ୈܵ)(ܽ−(ܽ−݇େ݇ୈܵ)େ݇େ݇ୈ߯ܶ)ቑେ݇େ݇ୈʤሃ=(ܽ−߯ʤܶ)େʤ={ෟ߯௳(ʤܶ)௳ை௳൳ʤɜʋɰ ɮ ɻɺɽɷɱɰɹɱɵ ʃɬɽɾɴ ɽʁɺɰɴɾɽʋ ɴ ɽɿɸɸɬ ɱɯɺ ʋɮɷʋɱɾɽʋ ɺɯɼɬɹɴʃɱɹɹʇɸ ɺɻɱɼɬɾɺɼɺɸ, ɱɽɷɴ ɾɺɷʈɶɺ߯<΅ԳʤԳచ1dzచ2ԳܶԳచ1dzచ2Ɏɺɳʈɸɱɸ ɮ ɶɬʃɱɽɾɮɱ ɮɺɳɸɿʅɱɹɴʋ ɺɻɱɼɬɾɺɼ ߯ܵ, ɾɺ ɱɽɾʈɻɿɽɾʈ ʤሃ=(ܽ−݇େ݇ୈܵԴ)େ݇େ݇ୈ=ቐܽ−݇େ݇ୈ(΅+߯)ܵቑେ݇େ݇ୈɎɽɱ ɾɺʃɶɴ ɽɻɱɶɾɼɬ ɺɻɱɼɬɾɺɼɬ ܵ
ɻɼɴ ʉɾɺɸ ɿɸɹɺɲɬʊɾɽʋ ɹɬ΅+߯, ɾɺ ɱɽɾʈɴʁ ɸɺɰɿɷʈ ɿɸɹɺɲɴɾɽʋ ɹɬ ʉɾɺ ʃɴɽɷɺ, ɬ ɬɼɯɿɸɱɹɾ ɹɱ ɴɳɸɱɹɴɾɽʋ. ɫɽɹɺ, ʃɾɺ ɻɼɴ ʉɾɺɸ ݛݏݦఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈ=(΅+߯)ݛݏݦఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈɑɽɷɴ ɰɷʋ ɻɼɱɲɹɱɯɺ ɺɻɱɼɬɾɺɼɬ
ܵɴɸɱɷɺ ɸɱɽɾɺ (9Æ), ɾɺ ɰɷʋ ɹɺɮɺɯɺ ɺɻɱɼɬɾɺɼɬ
ܵԴɭɿɰɱɾ ɴɸɱɾʈ ɸɱɽɾɺ (9È). əɺ ɮ ɽɷɿʃɬɱ (9È)ɸʇ ɰɺɶɬɳɬɷɴ, ʃɾɺ ɱɽɷɴ ɻɼɬɮɬʋ ʃɬɽɾʈ ɻɼɺɭɱɯɬɱɾ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺ
ܷܹఛ1dzఛ2(ɴ ɰɬɲɱ
ܷܹdz), ɾɺ ɽɺɺɾɮɱɾɽɾɮɿʊʅɬʋ ɽɺɮɺɶɿɻɹɺɽɾʈ ɼɱʄɱɹɴɵ {ݧ(ݢେdzݢୈ)}ɹɱ ɻɺɶɼʇɮɬɱɾɽʋ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺɸܷܹఛ1dzఛ2. ɛɺɷɿʃɱɹɺɻɼɺɾɴɮɺɼɱʃɴɱ.Ɏ ɴɾɺɯɱ ɻɼɴʄɷɴ ɶ ɽɷɱɰɿʊʅɱɸɿɼɱɳɿɷʈɾɬɾɿ.ɛɿɽɾʈ ɮ ɶɼɬɱɮɺɵ ɳɬɰɬʃɱ (1)Ã(2)ɻɼɬɮɬʋ ʃɬɽɾʈ ɻɼɺɭɱɯɬɱɾ ɹɱɶɺɾɺɼɺɱ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺ
ܷܹఛ1dzఛ2.ɐɷʋɾɺɯɺ, ʃɾɺɭʇ ɽɺɮɺɶɿɻɹɺɽɾʈ ɽɺɺɾɮɱɾɽɾɮɿʊʅɴʁ ɼɱʄɱɹɴɵ ɻɺɶɼʇɮɬɷɺɽʈ ʉɾɴɸ ɲɱ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺɸ, ɹɱɺɭʁɺɰɴɸɺ ɴ ɰɺɽɾɬɾɺʃɹɺ, ʃɾɺɭʇ ɮʇɻɺɷɹʋɷɺɽʈ ɿɽɷɺɮɴɱ:߬େ߬ୈ>¡•¬ఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈɌɹɬɷɺɯɴʃɹʇɸɴ ɼɬɽɽɿɲɰɱɹɴʋɸɴ ɸɺɲɹɺ ɴɽɽɷɱɰɺɮɬɾʈ ɶɬɲɰʇɵ ɴɳ ɽɷɿʃɬɱɮ, ɻɼɱɰɽɾɬɮɷɱɹɹʇʁ ɮ ɾɬɭɷɴʂɱ 1.ɛɺɰɮɺɰʋ ɺɭʅɴɵ ɴɾɺɯ, ɸɺɲɹɺ ɽʀɺɼɸɿɷɴɼɺɮɬɾʈ ɽɷɱɰɿʊʅɱɱ ɻɼɱɰɷɺɲɱɹɴɱ.ɛɿɽɾʈ ɮ ɶɼɬɱɮɺɵ ɳɬɰɬʃɱ (I)(2)ɻɼɬɮɬʋ ʃɬɽɾʈ ɻɼɺɭɱɯɬɱɾ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺ ܷܹచ1dzచ2. ɐɷʋ ɾɺɯɺ, ʃɾɺ ɭʇɽɺɮɺɶɿɻɹɺɽɾʈ ɼɱʄɱɹɴɵ ݧɻɺɶɼʇɮɬɷɺɽʈ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɺɸ ܷܹఛ1dzఛ2 ɹɱɺɭʁɺɰɴɸɺ, ʃɾɺɭʇ ߬େ≥߫େǴ߬ୈ≥߫ୈǴ߬େ߬ୈ≥ݛݏݦఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈɴ ɰɺɽɾɬɾɺʃɹɺ, ʃɾɺɭʇ ߬େ>߫େǴ߬ୈ>߫ୈǴ߬େ߬ୈ>ݛݏݦఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈɑɽɷɴ ɲɱ߬େ=߫େǴ߬ୈ=߫ୈǴ߬େ߬ୈ=ݛݏݦఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈ,ɾɺ ɽɿʅɱɽɾɮɿɱɾ ݔࠅܷܹఛ1dzఛ2 ɰɷʋ ɶɺɾɺɼɺɯɺ ݧࠅܷܹఛ1dzఛ2ɔɾɺɯɺɮɺɸɿ ɼɱɳɿɷʈɾɬɾɿ ɸɺɲɹɺ ɰɬɾʈ ɽɷɱɰɿʊʅɱɱ ɹɬɯɷʋɰɹɺɱ ɾɺɷɶɺɮɬɹɴɱ.ɛɿɽɾʈ (߫େdz߫ୈ)Ãɾɺʃɶɬ, ɺɾɮɱʃɬʊʅɬʋ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɿ ܷܹచ10dzచ20, ɴɳ ɶɺɾɺɼɺɯɺ ɭɱɼɿɾɽʋ ɻɼɬɮʇɱ ʃɬɽɾɴ ݔ(ݢେdzݢୈ)ɶɼɬɱɮɺɵ ɳɬɰɬʃɴ (1) Ã(2). ɖɬɶɺɮʇ ɲɱ ɾɺʃɶɴ (߬େdz߬ୈ), ɰɷʋ ɶɺɾɺɼʇʁ ɽɺɺɾɮɱɾɽɾɮɿʊʅɴɱ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɬ ܷܹఛ1dzఛ2ɻɺɶɼʇɮɬʊɾ ɽɺɮɺɶɿɻɹɺɽɾʈ ɼɱʄɱɹɴɵ?Ɏʇʃɴɽɷɴɸ ߭=ݛݏݦఫ(ௌ)(݆ݓϐߵ)ୈ. Ɏ ɻɷɺɽɶɺɽɾɴ (߫େdz߫ୈ)ɼɬɽɽɸɺɾɼɴɸ ɻɼɬɮɿʊ ɮɱɾɮʈ ɯɴɻɱɼɭɺɷʇ ߫ୈ=జచ1; ߫େ>΄.ɜɬɳɷɴʃɬɱɸ ɰɮɬ ɽɷɿʃɬʋ:10. ɞɺʃɶɬ (߫େdz߫ୈ)ɷɱɲɴɾ ɮʇʄɱ (ɻɼɬɮɱɱ) ʉɾɺɵ ɮɱɾɮɴ. ɞɺɯɰɬ ɸɹɺɲɱɽɾɮɺ ɰɺɻɿɽɾɴɸʇʁ ɾɺʃɱɶ (߬େdz߬ୈ)Ãɶɮɬɰɼɬɹɾ, ɼɬɽɻɺɷɺɲɱɹɹʇɵ ɽɻɼɬɮɬ ɴ ɽɮɱɼʁɿ ɺɾ(߫େdz߫ୈ). (ɝɾɺɼɺɹʇ ɶɮɬɰɼɬɹɾɬ ɻɬɼɬɷɷɱɷʈɹʇ ɶɺɺɼɰɴɹɬɾɹʇɸ ɺɽʋɸ) (ɼɴɽ. 1).20. ɞɺʃɶɬ (߫େdz߫ୈ)ɷɱɲɴɾ ɹɴɲɱ (ɷɱɮɱɱ) ʉɾɺɵ ɮɱɾɮɴ. ɞɺɯɰɬ ɸɹɺɲɱɽɾɮɺ ɰɺɻɿɽɾɴɸʇʁ ɾɺʃɱɶ ɽɺɽɾɺɴɾ ɴɳ ɾɺʃɱɶ ɿɻɺɸʋɹɿɾɺɯɺ ɶɮɬɰɼɬɹɾɬ, ɶɺɾɺɼʇɱ ɹɬʁɺɰʋɾɽʋ ɮʇʄɱ (ɻɼɬɮɱɱ) ɮɱɾɮɴ ɯɴɻɱɼɭɺɷʇ (ɼɴɽ. 2).
ɝɽʇɷɶɴ ɹɬ ɴɽɾɺʃɹɴɶɴ1.ɜɿɾɸɬɹ ɘ.Ɍ. ɚ ɻɺɼʋɰɶɱ ʉɶɽɻɺɹɱɹʂɴɬɷʈɹɺɯɺ ɼɺɽɾɬ ɼɱʄɱɹɴɵ ɹɱɶɺɾɺɼʇʁ ɽɴɽɾɱɸ ɷɴɹɱɵɹʇʁ ɰɴʀʀɱɼɱɹʂɴɬɷʈɹʇʁ ɿɼɬɮɹɱɹɴɵ ɽ ʃɬɽɾɹʇɸɴ ɻɼɺɴɳɮɺɰɹʇɸɴ// ɐɌə ɝɝɝɜ, 124:4 (1959) ɝ.764Ã7672.ɜɿɾɸɬɹ ɘ.Ɍ. ɚɭ ɺɯɼɬɹɴʃɱɹɹɺɽɾɴ ɼɱʄɱɹɴɵ ɹɱɶɺɾɺɼʇʁ ɶɷɬɽɽɺɮ ɹɱɽɾɬʂɴɺɹɬɼɹʇʁ ɶɼɬɱɮʇʁ ɳɬɰɬʃ ɮ ɭɬɹɬʁɺɮɺɸ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɱ// ɞɱɳɴɽʇ ɶɼ. ɹɬɿʃ. ɽɺɺɭʅɱɹɴɵ ɘɱɲɰɿɹɬɼɺɰɹɺɯɺ ɶɺɹɯɼɱɽɽɬ ɸɬɾɱɸɬɾɴɶɺɮ, ɝɱɶʂɴʋ 5, ɘ: (1966) ɝ.70Ã713.Orlik L.K., Rutman M.A. Exponential indices of solutions of ordinary linear differential equations with periodic coefficients// Russian Mathematics. 1982. ɞ. 26. ʝ 6. ɝ.1041064.Orlik L.K. Exponential characteristic of a linear differential equation of first order in Banach space // Ukrainian Mathematical Journal.1989. ɞ. 41, ʝ 9. ɝ. 111111125.ɚɼɷɴɶ ɗ.ɖ. ɚɭ ʉɶɽɻɺɹɱɹʂɴɬɷʈɹɺɵ ʁɬɼɬɶɾɱɼɴɽɾɴɶɱ ɴɹɾɱɯɼɬɷʈɹɺɯɺ ɺɻɱɼɬɾɺɼɬ Ɏɺɷʈɾɱɼɼɬ ɽ ɻɱɼɴɺɰɴʃɱɽɶɴɸ ʋɰɼɺɸ, ɳɬɮɴɽʋʅɴɸ ɺɾ ʃɱɾʇɼɱʁ ɻɱɼɱɸɱɹɹʇʁ // ɐɴʀʀɱɼɱɹʂɴɬɷʈɹʇɱ ɿɼɬɮɹɱɹɴʋ. 1989. ɞ. 25, C 10. ɝ. 181918216.ɚɼɷɴɶ ɗ.ɖ. ɩɶɽɻɺɹɱɹʂɴɬɷʈɹɬʋ ʁɬɼɬɶɾɱɼɴɽɾɴɶɬ ɹɱɶɺɾɺɼʇʁ ɷɴɹɱɵɹʇʁ ɿɼɬɮɹɱɹɴɵ ɽ ʃɬɽɾɹʇɸɴ ɻɼɺɴɳɮɺɰɹʇɸɴ, ɺɭɷɬɰɬʊʅɴʁ ɽɾɬɼʄɴɸ ʃɷɱɹɺɸ // Ɏ ɽɭɺɼɹɴɶɱ: ɘɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɴɱ ɸɱɾɺɰʇ ɴ ɻɼɴɷɺɲɱɹɴʋ 14 ɸɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɴɱ ʃɾɱɹɴʋ ɜɏɝɟ: ɾɼɿɰʇ. ɜɺɽɽɴɵɽɶɴɵ ɯɺɽɿɰɬɼɽɾɮɱɹɹʇɵ ɽɺʂɴɬɷʈɹʇɵ ɿɹɴɮɱɼɽɴɾɱɾ.2005.ɝ.76Ã827.ɚɼɷɴɶ ɗ.ɖ. ɚɰɱɽɽɶɴɵ ɸɬɾɱɸɬɾɴɶ ɜɿɾɸɬɹ ɘ.Ɍ.: ɽɺɮɱɾɽɶɬʋ ʉɻɺʁɬ ɴ ɸɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɺɱ ɹɬɽɷɱɰɴɱ// Ɏ ɽɭɺɼɹɴɶɱ: ɘɬɾɱɸɬɾɴʃɱɽɶɺɱ ɸɺɰɱɷɴɼɺɮɬɹɴɱ ɽɺʂɴɬɷʈɹʇʁ ɻɼɺʂɱɽɽɺɮ ɴ ɽɺɮɼɱɸɱɹɹʇɱ ɺɭɼɬɳɺɮɬɾɱɷʈɹʇɱ ɾɱʁɹɺɷɺɯɴɴ.2012.ɝ.1391528.ɜɿɾɸɬɹ ɘ.Ɍ. ɚ ɹɱɶɺɾɺɼʇʁ ɺɻɱɼɬɾɺɼɹʇʁ ɿɼɬɮɹɱɹɴʋʁ ɮ ɻɺɷɿɿɻɺɼʋɰɺʃɱɹɹɺɸ ɻɼɺɽɾɼɬɹɽɾɮɱ, ɴɸɱʊʅɴʁ ɻɼɴɸɱɹɱɹɴɱ ɮ ɾɱɺɼɴɴ ɿɽɾɺɵʃɴɮɺɽɾɴ ɻɺ ɗʋɻɿɹɺɮɿ// ɐɌə, 101 (1955), ʝ2. Ãɝ.217Ã2209.ɜɿɾɸɬɹ ɘ.Ɍ. ɝɻɱɶɾɼɬɷʈɹʇɱ ɻɼɴɳɹɬɶɴ ɿɽɾɺɵʃɴɮɺɽɾɴ ɻɺ ɗʋɻɿɹɺɮɿ ɰɷʋ ɹɱɶɺɾɺɼʇʁ ɽɴɽɾɱɸ ɷɴɹɱɵɹʇʁ ɰɴʀʀɱɼɱɹʂɴɬɷʈɹʇʁ ɿɼɬɮɹɱɹɴɵ ɽ ʃɬɽɾɹʇɸɴ ɻɼɺɴɳɮɺɰɹʇɸɴ// ɐɌə, 101 (1955), ʝ6. ɝ.993Ã99610.ɖɼɬɸɱɼ ɫ.ɝ., ɚɼɷɴɶ ɗ.ɖ. ɚ ɼɬɽʄɴɼɱɹɴɴ ɻɺɹʋɾɴʋ ɿɽɾɺɵʃɴɮɺɽɾɴ ɻɺ ɗʋɻɿɹɺɮɿ //əɬɿʃɹɺÃɸɱɾɺɰɴʃɱɽɶɴɵ ʉɷɱɶɾɼɺɹɹʇɵ ɲɿɼɹɬɷ »ɖɺɹʂɱɻɾ¼.2017.
Рис. 1Рис. 2
