Развитие математической интуиции учащихся
ART 970731
Авторы:
И.
С. Евдокимова, А.
А. Шатохина
И.
С. Евдокимова, А.
А. Шатохина Библиографическое описание статьи для цитирования:
Евдокимова
И.
С.,
Шатохина
А.
А. Развитие математической интуиции учащихся // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2017. – Т. 39. – С.
2021–2025. – URL:
http://e-koncept.ru/2017/970731.htm.
Аннотация. В статье рассматриваются роль и место интуиции в математике, соотношение интеллектуального мышления и интуитивного созерцания. Авторами подчеркивается специфика математической интуиции в изучении самого предмета. Выявляется особенность интуиции при формировании математических теорий. В статье приведены примеры применения интуитивного мышления на разных этапах деятельности при изучении математики.
Текст статьи
Евдокимова Ирина Сергеевна, студент,ФГБОУ ВО «Смоленский государственный университет», г. Смоленскаirkadyrk@yandex.ru
Шатохина Анастасия Андреевна,студент,ФГБОУ ВО «Смоленский государственный университет», г. Смоленскаkosha4ka67@mail.ru
Развитие математической интуиции учащихся
Аннотация. В статье рассматриваются роль и место интуиции в математике, соотношение интеллектуального мышления и интуитивного созерцания. Авторами подчеркивается специфика математической интуиции в изучении самого предмета. Выявляется особенность интуиции при формировании математических теорий. В статье приведены примеры применения интуитивного мышления на разных этапах деятельности при изучении математики.Ключевые слова: математическая интуиция, предзнание, послезнание, оценка ситуации, прикидка, анализ.
В условиях перехода системы образования на новые федеральные государственные образовательные стандарты требования к качеству математического образования учащихся серьезно возросли, что приводит к необходимости в дальнейшем совершенствования теории и методики обучения математике. Важный резерв совершенствования методики обучения, усиления ее развивающей составляющей заключается в объединениианалитической левополушарной деятельности, доминирующей сегодня в реальном учебном процессе, с правополушарной, придающей этой деятельности синтетическую творческую направленность. В связи с этим необходимо в большей степени придавать значение исследованию проблемы интуиции в учебном математическом познании учащихся.Ряд известных учёных(Ж. Адамар, К. Дункер, Ю.М. Колягин, Н. Майер, А.И. Маркушевич, Д.Д. МордухайБолтовский, А. Пуанкаре, В. Хаекер, А.Я. Хинчин, Т. Циген,
С.И. Шварцбурд и др.)—математиков, психологов, педагогов, методистов —указывают на значительную роль интуиции в процессе обучения математике и на важность развития интуиции учащихся. «Главная цель обучения математике —это развить известные способности ума, а между этими способностями интуиция отнюдь не является наименее ценной», —писал французский математик А. Пуанкаре[1, с. 359].Его мнение разделял русский математик В. А. Стеклов: "Метод открытия и изобретения один и тот же, та же интуиция, ибо при помощи логики никто ничего не открывает" [2, с. 68].Математическая интуиция имеет сложную структуру и представляет собой неалгоритмический процесс. Постановка задачи, размышление, упорные поиски, накопление знаний и умений, творческие усилия и воля, страстность и одержимость, высокое осознание необходимости достижения определённого результата в своей познавательной деятельности —все этопорождает интуицию как эвристический феномен.Очень интересно определяет роль математической интуиции в обучении математике Ян Стюарт: «Я не могу объяснить, что я сам понимаю под интуицией. Просто это то, чем живет настоящий математик (или физик, инженер, поэт). Интуиция позволяет ему "ощущать" свой предмет, видеть, что теорема верна, еще не зная ее формального доказательства, а потом придумывать это доказательство[3, c136].Практически каждый человек в какойто мере обладает математической интуицией. Ею наделен ребенок, складывающий картинку из кубиков, ею обладает всякий, кому удалось уложить вещи в багажник автомобиля, перед тем как всей семьей отправиться на нем в отпуск.Главной целью подготовки математиков следовало сделать оттачивание их интуиции до такой степени, чтобы она превратилась в управляемое орудие исследования.Возможности развития интуиции включены и не столько в содержании обучения, сколько в его методах, в специально ориентированный на этой работе учителя. И такая работа должна быть поддержана способствующие методической литературой, которой пока еще недостаточно. Здесь мы хотим привести несколько общих положений, относящихся к развитию математической интуиции, и подкрепить их примерами.Возможности развития интуиции заключены не столько в содержании обучения, сколько в его методах, в специально ориентированной на этой работе учителя. И такая работа должна быть поддержана соответствующей методической литературой, которой пока еще недостаточно. Здесь мы хотим привести несколько общих положений, относящихся к развитию математической интуиции, и подкрепить их примерами.Одно из проявлений математической интуиции учащихся состоит как бы непосредственном ведении тех или иных математических понятий и фактов без строгих формальных определений и дедуктивных выводов. Такое видение может либо предшествовать систематическому изучению соответствующего раздела математики (предзнание), либо появляется в результате этого изучения (послезнание).Предзнание лежит по сути в основе всего обучения математике в школе, так как, за крайний редкими исключениями, учащийся может понять формально строгое определение только после его усвоения на интуитивном уровне. При этом необходимо специальная работа по развитию интуитивного предзнания не только непосредственно перед введением понятия, но и задолго до этого, особенно для более важных понятий и фактов. С этой целью следует по возможности раньше употреблять соответствующие термины (линия, фигура, тело, длина, площадь, объем, касательная, выпуклость, приближённое равенство и т.п.), даваяим наглядное пояснение;приводить соответствующие факты (площадь целого больше площади частей и равна сумме площадейчастей,составляющих данную фигуру,и т.п.) и предлагать упражнения,направленные наихзакрепление в сознании учащихся.Интуитивное послезнание.Интуитивное знание развивается в основном при разборе конкретных ситуаций–примеров,задач,картинок. Для этого нужно сопровождать такой разбор краткими, пусть огрубленнымиформулировками основных понятий,фактов,идей,на которые желательно направить внимание учащихся.Например:«В этой задаче два неизвестных, поэтому мы составили два уравнения,так как число уравнений должно равняться числу неизвестных»;«Обратите внимание, что она рассматриваемом промежуткеесть хотя бы один корень данного уравнения�(�)=0, поскольку на концах промежутка левая часть уравнения принимает значения разных знаков,аграфик ее сплошная линия, и, значит, в некоторой точкепромежутка он обязательно пересекает ось абсцисс»;«Полученноесоотношение можно условно записать в виде1∞=0. Это отражает тот факт,что,деля единицу на очень большое число,мы получили число очень маленькое,«почти нуль»и т.п.Ориентируясь на развитие интуитивного знания,следует систематически раскрывать «грубый»смысл обсуждаемых основных понятий. Более того,учитывая важную роль «свежих»впечатлений, желательно, чтобы сами определенияосновных понятий максимально способствовали появлению этого смысла. Рассмотрим,например, понятиепроизводной. Вприложениях оно выступает как скорость изменения одной величины по отношению к другой,либо как наклон (угловой коэффициент)элемента графиков функций. Стандартноежеопределение с помощью предела отношения приращения является лишь уточнением (впрочем,весьма существенным),формализациейэтого основного,«грубого» содержанияпонятия. Поэтому как при определении,так и в дальнейшем надо регулярно освещать, демонстрировать это содержание,стараясь внедрять его в интуицию.Следует иметь в виду,что в процессе обучения может развиться не только правильная, но ошибочнаяинтуиция. Так,до самого последнего времени у учащихся глубоко укоренилась ошибочное представление,что «некруглый»ответ (не извлекаются нацелокорни и т.п.) свидетельствует об ошибкев решении.Мы надеемся,что систематическое (начиная примерно с6 класса) применение микрокалькуляторовв школьной практике приведет к разрушению этого представления.Оценка ситуации.Важнейшими проявлениями продуктивной математической интуиции являются умение ориентироваться в новой незнакомой ситуации, способность предвидеть верные результаты, выбирать пути их получения, замечать явные ошибочные выводы. Такая продуктивная интуиция должна опираться на интуитивное видение соответствующих математических понятий и фактов.Навыки правильной предварительной оценки ситуации следует воспитывать при решении как условноприкладных (текстовых), так и чисто математических задач. При решении текстовой задачи желательно с максимальной ясностью представить ситуацию, как бы вообразив себя ее участником, прибегая к схематическим чертежам и неформальному анализу, сравнивая исходные данные задачи с хорошо известными значениями, проводя аналогии и так далее. Для развития продуктивной интуиции очень полезно, чтобы в процессе неформального обсуждения учащиеся пришли к некоторой оценке ожидаемого ответа –в виде неравенства( «более двух часов»), двусторонней оценки («от двух до пяти часов»), прикидке значения («часа три») или хотя бы его порядка («несколько часов»). Такие предварительные оценки у разных учеников могут быть различными, и после полученияточного решения важно выслушать соображения как тех, кто оказался близким к истинному результату, так и «неудачников». Пример: «Первый кран наполняет бассейн за 2 часа, второй –за 4 часа, за сколько часов наполниться бассейн, если оба крана открыты?» Сначала выясняем, что первый кран более мощный. Далее, без всяких выкладок, на основе здравого смысла заключаем, что, поскольку краны помогают друг другу, искомое время составит меньше двух часов. Несколько труднее, но все же не так уж сложно получить и оценку снизу: если бы второй кран был той же мощности, что и первый, то они вместе заполнили бы весь бассейн за 1 ч, значит, искомое время больше чем 1 час. Таким образом, до решения задачи мы получили гарантированную двустороннюю оценку ответа. Получив ответ, надо проверить, что он удовлетворяет этой оценке. Невнимание к подобным оценочным суждениям при обучении математике приводит к тому, что многие школьники (или студенты вуза), получая заведомо неверные ответы, которые даже самая грубая прикидка отбрасывает, спокойно их записывают как решение.Навык освоения ситуации весьма важен для построения математических моделей даже простейших реальных задач, не менее важен, чем формальные навыки решения задач.Предварительную оценку ситуации следует проводить при решении формальных задач.Прикидки.Оценка ситуации и прогноз ответа опираются на навык пользоваться прикидками. Они обычно осуществляются устно, в уме, поэтому требует твердых навыков устного счета. Приближенные прикидки проводят чаще всего с точностью до 12 верных цифр, порой даже до порядка величины. Пример: Пусть надо произвести прикидку значения ܽ=2,371∗72251,6+0,0976�.Числитель приближенно равен 2б4∗7∗102≈17∗102. В знаменателе второе слагаемое на два порядка меньше первого, а потому второе слагаемое можно не учитывать. Значит, ܽ≈17∗1025∗10≈34.Отметим, что значение ܽ, подсчитанное на микрокалькуляторе и округленное по известным правилам, равно 33,0.Полезными для развития числовой интуиции являются задачи на оценку и нахождение целой части корней и логарифмов. Примеры типичных вопросов такого рода: «Какова масса стального шара диаметром 1 дм?», «Сколько человек может уместиться на баскетбольной площадке?».Рассмотрим простые правила округлений при прикидках. Если при подсчете произведения один из множителей округляется большую сторону, то второй желательно округлить в меньшую сторону, чтобы по возможности компенсировать первое округление. Пример: 3,5∗2,5надо округлять как 4∗4=8или 3∗3=9, но не 3∗2=6или 4∗3=12.Такое же правило действует и при сложении, а вот при вычитании и делении округление желательно производить в одну сторону. Необходимо иметь в виду резкую потерю точности при вычитании друг из друга близких приближенных значений, делающую порой непосредственную прикидку невозможной. Прикидка 12,11∗2,87−5,17∗1,22≈12∗3−5∗1≈1является грубо ошибочной (заменить 1,22 не на 1, а на 1,2). Точный подсчет дает после округления значение −4.Как при вычислении на микрокалькуляторе выяснить точность результата, если исходные данные были приближенными? Для этого имеются соответствующие правила. Однако часто бывает проще всего повторить вычисления, «пошатав» исходные данные в пределах их точности; при этом изменившийся результат укажет на недостоверные цифры, которые в ответе наверняка надо округлить. Если такое вычисление несложно или если оно осуществляется с помощью программирования, то его желательно повторить несколько раз.Систематическое применение подобных прикидок способствует воспитанию интуиции оценки величин. Это интуиция помогает правильно поставить задачу, отбросив малозначащие факторы, заметить ошибки.Навыки устных прикидок позволяют в ряде случаев быстро получать точные целочисленные решения несложных задач.Рассмотрим в качестве примера старинную задачу о стае гусей. «Летел гусь, а навстречу ему стая гусей. «Здравствуйте, сто гусей!» сказал он. «Нас не сто гусей, отвечает вожак стаи, если бы нас было еще столько, и ещё пол столько и еще четверть столько, да ты, гусь, с нами, то нас было бы сто». Сколько гусей было в стае?». Задачу можно решить с помощью уравнения. Но для развития арифметической интуиции полезнее путь прикидок. По смыслу задачи число гусей в стае кратно четырем и имеет порядок нескольких десятков. Попробуем значение �=40получаем 40+40+20+10+1 –больше, чем 100; при �=32–меньше, чем 100. Остается �=36,и легко убедиться, что это значение подходит. Еще пример такого рода: пусть требуется вычислить ܽ=√175763, причём известно, чтоацелое число. Решение: прикидкой устанавливаем, что 20<ܽ<30, но поскольку ܽ3оканчивается на 6, то ответом может служить лишь ܽ=26. Подобный метод направленного перебора следует применять не только в младших классах. Это отнюдь не противоречит задаче обучения составлению уравнений, так как при усложнении условий перебор становится невозможным, да и если он возможен, бывает поучительно продублировать решение, изменив метод. В заключение разговора о прикидках подчеркнем, что важна не демонстрация различных хитроумных методов, пригодных для тех или иных классов задач, а выработка потребности у учащихся представлять себе реальные значения рассматриваемых величин.Анализ задачи. Развитая математическая интуиция может существенно помочь при анализе поставленной задачи. Это относится,прежде всего к выбору метода ее решения. В школе метод решения задачи обычно предопределен разделом, в котором она помещена, что неизбежно при систематическом прохождение курса. Однако за пределами курсатакие разделы не указаны. Поэтому желательно время от времени рассматривать задачи, не относящиеся к текущему материалу или требующие для своего решения соображений из различных разделов курса. Конечно, речь идет о наиболее важных методах в классах задач, которые должны оставить глубокий след в математическом образовании учащихся. Почти не затрагиваются в школьном курсе и часто встречающиеся на практике неопределенные (с недостаточными данными) или переопределенные (с избыточными данными задачи). Математическая интуиция помогает ответить на вопрос, достаточно ли данных для решения задачи; если недостаточно, то какие данные ещё необходимы и откуда их можно получить; если же данных слишком много, то какими из них надо воспользоваться в первую очередь, а какие можно применить для контроля.При анализе задачи на интуитивном уровне надо постараться получить как можно больше информации об ожидаемом результате. Особенно сильное эмоциональное впечатление на учащегося производят случаи, когда при таком анализе удается найти решение «на основе здравого смысла», без составления уравнений и т.п.; возникающие при этом внезапное прозрение по существу есть открытие.Анализ ответа. Для развития интуиции весьма целесообразно, получив решение задачи, не переходить немедленно к следующей, а попытаться както осмыслить, прокомментировать это решение, ответить, например, на такие вопросы: соответствует ли полученный результат ожидаемому? Если нет, то разобраться, почему. Соответствует ли ответ здравому смыслу? Не получилось ли какихнибудь неожиданностей? Нельзя ли решить задачу както иначе? (Если можно, то желательно это сделать и сравнить между собой различные пути решения). Если задача содержит параметры, то как они влияют на ответ; в частности, как изменяется ответ, если параметр безгранично увеличивается или принимает значения, при которых решение можно получить из какихлибо иных соображений? Этим осуществляется также контроль ответа. Важную роль в укреплении прикладной математической интуиции играет развития навыков действия с размерными величинами. Для этого надо, в частности, шире обращаться к задачам с буквенными размерными исходными данными и тщательно следит за размерностью промежуточных и окончательных выражений. Например, если аи b
размерные (обычные) длины и в процессе выкладок встретиться выражение ܽ2+2ܾ, то развитая интуиция должна сразу подсказать, что допущена ошибка. (Конечно, если аи b–«безразмерные длины», т.е. численное значение длин, выраженных в какихто единицах измерения, то подобные выражения могут появляться. Преимущество размерных величинсостоит в том, что они не привязаны к определенным единицам измерения и дают добавочную возможность для контроля). Подчеркнем, что развития информационного мышления и соответствующей интуиции, лежащих в основе приложений математики, должно занимать сейчас особое внимание учителей. Практическая ценность умений выполнять громоздкие арифметические вычисления по известным алгоритмам уже в настоящее время весьма невелика и будет уменьшаться в дальнейшем по мере проникновения вычислительной техники, в частности, микрокалькуляторов, во все сферы труда и быта. (Однако твердые навыки устных действий в пределах сотни и простейших вычислениях «столбиком», безусловно, будут необходимы всегда, а именно на них основывается развитие числовой интуиции). Отпала роль логарифмических вычислений. Постепенно решение формализованных задач будет передано вычислительной техники. Поэтому роль неформального мышления и интуиции будет все более возрастать. С учетом этой перспективы нужна соответствующая постепенная переориентация задач в школьном курсе математики.В заключение подчеркнём, что для развития математической интуиции учащихся особенно полезны задания, предполагающие решение в уме, без длинных выкладок. Поэтому необходим большой набор разнообразных простых вопросов, ответы на которые требуют размышления, неформального анализа, прикидок, сравнений, догадок, а не поиска в памяти известного алгоритма решения знакомого класса задач.
Ссылки на источники1.Пуанкаре, А. О науке / А. Пуанкаре; под ред. Л. С. Понтрягина. —М. :Наука, 1983. —"Ценность науки. Математические науки" (пер. с фр. С. Г. Суворова) —560 с.2.Ирина, В. Р. В мире научной интуиции / В. Р. Ирина, А. А. Новиков. —М. : Наука. —1978. —191 с.3.Эрдниев П. М., Эрдниев Б. П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. М., 1986.4.Стюарт Я. Концепции современной математики. –М. : Высшая школа, 1980 –384с.5.Пуанкаре, А. О науке / А. Пуанкаре; под ред. Л. С. Понтрягина. —М. : Наука, 1983. —"Ценность науки. Математические науки" (пер. с фр. С. Г. Суворова) —560 с.6.Эрдниев П. М., Эрдниев Б. П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. М., 1986.7.Стюарт Я. Концепции современной математики. –М. : Высшая школа, 1980 –384с.
Шатохина Анастасия Андреевна,студент,ФГБОУ ВО «Смоленский государственный университет», г. Смоленскаkosha4ka67@mail.ru
Развитие математической интуиции учащихся
Аннотация. В статье рассматриваются роль и место интуиции в математике, соотношение интеллектуального мышления и интуитивного созерцания. Авторами подчеркивается специфика математической интуиции в изучении самого предмета. Выявляется особенность интуиции при формировании математических теорий. В статье приведены примеры применения интуитивного мышления на разных этапах деятельности при изучении математики.Ключевые слова: математическая интуиция, предзнание, послезнание, оценка ситуации, прикидка, анализ.
В условиях перехода системы образования на новые федеральные государственные образовательные стандарты требования к качеству математического образования учащихся серьезно возросли, что приводит к необходимости в дальнейшем совершенствования теории и методики обучения математике. Важный резерв совершенствования методики обучения, усиления ее развивающей составляющей заключается в объединениианалитической левополушарной деятельности, доминирующей сегодня в реальном учебном процессе, с правополушарной, придающей этой деятельности синтетическую творческую направленность. В связи с этим необходимо в большей степени придавать значение исследованию проблемы интуиции в учебном математическом познании учащихся.Ряд известных учёных(Ж. Адамар, К. Дункер, Ю.М. Колягин, Н. Майер, А.И. Маркушевич, Д.Д. МордухайБолтовский, А. Пуанкаре, В. Хаекер, А.Я. Хинчин, Т. Циген,
С.И. Шварцбурд и др.)—математиков, психологов, педагогов, методистов —указывают на значительную роль интуиции в процессе обучения математике и на важность развития интуиции учащихся. «Главная цель обучения математике —это развить известные способности ума, а между этими способностями интуиция отнюдь не является наименее ценной», —писал французский математик А. Пуанкаре[1, с. 359].Его мнение разделял русский математик В. А. Стеклов: "Метод открытия и изобретения один и тот же, та же интуиция, ибо при помощи логики никто ничего не открывает" [2, с. 68].Математическая интуиция имеет сложную структуру и представляет собой неалгоритмический процесс. Постановка задачи, размышление, упорные поиски, накопление знаний и умений, творческие усилия и воля, страстность и одержимость, высокое осознание необходимости достижения определённого результата в своей познавательной деятельности —все этопорождает интуицию как эвристический феномен.Очень интересно определяет роль математической интуиции в обучении математике Ян Стюарт: «Я не могу объяснить, что я сам понимаю под интуицией. Просто это то, чем живет настоящий математик (или физик, инженер, поэт). Интуиция позволяет ему "ощущать" свой предмет, видеть, что теорема верна, еще не зная ее формального доказательства, а потом придумывать это доказательство[3, c136].Практически каждый человек в какойто мере обладает математической интуицией. Ею наделен ребенок, складывающий картинку из кубиков, ею обладает всякий, кому удалось уложить вещи в багажник автомобиля, перед тем как всей семьей отправиться на нем в отпуск.Главной целью подготовки математиков следовало сделать оттачивание их интуиции до такой степени, чтобы она превратилась в управляемое орудие исследования.Возможности развития интуиции включены и не столько в содержании обучения, сколько в его методах, в специально ориентированный на этой работе учителя. И такая работа должна быть поддержана способствующие методической литературой, которой пока еще недостаточно. Здесь мы хотим привести несколько общих положений, относящихся к развитию математической интуиции, и подкрепить их примерами.Возможности развития интуиции заключены не столько в содержании обучения, сколько в его методах, в специально ориентированной на этой работе учителя. И такая работа должна быть поддержана соответствующей методической литературой, которой пока еще недостаточно. Здесь мы хотим привести несколько общих положений, относящихся к развитию математической интуиции, и подкрепить их примерами.Одно из проявлений математической интуиции учащихся состоит как бы непосредственном ведении тех или иных математических понятий и фактов без строгих формальных определений и дедуктивных выводов. Такое видение может либо предшествовать систематическому изучению соответствующего раздела математики (предзнание), либо появляется в результате этого изучения (послезнание).Предзнание лежит по сути в основе всего обучения математике в школе, так как, за крайний редкими исключениями, учащийся может понять формально строгое определение только после его усвоения на интуитивном уровне. При этом необходимо специальная работа по развитию интуитивного предзнания не только непосредственно перед введением понятия, но и задолго до этого, особенно для более важных понятий и фактов. С этой целью следует по возможности раньше употреблять соответствующие термины (линия, фигура, тело, длина, площадь, объем, касательная, выпуклость, приближённое равенство и т.п.), даваяим наглядное пояснение;приводить соответствующие факты (площадь целого больше площади частей и равна сумме площадейчастей,составляющих данную фигуру,и т.п.) и предлагать упражнения,направленные наихзакрепление в сознании учащихся.Интуитивное послезнание.Интуитивное знание развивается в основном при разборе конкретных ситуаций–примеров,задач,картинок. Для этого нужно сопровождать такой разбор краткими, пусть огрубленнымиформулировками основных понятий,фактов,идей,на которые желательно направить внимание учащихся.Например:«В этой задаче два неизвестных, поэтому мы составили два уравнения,так как число уравнений должно равняться числу неизвестных»;«Обратите внимание, что она рассматриваемом промежуткеесть хотя бы один корень данного уравнения�(�)=0, поскольку на концах промежутка левая часть уравнения принимает значения разных знаков,аграфик ее сплошная линия, и, значит, в некоторой точкепромежутка он обязательно пересекает ось абсцисс»;«Полученноесоотношение можно условно записать в виде1∞=0. Это отражает тот факт,что,деля единицу на очень большое число,мы получили число очень маленькое,«почти нуль»и т.п.Ориентируясь на развитие интуитивного знания,следует систематически раскрывать «грубый»смысл обсуждаемых основных понятий. Более того,учитывая важную роль «свежих»впечатлений, желательно, чтобы сами определенияосновных понятий максимально способствовали появлению этого смысла. Рассмотрим,например, понятиепроизводной. Вприложениях оно выступает как скорость изменения одной величины по отношению к другой,либо как наклон (угловой коэффициент)элемента графиков функций. Стандартноежеопределение с помощью предела отношения приращения является лишь уточнением (впрочем,весьма существенным),формализациейэтого основного,«грубого» содержанияпонятия. Поэтому как при определении,так и в дальнейшем надо регулярно освещать, демонстрировать это содержание,стараясь внедрять его в интуицию.Следует иметь в виду,что в процессе обучения может развиться не только правильная, но ошибочнаяинтуиция. Так,до самого последнего времени у учащихся глубоко укоренилась ошибочное представление,что «некруглый»ответ (не извлекаются нацелокорни и т.п.) свидетельствует об ошибкев решении.Мы надеемся,что систематическое (начиная примерно с6 класса) применение микрокалькуляторовв школьной практике приведет к разрушению этого представления.Оценка ситуации.Важнейшими проявлениями продуктивной математической интуиции являются умение ориентироваться в новой незнакомой ситуации, способность предвидеть верные результаты, выбирать пути их получения, замечать явные ошибочные выводы. Такая продуктивная интуиция должна опираться на интуитивное видение соответствующих математических понятий и фактов.Навыки правильной предварительной оценки ситуации следует воспитывать при решении как условноприкладных (текстовых), так и чисто математических задач. При решении текстовой задачи желательно с максимальной ясностью представить ситуацию, как бы вообразив себя ее участником, прибегая к схематическим чертежам и неформальному анализу, сравнивая исходные данные задачи с хорошо известными значениями, проводя аналогии и так далее. Для развития продуктивной интуиции очень полезно, чтобы в процессе неформального обсуждения учащиеся пришли к некоторой оценке ожидаемого ответа –в виде неравенства( «более двух часов»), двусторонней оценки («от двух до пяти часов»), прикидке значения («часа три») или хотя бы его порядка («несколько часов»). Такие предварительные оценки у разных учеников могут быть различными, и после полученияточного решения важно выслушать соображения как тех, кто оказался близким к истинному результату, так и «неудачников». Пример: «Первый кран наполняет бассейн за 2 часа, второй –за 4 часа, за сколько часов наполниться бассейн, если оба крана открыты?» Сначала выясняем, что первый кран более мощный. Далее, без всяких выкладок, на основе здравого смысла заключаем, что, поскольку краны помогают друг другу, искомое время составит меньше двух часов. Несколько труднее, но все же не так уж сложно получить и оценку снизу: если бы второй кран был той же мощности, что и первый, то они вместе заполнили бы весь бассейн за 1 ч, значит, искомое время больше чем 1 час. Таким образом, до решения задачи мы получили гарантированную двустороннюю оценку ответа. Получив ответ, надо проверить, что он удовлетворяет этой оценке. Невнимание к подобным оценочным суждениям при обучении математике приводит к тому, что многие школьники (или студенты вуза), получая заведомо неверные ответы, которые даже самая грубая прикидка отбрасывает, спокойно их записывают как решение.Навык освоения ситуации весьма важен для построения математических моделей даже простейших реальных задач, не менее важен, чем формальные навыки решения задач.Предварительную оценку ситуации следует проводить при решении формальных задач.Прикидки.Оценка ситуации и прогноз ответа опираются на навык пользоваться прикидками. Они обычно осуществляются устно, в уме, поэтому требует твердых навыков устного счета. Приближенные прикидки проводят чаще всего с точностью до 12 верных цифр, порой даже до порядка величины. Пример: Пусть надо произвести прикидку значения ܽ=2,371∗72251,6+0,0976�.Числитель приближенно равен 2б4∗7∗102≈17∗102. В знаменателе второе слагаемое на два порядка меньше первого, а потому второе слагаемое можно не учитывать. Значит, ܽ≈17∗1025∗10≈34.Отметим, что значение ܽ, подсчитанное на микрокалькуляторе и округленное по известным правилам, равно 33,0.Полезными для развития числовой интуиции являются задачи на оценку и нахождение целой части корней и логарифмов. Примеры типичных вопросов такого рода: «Какова масса стального шара диаметром 1 дм?», «Сколько человек может уместиться на баскетбольной площадке?».Рассмотрим простые правила округлений при прикидках. Если при подсчете произведения один из множителей округляется большую сторону, то второй желательно округлить в меньшую сторону, чтобы по возможности компенсировать первое округление. Пример: 3,5∗2,5надо округлять как 4∗4=8или 3∗3=9, но не 3∗2=6или 4∗3=12.Такое же правило действует и при сложении, а вот при вычитании и делении округление желательно производить в одну сторону. Необходимо иметь в виду резкую потерю точности при вычитании друг из друга близких приближенных значений, делающую порой непосредственную прикидку невозможной. Прикидка 12,11∗2,87−5,17∗1,22≈12∗3−5∗1≈1является грубо ошибочной (заменить 1,22 не на 1, а на 1,2). Точный подсчет дает после округления значение −4.Как при вычислении на микрокалькуляторе выяснить точность результата, если исходные данные были приближенными? Для этого имеются соответствующие правила. Однако часто бывает проще всего повторить вычисления, «пошатав» исходные данные в пределах их точности; при этом изменившийся результат укажет на недостоверные цифры, которые в ответе наверняка надо округлить. Если такое вычисление несложно или если оно осуществляется с помощью программирования, то его желательно повторить несколько раз.Систематическое применение подобных прикидок способствует воспитанию интуиции оценки величин. Это интуиция помогает правильно поставить задачу, отбросив малозначащие факторы, заметить ошибки.Навыки устных прикидок позволяют в ряде случаев быстро получать точные целочисленные решения несложных задач.Рассмотрим в качестве примера старинную задачу о стае гусей. «Летел гусь, а навстречу ему стая гусей. «Здравствуйте, сто гусей!» сказал он. «Нас не сто гусей, отвечает вожак стаи, если бы нас было еще столько, и ещё пол столько и еще четверть столько, да ты, гусь, с нами, то нас было бы сто». Сколько гусей было в стае?». Задачу можно решить с помощью уравнения. Но для развития арифметической интуиции полезнее путь прикидок. По смыслу задачи число гусей в стае кратно четырем и имеет порядок нескольких десятков. Попробуем значение �=40получаем 40+40+20+10+1 –больше, чем 100; при �=32–меньше, чем 100. Остается �=36,и легко убедиться, что это значение подходит. Еще пример такого рода: пусть требуется вычислить ܽ=√175763, причём известно, чтоацелое число. Решение: прикидкой устанавливаем, что 20<ܽ<30, но поскольку ܽ3оканчивается на 6, то ответом может служить лишь ܽ=26. Подобный метод направленного перебора следует применять не только в младших классах. Это отнюдь не противоречит задаче обучения составлению уравнений, так как при усложнении условий перебор становится невозможным, да и если он возможен, бывает поучительно продублировать решение, изменив метод. В заключение разговора о прикидках подчеркнем, что важна не демонстрация различных хитроумных методов, пригодных для тех или иных классов задач, а выработка потребности у учащихся представлять себе реальные значения рассматриваемых величин.Анализ задачи. Развитая математическая интуиция может существенно помочь при анализе поставленной задачи. Это относится,прежде всего к выбору метода ее решения. В школе метод решения задачи обычно предопределен разделом, в котором она помещена, что неизбежно при систематическом прохождение курса. Однако за пределами курсатакие разделы не указаны. Поэтому желательно время от времени рассматривать задачи, не относящиеся к текущему материалу или требующие для своего решения соображений из различных разделов курса. Конечно, речь идет о наиболее важных методах в классах задач, которые должны оставить глубокий след в математическом образовании учащихся. Почти не затрагиваются в школьном курсе и часто встречающиеся на практике неопределенные (с недостаточными данными) или переопределенные (с избыточными данными задачи). Математическая интуиция помогает ответить на вопрос, достаточно ли данных для решения задачи; если недостаточно, то какие данные ещё необходимы и откуда их можно получить; если же данных слишком много, то какими из них надо воспользоваться в первую очередь, а какие можно применить для контроля.При анализе задачи на интуитивном уровне надо постараться получить как можно больше информации об ожидаемом результате. Особенно сильное эмоциональное впечатление на учащегося производят случаи, когда при таком анализе удается найти решение «на основе здравого смысла», без составления уравнений и т.п.; возникающие при этом внезапное прозрение по существу есть открытие.Анализ ответа. Для развития интуиции весьма целесообразно, получив решение задачи, не переходить немедленно к следующей, а попытаться както осмыслить, прокомментировать это решение, ответить, например, на такие вопросы: соответствует ли полученный результат ожидаемому? Если нет, то разобраться, почему. Соответствует ли ответ здравому смыслу? Не получилось ли какихнибудь неожиданностей? Нельзя ли решить задачу както иначе? (Если можно, то желательно это сделать и сравнить между собой различные пути решения). Если задача содержит параметры, то как они влияют на ответ; в частности, как изменяется ответ, если параметр безгранично увеличивается или принимает значения, при которых решение можно получить из какихлибо иных соображений? Этим осуществляется также контроль ответа. Важную роль в укреплении прикладной математической интуиции играет развития навыков действия с размерными величинами. Для этого надо, в частности, шире обращаться к задачам с буквенными размерными исходными данными и тщательно следит за размерностью промежуточных и окончательных выражений. Например, если аи b
размерные (обычные) длины и в процессе выкладок встретиться выражение ܽ2+2ܾ, то развитая интуиция должна сразу подсказать, что допущена ошибка. (Конечно, если аи b–«безразмерные длины», т.е. численное значение длин, выраженных в какихто единицах измерения, то подобные выражения могут появляться. Преимущество размерных величинсостоит в том, что они не привязаны к определенным единицам измерения и дают добавочную возможность для контроля). Подчеркнем, что развития информационного мышления и соответствующей интуиции, лежащих в основе приложений математики, должно занимать сейчас особое внимание учителей. Практическая ценность умений выполнять громоздкие арифметические вычисления по известным алгоритмам уже в настоящее время весьма невелика и будет уменьшаться в дальнейшем по мере проникновения вычислительной техники, в частности, микрокалькуляторов, во все сферы труда и быта. (Однако твердые навыки устных действий в пределах сотни и простейших вычислениях «столбиком», безусловно, будут необходимы всегда, а именно на них основывается развитие числовой интуиции). Отпала роль логарифмических вычислений. Постепенно решение формализованных задач будет передано вычислительной техники. Поэтому роль неформального мышления и интуиции будет все более возрастать. С учетом этой перспективы нужна соответствующая постепенная переориентация задач в школьном курсе математики.В заключение подчеркнём, что для развития математической интуиции учащихся особенно полезны задания, предполагающие решение в уме, без длинных выкладок. Поэтому необходим большой набор разнообразных простых вопросов, ответы на которые требуют размышления, неформального анализа, прикидок, сравнений, догадок, а не поиска в памяти известного алгоритма решения знакомого класса задач.
Ссылки на источники1.Пуанкаре, А. О науке / А. Пуанкаре; под ред. Л. С. Понтрягина. —М. :Наука, 1983. —"Ценность науки. Математические науки" (пер. с фр. С. Г. Суворова) —560 с.2.Ирина, В. Р. В мире научной интуиции / В. Р. Ирина, А. А. Новиков. —М. : Наука. —1978. —191 с.3.Эрдниев П. М., Эрдниев Б. П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. М., 1986.4.Стюарт Я. Концепции современной математики. –М. : Высшая школа, 1980 –384с.5.Пуанкаре, А. О науке / А. Пуанкаре; под ред. Л. С. Понтрягина. —М. : Наука, 1983. —"Ценность науки. Математические науки" (пер. с фр. С. Г. Суворова) —560 с.6.Эрдниев П. М., Эрдниев Б. П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. М., 1986.7.Стюарт Я. Концепции современной математики. –М. : Высшая школа, 1980 –384с.
