Роль чертежа при поиске решения стереометрической задачи

Библиографическое описание статьи для цитирования:
Шехирева Е. И. Роль чертежа при поиске решения стереометрической задачи // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2011. – 4 квартал 2011. – С. 26–30. – URL: http://e-koncept.ru/2011/11406.htm.
Аннотация. Статья посвящена обучению учащихся старших классов работе со стереометрическим чертежом. В ней сформулированы некоторые правила и приводятся примеры задач, позволяющие повысить эффективность процесса обучения школьников решению задач стереометрии.
Раздел: Отдельные вопросы сферы образования
Комментарии
Нет комментариев
Оставить комментарий
Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы комментировать.
Текст статьи
Шехирева Елена Ивановна,заместитель директора по УВРМОАУ «Лицей № 21», учитель математики высшей квалификационной категории, г. Кировeshehireva@mail.ru

Роль чертежа припоискерешениястереометрической задачи

Аннотация.Статьяпосвящена обучению учащихся старших классов работе со стереометрическим чертежом. В ней сформулированы некоторые правила и приводятся примеры задач, позволяющие повысить эффективность процесса обучения школьников решению задач стереометрии.Ключевые слова:обучениегеометрии, стереометрический чертеж, наглядность в обучении, системы задач.

Решению геометрических задач посвящено достаточно многоработ. Так,например,работы Д.Пойа[1, 2, 3]учат не только решать задачи, но и рассказывают, какучить школьников решатьматематическиезадачи.Тем не менее,учителяматематикивновь и вновь сталкиваются с серьезной проблемой «Как научить школьников решать геометрические задачи?». Особенно острой эта проблема становится при изучении курса стереометрии.Д. Ф.Изаакс одной из своих статей[4]отмечает, что для того, чтобы успешно вести поиски решения геометрической задачи,нужны определенные предпосылки:1)необходимо достаточно хорошо знать курс элементарной геометрии;2)необходимы умения и навыки,приобретаемые практикой; это значит, что для формирования умениярешать задачи,нужно их систематическое решение, чтобы каждая решенная задача становилась образцом, который служит впоследствииопоройдля решения других задач;3)необходимо достаточное «геометрическое зрение», которое можно считать следствием большого багажа знаний и навыков;такое зрение предполагает умение читать чертежи, то есть,разглядывая рисунок с изображением геометрической фигуры, видеть те ее свойства, которые там действительно можно увидеть без особых выкладок, и строить правильно чертежи.При решении стереометрических задач значительно возрастает роль чертежа.Правильно выполненный стереометрическийчертеж –путь к успешному решению задачи как на доказательство, так и навычисление величин.

Чертеж в стереометрии резко отличается от чертежа в планиметрии. В планиметрии чертеж, как правило, точно (по крайней мере,с точностью до подобия на плоскости) соответствует данным задачи или условию теоремы. Если прямые изображены параллельными, то онипараллельны и по условию, если изображены перпендикулярными, то и по условию они перпендикулярны. В стереометриижепри изображении пространственных фигур на плоскости наблюдается совершенно иная картина. Например, при изображении куба перпендикулярность ребер сохраняется только для двух граней(передней и задней), а для четырех остальных она нарушенав соответствии с правилами построения проекционного чертежа(рис. 1).Куб можно было бы изобразить и в виде квадрата. Это изображение и с точки зрения планиметрии,и с точки зрения стереометрии было бы правильным, но в силу своей «ненаглядности»становится неудобным и «неконструктивным».Рис. 1В курсе стереометрии наглядные и правильно выполненные рисунки и чертежи обладают определеннойспецификой изображения на них пространственных фигур. Очень важно изображать верно и наглядно пространственные фигуры как на доске, так и в тетрадях учащихся.К сожалению,черчение–предмет,на котором обучали школьников правильному построению чертежей иих видению, –из большинства школьныхучебныхплановисключен, а в школьных учебниках геометрии работе с чертежом уделено крайне мало внимания. Школьников чтению и правильному изображению чертежанеобходимоначинать учить еще на уроках планиметрии.При выполнении чертежей к планиметрическим задачам придерживаютсяопределенных правил. Отметим здесьнекоторые из них, особенно часто используемые нами в практике преподавания стереометрии.Правило 1.Если в условии задачи говорится о некоторой геометрической фигуре, то при построении чертежа, нельзя изображать ее частный случай. (Если не указано, что треугольник равносторонний или равнобедренный, то изображать его нужно разносторонним; нельзя ромб или прямоугольник изображать квадратом; параллелограмм нельзя изображать его частным случаем –ромбом, квадратом или прямоугольником; аналогично это правило применяется ко всем остальным многоугольникам). Правило 2.Необходимо правильно строить высоты в многоугольниках и понимать, где находятся точки касания многоугольника с вписанной в него окружностью.Например, рассмотрим ромб, в который вписана окружность(рис. 2). Точкикасания окружности с серединамисторон ромба совпадают лишь в том случае, когда ромб является квадратом. Непонимание этого факта и неправильное построение чертежа ведут к тому, что школьники «попадают в плен» к наглядности. Наиболее часто это происходит при решении именно стереометрических задач. Покажем это на конкретном примере.Задача 1(№ 2.260, [5]).Основанием пирамиды является ромб с острым углом в 30°. Каждый двугранный угол при основании пирамиды равен 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если ее высота равна h.На рис.3 неверно изображен двугранный угол, что является следствием непонимания того, где находятся точки касания окружности, вписанной в ромб. Неправильно изображенный чертеж влечет за собой ошибку в решении, которую в дальнейшемдостаточно сложно найти. Покажем

такое решение.Рассмотрим треугольник МОК–прямоугольный, OKM=60°, ОМК=30°, ОМ=h,следовательноMK=,OK=, значитAD=,Sбок=4∙AD∙MK= =,Sосн=0,5∙AD2∙sin30°=,Sполн=.Для того, чтобы увидеть ошибку, достаточновнимательнопосмотретьна рис.4.

Рис. 2••60°DCBAKOMРис. 360°DCBAKOMРис. 4Fh

Во избежание таких ошибок, работес чертежом нужно уделять внимание на каждомурокестереометрии. Если ученик сможет наглядно представить, вообразить, нарисовать фигуру, тогда усвоение материала будет строиться не на заучивании, а приобретенные знания не будут формальными.Покажем работу с чертежом на примере рассмотрения системы задач, связанной с двугранным углом и построением его линейного угла.Шаг 1.Впервые двугранные углы в большом количестве учащиеся строят еще до знакомства с определением. Примером этому служит следующая задача.Задача 2.ТреугольникABQи прямоугольникABCDне лежат в одной плоскости. Докажите, что прямаяCDпараллельна плоскости треугольника.При работе с этой задачей необходимо научить учащихся правильно изображать чертеж. Поскольку треугольник и прямоугольник не лежат в одной плоскости и имеют общую прямую, то изображенный к этойзадаче чертеж будет похож на чертеж к аксиоме 3[6](о пересекающихся плоскостях). Чертеж пространственный и предполагает при изображении наличие невидимых линий (рис.5).При выполнении чертежей к такому типу задач следует предостерегать учащихся от наиболее часто встречающейся ошибки (рис.6). Чертеж, изображенный на рис.7,хоть и неявляется ошибочным, но он также не дает ясного представления о том, что изображение не плоскостное, апространственное.

Шаг 2.Лишь толькопосле того как учащиеся познакомятся с определением двугранного угла, их следует познакомить с различными видами егоизображения(рис. 8–11). При построении чертежей к задачам с учащимися следует обсуждать,какое из данных изображений двугранного угла наиболее наглядно для конкретной задачи.Шаг 3.При построении линейного угла двугранного угла важно всякий раз просматривать как расположен перпендикуляр, лежащий на грани двугранного угла,по отношении к его ребру. Для формирования умений учащимся можно предложить следующие задачи.

Рис. 5CDOABАBCDOРис. 6ABCDOРис. 7Рис. 8–11А•В•Задача 3.Постройте линейные углы двугранных углов, если двугранный угола)образован прямоугольником BCMNи треугольником ABCс тупым угломС(рис. 12);б) образован двумя равнобедренными треугольниками с общим основанием(рис. 13);в)образован равнобедренным треугольником и квадратом (рис. 14);г)образован треугольником АВСс прямым углом Си параллелограммом BCDM, в котором диагональ DBявляется высотой параллелограмма(рис. 15).

Полезны при работе с линейным углом и задания на нахождение ошибок.Задача 4.Даны два квадрата, образующие двугранный угол, верно ли изображен линейный угол данного двугранного угла (рис. 16)? Задача 5.Два параллелограмма образуют двугранный угол. Найдите ошибку при построении линейного угла для данного двугранного (рис. 17).







Шаг4.Следующим шагом при работе с линейным углом двугранного угла является работа с тетраэдром и кубомприрешениизадач типа задач 6 и 7. Задача 6.Построить линейные углы между плоскостью основания и боковой гранью тетраэдра, если: а) в основании –равносторонний треугольник, а боковые грани, являются равнобедренными треугольниками;б)в основании –равносторонний (равнобедренный или прямоугольный) треугольник, а две боковые грани перпендикулярны основанию;в) в основании –равносторонний (равнобедренный или прямоугольный) треугольник, а одна из боковых граней перпендикулярна основанию.Задача 7(составлена на основе № 4.054,[7]).Указать линейные углы двугранных углов, образованных а) гранями куба; б) гранью куба и плоскостью диагонального сечения.

Рис. 12BMNАСTRPQРис. 13SMEFPРис. 14АСDMВРис. 15ABCDKLPTРис. 16MABCDKLPEРис. 17TПри выполнении чертежейтетраэдров и других многогранников советуем даватьучащимся следующие рекомендации.1. Плоскость основания многогранника всегда считается лежащей горизонтально.2.Если в условии задачи отрезок перпендикулярен плоскости основания, то его изображаем вертикально.3.Приизображениимногогранникане закрывай его передней гранью.4. Ребра многогранников,«смотрящие на тебя», выделяй толщиной линий.5.Еслипостроенный чертеж получился недостаточно наглядным, построй новый, более наглядный.6. Изображение пространственного чертежа является более эстетически приятным и более эффективным при использовании двух или трех цветов.Шаг 5.После того, как построение линейного угла отработано на примере тетраэдра и куба, можно работать стакими многогранниками, как пирамида, основанием которой могут служить разные многоугольники(например,как взадачах1и8),и различнымивидамипризм.Задача 8 (составлена на основании № 24, стр.183, [8]). Основаниемпирамиды D1ABCDслужит прямоугольник ABCD, AB=3 см, BC=4 см.Отрезок BD1перпендикулярен плоскости основания. Боковоеребронаклоненок плоскости основания под углом 60°.Найдите величины двугранных углов между каждой боковой гранью и плоскостью основанияпирамиды(рис. 18).Такая организация работы с чертежом формирует у учащихся «геометрическое зрение»,видение чертежа.Приведеннаясистема задач позволяет учащимся выйти на более высокий уровеньихрешения. Для примера приведемзадачу, предлагавшуюсянекогда на вступительныхэкзаменах в Московский авиационный институт.Задача 9(№ 24, стр.183, [9]). В основании призмы ABCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD, AB=3 см, BC=4 см. Отрезок BD1перпендикулярен плоскости основания призмы. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите величины двугранных углов между каждой боковой гранью и плоскостью основания призмы. Придерживаясь рекомендаций,изложенных выше, чертеж к данной задаче постоят и сами учащиеся. Система упражнений,выполненных учащимися,позволит им увидетьв этой задаче ранее решенные(задача 9 полностью в себе содержит задачу 8)и без труда найти линейные углы искомых двугранных углов. Следуеттак жеотметить, что при оформлении решений стереометрических задач, рассматриваемые плоские чертежи следует выноситьотдельно.

Ссылки на источники1.Пойа Д. Как решать задачу. –Львов: Квантор, 1991. –216 с.2.Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. –М.: Наука, 1975. –464 с.3.Пойа Д. Математическое открытие: Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. –М.: Наука, 1970. –452 с.4.Изаак Д. Ф. Поиски решения геометрической задачи // Математика в школе. –1998. –№ 6. –С. 30–345.Потоскуев Е. В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: задачник для общеобразоват.учреждений с углуб.и профильным изучением математики.–М.: Дрофа, 2007. –235 с.D1Рис. 18B1C1A1DCBAГеометрия, 10–11: учеб.для общеобразоват.учреждений: базовый и профильный уровни / Л.С.Атанасян, Б.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. –М.: Просвещение, 2008. –255 с.7.Потоскуев Е. В., Звавич Л. И. Геометрия. 10 кл.: задачник для общеобразоват.учреждений с углуб.и профильным изучением математики.–М.: Дрофа, 2008. –250 с.8.Потоскуев Е. В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.9.Там же.

Shehireva Elena,Deputy Director of Lyceum № 21, a teacher of mathematics highernecks qualification, Kiroveshehireva@mail.ruThe role of drawing in finding a solution to the problem stereometricAbstract.Paper is devoted to teaching high school students to work with the stereometric drawing. It sets out some rules and examples of tasks that improve the efficiency of the process of teaching students problem solving solid geometry.Keywords: teaching of geometry, stereometric drawing,visibility in the training, system problems..

Рецензент: Горев Павел Михайлович, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и методики обучения математике ВятГГУ, главный редактор журнала «Концепт»