Неравенство Коши: новое индуктивное доказательство и некоторые применения к решению задач
С.
И. КалининБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Калинин
С.
И. Неравенство Коши: новое индуктивное доказательство и некоторые применения к решению задач // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2012. – №1 (Январь). – С.
11–15. – URL:
http://e-koncept.ru/2012/1203.htm.
Аннотация. В статье рассматривается новое доказательство обобщенного неравенства Коши для арифметико-геометрических средних положительных чисел, использующее метод прямой и обратной индукции. Приводятся примеры применения простого и обобщенного неравенств Коши при решении задач повышенного уровня сложности школьного курса математики
Ключевые слова:
средние арифметическое и геометрическое, неравенство коши, задачи повышенного уровня сложности школьного курса математики
Текст статьи
Калинин Сергей Иванович,доктор педагогических наук, заведующий кафедрой математического анализа и методики обучения математике ФГБОУ ВПО Вятскийгосударственныйгуманитарныйуниверситет»,г. КировKalinin_gu@mail.ru
Неравенство Коши: новое индуктивное доказательство и некоторые применения к решению задач
Аннотация. В статье рассматривается новое доказательство обобщенного неравенства Коши для арифметикогеометрических средних положительных чисел, использующее метод прямой и обратной индукции. Приводятся примеры применения простого и обобщенного неравенств Коши при решении задач повышенного уровня сложности школьного курса математики.Ключевые слова: средние арифметическое и геометрическое, неравенство Коши, задачи повышенного уровня сложности школьного курса математики.
Напомним читателю упоминаемое в заголовке неравенство для средних арифметического и геометрического положительных чисел . Это есть неравенство
,(1)
в котором равенство достигается тогда и только тогда, когда . Данное неравенство было открыто великим французским математиком Огюстеном Луи Коши в 1821г. и потому по праву носит его имя. В образовательной математике неравенство Коши хорошо известно, оно регулярно обсуждается на страницах научнометодических и научнопопулярныхизданий, с его помощью эффективно решаются многие задачи на доказательство алгебраических и тригонометрических неравенств, геометрических соотношений, на решение уравнений и их систем, на нахождение наибольшего и наименьшего значений переменных величин, атакже геометрических экстремумов.Наряду с неравенством 1 в тематике средних величин часто рассматривается и так называемое обобщенное, или весовоенеравенство Коши
,
(2)
где , –взвешенные среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел
соответственно, а
–числа, называемые весами. В 2 равенство снова достигается только при условии .Ясно, что неравенство 1 получается из 2 при совпадении всех весов.В учебном пособии по спецкурсу 1] мы рассмотрели не один десяток доказательств неравенств 1–2, использующих принципиально различные подходы. В частности, в § 2 главы 3 цитируемого пособия приводится индуктивное доказательство неравенства 1, приписываемое самому Коши. Подчеркнем, что доказательство Коши основывается на методе прямой и обратной индукции подругому, индукции вверх и вниз 2, с. 13–14], или ветвящейся» индукции 3, глава 9 И. С. Рубанова, с. 105]. Его суть состоит в том, что после установления базы индукции для переходом от к неравенство 1 доказывается для всехn, являющихся степенями двойки что соответствует прямой индукции. Затем показывается, что справедливость неравенства 1 для nчисел, влечет его выполнение и для n–1 чисел обратная индукция. В настоящей заметке мы описанную технику Коши при установлении 1 хотим реализовать иначе. Выполним это, нацеливаясь одновременно на обоснование неравенства 2, обобщающего 1.Сначала установим базу индукции, т. е. покажем, что справедливо неравенство
,
(3)
в котором равенство достигается тогда и только тогда, когда .Для доказательства 3 применим неравенство Иенсена 4, с. 58]
для вогнутой выпуклой вверх функции , полагая
.Будем иметь:,
равенство в последнем соотношении достигается только при условии логарифмическая функция не есть линейная функция. Отсюда следует неравенство 3 вместе с обоснованием условий достижения в нем равенства. База индукции установлена.Предположим теперь, что неравенство 2 справедливо для , т. е.
,(4)
при этом равенство в 4 достигается тогда и только тогда, когда . Покажем, что неравенство 2 будет иметь место и для , при этом равенство в нем будет достигаться только, если . Имеем:
в цепочке преобразований сначала мы дважды применили оценку снизу на основании индуктивного предположения, а затем еще одну аналогичную оценку –на основании базы индукции. Нетрудно видеть, что равенство в соотношении будет достигаться толькотогда, когда , и , т.е. при условии . Нужное показано.С учетом базы реализованная прямая индукция позволяет заключить, что неравенство 2 справедливо для всех n, являющихся степенями двойки. Реализуем обратную индукцию.Предположим, что неравенство 2 справедливо для некоторого . Покажем, что оно будет выполняться и при . Действительно, в неравенстве положим . Будем иметь:
.
Отсюда следует, что
.
Легко видеть, что равенство в последнем неравенстве будет иметь место только при совпадении всех чисел . Неравенство 2 полностью обосновано.Замечание. Предлагаем читателю реализовать подход Коши к доказательству неравенства 1 в отношении обобщенного неравенства 2.Рассмотрим несколько применений неравенств 1–(2).Задача 15]. Докажите неравенство , . Решение. Данное неравенство можно доказать как с помощью простого неравенства Коши1, так и обобщенного 2, потому рассмотрим два способа решения задачи.Iспособ.
.
В цепочке соотношений трижды применялось неравенство Коши 1 для двух положительных чисел. IIспособ.. Здесь применяется неравенство Коши 2 к величинам с весами 1, 3, 4. Второе решение задачи –экономичнее.Задача 26]. Докажите неравенство (N) .Решение. По обобщенному неравенству Коши можно записать:
.
В произведенной оценке знак неравенства строгий, так как числа являются различными. Отсюда следует доказываемое неравенство.Задача 37]. Докажите, что .Решение. В силу неравенства Коши 1, имеем оценку:
.
Задача 4.Для треугольника со сторонами докажите неравенство
где p–полупериметр треугольника.
Решение. Используя неравенство Коши для взвешенных среднего арифметического и среднего геометрического величин cвесами 1, 2, 3, 1, 2, 3, имеем оценку:
в котором знак неравенства –строгий, ибо не выполняется условие . Задача 58]. Докажите, что среди всех треугольников данной площади наименьший периметр имеет правильный треугольник. Решение. Пусть –стороны треугольника, p–его полупериметр. По формуле Герона площадь Sтреугольника выразится так: . Оценим Sсверху, применив неравенство Коши для чисел :
.
Таким образом, , откуда . В последнем неравенстве равенство возможно лишь при условии , т. е. при . Это говорит о том, что наименьший периметр будет у правильного треугольника. Задача 6. Решите уравнение .Решение. Область определения неизвестного данного уравнения есть промежуток . На этом промежутке правую часть уравнения оценим снизу, используя неравенство Коши 1: .
Заметим, равенство в произведенной оценке достигается только, если , или . Легко видеть, что , причем равенство в этом соотношении достигается только при . Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень .Замечание. В приведенном решении оценку можно получить посредством применения обобщенного неравенства Коши:
.
Задача 7.Решите систему уравнений Решение. По простому неравенству Коши из первого уравнения системы имеем оценку , следовательно, первое уравнение эквивалентно условию , или . Отсюда, в силу второго уравнения системы, получаем уравнение относительно : . Оно имеет два решения , , значит, соответствующие значения для будут , . Проверкой убеждаемся, что данная система имеет единственное решение .Задача 8. Решите уравнение .Решение. Рассматриваемое уравнение задано на множестве . Перепишем его в виде .
Левую часть последнего уравнения оценим снизу, используя неравенство Коши 2 для взвешенных среднего арифметического и среднего геометрического степеней и с весами и : =1.
Следовательно, данное уравнение равносильно уравнению
=.
Так как , то все сводится к решению уравнения.
Из последнего находим, что . Найденные значения лежат в области допустимых значений уравнения, значит, это искомые корни. Рассмотрим уравнение, навеянное задачей 8.Задача 9 [9].Решите уравнение.Решение. Данное уравнение схоже с предыдущим. Очевидно, оно также определено на множестве . Запишем его в равносильной форме
.
Левую часть последнего уравнения оценим снизу, применяя неравенство 2. Для этого положим , , , . Имеем:
.
В произведенной оценке равенство достигается лишь при условии
,
которое в силу равенства эквивалентно условию . Отсюда находим искомые корни .Ссылки на источники1.Калинин С. И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана: учебноепособие по спецкурсу. –Киров: Издво ВГГУ, 2002. –368 с.2.Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. –М.: Мир, 1965. –276 с.3.Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. –Киров: Издво АСА», 1994. –272с.4.Ижболдин О., Курляндчик Л. Неравенство Иенсена // Квант. –1990. –№ 4. –С.57–62.5.Галицкий М.Задачи по алгебре для 8–9 классов // Математика: Еженедельное приложение к газете Первое сентября». –1998. –№ 6. –С. 7–10. 6.Вересова Е. Е. и др.Практикум по решению математических задач. –М.: Просвещение,1979. 7.Квант. –1985. –№ 11. –С. 25.8.Курляндчик Л. Д.Приближение к экстремуму //Квант. –1981. –№ 1.–С. 21–25.
9.Калинин С.И.Два родственных» уравнения // Математика в школе. –2002. –№ 6. –С. 70–71.
Kalinin Sergey, Doctor of Education, Chief of mathematical analysis and methods of teaching mathematics chair in Vyatka State University of Humanities, KirovKalinin_gu@mail.ru
Inequality Cauchy: a new inductive proof and some applications to solving problemsAbstract. The article is devoted to a new proof of the generalized Cauchy inequality for arithmetical and geometrical mean of positive numbers, using the method of forward and backward induction. We give examples of simple and generalized Cauchy inequalities to solve problems of high levels of school mathematics.Keywords: arithmetic and geometric averages, the Cauchy inequality, the problem of high levels of schoolmathematics.
Неравенство Коши: новое индуктивное доказательство и некоторые применения к решению задач
Аннотация. В статье рассматривается новое доказательство обобщенного неравенства Коши для арифметикогеометрических средних положительных чисел, использующее метод прямой и обратной индукции. Приводятся примеры применения простого и обобщенного неравенств Коши при решении задач повышенного уровня сложности школьного курса математики.Ключевые слова: средние арифметическое и геометрическое, неравенство Коши, задачи повышенного уровня сложности школьного курса математики.
Напомним читателю упоминаемое в заголовке неравенство для средних арифметического и геометрического положительных чисел . Это есть неравенство
,(1)
в котором равенство достигается тогда и только тогда, когда . Данное неравенство было открыто великим французским математиком Огюстеном Луи Коши в 1821г. и потому по праву носит его имя. В образовательной математике неравенство Коши хорошо известно, оно регулярно обсуждается на страницах научнометодических и научнопопулярныхизданий, с его помощью эффективно решаются многие задачи на доказательство алгебраических и тригонометрических неравенств, геометрических соотношений, на решение уравнений и их систем, на нахождение наибольшего и наименьшего значений переменных величин, атакже геометрических экстремумов.Наряду с неравенством 1 в тематике средних величин часто рассматривается и так называемое обобщенное, или весовоенеравенство Коши
,
(2)
где , –взвешенные среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел
соответственно, а
–числа, называемые весами. В 2 равенство снова достигается только при условии .Ясно, что неравенство 1 получается из 2 при совпадении всех весов.В учебном пособии по спецкурсу 1] мы рассмотрели не один десяток доказательств неравенств 1–2, использующих принципиально различные подходы. В частности, в § 2 главы 3 цитируемого пособия приводится индуктивное доказательство неравенства 1, приписываемое самому Коши. Подчеркнем, что доказательство Коши основывается на методе прямой и обратной индукции подругому, индукции вверх и вниз 2, с. 13–14], или ветвящейся» индукции 3, глава 9 И. С. Рубанова, с. 105]. Его суть состоит в том, что после установления базы индукции для переходом от к неравенство 1 доказывается для всехn, являющихся степенями двойки что соответствует прямой индукции. Затем показывается, что справедливость неравенства 1 для nчисел, влечет его выполнение и для n–1 чисел обратная индукция. В настоящей заметке мы описанную технику Коши при установлении 1 хотим реализовать иначе. Выполним это, нацеливаясь одновременно на обоснование неравенства 2, обобщающего 1.Сначала установим базу индукции, т. е. покажем, что справедливо неравенство
,
(3)
в котором равенство достигается тогда и только тогда, когда .Для доказательства 3 применим неравенство Иенсена 4, с. 58]
для вогнутой выпуклой вверх функции , полагая
.Будем иметь:,
равенство в последнем соотношении достигается только при условии логарифмическая функция не есть линейная функция. Отсюда следует неравенство 3 вместе с обоснованием условий достижения в нем равенства. База индукции установлена.Предположим теперь, что неравенство 2 справедливо для , т. е.
,(4)
при этом равенство в 4 достигается тогда и только тогда, когда . Покажем, что неравенство 2 будет иметь место и для , при этом равенство в нем будет достигаться только, если . Имеем:
в цепочке преобразований сначала мы дважды применили оценку снизу на основании индуктивного предположения, а затем еще одну аналогичную оценку –на основании базы индукции. Нетрудно видеть, что равенство в соотношении будет достигаться толькотогда, когда , и , т.е. при условии . Нужное показано.С учетом базы реализованная прямая индукция позволяет заключить, что неравенство 2 справедливо для всех n, являющихся степенями двойки. Реализуем обратную индукцию.Предположим, что неравенство 2 справедливо для некоторого . Покажем, что оно будет выполняться и при . Действительно, в неравенстве положим . Будем иметь:
.
Отсюда следует, что
.
Легко видеть, что равенство в последнем неравенстве будет иметь место только при совпадении всех чисел . Неравенство 2 полностью обосновано.Замечание. Предлагаем читателю реализовать подход Коши к доказательству неравенства 1 в отношении обобщенного неравенства 2.Рассмотрим несколько применений неравенств 1–(2).Задача 15]. Докажите неравенство , . Решение. Данное неравенство можно доказать как с помощью простого неравенства Коши1, так и обобщенного 2, потому рассмотрим два способа решения задачи.Iспособ.
.
В цепочке соотношений трижды применялось неравенство Коши 1 для двух положительных чисел. IIспособ.. Здесь применяется неравенство Коши 2 к величинам с весами 1, 3, 4. Второе решение задачи –экономичнее.Задача 26]. Докажите неравенство (N) .Решение. По обобщенному неравенству Коши можно записать:
.
В произведенной оценке знак неравенства строгий, так как числа являются различными. Отсюда следует доказываемое неравенство.Задача 37]. Докажите, что .Решение. В силу неравенства Коши 1, имеем оценку:
.
Задача 4.Для треугольника со сторонами докажите неравенство
где p–полупериметр треугольника.
Решение. Используя неравенство Коши для взвешенных среднего арифметического и среднего геометрического величин cвесами 1, 2, 3, 1, 2, 3, имеем оценку:
в котором знак неравенства –строгий, ибо не выполняется условие . Задача 58]. Докажите, что среди всех треугольников данной площади наименьший периметр имеет правильный треугольник. Решение. Пусть –стороны треугольника, p–его полупериметр. По формуле Герона площадь Sтреугольника выразится так: . Оценим Sсверху, применив неравенство Коши для чисел :
.
Таким образом, , откуда . В последнем неравенстве равенство возможно лишь при условии , т. е. при . Это говорит о том, что наименьший периметр будет у правильного треугольника. Задача 6. Решите уравнение .Решение. Область определения неизвестного данного уравнения есть промежуток . На этом промежутке правую часть уравнения оценим снизу, используя неравенство Коши 1: .
Заметим, равенство в произведенной оценке достигается только, если , или . Легко видеть, что , причем равенство в этом соотношении достигается только при . Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень .Замечание. В приведенном решении оценку можно получить посредством применения обобщенного неравенства Коши:
.
Задача 7.Решите систему уравнений Решение. По простому неравенству Коши из первого уравнения системы имеем оценку , следовательно, первое уравнение эквивалентно условию , или . Отсюда, в силу второго уравнения системы, получаем уравнение относительно : . Оно имеет два решения , , значит, соответствующие значения для будут , . Проверкой убеждаемся, что данная система имеет единственное решение .Задача 8. Решите уравнение .Решение. Рассматриваемое уравнение задано на множестве . Перепишем его в виде .
Левую часть последнего уравнения оценим снизу, используя неравенство Коши 2 для взвешенных среднего арифметического и среднего геометрического степеней и с весами и : =1.
Следовательно, данное уравнение равносильно уравнению
=.
Так как , то все сводится к решению уравнения.
Из последнего находим, что . Найденные значения лежат в области допустимых значений уравнения, значит, это искомые корни. Рассмотрим уравнение, навеянное задачей 8.Задача 9 [9].Решите уравнение.Решение. Данное уравнение схоже с предыдущим. Очевидно, оно также определено на множестве . Запишем его в равносильной форме
.
Левую часть последнего уравнения оценим снизу, применяя неравенство 2. Для этого положим , , , . Имеем:
.
В произведенной оценке равенство достигается лишь при условии
,
которое в силу равенства эквивалентно условию . Отсюда находим искомые корни .Ссылки на источники1.Калинин С. И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана: учебноепособие по спецкурсу. –Киров: Издво ВГГУ, 2002. –368 с.2.Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. –М.: Мир, 1965. –276 с.3.Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. –Киров: Издво АСА», 1994. –272с.4.Ижболдин О., Курляндчик Л. Неравенство Иенсена // Квант. –1990. –№ 4. –С.57–62.5.Галицкий М.Задачи по алгебре для 8–9 классов // Математика: Еженедельное приложение к газете Первое сентября». –1998. –№ 6. –С. 7–10. 6.Вересова Е. Е. и др.Практикум по решению математических задач. –М.: Просвещение,1979. 7.Квант. –1985. –№ 11. –С. 25.8.Курляндчик Л. Д.Приближение к экстремуму //Квант. –1981. –№ 1.–С. 21–25.
9.Калинин С.И.Два родственных» уравнения // Математика в школе. –2002. –№ 6. –С. 70–71.
Kalinin Sergey, Doctor of Education, Chief of mathematical analysis and methods of teaching mathematics chair in Vyatka State University of Humanities, KirovKalinin_gu@mail.ru
Inequality Cauchy: a new inductive proof and some applications to solving problemsAbstract. The article is devoted to a new proof of the generalized Cauchy inequality for arithmetical and geometrical mean of positive numbers, using the method of forward and backward induction. We give examples of simple and generalized Cauchy inequalities to solve problems of high levels of school mathematics.Keywords: arithmetic and geometric averages, the Cauchy inequality, the problem of high levels of schoolmathematics.
