Признаки равенства треугольников как задача открытого типа при изучении геометрии в основной школе
П.
М. ГоревБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Горев
П.
М.,
Сорокина
А.
В. Признаки равенства треугольников как задача открытого типа при изучении геометрии в основной школе // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2012. – №6 (Июнь). – С.
1–5. – URL:
http://e-koncept.ru/2012/12065.htm.
Аннотация. В статье описывается возможность построения системы геометрических задач (а именно признаков равенства треугольников) на основе рассмотрения учебной задачи открытого типа, подводящей к творческому осмысленному восприятию материала и способствующей развитию критического мышления учащихся.
Ключевые слова:
задачи открытого типа, обучение геометрии, проблемное обучение, развивающее обучение, развитие критического мышления
Текст статьи
Горев Павел Михайлович,кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и методики обучения математикеФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Кировpavelgorev@mail.ru
Сорокина Анастасия Владимировна,студентка Vкурса факультета информатики, математики и физики ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Кировvesnasky@mail.ru
Признаки равенства треугольников как задачаоткрытого типа при изучении геометрии в основной школе
Аннотация. В статьеописывается возможность построения системы геометрических задач (а именно признаков равенства треугольников) на основе рассмотрения учебной задачи открытого типа, подводящей к творческому осмысленному восприятию материала и способствующей развитию критического мышления учащихся.
Ключевые слова:обучение геометрии,задачи открытого типа, проблемное обучение, развивающее обучение, развитие критического мышления.
Развитие личности с высоким уровнем интеллекта, мощным творческим потенциалом, способной раскрыть их в своей профессиональной деятельности одна из наиболее важных и приоритетных задач обновляющейся школы.Математическое образование в силу специфичности своего предмета в значительной степени позволяет формировать интеллект учащихсяи имеет широкий, нонедостаточнобольшой потенциал для развития их творческих способностей[1, 2]. Одним из направлений в решении проблемыразвития научного творчества школьников при обучении математикеможет стать включение в изучаемыйматериал задач открытого типакак эффективного средства развития креативности учащихся основной и средней школы [35]. Такие задачи не регламентируют четкихусловия,рассужденийи выводов: предложенное решение либо применимо к условию и приводит к требуемому результату, либо нет. Задачиоткрытого типачаще всего встречаются в практической деятельности, поэтому школьный курс математики должен целенаправленно способствовать формированию у учеников умения их решать[6].Именно поэтому особое значение приобретает исследовательская работа повыявлениювозможностейиспользования таких задач в процессе изучения школьного курса математики, а также созданиюсистем таких задач и методикиработы с ними в соответствии с действующим обновленным федеральным стандартом математического образования школьников.Приведем пример открытой задачи математической направленности.Задача 1.Как убедиться, что два предлагаемых куска ткани одинаковы?Конечно, на практике такая задача, скореевсего, будет решена простым наложением одного куска на другой, что, в общемто, естественно как с позиций геометрии, так и с позиций практики, но не несет должного образовательного эффекта.Поэтому формулировка такой открытой задачи требует внесения изменений, что сузит степени открытости, но повысит ее образовательнуюсоставляющую[7].Задача 2.Как убедится, что две фигуры,не доступные для практических действий с ними (вырезание, накладывание и т. п.),равны?Задача, оставаясь открытой, теперь уже требует применения геометрических соображений практического(измерениедлин отрезков и величин углов, сопоставление и т. п.) или теоретического (доказательство)характера.Сузим требования задачи до простейших геометрических фигур треугольников. Задача 3.Как убедится, не прибегая к практическим действиям, что два треугольника равны?Этазадача открытого типауже может быть включена в процесс изучения темы «Признаки равенства треугольников»в 7 классе основной школыи, после соответствующей переформулировки,следующей далее,может использоваться приизучениитрех наиболее известных (основных)признаков равенства треугольников[8].Задача 4. Укажитеи докажите возможные признаки равенства треугольников. Это учебнаязадача, носящая признаки открытости. Так, отрытым является условие задачи неясно,какие элементыможно использовать;ее решение тоже может быть осуществлено разными способами; да и выводы могут быть разнообразны.Обсудим более подробно открытость условия задачи. Условимсядля начала называть элементами треугольникаегостороны и углы. Каждый из трех основныхпризнаков равенства треугольников позволяет сделать вывод о равенстве двух треугольников, если установлено, что три элемента одного треугольника (хотя бы один из которых линейный) соответственно равны трем элементам другого треугольника. В первом признаке такими элементами являютсядве стороны и угол между ними, во втором сторона и два прилежащих к ней угла, в третьем три стороны. Возникает естественный вопрос: а будут ли равны два треугольника, если какието иныетри элемента одного из нихравны соответствующим элементам другого? Иначе говоря, есть ли другие признаки равенства двух треугольников по трем элементам?Сначала перечислим, какие ещеесть возможности. Если взять в качестве исследуемых элементов одну сторону и два угла, то они оба могут быть прилежащими к этой стороне (такой случай рассматривается во втором признаке равенства треугольников), аможет быть и другой вариант: один из углов является прилежащим, а другой противолежащим. Таким образом, возможен признак равенства треугольников по стороне и двум углам, один из которых является прилежащим, а другой противолежащим для этой стороны.Далее, если рассматриватьдве стороны и угол, то он может быть заключен между этими сторонами (такой случай рассматривается в первом признаке равенства треугольников), а может быть противолежащим одной из сторон. Тем самым, возникает вопрос о признаке равенства треугольников по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них. И, наконец, в качестве трех элементов треугольника можно взять три угла и рассмотреть вопрос о признаке равенства треугольников по трем углам.Напомним, что рассмотрение в качестве элементов трех сторон составляют третий из основных признаков равенства треугольников.Итак, есть три возможности. Осталось выяснить какие из них, являясь верными фактами,дают «новые» признаки равенства треугольников.Гипотеза1.Если сторона и два угла (прилежащий и противолежащий для этой стороны)одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам (прилежащему и противолежащему для этой стороны)другого треугольника, то такие треугольники равны.Попробуем доказать, что эта гипотеза верна, попутно показав два из многих возможныхвариантовдоказательства, что дает представление об открытости процесса решения задачи. Доказательство1.Рассмотрим треугольники АВСи А1В1С1,у которых АВ=А1В1, А=А1, С=С1. Мы хотим доказать, что эти треугольники равны. Мысленно наложим треугольник АВСна треугольник А1В1С1так, чтобы вершина Асовместилась с вершиной А1, а стороны АВи АСналожились на лучи А1В1иА1С1. Это можно сделать, т. к. А=А1. Поскольку АВ=А1В1, то сторона АВсовместится со стороной А1В1, в частности, совместятся вершины Ви В1. Остается доказать, что вершины Си С1так же совместятся. Если предположить, что вершина Ссовместится не с точкой С1, а с какойто другой точкой С2на луче А1С1, то получится треугольник В1С1С2, у которого внешний уголприравен углу треугольника, не смежному с этим внешним углом. Но этого не может быть(точнее может быть лишь в случае, если угол В1этого треугольника нулевой),поэтому вершина Ссовместится с вершиной С1. Следовательно, совместятся и стороныВСи В1С1. Итак, треугольники АВСи А1В1С1полностью совместятся, а значит,они равны.Доказательство2будем основывать на уже известном второмпризнаке равенства треугольников. Пусть вновь данытреугольники АВСи А1В1С1,у которых АВ=А1В1, А=А1, С=С1.В силу того, что сумма углов треугольника неизменна и равна 180° и у треугольников есть две пары равных углов, то и третья пара составит равные углы (В=В1). Следовательно, в каждом треугольнике есть по стороне и паре прилежащих к ней угловнаходящихся в соответственном равенстве (АВ=А1В1, А=А1, В=В1), что доказывает равенство самих треугольников.Таким образом, наша гипотеза оказалась верной и имеет место ещеодин признак равенства треугольников.Четвертый1признак равенства треугольников.Если сторона и два угла (прилежащий и противолежащий для этой стороны)одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам (прилежащему и противолежащему для этой стороны)другого треугольника, то такие треугольники равны.Заметим,что признаки треугольников, обозначенные у нас под номерами два и четыре можно объединить и рассматривать обобщенный признак.Теорема (признак равенства треугольников).Если сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны.Однако вернемся к рассмотрению заявленных возможностей равенства элементов двух треугольников.Гипотеза2.Если две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.Доказательство.Рассмотрим треугольникиАВСи А1В1С1,у которых АВ=А1В1, АС=А1С1,С=С1. Мысленно наложим треугольник АВСна треугольник А1В1С1так, чтобы вершина Ссовместилась с вершиной С1, а стороны ВСи АСналожились на лучи В1С1иА1С1соответственно.Это можно сделать, т.к. С=С1. Поскольку АС=А1С1, то сторона АСсовместится со стороной А1С1, в частности, совместятся вершины Аи А1. Остается доказать, что вершиныВи В1также совместятся. Но так ли это? Допустим, что точка Всовместилась не с точкойВ1, а с какойто другой точкой В2на луче С1В1. Тогда треугольник А1В1В2равнобедренный(А1В1=А1В2).Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника острые, то смежные с ними углы тупые. Поэтому либо угол В1треугольника А1В1С1тупой (если 1Нумерация признаковздесь и далее условная.В1лежит между С1иВ2), либо угол В2треугольника А1В2С1тупой (еслиВ2лежит между С1иВ1). Принимаяво внимание соотношение между сторонами и углами треугольника, и в том,и в другом случае получаем: А1В1=А1В2А1С1. Следовательно, если А1В1≥ А1С1, то точки Ви В1должны совместиться. Таким образом, треугольники АВСи А1В1С1полностью совместятся, а значит, они равны.Если же А1В1 А1С1(и, следовательно, АВ < АС), то никакого противоречия нет. И в этом случае наша гипотеза не верна.Таким образом, гипотеза в том виде, в котором мы еесформулировали,не верна. Однако признакравенства треугольников по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них, имеет место в том случае, когда сторона, противолежащая этому углу, не меньше второй из данных сторон.Здесь нужно остановиться и заметить, что многовариантность возможных ответов задачи в зависимости от условий, дает повод говорить об определенной доле открытости результатов решения задачи 4.Итак, нами сформулирован еще один признак равенства треугольников.Пятый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, при этом сторона, противолежащая углу, не меньше второй из данных сторон,то такие треугольники равны.Возвращаясь к рассмотрению заявленных выше случаем, замечаем, что осталось выяснить,имеет ли место признак равенства треугольников по трем углам. Гипотеза 3.Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны.Доказательство.Уже напервый взгляд гипотеза кажется неверной. Насамом деле, рассмотрим два неравных квадрата АВСDи А1В1С1D1. Проведем диагонали АСи А1С1и рассмотрим треугольники АВСи А1В1С1. Углы этих треугольников соответственно равны: в каждом треугольнике один угол прямой, а два другие по 45. Но сами треугольники, очевидно, не равны.Количество признаков равенства треугольников возрастает, если наряду с элементами треугольника рассматриватьмедианы, биссектрисыивысоты.
Разберем некоторые из них.Гипотеза 4.Если две стороны и медиана, проведенная из общей вершины этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной из общей вершины этих сторон, другого треугольника, то такие треугольники равны.Доказательство.Рассмотрим треугольники АВСи А1В1С1, у которых АВ=А1В1, АС=А1С1, АМ=А1М1.Где АМи А1М1медианы треугольников. Докажем, что эти треугольники равны.
На продолжениях медиан АМи А1М1отметим точки Dи D1так, что DM=AM=A1M1=D1M1(рис. 1). Треугольники АВМи СDMравны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому АВ=CD. Аналогично, из равенства треугольников А1В1М1и С1D1M1следует, что А1В1=С1D1, а т. к. АВ=А1В1, то CD=С1D1.
Рис. 1Треугольники АСDи А1С1D1равны по трем сторонам. Поэтому CAD=C1A1D1.Следовательно, треугольники САМи С1А1М1равны по двум сторонам и углу между ними, а значит, СМ=С1М1. Из этого следует, что ВС=2СМ=2С1М1=В1С1.Итак, в треугольниках АВСи А1В1С1имеем АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1.Следовательно, треугольники равны по трем сторонам.Мы установили, что имеет место еще один признак равенства треугольников.Шестой признак равенства треугольников.Если две стороны и медиана, проведенная из общей вершины этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной из общей вершины этих сторон, другого треугольника, то такие треугольники равны.Возникает вопрос: а что, если медиану заменить на биссектрису или высоту? Сохранится ли признак равенства треугольников?Гипотеза5.Если две стороны и биссектриса, проведенная из общей вершины этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе, проведенной из общей вершины этих сторон, другого треугольника, то такие треугольники равны.Доказательство.Рассмотрим треугольники АВСи А1В1С1, у которых АВ=А1В1, АС=А1С1, АМ=А1М1.Где АМи А1М1биссектрисы треугольников. Докажем, что эти треугольники равны. Докажем, что если А=А1, то треугольники будут равны по первому признаку равенства треугольников. Допустим, что это не так. Пустьдля определенностиАА1. Мысленно наложим треугольник АВСна треугольник А1В1С1так, чтобы луч АМналожился на лучА1М1, авершина Ви В1оказались по одну сторону от АМ. Обозначим буквами Pи Qточки пересечения отрезка В1С1с лучами АВи АС. В треугольнике АРQхотя бы один из углов Р, Qострый. Если угол Рострый, то смежный с ним угол АРВ1тупой. Поэтому сторона АВ1треугольника АРВ1больше, чем АР. Но АВ1=АВ. Следовательно, АВ�АР, а значит точка Рлежит на отрезке АВ. Если угол Qтреугольника АРQ
острый, то точка Qлежит на отрезке АС(аналогично предыдущему рассуждению). В этом случае, точки Pи Qлежат по одну сторону от прямой ВС. Поэтому точка М1пересечения отрезка В1С1с лучом АМявляется внутренней точкой отрезка АМ, т. е. АМ ≠ АМ1. Что и требовалось доказать, значит, наша гипотеза верна.Седьмой признак равенства треугольников.Если две стороны и биссектриса, проведенная из общей вершины этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе, проведенной из общей вершины этих сторон, другого треугольника, то такие треугольники равны.Гипотеза6.Если две стороны и высота, проведенная из общей вершины этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте, проведенной из общей вершины этих сторон, другого треугольника, то такие треугольники равны.Доказательство.Рассмотрим треугольники АВСи А1В1С1, у которых АВ=А1В1, АС=А1С1, АН=А1Н1.Где АНи А1Н1высоты треугольников. Докажем, что еслиА=А1, то треугольники будут равны по первому признаку. Прямоугольные треугольники АВНи А1В1Н1равны по доказанному намиранеепризнаку по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них. Следовательно, ВАН=В1А1Н1. Аналогично САН=С1А1Н1. Тогда, А=ВАН+САН==В1А1Н1+С1А1Н1=А1. А если А=ВАН+САН, а А1=В1А1Н1 С1А1Н1, тогда треугольники не будут равны. Контрпримером может служить равнобедренный треугольник АВС, где АВ=АС, АНвысота. Если на продолжении стороны ВСотметить точку D, то треугольники ABDи ACDбудут удовлетворять условиям гипотезы. Таким образом, наша гипотеза не верна. Гипотеза 7.Если сторона, прилежащий к ней угол и высота, проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведенной к этой стороне, другого треугольника, то такие треугольники равны.Доказательство.Рассмотрим треугольники АВСи А1В1С1, у которых ВН=В1Н1, АС=А1С1, А=А1.Где ВНи В1Н1высоты треугольников. Докажем, что эти треугольники равны.Рассмотрим три случая. Первый случай:углы Аи А1острые. В этом случае треугольники АВНи А1В1Н1равны по доказанному нами признаку равенства треугольников по стороне и двум углам, один из которых противолежащий, другой прилежащий к этой стороне. Тогда АВ=А1В1. Т. к. АС=А1С1, А=А1,АВ=А1В1, то треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.Второй случай:углы Аи А1тупые, доказывается аналогично предыдущему. Если же Аи А1прямые, то высота ВНсовпадет со стороной АВтреугольника АВС, т. е. совпадают точки Аи Н, высота В1Н1совпадет со стороной А1В1треугольникаА1В1Н1. Тогда треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.Восьмой признак равенства треугольников.Если сторона, прилежащий к ней угол и высота, проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведенной к этой стороне, другого треугольника, то такие треугольники равны.Очевидно, список признаков можно продолжать и далее, включая в рассмотрение другие элементы треугольника: радиусы вписанной,описанной, вневписанныхокружностей,внешние углы,проекции двух сторон на третью, отрезки, на которые разбивает сторону биссектриса и т.д.Таким образом, учебная открытая задача позволила перейти к творческому осмыслению материала, связанного с признаками равенства треугольников и пополнить как фактологическую, так и доказательную базу семиклассников.
Ссылки на источники1.Горев П. М. Формирование творческой деятельности школьников в дополнительном математическом образовании: дисс. … канд. пед. наук. Киров: ВятГГУ, 2006. 158 с.2.Горев П. М. Приобщение к математическому творчеству:Дополнительное математическое образование:монография. Saarbrucken: LAPLAMBERTAcademicPublishingGmbH& Co. KG (Germany), 2012. 156 с.3.Утѐмов В. В. Задачи открытого типа как средство развития креативности учащихся средней школы // Концепт: научнометодический электронный журнал официального сайта эвристических олимпиад «Совѐнок» и «Прорыв». Декабрь 2011, ART 1102. Киров, 2011 г. URL: http://www.covenok.ru/koncept/2011/1102.htm.4.Утѐмов В. В. Развитие креативности учащихся основной школы: Решая задачи открытого типа: монография. Saarbrucken: LAPLAMBERTAcademicPublishingGmbH& Co. KG(Germany),2012. 186 с.5.Горев П. М., Утѐмов В. В. Формула творчества: Решаем открытые задачи. Материалы эвристической олимпиады «Совѐнок»: учебнометодическое пособие. Киров: Издво ВятГГУ, 2011. 288 с.6.ГоревП.М., УтѐмовВ.В.Развитие креативности через использование ситуаций в обучении математике // Лаборатория образовательных технологий «Образование для Новой Эры», 2011.URL: http://www.trizway.com/art/secondary/305.html.7.Утѐмов В. В. Учебные задачи открытого типа // Концепт: научнометодический электронный журнал официального сайта эвристических олимпиад «Совенок» и «Прорыв». Май 2012, ART 1257. Киров, 2012 г. URL: http://www.covenok.ru/koncept/2012/1257.htm.8.Геометрия 79: учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 2008. 384 с.
Gorev Pavel,Candidate of Pedagogical Sciences, associate professor at the chair of mathematical analysis and methods of teaching mathematics Vyatka State Humanities University, Kirovpavelgorev@mail.ruSorokina Anastasia,student of faculty of computer science, mathematics and physics Vyatka State Humanities University, Kirov
vesnasky@mail.ruSigns of the equality of triangles as the problem of open the study of geometry in primary schoolSummary. This paper describes the possibility of constructing a system of geometric problems (namely, the equality signs triangles) based on the consideration of educational problems of open type, the supply of creative and meaningful perception of the material to promote the development of critical thinking of students.Keywords: teaching of geometry, the problem open, problem training, developing training, the development of criticalthinking.
ISSN 2304120X
Сорокина Анастасия Владимировна,студентка Vкурса факультета информатики, математики и физики ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Кировvesnasky@mail.ru
Признаки равенства треугольников как задачаоткрытого типа при изучении геометрии в основной школе
Аннотация. В статьеописывается возможность построения системы геометрических задач (а именно признаков равенства треугольников) на основе рассмотрения учебной задачи открытого типа, подводящей к творческому осмысленному восприятию материала и способствующей развитию критического мышления учащихся.
Ключевые слова:обучение геометрии,задачи открытого типа, проблемное обучение, развивающее обучение, развитие критического мышления.
Развитие личности с высоким уровнем интеллекта, мощным творческим потенциалом, способной раскрыть их в своей профессиональной деятельности одна из наиболее важных и приоритетных задач обновляющейся школы.Математическое образование в силу специфичности своего предмета в значительной степени позволяет формировать интеллект учащихсяи имеет широкий, нонедостаточнобольшой потенциал для развития их творческих способностей[1, 2]. Одним из направлений в решении проблемыразвития научного творчества школьников при обучении математикеможет стать включение в изучаемыйматериал задач открытого типакак эффективного средства развития креативности учащихся основной и средней школы [35]. Такие задачи не регламентируют четкихусловия,рассужденийи выводов: предложенное решение либо применимо к условию и приводит к требуемому результату, либо нет. Задачиоткрытого типачаще всего встречаются в практической деятельности, поэтому школьный курс математики должен целенаправленно способствовать формированию у учеников умения их решать[6].Именно поэтому особое значение приобретает исследовательская работа повыявлениювозможностейиспользования таких задач в процессе изучения школьного курса математики, а также созданиюсистем таких задач и методикиработы с ними в соответствии с действующим обновленным федеральным стандартом математического образования школьников.Приведем пример открытой задачи математической направленности.Задача 1.Как убедиться, что два предлагаемых куска ткани одинаковы?Конечно, на практике такая задача, скореевсего, будет решена простым наложением одного куска на другой, что, в общемто, естественно как с позиций геометрии, так и с позиций практики, но не несет должного образовательного эффекта.Поэтому формулировка такой открытой задачи требует внесения изменений, что сузит степени открытости, но повысит ее образовательнуюсоставляющую[7].Задача 2.Как убедится, что две фигуры,не доступные для практических действий с ними (вырезание, накладывание и т. п.),равны?Задача, оставаясь открытой, теперь уже требует применения геометрических соображений практического(измерениедлин отрезков и величин углов, сопоставление и т. п.) или теоретического (доказательство)характера.Сузим требования задачи до простейших геометрических фигур треугольников. Задача 3.Как убедится, не прибегая к практическим действиям, что два треугольника равны?Этазадача открытого типауже может быть включена в процесс изучения темы «Признаки равенства треугольников»в 7 классе основной школыи, после соответствующей переформулировки,следующей далее,может использоваться приизучениитрех наиболее известных (основных)признаков равенства треугольников[8].Задача 4. Укажитеи докажите возможные признаки равенства треугольников. Это учебнаязадача, носящая признаки открытости. Так, отрытым является условие задачи неясно,какие элементыможно использовать;ее решение тоже может быть осуществлено разными способами; да и выводы могут быть разнообразны.Обсудим более подробно открытость условия задачи. Условимсядля начала называть элементами треугольникаегостороны и углы. Каждый из трех основныхпризнаков равенства треугольников позволяет сделать вывод о равенстве двух треугольников, если установлено, что три элемента одного треугольника (хотя бы один из которых линейный) соответственно равны трем элементам другого треугольника. В первом признаке такими элементами являютсядве стороны и угол между ними, во втором сторона и два прилежащих к ней угла, в третьем три стороны. Возникает естественный вопрос: а будут ли равны два треугольника, если какието иныетри элемента одного из нихравны соответствующим элементам другого? Иначе говоря, есть ли другие признаки равенства двух треугольников по трем элементам?Сначала перечислим, какие ещеесть возможности. Если взять в качестве исследуемых элементов одну сторону и два угла, то они оба могут быть прилежащими к этой стороне (такой случай рассматривается во втором признаке равенства треугольников), аможет быть и другой вариант: один из углов является прилежащим, а другой противолежащим. Таким образом, возможен признак равенства треугольников по стороне и двум углам, один из которых является прилежащим, а другой противолежащим для этой стороны.Далее, если рассматриватьдве стороны и угол, то он может быть заключен между этими сторонами (такой случай рассматривается в первом признаке равенства треугольников), а может быть противолежащим одной из сторон. Тем самым, возникает вопрос о признаке равенства треугольников по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них. И, наконец, в качестве трех элементов треугольника можно взять три угла и рассмотреть вопрос о признаке равенства треугольников по трем углам.Напомним, что рассмотрение в качестве элементов трех сторон составляют третий из основных признаков равенства треугольников.Итак, есть три возможности. Осталось выяснить какие из них, являясь верными фактами,дают «новые» признаки равенства треугольников.Гипотеза1.Если сторона и два угла (прилежащий и противолежащий для этой стороны)одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам (прилежащему и противолежащему для этой стороны)другого треугольника, то такие треугольники равны.Попробуем доказать, что эта гипотеза верна, попутно показав два из многих возможныхвариантовдоказательства, что дает представление об открытости процесса решения задачи. Доказательство1.Рассмотрим треугольники АВСи А1В1С1,у которых АВ=А1В1, А=А1, С=С1. Мы хотим доказать, что эти треугольники равны. Мысленно наложим треугольник АВСна треугольник А1В1С1так, чтобы вершина Асовместилась с вершиной А1, а стороны АВи АСналожились на лучи А1В1иА1С1. Это можно сделать, т. к. А=А1. Поскольку АВ=А1В1, то сторона АВсовместится со стороной А1В1, в частности, совместятся вершины Ви В1. Остается доказать, что вершины Си С1так же совместятся. Если предположить, что вершина Ссовместится не с точкой С1, а с какойто другой точкой С2на луче А1С1, то получится треугольник В1С1С2, у которого внешний уголприравен углу треугольника, не смежному с этим внешним углом. Но этого не может быть(точнее может быть лишь в случае, если угол В1этого треугольника нулевой),поэтому вершина Ссовместится с вершиной С1. Следовательно, совместятся и стороныВСи В1С1. Итак, треугольники АВСи А1В1С1полностью совместятся, а значит,они равны.Доказательство2будем основывать на уже известном второмпризнаке равенства треугольников. Пусть вновь данытреугольники АВСи А1В1С1,у которых АВ=А1В1, А=А1, С=С1.В силу того, что сумма углов треугольника неизменна и равна 180° и у треугольников есть две пары равных углов, то и третья пара составит равные углы (В=В1). Следовательно, в каждом треугольнике есть по стороне и паре прилежащих к ней угловнаходящихся в соответственном равенстве (АВ=А1В1, А=А1, В=В1), что доказывает равенство самих треугольников.Таким образом, наша гипотеза оказалась верной и имеет место ещеодин признак равенства треугольников.Четвертый1признак равенства треугольников.Если сторона и два угла (прилежащий и противолежащий для этой стороны)одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам (прилежащему и противолежащему для этой стороны)другого треугольника, то такие треугольники равны.Заметим,что признаки треугольников, обозначенные у нас под номерами два и четыре можно объединить и рассматривать обобщенный признак.Теорема (признак равенства треугольников).Если сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны.Однако вернемся к рассмотрению заявленных возможностей равенства элементов двух треугольников.Гипотеза2.Если две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.Доказательство.Рассмотрим треугольникиАВСи А1В1С1,у которых АВ=А1В1, АС=А1С1,С=С1. Мысленно наложим треугольник АВСна треугольник А1В1С1так, чтобы вершина Ссовместилась с вершиной С1, а стороны ВСи АСналожились на лучи В1С1иА1С1соответственно.Это можно сделать, т.к. С=С1. Поскольку АС=А1С1, то сторона АСсовместится со стороной А1С1, в частности, совместятся вершины Аи А1. Остается доказать, что вершиныВи В1также совместятся. Но так ли это? Допустим, что точка Всовместилась не с точкойВ1, а с какойто другой точкой В2на луче С1В1. Тогда треугольник А1В1В2равнобедренный(А1В1=А1В2).Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника острые, то смежные с ними углы тупые. Поэтому либо угол В1треугольника А1В1С1тупой (если 1Нумерация признаковздесь и далее условная.В1лежит между С1иВ2), либо угол В2треугольника А1В2С1тупой (еслиВ2лежит между С1иВ1). Принимаяво внимание соотношение между сторонами и углами треугольника, и в том,и в другом случае получаем: А1В1=А1В2А1С1. Следовательно, если А1В1≥ А1С1, то точки Ви В1должны совместиться. Таким образом, треугольники АВСи А1В1С1полностью совместятся, а значит, они равны.Если же А1В1 А1С1(и, следовательно, АВ < АС), то никакого противоречия нет. И в этом случае наша гипотеза не верна.Таким образом, гипотеза в том виде, в котором мы еесформулировали,не верна. Однако признакравенства треугольников по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них, имеет место в том случае, когда сторона, противолежащая этому углу, не меньше второй из данных сторон.Здесь нужно остановиться и заметить, что многовариантность возможных ответов задачи в зависимости от условий, дает повод говорить об определенной доле открытости результатов решения задачи 4.Итак, нами сформулирован еще один признак равенства треугольников.Пятый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, при этом сторона, противолежащая углу, не меньше второй из данных сторон,то такие треугольники равны.Возвращаясь к рассмотрению заявленных выше случаем, замечаем, что осталось выяснить,имеет ли место признак равенства треугольников по трем углам. Гипотеза 3.Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны.Доказательство.Уже напервый взгляд гипотеза кажется неверной. Насамом деле, рассмотрим два неравных квадрата АВСDи А1В1С1D1. Проведем диагонали АСи А1С1и рассмотрим треугольники АВСи А1В1С1. Углы этих треугольников соответственно равны: в каждом треугольнике один угол прямой, а два другие по 45. Но сами треугольники, очевидно, не равны.Количество признаков равенства треугольников возрастает, если наряду с элементами треугольника рассматриватьмедианы, биссектрисыивысоты.
Разберем некоторые из них.Гипотеза 4.Если две стороны и медиана, проведенная из общей вершины этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной из общей вершины этих сторон, другого треугольника, то такие треугольники равны.Доказательство.Рассмотрим треугольники АВСи А1В1С1, у которых АВ=А1В1, АС=А1С1, АМ=А1М1.Где АМи А1М1медианы треугольников. Докажем, что эти треугольники равны.
На продолжениях медиан АМи А1М1отметим точки Dи D1так, что DM=AM=A1M1=D1M1(рис. 1). Треугольники АВМи СDMравны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому АВ=CD. Аналогично, из равенства треугольников А1В1М1и С1D1M1следует, что А1В1=С1D1, а т. к. АВ=А1В1, то CD=С1D1.
Рис. 1Треугольники АСDи А1С1D1равны по трем сторонам. Поэтому CAD=C1A1D1.Следовательно, треугольники САМи С1А1М1равны по двум сторонам и углу между ними, а значит, СМ=С1М1. Из этого следует, что ВС=2СМ=2С1М1=В1С1.Итак, в треугольниках АВСи А1В1С1имеем АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1.Следовательно, треугольники равны по трем сторонам.Мы установили, что имеет место еще один признак равенства треугольников.Шестой признак равенства треугольников.Если две стороны и медиана, проведенная из общей вершины этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной из общей вершины этих сторон, другого треугольника, то такие треугольники равны.Возникает вопрос: а что, если медиану заменить на биссектрису или высоту? Сохранится ли признак равенства треугольников?Гипотеза5.Если две стороны и биссектриса, проведенная из общей вершины этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе, проведенной из общей вершины этих сторон, другого треугольника, то такие треугольники равны.Доказательство.Рассмотрим треугольники АВСи А1В1С1, у которых АВ=А1В1, АС=А1С1, АМ=А1М1.Где АМи А1М1биссектрисы треугольников. Докажем, что эти треугольники равны. Докажем, что если А=А1, то треугольники будут равны по первому признаку равенства треугольников. Допустим, что это не так. Пустьдля определенностиАА1. Мысленно наложим треугольник АВСна треугольник А1В1С1так, чтобы луч АМналожился на лучА1М1, авершина Ви В1оказались по одну сторону от АМ. Обозначим буквами Pи Qточки пересечения отрезка В1С1с лучами АВи АС. В треугольнике АРQхотя бы один из углов Р, Qострый. Если угол Рострый, то смежный с ним угол АРВ1тупой. Поэтому сторона АВ1треугольника АРВ1больше, чем АР. Но АВ1=АВ. Следовательно, АВ�АР, а значит точка Рлежит на отрезке АВ. Если угол Qтреугольника АРQ
острый, то точка Qлежит на отрезке АС(аналогично предыдущему рассуждению). В этом случае, точки Pи Qлежат по одну сторону от прямой ВС. Поэтому точка М1пересечения отрезка В1С1с лучом АМявляется внутренней точкой отрезка АМ, т. е. АМ ≠ АМ1. Что и требовалось доказать, значит, наша гипотеза верна.Седьмой признак равенства треугольников.Если две стороны и биссектриса, проведенная из общей вершины этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе, проведенной из общей вершины этих сторон, другого треугольника, то такие треугольники равны.Гипотеза6.Если две стороны и высота, проведенная из общей вершины этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте, проведенной из общей вершины этих сторон, другого треугольника, то такие треугольники равны.Доказательство.Рассмотрим треугольники АВСи А1В1С1, у которых АВ=А1В1, АС=А1С1, АН=А1Н1.Где АНи А1Н1высоты треугольников. Докажем, что еслиА=А1, то треугольники будут равны по первому признаку. Прямоугольные треугольники АВНи А1В1Н1равны по доказанному намиранеепризнаку по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них. Следовательно, ВАН=В1А1Н1. Аналогично САН=С1А1Н1. Тогда, А=ВАН+САН==В1А1Н1+С1А1Н1=А1. А если А=ВАН+САН, а А1=В1А1Н1 С1А1Н1, тогда треугольники не будут равны. Контрпримером может служить равнобедренный треугольник АВС, где АВ=АС, АНвысота. Если на продолжении стороны ВСотметить точку D, то треугольники ABDи ACDбудут удовлетворять условиям гипотезы. Таким образом, наша гипотеза не верна. Гипотеза 7.Если сторона, прилежащий к ней угол и высота, проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведенной к этой стороне, другого треугольника, то такие треугольники равны.Доказательство.Рассмотрим треугольники АВСи А1В1С1, у которых ВН=В1Н1, АС=А1С1, А=А1.Где ВНи В1Н1высоты треугольников. Докажем, что эти треугольники равны.Рассмотрим три случая. Первый случай:углы Аи А1острые. В этом случае треугольники АВНи А1В1Н1равны по доказанному нами признаку равенства треугольников по стороне и двум углам, один из которых противолежащий, другой прилежащий к этой стороне. Тогда АВ=А1В1. Т. к. АС=А1С1, А=А1,АВ=А1В1, то треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.Второй случай:углы Аи А1тупые, доказывается аналогично предыдущему. Если же Аи А1прямые, то высота ВНсовпадет со стороной АВтреугольника АВС, т. е. совпадают точки Аи Н, высота В1Н1совпадет со стороной А1В1треугольникаА1В1Н1. Тогда треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.Восьмой признак равенства треугольников.Если сторона, прилежащий к ней угол и высота, проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведенной к этой стороне, другого треугольника, то такие треугольники равны.Очевидно, список признаков можно продолжать и далее, включая в рассмотрение другие элементы треугольника: радиусы вписанной,описанной, вневписанныхокружностей,внешние углы,проекции двух сторон на третью, отрезки, на которые разбивает сторону биссектриса и т.д.Таким образом, учебная открытая задача позволила перейти к творческому осмыслению материала, связанного с признаками равенства треугольников и пополнить как фактологическую, так и доказательную базу семиклассников.
Ссылки на источники1.Горев П. М. Формирование творческой деятельности школьников в дополнительном математическом образовании: дисс. … канд. пед. наук. Киров: ВятГГУ, 2006. 158 с.2.Горев П. М. Приобщение к математическому творчеству:Дополнительное математическое образование:монография. Saarbrucken: LAPLAMBERTAcademicPublishingGmbH& Co. KG (Germany), 2012. 156 с.3.Утѐмов В. В. Задачи открытого типа как средство развития креативности учащихся средней школы // Концепт: научнометодический электронный журнал официального сайта эвристических олимпиад «Совѐнок» и «Прорыв». Декабрь 2011, ART 1102. Киров, 2011 г. URL: http://www.covenok.ru/koncept/2011/1102.htm.4.Утѐмов В. В. Развитие креативности учащихся основной школы: Решая задачи открытого типа: монография. Saarbrucken: LAPLAMBERTAcademicPublishingGmbH& Co. KG(Germany),2012. 186 с.5.Горев П. М., Утѐмов В. В. Формула творчества: Решаем открытые задачи. Материалы эвристической олимпиады «Совѐнок»: учебнометодическое пособие. Киров: Издво ВятГГУ, 2011. 288 с.6.ГоревП.М., УтѐмовВ.В.Развитие креативности через использование ситуаций в обучении математике // Лаборатория образовательных технологий «Образование для Новой Эры», 2011.URL: http://www.trizway.com/art/secondary/305.html.7.Утѐмов В. В. Учебные задачи открытого типа // Концепт: научнометодический электронный журнал официального сайта эвристических олимпиад «Совенок» и «Прорыв». Май 2012, ART 1257. Киров, 2012 г. URL: http://www.covenok.ru/koncept/2012/1257.htm.8.Геометрия 79: учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 2008. 384 с.
Gorev Pavel,Candidate of Pedagogical Sciences, associate professor at the chair of mathematical analysis and methods of teaching mathematics Vyatka State Humanities University, Kirovpavelgorev@mail.ruSorokina Anastasia,student of faculty of computer science, mathematics and physics Vyatka State Humanities University, Kirov
vesnasky@mail.ruSigns of the equality of triangles as the problem of open the study of geometry in primary schoolSummary. This paper describes the possibility of constructing a system of geometric problems (namely, the equality signs triangles) based on the consideration of educational problems of open type, the supply of creative and meaningful perception of the material to promote the development of critical thinking of students.Keywords: teaching of geometry, the problem open, problem training, developing training, the development of criticalthinking.
ISSN 2304120X
