Доказательство обобщенного неравенства Коши методом прямой и обратной индукции и применение его к решению задач элементарной математики
С.
В. ВычегжанинБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Вычегжанин
С.
В. Доказательство обобщенного неравенства Коши методом прямой и обратной индукции и применение его к решению задач элементарной математики // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2012. – №5 (Май). – С.
26–30. – URL:
http://e-koncept.ru/2012/1254.htm.
Аннотация. В статье рассматривается доказательство обобщенного неравенства Коши для арифметико-геометрических средних положительных чисел, реализуемое методом прямой и обратной индукции. Приводятся примеры применения данного неравенства при решении задач.
Ключевые слова:
средние арифметическое и геометрическое, неравенство коши, задачи повышенного уровня сложности школьного курса математики
Текст статьи
Вычегжанин Сергей Владимирович,студент IIкурса специальности Прикладная математика и информатика» ФГБОУ ВПО Вятский государственный гуманитарный университет», г. Кировsvpostlink@rambler.ru
Доказательство обобщенного неравенства Коши
методом прямой и обратной индукциии применение его к решению задач элементарной математики
Аннотация.В статье рассматривается доказательство обобщенного неравенства Коши для арифметикогеометрических средних положительных чисел, реализуемое методом прямой и обратной индукции. Приводятся примеры применения данного неравенства при решении задач.Ключевые слова:средние арифметическое и геометрическое, неравенство Коши, задачи повышенного уровня сложности школьного курса математики.
Напомним читателю известное в тематике средних величин обобщенное неравенство Коши:
,(1)
где –положительные числа, –числа, называемые весами. В 1 равенство достигается только лишь при условии .С. И. Калинин в статье Неравенство Коши: новое индуктивное доказательство и некоторые применения к решению задач»[1]приводит доказательство данного неравенства подходом Коши, которое основывается на методе прямой и обратной индукции, но реализуется иной техникой. Напомним, что сам Коши свое знаменитое неравенство доказал в ситуации совпадения весов. В виде замечания читателю предлагается применить подход Коши к доказательству весового неравенства 1. Ознакомившись с работой, мы провели осмысление предложенной задачи. Цель настоящей статьи –представитьсоответствующее доказательство знаменитого неравенства, а также привести некоторые его применения.Докажем 1 методом прямой и обратной индукции, опираясь на технику Коши. Установим сначала, что неравенство 1 справедливо для , т.е. для частного случая, когдаnявляется степенью двойки. Покажем, что имеет место неравенство
,(2)
при этом равенство возможно только, если . Последнее неравенство равносильно неравенству
.(3)
Для доказательства 3 воспользуемся методом полной математической индукции. Для начала установим базу индукции. При справедливость неравенства
(4)
установлена в работе 1. Равенство достигается только тогда, когда .Предположим, что 3 имеет место при , т. е. справедливо неравенство
,(5)
где равенство будет достигаться лишь при . Докажем 3 для .В силу индукционного предположения наряду с 5 можем записать
,(6)
причем равенство в 6 будет достигаться лишь при условии . Перемножая 5 и 6, получим:
второе неравенство в приведѐнных преобразованиях записано на основе базы индукции. Имеем неравенство
,(7)
которое обеспечивает индукционный переход. Равенство в 7 возможно только при условии , и , т.е. когда . Индукционный переход обоснован полностью. Неравенство 3 доказано. Тем самым доказано и неравенство 2.Обратную индукцию можно реализовать так же, как в работе 1. Неравенство 1 методом Коши доказано.Рассмотрим несколько применений неравенства 1 в задачах. Отметим, что помещаемые ниже задачи 3, 4, 6–9, 12–14 являются развитием задач, приведенных в литературных источниках 2–4].
Задачи на доказательство неравенств
Задача 1[6, 7. Доказатьдля неравенство .Решение.Данное неравенство можно доказать несколькими способами. Приведем подходы, используемые авторами цитируемых работ, и подход на основе применения неравенства 1.Путем подстановки убеждаемся, что заданное неравенство будет справедливым, если хотя бы одно из чисел илиbобращается в нуль. Докажем его справедливость при .Iспособ[8. Воспользуемся неравенством Юнга 9, с. 216, которое формулируется следующим образом: для любых положительныхx, y,, , где , имеет место неравенство . Отметим, что неравенство Юнга является следствием более сильного весового неравенства Коши.Положим , . Тогда левая часть исходного неравенства представится в виде .
Последнее выражение оценим снизу по неравенству Юнга для величин x, yс весами и соответственно:
Производя обратную подстановку , , получаем то, что и требовалось доказать.IIспособ[10. Используя простое неравенство Коши при , можем записать:
.
IIIспособ. Используя неравенство Коши 1 для взвешенных средних чисел и с весами 2 и 3, получаем:.Последний способ является наиболее экономичным.Предлагаем читателю по аналогии решить задачу из 11, с. 29.Задача 2. Доказать неравенство , где , и .Задача 3. Доказатьнеравенство и указатьусловие достижения в нем равенства.Решение.Неравенство определено при . Подстановкой убеждаемся, что неравенство справедливо. Докажем его справедливость при . Для этого дважды воспользуемся неравенством 1:
.
Равенство достигается лишь при условиях и , т. е. при .
Задача 4.Доказать, что , где, b, c–стороны треугольника; , , –высоты треугольника, опущенные на данные стороны;S–площадь треугольника.Решение. Известно, что . Применяя дважды весовое неравенство Коши к выражениям, стоящим в скобках, получим то, что требуется доказать:
.
Задача 5.Доказатьнеравенство . При каких значениях неравенство становится равенством?Решение.Перепишем неравенство в следующем виде:
.
Оценим его левую часть сверху с помощью весового неравенства Коши:
.
Отсюда следует справедливость исходного неравенства.Равенство в приведенной оценке имеет место тогда и только тогда, когда . Для того, чтобы получить ответ на второй вопрос задачи, решим последнее уравнение следующим образом:,.Следовательно, равенство имеет место только при , .
Задачи на решение уравнений
Задача 6.Решитьуравнение .Решение.Уравнение определено на множестве . На данном промежутке левую часть уравнения оценим снизу, используя неравенство 1:
.
Равенство в приведенной оценке достигается только лишь при условии . Решением последнего уравнения является .Задача 7.Решитьуравнение .Решение.Уравнение определено при . Подстановкой убеждаемся, что корнем не является. При условии оценим подкоренные выражения, стоящие в левой части уравнения, с помощью весового неравенства Коши:
,.
Извлекая квадратный корень из левой и правой частей неравенств, будем иметь соотношения:,.
Производя сложение двух последних неравенств, получим
,
где равенство возможно лишь при условии . Отсюда нетрудно видеть, что решением является .Задача 8.Решитьуравнение .Решение.Так как , то левая часть уравнения не превосходит 3. Для оценки правой части воспользуемся весовым неравенством Коши:
,
где равенство достигается только лишь при условии .Следовательно, равенство между левой и правой частями заданного уравнения может иметь место тогда и только тогда, когда обе его части равны 3. Решая систему уравнений
находим единственный корень .Задача 9.Решитьв натуральных числах уравнение .Решение.Воспользуемсявесовым неравенством Коши:
.
Левая часть исходного уравнения будет равна 4 лишь при условиях и , откуда получаем, что .Задача 10.Решитьуравнение .Решение.Данное уравнение решим двумя способами –графоаналитическим и с помощью весового неравенства Коши.Iспособ.Область допустимых значений уравнения –интервал . Исследуем на этом интервале поведение функций и .Найдем производную функции :
.
Производная обращается в нуль в точке и при переходе через данную точку меняет знак с » на –». Значит, –точка максимума.Изобразим графики функций и рис. 1.Из рисунка видно, что на интервале графики функций не имеют общих точек, а значит, уравнение решений не имеет.IIспособ.Заметим, что на множестве правая часть уравнения строго больше 3. Приведем уравнение к следующему виду: .Оценим левую часть последнего уравнения сверху при помощи весового неравенства Коши:.Таким образом, левая часть исходного уравнения на множестве не больше 3, а правая часть больше 3. Следовательно, уравнение решений не имеет. Рис. 1
Сравнивая выше приведенные способы решения, можно сделать вывод, что с помощью специальных неравенств некоторые задачи решаются более просто.
Задача на решение системы уравнений
Задача 11.Решитьсистему уравнений Решение.Данная система уравнений равносильна системе
Переменныеxи yв нуль не обращаются, иначе второе уравнение системы не имеет смысла. При условии, что , , левую часть первого уравнения системы оценим снизу, применяя неравенство 1:
,
где равенство будет достигаться лишь при условии . Тогда исходная система сведется к виду
Решениями последней системы являются , . Составляя всевозможные пары между найденными значениямиxиy, получаем четыре решения системы.
Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
Задача 12.Найти наибольшее значение функции и указать точки, в которых оно достигается.Решение.Приведем два способа решения задачи.Iспособ. Функция определена на отрезке . Исследуем ее поведение на этом отрезке с помощью методов дифференциального исчисления. Найдем производную функции:
.
Производная обращается в нуль в точке и при переходе через данную точку меняет знак с » на –». Значит, –точка максимума, в которой функция принимает значение . Таким образом, .IIспособ.Представим функцию в следующем виде:.При оценим ее сверху с помощью неравенства 1:
.
Равенство возможно только лишь при условии , т. е. при . Значит, функция достигает своего наибольшего значения, равного , в точке .Снова отметим, что использование обобщенного неравенства Коши позволило получить более простое решение задачи.Задача 13.Найти наименьшее значение функции и указать точки, в которых оно достигается.Решение.Представим функцию в следующем виде:.Применяя весовое неравенство Коши, можем записать:
.
Равенство в последнем соотношении достигается только лишь при условии . Откуда находим . Следовательно, .Предлагаем читателю решить данную задачу с помощью нахождения производной функции, как это было сделано в задаче 12.
Задача на геометрический экстремум
Задача 14.Объем цилиндра равен м3. НайтивысотуHи диаметр основания D, при которых значение периметра прямоугольника в осевом сечении цилиндра будет минимальным.Решение.Периметр прямоугольника в осевом сечении цилиндра определится по формуле . Учитывая, что , гдеR–радиус основания цилиндра, последнюю формулу запишем в виде .Оценим величинуPснизу с помощью неравенства 1:,
где равенство достигается тогда и только тогда, когда . Объем цилиндра определяется по формуле и по условию задачи равен м3. Тогда можем записать:.
Таким образом, значенияHиD, при которых периметр прямоугольника будет минимальным, определятся из системы уравнений
Решая систему, получим, что , .
Ссылки на источники1.Калинин С. И. Неравенство Коши: новое индуктивное доказательство и некоторые применения к решению задач // Концепт: научнометодический электронный журнал официальногосайтаэвристических олимпиад Совѐнок» и Прорыв». –Январь 2012, ART 1203. –Киров, 2012. –URL: http://www.covenok.ru/koncept/2012/1203.htm.2.Там же.3.Горбачев Н. В. Сборник олимпиадных задач по математике. –М.: МЦНМО, 2004.–560 с.4.Супрун В. П. Математика для старшеклассников. Задачи повышенной сложности.–М.:Либроком, 2009. –196 с.5.Калинин С. И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана: учебное пособие по спецкурсу. –Киров: Издво ВГГУ, 2002. –368 с.6.Горбачев Н. В. Указ. соч.7.Супрун В. П.Указ. соч.8, 9.Горбачев Н. В. Указ. соч.10, 11.Супрун В. П.Указ. соч.
Vychegzhanin Sergey,secondyear student of the Applied Mathematics and Computer Science major of the Vyatka State University of Humanities, Kirovsvpostlink@rambler.ruThe proof of the generalized Cauchy method of forward and backward induction, and its application to solving problems of elementary mathematics Abstraction.The article is devoted to a proof of the generalized Cauchy inequality for arithmetical and geometrical mean of positive numbers, realized by the method of forward and backward induction. We give examples of the generalized Cauchy inequality to solve problems.Keywords:arithmetic and geometricmeans, the Cauchy inequality, the problem of high levels of school mathematics.
Рецензент: Калинин Сергей Иванович, докторпедагогических наук, заведующийкафедройматематического анализа и методики обучения математике ВятГГУ
Доказательство обобщенного неравенства Коши
методом прямой и обратной индукциии применение его к решению задач элементарной математики
Аннотация.В статье рассматривается доказательство обобщенного неравенства Коши для арифметикогеометрических средних положительных чисел, реализуемое методом прямой и обратной индукции. Приводятся примеры применения данного неравенства при решении задач.Ключевые слова:средние арифметическое и геометрическое, неравенство Коши, задачи повышенного уровня сложности школьного курса математики.
Напомним читателю известное в тематике средних величин обобщенное неравенство Коши:
,(1)
где –положительные числа, –числа, называемые весами. В 1 равенство достигается только лишь при условии .С. И. Калинин в статье Неравенство Коши: новое индуктивное доказательство и некоторые применения к решению задач»[1]приводит доказательство данного неравенства подходом Коши, которое основывается на методе прямой и обратной индукции, но реализуется иной техникой. Напомним, что сам Коши свое знаменитое неравенство доказал в ситуации совпадения весов. В виде замечания читателю предлагается применить подход Коши к доказательству весового неравенства 1. Ознакомившись с работой, мы провели осмысление предложенной задачи. Цель настоящей статьи –представитьсоответствующее доказательство знаменитого неравенства, а также привести некоторые его применения.Докажем 1 методом прямой и обратной индукции, опираясь на технику Коши. Установим сначала, что неравенство 1 справедливо для , т.е. для частного случая, когдаnявляется степенью двойки. Покажем, что имеет место неравенство
,(2)
при этом равенство возможно только, если . Последнее неравенство равносильно неравенству
.(3)
Для доказательства 3 воспользуемся методом полной математической индукции. Для начала установим базу индукции. При справедливость неравенства
(4)
установлена в работе 1. Равенство достигается только тогда, когда .Предположим, что 3 имеет место при , т. е. справедливо неравенство
,(5)
где равенство будет достигаться лишь при . Докажем 3 для .В силу индукционного предположения наряду с 5 можем записать
,(6)
причем равенство в 6 будет достигаться лишь при условии . Перемножая 5 и 6, получим:
второе неравенство в приведѐнных преобразованиях записано на основе базы индукции. Имеем неравенство
,(7)
которое обеспечивает индукционный переход. Равенство в 7 возможно только при условии , и , т.е. когда . Индукционный переход обоснован полностью. Неравенство 3 доказано. Тем самым доказано и неравенство 2.Обратную индукцию можно реализовать так же, как в работе 1. Неравенство 1 методом Коши доказано.Рассмотрим несколько применений неравенства 1 в задачах. Отметим, что помещаемые ниже задачи 3, 4, 6–9, 12–14 являются развитием задач, приведенных в литературных источниках 2–4].
Задачи на доказательство неравенств
Задача 1[6, 7. Доказатьдля неравенство .Решение.Данное неравенство можно доказать несколькими способами. Приведем подходы, используемые авторами цитируемых работ, и подход на основе применения неравенства 1.Путем подстановки убеждаемся, что заданное неравенство будет справедливым, если хотя бы одно из чисел илиbобращается в нуль. Докажем его справедливость при .Iспособ[8. Воспользуемся неравенством Юнга 9, с. 216, которое формулируется следующим образом: для любых положительныхx, y,, , где , имеет место неравенство . Отметим, что неравенство Юнга является следствием более сильного весового неравенства Коши.Положим , . Тогда левая часть исходного неравенства представится в виде .
Последнее выражение оценим снизу по неравенству Юнга для величин x, yс весами и соответственно:
Производя обратную подстановку , , получаем то, что и требовалось доказать.IIспособ[10. Используя простое неравенство Коши при , можем записать:
.
IIIспособ. Используя неравенство Коши 1 для взвешенных средних чисел и с весами 2 и 3, получаем:.Последний способ является наиболее экономичным.Предлагаем читателю по аналогии решить задачу из 11, с. 29.Задача 2. Доказать неравенство , где , и .Задача 3. Доказатьнеравенство и указатьусловие достижения в нем равенства.Решение.Неравенство определено при . Подстановкой убеждаемся, что неравенство справедливо. Докажем его справедливость при . Для этого дважды воспользуемся неравенством 1:
.
Равенство достигается лишь при условиях и , т. е. при .
Задача 4.Доказать, что , где, b, c–стороны треугольника; , , –высоты треугольника, опущенные на данные стороны;S–площадь треугольника.Решение. Известно, что . Применяя дважды весовое неравенство Коши к выражениям, стоящим в скобках, получим то, что требуется доказать:
.
Задача 5.Доказатьнеравенство . При каких значениях неравенство становится равенством?Решение.Перепишем неравенство в следующем виде:
.
Оценим его левую часть сверху с помощью весового неравенства Коши:
.
Отсюда следует справедливость исходного неравенства.Равенство в приведенной оценке имеет место тогда и только тогда, когда . Для того, чтобы получить ответ на второй вопрос задачи, решим последнее уравнение следующим образом:,.Следовательно, равенство имеет место только при , .
Задачи на решение уравнений
Задача 6.Решитьуравнение .Решение.Уравнение определено на множестве . На данном промежутке левую часть уравнения оценим снизу, используя неравенство 1:
.
Равенство в приведенной оценке достигается только лишь при условии . Решением последнего уравнения является .Задача 7.Решитьуравнение .Решение.Уравнение определено при . Подстановкой убеждаемся, что корнем не является. При условии оценим подкоренные выражения, стоящие в левой части уравнения, с помощью весового неравенства Коши:
,.
Извлекая квадратный корень из левой и правой частей неравенств, будем иметь соотношения:,.
Производя сложение двух последних неравенств, получим
,
где равенство возможно лишь при условии . Отсюда нетрудно видеть, что решением является .Задача 8.Решитьуравнение .Решение.Так как , то левая часть уравнения не превосходит 3. Для оценки правой части воспользуемся весовым неравенством Коши:
,
где равенство достигается только лишь при условии .Следовательно, равенство между левой и правой частями заданного уравнения может иметь место тогда и только тогда, когда обе его части равны 3. Решая систему уравнений
находим единственный корень .Задача 9.Решитьв натуральных числах уравнение .Решение.Воспользуемсявесовым неравенством Коши:
.
Левая часть исходного уравнения будет равна 4 лишь при условиях и , откуда получаем, что .Задача 10.Решитьуравнение .Решение.Данное уравнение решим двумя способами –графоаналитическим и с помощью весового неравенства Коши.Iспособ.Область допустимых значений уравнения –интервал . Исследуем на этом интервале поведение функций и .Найдем производную функции :
.
Производная обращается в нуль в точке и при переходе через данную точку меняет знак с » на –». Значит, –точка максимума.Изобразим графики функций и рис. 1.Из рисунка видно, что на интервале графики функций не имеют общих точек, а значит, уравнение решений не имеет.IIспособ.Заметим, что на множестве правая часть уравнения строго больше 3. Приведем уравнение к следующему виду: .Оценим левую часть последнего уравнения сверху при помощи весового неравенства Коши:.Таким образом, левая часть исходного уравнения на множестве не больше 3, а правая часть больше 3. Следовательно, уравнение решений не имеет. Рис. 1
Сравнивая выше приведенные способы решения, можно сделать вывод, что с помощью специальных неравенств некоторые задачи решаются более просто.
Задача на решение системы уравнений
Задача 11.Решитьсистему уравнений Решение.Данная система уравнений равносильна системе
Переменныеxи yв нуль не обращаются, иначе второе уравнение системы не имеет смысла. При условии, что , , левую часть первого уравнения системы оценим снизу, применяя неравенство 1:
,
где равенство будет достигаться лишь при условии . Тогда исходная система сведется к виду
Решениями последней системы являются , . Составляя всевозможные пары между найденными значениямиxиy, получаем четыре решения системы.
Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
Задача 12.Найти наибольшее значение функции и указать точки, в которых оно достигается.Решение.Приведем два способа решения задачи.Iспособ. Функция определена на отрезке . Исследуем ее поведение на этом отрезке с помощью методов дифференциального исчисления. Найдем производную функции:
.
Производная обращается в нуль в точке и при переходе через данную точку меняет знак с » на –». Значит, –точка максимума, в которой функция принимает значение . Таким образом, .IIспособ.Представим функцию в следующем виде:.При оценим ее сверху с помощью неравенства 1:
.
Равенство возможно только лишь при условии , т. е. при . Значит, функция достигает своего наибольшего значения, равного , в точке .Снова отметим, что использование обобщенного неравенства Коши позволило получить более простое решение задачи.Задача 13.Найти наименьшее значение функции и указать точки, в которых оно достигается.Решение.Представим функцию в следующем виде:.Применяя весовое неравенство Коши, можем записать:
.
Равенство в последнем соотношении достигается только лишь при условии . Откуда находим . Следовательно, .Предлагаем читателю решить данную задачу с помощью нахождения производной функции, как это было сделано в задаче 12.
Задача на геометрический экстремум
Задача 14.Объем цилиндра равен м3. НайтивысотуHи диаметр основания D, при которых значение периметра прямоугольника в осевом сечении цилиндра будет минимальным.Решение.Периметр прямоугольника в осевом сечении цилиндра определится по формуле . Учитывая, что , гдеR–радиус основания цилиндра, последнюю формулу запишем в виде .Оценим величинуPснизу с помощью неравенства 1:,
где равенство достигается тогда и только тогда, когда . Объем цилиндра определяется по формуле и по условию задачи равен м3. Тогда можем записать:.
Таким образом, значенияHиD, при которых периметр прямоугольника будет минимальным, определятся из системы уравнений
Решая систему, получим, что , .
Ссылки на источники1.Калинин С. И. Неравенство Коши: новое индуктивное доказательство и некоторые применения к решению задач // Концепт: научнометодический электронный журнал официальногосайтаэвристических олимпиад Совѐнок» и Прорыв». –Январь 2012, ART 1203. –Киров, 2012. –URL: http://www.covenok.ru/koncept/2012/1203.htm.2.Там же.3.Горбачев Н. В. Сборник олимпиадных задач по математике. –М.: МЦНМО, 2004.–560 с.4.Супрун В. П. Математика для старшеклассников. Задачи повышенной сложности.–М.:Либроком, 2009. –196 с.5.Калинин С. И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана: учебное пособие по спецкурсу. –Киров: Издво ВГГУ, 2002. –368 с.6.Горбачев Н. В. Указ. соч.7.Супрун В. П.Указ. соч.8, 9.Горбачев Н. В. Указ. соч.10, 11.Супрун В. П.Указ. соч.
Vychegzhanin Sergey,secondyear student of the Applied Mathematics and Computer Science major of the Vyatka State University of Humanities, Kirovsvpostlink@rambler.ruThe proof of the generalized Cauchy method of forward and backward induction, and its application to solving problems of elementary mathematics Abstraction.The article is devoted to a proof of the generalized Cauchy inequality for arithmetical and geometrical mean of positive numbers, realized by the method of forward and backward induction. We give examples of the generalized Cauchy inequality to solve problems.Keywords:arithmetic and geometricmeans, the Cauchy inequality, the problem of high levels of school mathematics.
Рецензент: Калинин Сергей Иванович, докторпедагогических наук, заведующийкафедройматематического анализа и методики обучения математике ВятГГУ
