Количественное описание монопольного потребительского рынка
Е.
В. ЧерепановБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Черепанов
Е.
В. Количественное описание монопольного потребительского рынка // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2013. – Т. 3. – С.
441–445. – URL:
http://e-koncept.ru/2013/53090.htm.
Аннотация. Предложен подход, позволяющий количественно рассмотреть процессы потребления и производства (торговли) на монопольном потребительском
рынке с единой точки зрения. Найден вид функциональных зависимостей между категориями потребления и производства (торговли), проведен анализ
эластичности спроса по цене товара для монопольного рынка. Введено понятие полезности (ценности) денег по товару, найдены количественные связи между
характеристиками денег и совокупным спросом (потреблением).
Ключевые слова:
ценность, прибыль, цена, стоимость, спрос, монопольный рынок, потребление, полезность товара, излишек потребителя, издержки, затраты, эластичность потребления, полезность денег по товару
Похожие статьи
Текст статьи
08 –Экономические науки
КОЛИЧЕСТВЕННОЕ ОПИСАНИЕ МОНОПОЛЬНОГО ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО РЫНКА
Е.В.Черепанов
Предложен подход, позволяющий количественно рассмотреть процессы потребления и производства (торговли) на монопольном потребительском рынкес единой точки зрения. Найден вид функциональных зависимостей между категориями потребления и производства (торговли), проведен анализ эластичности спроса по цене товара для монопольного рынка. Введено понятие полезности (ценности) денег по товару, найдены количественные связи между характеристиками денег и совокупным спросом (потреблением).Ключевые слова монопольный рынок, спрос, потребление, стоимость, полезность товара, ценность, излишек потребителя, цена, издержки, затраты, прибыль, эластичность потребления, полезность денег по товару.
ВведениеС серединыXIXвека, когдаУ.С.Джевонсом[1,2]и Дж.Дюпюи[3]
были введены базовые понятия экономической теории, до настоящего времени описание этих категорий носит качественный характер (©спрос монотонно убывает с ростом ценыª, ©кривая ценности товара монотонно возрастает с ростом спроса и выпукла вверхª и т.п.) Однакоеще Аристотельписал, что ©…поступок и сознательный выбор, как принято считать, стремятся к определенному благуª[4,с.798]. И эта мысль античного философа относится и к процессу торговли. В такомжесмысле писалиДж.Винер ©благосостояние есть поток полезности, а полезность означает удовлетворение. Экономисты могут принять удовлетворение какколичество, не занимая никакой позиции по отношению к его этическому качествуª[5]. Обычнолюбая экономическаядеятельность(в том числе и купляпродажа)поддается количественному описанию,воснове которогодолжны быть некие процедуры оптимизации, обеспечивающие получение максимума выгоды продавцамии совокупным покупателем товаров.Этапредпосылка позволила автору получить вид функциональных зависимостей между категориями потребления и торговли на конкурентном рынке [6,7]. Но остается вопрос количественного описания монопольного рынка[8,гл.10,12], который в 2принципене сводится к одномерному случаю многотоварного потребительского рынка. Дело в том, что при определении вида функций на конкурентном рынке было использовано то обстоятельство, что соотношения между ценойри объемом потребления nудовлетворяют одновременной максимизации мер выгоды продавца (прибыли) и совокупногопокупателя (излишка потребителя) для каждого товара, представленного наконкурентномрынке[6,7]. А на монопольном рынке и цена товара, и объем предложения находится в руках продавца. И это заставляет при количественной формализации категорий монопольного рынка исходить из иных, нежели на конкурентном рынке, предпосылок. Решению этой проблемыи посвящена настоящая публикация.1. Категории потребления на монопольном рынкеОсновой наших дальнейших рассуждений служит мысль У.С.Джевонсао том, что законы экономики ©носят настолько сложный характер, что проявляются только для совокупностей и должны изучаться методом среднихª[2].Что в ©переводеª на современный язык следуетсформулироватьследующимобразом ©Экономические законы носят вероятностный характер и должны изучаться статистическими методамиª. Следовательно, объективносовокупный спрос проявляется в форме потреблениятовара за единицу времени. Под ©единицей времениª понимается период, за который фиксируется состояние рынка. Кривая индивидуального спроса отдельно взятого покупателя может иметь различный(и даже экзотический)вид, но кривая совокупного спроса –объективнаи поддается измерению. В этом, по сути,и состоитстатистическоеизучение потребления(как проявления совокупного спроса).Совокупный спрос, как функция , определяет количество товара на монопольном рынке, которое совокупныйпокупатель хочет и можетприобрести в заданных условиях. Функция потребления
это количество реальнопокупаемых (за единицу времени) товаров (в зависимости от цены). Следовательно, потребление–это реализованный (за единицу времени)спрос. Обсуждениев дальнейшеммыбудем вести в терминах потребленияи издержек монополиста, а не спроса покупателей и предложения продавца, как это принято при традиционном изложении теории рынка. Этасвязано с тем, что предложение продавцастатистическому измерению не поддается. Под потребительской ценойрданного товара будем понимать среднестатистическоеотношение количества отданных за него денег (в 3единицувремени) к количеству купленного товара p=V/n. По смыслу (для многотоварных рынков), потребительская цена совпадает с равновеснойценой (при традиционном изложении теории рынка[8,9], когдазначения совокупного спроса равно совокупному предложению для каждого товарарынка). При этом потребление
n
монотонно убывает с ростом цены
р. Стоимость потребленного товара равна V(n)=np(n) =pn(р). (1.1)В основе теории потребление лежат важнейшие понятия полезности товара и излишка потребителя. Экономический смысл категории полезности товара, которая была введена в экономику У.Джевонсом[1,2], заключается в том, что каждый товар приносит некоторое удовлетворение, определенные ©благаª совокупному покупателю. А ценностьтовара U–это выражение полезности в деньгах. При этом деньги выступают как единая шкала измерения ценности, позволяющая сравнивать полезность товаров различной природы и качества. Функцией ценности товара на монопольном рынке является отображение , монотонно возрастающее с ростом n. Функция U(n) выпуклавверх, что обусловлено законом убывания полезности покупка (k+1)й единицы товара всегда менее полезна, чем была покупка kй единицы. Потребительский излишек (или излишек потребителя)W(n), введенный в экономику Ж.Дюпюи[3], является мерой выгоды совокупного покупателяот приобретения товара в заданномобъеме nпри данном уровне цены р.Количественно потребительский излишек для монопольного рынка выражается разностью между ценностью(равной той максимальной сумме U, которую совокупный покупатель готов был заплатить за данный объем товара) и фактическими затратами на его приобретение V:
. (1.2)
Соотношение (1.2) определяет смысл процесса обмена товарана деньги за единицу времени. За количествотовара nсовокупный покупатель при заданной цене рвыплачивает стоимость V. Взамен покупатели удовлетворяют некоторые свои потребности Uи получают выгоду, которая равна излишку совокупного(!) потребителя W. ©Механизмª появления излишка потребителя очевиден часть лиц, купивших данный товар, была готова купить его по цене, более высокой, чем фактически зафиксированная на заданном рынке в данное время(рис.1). Величина выручки продавца от продажи товара Vбыла бы равна его ценности Uв том случае (W0), если бы каждыйпокупатель платил за купленную им часть 4товара максимальную из приемлемых для него цен. Ж.Дюпюи писал ©Окончательная полезность продукта (©потребительский излишекª –авт.) выражается в виде разности между жертвой, которую покупатель согласен принести, чтобы приобрести этот продукт, и покупной ценой, которую он должен заплатить за него. В торговле реальна та полезность, которую покупатели согласны оплачиватьª[3].
Рис.1. Вид функции совокупного спроса от цены n(p) на монопольном рынке.
На монопольном рынке, очевидно, продавец ©недополучилª сумму, (см.рис.1) равную излишку потребителя вида , (1.3) где n(p) –кривая потребленияна товар. Смысл параметра
будет рассмотрен ниже. Из (1.3) ясно, что потребление на монопольном рынке равно
. (1.4)Интегрируя по частям выражение (1.3), получаем
.
(1.5) Сравнив (1.D) с (1.2), заключаем, что . (1.6)где
параметр, смысл которого также будет рассмотрен несколько позже.Из (1.6) непосредственно получаем, что , (1.7)0pnn(p)VW
5т.е. на монопольном рынкепредельная полезность товара совпадает с его ценой.Это утверждение для многотоварного конкурентногорынка неверно[6].Введем новуюпеременнуювида (1.8)Переменная
является безразмерной величиной, в логарифмическом масштабесравнивающаяобъем потребления с его минимально допустимым значением. Используя эту величину,получаются существенно более компактные математические выражения для взаимосвязей между категориями рынка.В силу (1.7) и (1.8) можно записать .
(1.9)2.Критерий максимизации прибыли монополистаНа потребительском (в частности, монопольном) рынке издержки продавца (затраты производителя) для любой единицы времени (день, квартал, год) всегда могут быть выражены [8,9]) в виде (2.1)Смысл этого заключен в том, что полные издержки Sв единицу времени равны сумме постоянных издержек , не зависящих от объема продаж, и переменных издержек , зависящих от потребления(а не предложения продавца!). Далее мы будем говорить об одном продавце и совокупномпокупателе. Подразумевая, что правомерно говорить и об одном производителе на оптовом рынке, поскольку с формальной точке зренияиздержки продавца и затраты производителя эквивалентны, отличаясь только по структуре и своей природе.Издержки монотонно возрастают с ростом потребления n, причем при предложение отсутствует (прибыль отрицательна) и . Потребление nмонотонно убывает с ростом цены р. Удельные издержки имеют вид (2.2)Прибыль продавца выражается в виде P(n)=V(n)
S(n). (2.3)При ценах выше прибыль равна нулю , в точке монотонно возрастающая функция пересекает кривую . Следовательно, допустимыми являются значения цены и соответствующего потребления в диапазонах Общепринятосчитать, что целью продавца является получение максимально большой прибыли (за исключением некоторых частных задач захвата нового сегмента рынка, вытеснения с рынка данного конкурента и т.п.) Например, Г.Саймон писал ©В теории фирмы основополагающей является 6гипотеза о стремлении предпринимателя максимизировать свою прибыльª[10]. Критерий максимизации прибыли можно представить в виде. (2.4)Удельные издержки вида (2.2) зависят от n (и, следовательно, от времени). Но при краткосрочном рассмотрениипотребительского рынка (за единицу времени, когда его параметры неизменны) удельные издержки правомерно считать константой[9,гл.6] Такой прием совершенно правомерен, аналогично в задачах классической механики рассматривается ©мгновенная скоростьª (т.е. средняя скорость за данную единицу времени).Критерий (2.4) приводит к условиям
(2.5)Будем исходить из того, что состояние монопольного рынка определено совокупным спросом и значениемиздержек продавца. Но тогда оптимальная торговлядолжна обеспечивать выполнение условий (2.5) в каждуюединицу времени. При этом, как следует из (2.D) и (1.9), всегда с необходимостью выполняется соотношение вида . (2.6) Отсюда для совокупной стоимости купленного товара можно записать (2.7)где постоянные издержки продавца равны .Представим стоимость в виде V=U–W. В качестве подлежащей проверкегипотезы, учитывая выражение (2.7), примем следующие соотношения ; (2.8). (2.9)Такого родавыражения верны, как показано в работе [6], для каждоготовара на конкурентном потребительском рынке. Можно полагать, что они справедливы и для монопольного рынка, но это предстоит формально обосновать. 3.Функция издержек монополистаВ силу (1.9) и (2.8) запишем выражение вида . (3.1)Сравнив соотношение (3.1) с соотношением (2.7), получаем уравнение вида . (3.2)
Продифференцировав выражение(3.2), получаем уравнение вида (3.3)
7Используярезультат [11,п.2.2.103],общее решение уравнения (3.3) запишем в виде цилиндрической функции (минус первого порядка) от мнимого аргумента [12,XII.А]: (3.4)Для цилиндрических функций неотрицательного целого порядка ν=kверно выражение [12,XII.А.1]вида (3.5)где z–комплексное число. Используемпредставление цилиндрической функции через функции Бесселя и Неймана [12,XII.А.1]. В итогеполучимвыражение для вида
где и
комплексные константы. Избыточнообщее выражение для функции издержек продавца (3.4) на монопольном рынке, учитывая (3.5), запишем в виде (3.6)Ясно, что определение функции затрат (издержек) над полем комплексных чисел не имеет реального экономического смысла, в связи с чем нам предстоит привести выражение (3.6) к некоторой функции, области определения и прибытия которой являются полем действительных положительныхчисел.Функция Неймана первого порядка , входящая в соотношение (3.6), может быть определена [12,XIII.А.2]в виде (3.7)где
логарифмическая производная гаммафункции [12,V.B]: .Но логарифм мнимого аргумента , входящий в соотношение (3.7), выражается в виде знакопеременногоряда и, следовательно, выражение вида всегда определяет комплексное число с ненулевой мнимой частью. Отсюда следует, что в выражении (3.6) нам необходимо принять .Используяпредставление функции Бесселя в виде [12,XIII.А.2]ряда ,получаем Положив , из соотношения (3.6) получаем итоговый вид функции издержекпродавцамонополиста(затрат производителяна монопольном рынке): (3.8)
8где и постоянные и переменные издержки соответственно. Ясно, что в и учитываются издержки, связанные толькос купленным товаром (т.е. с потреблениемтовара, а не с его производством). Продавец, как и производитель, может за данную единицу времени иметь избыточные издержки, существенно большие, чем (конъюнктурные моменты, выплаты кредитов, сезонность работ, капитальные вложения и т.п.) Но эта часть издержек не учитывается в величинах и за даннуюединицу времени.Используя определение модифицированной функции Бесселя
[12,XIII.B]вида ,можно записать .Следовательно, учитывая выражение (3.8), функцию издержек (рис.2) следует записать в виде . (3.9)
Рис.2. Вид функций выручки V(n) и затрат S(n) продавца монополиста(при значениях ).
Модифицированная функция Бесселя νго порядка представима [12,с.279]в виде ряда интегральных выражений. Для целочисленных неотрицательных порядков справедливо и удобно соотношение, предложенное БесселемV(n)S(n)
9
4.Функциональные зависимости на монопольном рынкеДля производных издержек (затрат) справедливы соотношения вида (4.1)Стоимость товара(рис.2), с учетом(2.7) и [13,п.D.2.10.1]), имеет вид , (4.2)где учтено, что Отметим, что , (4.3)как это и должно выполняться из условий (2.5). Для второй производной по потреблению получаем выражение вида
, (4.4)что также полностью согласуется с условиями (2.D).Цена товара на монопольном рынке, сучетом (1.8), выражается в виде (4.5)Отметим, что, потребительская цена с ростом спроса падает, а кривая U(n) выпукла вверх: Учитывая соотношение (2.8), ценность купленного товара имеет вид , (4.6)Потребительский излишек выразится в виде (4.7)Вывод правомерностьгипотезы(2.89)доказана, чтоследует из того, что вычисления по формуле(2.9) вида также приводят к выражению (4.7) для W(). Для величины прибыли P
правомерно записать (4.8)Для производной функции прибыли справедливо соотношение вида
Следовательно,с ростом потребления прибыль (достаточно медленно) растет. Из последнего выражения несложно получить:
10.И это также полностью согласуется с исходной предпосылкой вида (2.5).Важное значение играет понятие эластичности кривых, описывающих категории спроса (потребления) и производства. Наиболее интересна эластичность спроса по цене товара. Коэффициент эластичности неявной функция n(p), задаваемой выражением (4.D), имеет вид
Это выражение представимо в виде
(4.9)Соотношение (4.9) говорит о том, что любоймонопольный рынок является гибким относительное изменение цены ведет к относительному изменению потребления, которое будет по модулю большеотносительного приращения
и иметь противоположный ему знак.D. Ценность денег по товару на монопольном рынкеВ работе [6]было введено понятие ©полезности (ценности)ªденегпо каждому потребительскому товаруконкурентногорынка. Этот вопрос еще более важен при рассмотрении монопольногорынка.Исходная идея сводится к тому, что констатация факта купли
продажи вида ©Первое лицо продало второму лицу 10 кг груш за 200 рублейª также верно, как и заявление ©Второе лицо продало первому 200 рублей за 10 кило грушª. Это следует из того, что любая покупка –это добровольныйпроцесс обмена, т.е., как точно сформулировал один философ, ©продукт, достигаемый при обоюдном непротивлении сторонª. Поэтому, что считать товаром, а что –деньгами, в первом приближении, вопрос договоренности. В самом деле, яблоки –это товар, который продается по цене 20 руб./кг. Но деньги –тоже товар, который продается за грушипо цене D0г/руб. Таким образом, оставляя без внимания прочие функции денег, в первом приближении деньги правомерно считать обычным товаром, обладающим единственным(но зато каким!) видом полезности –высочайшей ликвидностью. Исторически мировыми деньгами стало золото. Золото не подвержено коррозии и обладает высокой прочностью, его немного, но не так мало, как, скажем, платины. Все это обеспечило золоту уникальную роль мировых денег. И любые попытки выдать за ©мировые деньгиª какуюто ©печатную продукциюª, не 11подтвержденную золотым запасом, неизбежно приведут к коллапсу мировой экономики. С чем, похоже, мы можем столкнуться в близком будущем.Заменим используемые понятия на более общие. Вместо ценности Uбудем рассматривать ©благоª A, вместо потребительского излишка W
©выгодуª B, вместо стоимости V
©потериª C, вместо количества товара
n–©носитель благаª N, вместо цены p
©удельные потериª c=C/N. В каждом конкретном экономическом процессе благо, выгода и пр. будут иметь свой смысл с позиции субъектовхозяйствования. Составим таблицу 1.
Таблица. 1.Соответствие экономических и философских категорий товарного обмена
БлагоВыгодаПотериНоситель благаУдельные потериОбщий взглядABCNc = C / NПокупательUWVnp=V/nПроизводительVPSns =S/nПродавецTRnVr = n/V=1/р
По аналогии с излишком потребителя, избыток продавцаRопределим в виде R=T–n, (5.1)где Т–ценность денег, а n–количество приобретенного совокупным покупателем товара.Для цены денег по товару правомерно записать
(5.2)По аналогии с критерием (2.4),условие максимизации избытка продавца запишется в виде , (5.3)а предпосылка правомерна толькодля короткого промежутка (единицы) времени.Следствием критерия (5.3) служат условия . (5.4)Вновь вспомним, что условия оптимизации (5.4) должны выполняться всегда. Но тогда из соотношения(5.4) непосредственно следует (5.5)Следовательно, можно записать (5.6)Использовав соотношение (4.D), получаем
,
12где учтено [12,с.246], что
Отсюда, с учетом соотношения (D.6),приходим к выражению вида (5.7)Второй интеграл в выражении (D.7), очевидно, равен
,
в связи с чем можно записать (5.8)Используемсоотношение вида .Тогда для ценности денег по товару окончательнополучаем выражение вида
, (5.9)где учтено, что . Отметим, что при современной скоростиобработки данных накомпьютерахиспользовать выражение(D.9) не сложно.Заключение.На любомпотребительском рынке продавец (производитель) стремится к получению максимума прибыли. И, как показано выше, на монопольном рынкецена товара равна его предельной ценности(что невернодля многотоварного конкурентного рынка). Используя эти факты, удалосьполучить вид функциональных зависимостей между основными категориями торговли (производства) и совокупного спроса (потребления) для монопольного рынка.
Показано, что любой монопольный рынок обладает гибкой эластичностьюсовокупного спроса по цене товара.Рассмотрен вопрос о ©ценности (полезности)ªденег по товару на монопольном рынке, это интересно не только теоретически, но и чисто прагматически.Остается еще один важный вопрос а существует ли в природе ©чистыйª монопольный рынок? С позиции формальноматематической, повидимому, нет. Но в ряде случаев потребительский рынок целесообразно рассматривать именно как монопольный. Заметим, что множествоважныхматематических понятий, не существующих в природе, с успехом используются в теоретических и прикладныхисследованиях. Пространство элементарных событий в аксиоматике А.Н.Колмогорова, инерциальная система в механике, траектория 13движения нулевой толщины, математическая точкаи т.д.Причем в природе нет объектов или систем, адекватных перечисленным понятиям.Но в прикладных исследованиях это не критично важно толькоясноосознавать, насколько корректно применение данного понятияизучаемой системе или явлению.Библиографические ссылки1.JevonsW.S.Notice of a general mathematical theory of political economy. –British Assoc. For the Advancement of Science. // Report of the 32 Meeting Transaction of the Sections. L.J.Murray, 1862, р.158159.2.JevonsW.S.Brief of a general mathematical theory of political economy. // Journal of the Statistical Society of London.1866, XXIX,№2, р.282287.3.DupuitJ.De la mesure de l`utilite des travaux publics. //Annales des ponts et chaussees,1844, VIII,ser.2,р. 332375.4.Аристотель.Никомахова этика. // Философы Греции. М. Эксмопресс, 1999, с.7931026.5.VinerJ.Cost curves and supply curves. // Readings in Price Theory. Homewood, 1952.6.ЧерепановЕ.В.К вопросу описания количественных взаимосвязей между категориями потребления и производства. // Гуманитарные и социальные науки. Электронный научный журнал. РостовнаДону:изд.ЮФУ,2012, №2,с.313333. (http://hsesonline.ru/2012/02/22_00_01/33.pdf).7.ЧерепановЕ.В.Нетрадиционные вероятностностатистические методы для социальноэкономических и социологических исследований. М. Спутник Плюс, 2012.8.ПиндайкР.,РубинфельдД.Микроэкономика./Пер. с англ. М. Дело, 2000.9.КовалевС.В.Экономическая математика. М. Крокус, 2010.10.SimonH.Theories of decisionmaking in economics and behavioral science.// Microeconomics: Selected Reading. Ed. by E. Mansfield. N.Y., 1971.11.ЗайцевФ.В.,ПолянскийА.Д. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. М. Факториал, 1997.12.ЯнкеЕ., ЭмдеФ.,ЛешФ.Специальные функции. / Пер. с нем. М. Наука, 1977.13.ПрудниковА.П.,БрычковЮ.А.,МаричевО.И. Интегралы и ряды. М. Наука, 1981.
КОЛИЧЕСТВЕННОЕ ОПИСАНИЕ МОНОПОЛЬНОГО ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО РЫНКА
Е.В.Черепанов
Предложен подход, позволяющий количественно рассмотреть процессы потребления и производства (торговли) на монопольном потребительском рынкес единой точки зрения. Найден вид функциональных зависимостей между категориями потребления и производства (торговли), проведен анализ эластичности спроса по цене товара для монопольного рынка. Введено понятие полезности (ценности) денег по товару, найдены количественные связи между характеристиками денег и совокупным спросом (потреблением).Ключевые слова монопольный рынок, спрос, потребление, стоимость, полезность товара, ценность, излишек потребителя, цена, издержки, затраты, прибыль, эластичность потребления, полезность денег по товару.
ВведениеС серединыXIXвека, когдаУ.С.Джевонсом[1,2]и Дж.Дюпюи[3]
были введены базовые понятия экономической теории, до настоящего времени описание этих категорий носит качественный характер (©спрос монотонно убывает с ростом ценыª, ©кривая ценности товара монотонно возрастает с ростом спроса и выпукла вверхª и т.п.) Однакоеще Аристотельписал, что ©…поступок и сознательный выбор, как принято считать, стремятся к определенному благуª[4,с.798]. И эта мысль античного философа относится и к процессу торговли. В такомжесмысле писалиДж.Винер ©благосостояние есть поток полезности, а полезность означает удовлетворение. Экономисты могут принять удовлетворение какколичество, не занимая никакой позиции по отношению к его этическому качествуª[5]. Обычнолюбая экономическаядеятельность(в том числе и купляпродажа)поддается количественному описанию,воснове которогодолжны быть некие процедуры оптимизации, обеспечивающие получение максимума выгоды продавцамии совокупным покупателем товаров.Этапредпосылка позволила автору получить вид функциональных зависимостей между категориями потребления и торговли на конкурентном рынке [6,7]. Но остается вопрос количественного описания монопольного рынка[8,гл.10,12], который в 2принципене сводится к одномерному случаю многотоварного потребительского рынка. Дело в том, что при определении вида функций на конкурентном рынке было использовано то обстоятельство, что соотношения между ценойри объемом потребления nудовлетворяют одновременной максимизации мер выгоды продавца (прибыли) и совокупногопокупателя (излишка потребителя) для каждого товара, представленного наконкурентномрынке[6,7]. А на монопольном рынке и цена товара, и объем предложения находится в руках продавца. И это заставляет при количественной формализации категорий монопольного рынка исходить из иных, нежели на конкурентном рынке, предпосылок. Решению этой проблемыи посвящена настоящая публикация.1. Категории потребления на монопольном рынкеОсновой наших дальнейших рассуждений служит мысль У.С.Джевонсао том, что законы экономики ©носят настолько сложный характер, что проявляются только для совокупностей и должны изучаться методом среднихª[2].Что в ©переводеª на современный язык следуетсформулироватьследующимобразом ©Экономические законы носят вероятностный характер и должны изучаться статистическими методамиª. Следовательно, объективносовокупный спрос проявляется в форме потреблениятовара за единицу времени. Под ©единицей времениª понимается период, за который фиксируется состояние рынка. Кривая индивидуального спроса отдельно взятого покупателя может иметь различный(и даже экзотический)вид, но кривая совокупного спроса –объективнаи поддается измерению. В этом, по сути,и состоитстатистическоеизучение потребления(как проявления совокупного спроса).Совокупный спрос, как функция , определяет количество товара на монопольном рынке, которое совокупныйпокупатель хочет и можетприобрести в заданных условиях. Функция потребления
это количество реальнопокупаемых (за единицу времени) товаров (в зависимости от цены). Следовательно, потребление–это реализованный (за единицу времени)спрос. Обсуждениев дальнейшеммыбудем вести в терминах потребленияи издержек монополиста, а не спроса покупателей и предложения продавца, как это принято при традиционном изложении теории рынка. Этасвязано с тем, что предложение продавцастатистическому измерению не поддается. Под потребительской ценойрданного товара будем понимать среднестатистическоеотношение количества отданных за него денег (в 3единицувремени) к количеству купленного товара p=V/n. По смыслу (для многотоварных рынков), потребительская цена совпадает с равновеснойценой (при традиционном изложении теории рынка[8,9], когдазначения совокупного спроса равно совокупному предложению для каждого товарарынка). При этом потребление
n
монотонно убывает с ростом цены
р. Стоимость потребленного товара равна V(n)=np(n) =pn(р). (1.1)В основе теории потребление лежат важнейшие понятия полезности товара и излишка потребителя. Экономический смысл категории полезности товара, которая была введена в экономику У.Джевонсом[1,2], заключается в том, что каждый товар приносит некоторое удовлетворение, определенные ©благаª совокупному покупателю. А ценностьтовара U–это выражение полезности в деньгах. При этом деньги выступают как единая шкала измерения ценности, позволяющая сравнивать полезность товаров различной природы и качества. Функцией ценности товара на монопольном рынке является отображение , монотонно возрастающее с ростом n. Функция U(n) выпуклавверх, что обусловлено законом убывания полезности покупка (k+1)й единицы товара всегда менее полезна, чем была покупка kй единицы. Потребительский излишек (или излишек потребителя)W(n), введенный в экономику Ж.Дюпюи[3], является мерой выгоды совокупного покупателяот приобретения товара в заданномобъеме nпри данном уровне цены р.Количественно потребительский излишек для монопольного рынка выражается разностью между ценностью(равной той максимальной сумме U, которую совокупный покупатель готов был заплатить за данный объем товара) и фактическими затратами на его приобретение V:
. (1.2)
Соотношение (1.2) определяет смысл процесса обмена товарана деньги за единицу времени. За количествотовара nсовокупный покупатель при заданной цене рвыплачивает стоимость V. Взамен покупатели удовлетворяют некоторые свои потребности Uи получают выгоду, которая равна излишку совокупного(!) потребителя W. ©Механизмª появления излишка потребителя очевиден часть лиц, купивших данный товар, была готова купить его по цене, более высокой, чем фактически зафиксированная на заданном рынке в данное время(рис.1). Величина выручки продавца от продажи товара Vбыла бы равна его ценности Uв том случае (W0), если бы каждыйпокупатель платил за купленную им часть 4товара максимальную из приемлемых для него цен. Ж.Дюпюи писал ©Окончательная полезность продукта (©потребительский излишекª –авт.) выражается в виде разности между жертвой, которую покупатель согласен принести, чтобы приобрести этот продукт, и покупной ценой, которую он должен заплатить за него. В торговле реальна та полезность, которую покупатели согласны оплачиватьª[3].
Рис.1. Вид функции совокупного спроса от цены n(p) на монопольном рынке.
На монопольном рынке, очевидно, продавец ©недополучилª сумму, (см.рис.1) равную излишку потребителя вида , (1.3) где n(p) –кривая потребленияна товар. Смысл параметра
будет рассмотрен ниже. Из (1.3) ясно, что потребление на монопольном рынке равно
. (1.4)Интегрируя по частям выражение (1.3), получаем
.
(1.5) Сравнив (1.D) с (1.2), заключаем, что . (1.6)где
параметр, смысл которого также будет рассмотрен несколько позже.Из (1.6) непосредственно получаем, что , (1.7)0pnn(p)VW
5т.е. на монопольном рынкепредельная полезность товара совпадает с его ценой.Это утверждение для многотоварного конкурентногорынка неверно[6].Введем новуюпеременнуювида (1.8)Переменная
является безразмерной величиной, в логарифмическом масштабесравнивающаяобъем потребления с его минимально допустимым значением. Используя эту величину,получаются существенно более компактные математические выражения для взаимосвязей между категориями рынка.В силу (1.7) и (1.8) можно записать .
(1.9)2.Критерий максимизации прибыли монополистаНа потребительском (в частности, монопольном) рынке издержки продавца (затраты производителя) для любой единицы времени (день, квартал, год) всегда могут быть выражены [8,9]) в виде (2.1)Смысл этого заключен в том, что полные издержки Sв единицу времени равны сумме постоянных издержек , не зависящих от объема продаж, и переменных издержек , зависящих от потребления(а не предложения продавца!). Далее мы будем говорить об одном продавце и совокупномпокупателе. Подразумевая, что правомерно говорить и об одном производителе на оптовом рынке, поскольку с формальной точке зренияиздержки продавца и затраты производителя эквивалентны, отличаясь только по структуре и своей природе.Издержки монотонно возрастают с ростом потребления n, причем при предложение отсутствует (прибыль отрицательна) и . Потребление nмонотонно убывает с ростом цены р. Удельные издержки имеют вид (2.2)Прибыль продавца выражается в виде P(n)=V(n)
S(n). (2.3)При ценах выше прибыль равна нулю , в точке монотонно возрастающая функция пересекает кривую . Следовательно, допустимыми являются значения цены и соответствующего потребления в диапазонах Общепринятосчитать, что целью продавца является получение максимально большой прибыли (за исключением некоторых частных задач захвата нового сегмента рынка, вытеснения с рынка данного конкурента и т.п.) Например, Г.Саймон писал ©В теории фирмы основополагающей является 6гипотеза о стремлении предпринимателя максимизировать свою прибыльª[10]. Критерий максимизации прибыли можно представить в виде. (2.4)Удельные издержки вида (2.2) зависят от n (и, следовательно, от времени). Но при краткосрочном рассмотрениипотребительского рынка (за единицу времени, когда его параметры неизменны) удельные издержки правомерно считать константой[9,гл.6] Такой прием совершенно правомерен, аналогично в задачах классической механики рассматривается ©мгновенная скоростьª (т.е. средняя скорость за данную единицу времени).Критерий (2.4) приводит к условиям
(2.5)Будем исходить из того, что состояние монопольного рынка определено совокупным спросом и значениемиздержек продавца. Но тогда оптимальная торговлядолжна обеспечивать выполнение условий (2.5) в каждуюединицу времени. При этом, как следует из (2.D) и (1.9), всегда с необходимостью выполняется соотношение вида . (2.6) Отсюда для совокупной стоимости купленного товара можно записать (2.7)где постоянные издержки продавца равны .Представим стоимость в виде V=U–W. В качестве подлежащей проверкегипотезы, учитывая выражение (2.7), примем следующие соотношения ; (2.8). (2.9)Такого родавыражения верны, как показано в работе [6], для каждоготовара на конкурентном потребительском рынке. Можно полагать, что они справедливы и для монопольного рынка, но это предстоит формально обосновать. 3.Функция издержек монополистаВ силу (1.9) и (2.8) запишем выражение вида . (3.1)Сравнив соотношение (3.1) с соотношением (2.7), получаем уравнение вида . (3.2)
Продифференцировав выражение(3.2), получаем уравнение вида (3.3)
7Используярезультат [11,п.2.2.103],общее решение уравнения (3.3) запишем в виде цилиндрической функции (минус первого порядка) от мнимого аргумента [12,XII.А]: (3.4)Для цилиндрических функций неотрицательного целого порядка ν=kверно выражение [12,XII.А.1]вида (3.5)где z–комплексное число. Используемпредставление цилиндрической функции через функции Бесселя и Неймана [12,XII.А.1]. В итогеполучимвыражение для вида
где и
комплексные константы. Избыточнообщее выражение для функции издержек продавца (3.4) на монопольном рынке, учитывая (3.5), запишем в виде (3.6)Ясно, что определение функции затрат (издержек) над полем комплексных чисел не имеет реального экономического смысла, в связи с чем нам предстоит привести выражение (3.6) к некоторой функции, области определения и прибытия которой являются полем действительных положительныхчисел.Функция Неймана первого порядка , входящая в соотношение (3.6), может быть определена [12,XIII.А.2]в виде (3.7)где
логарифмическая производная гаммафункции [12,V.B]: .Но логарифм мнимого аргумента , входящий в соотношение (3.7), выражается в виде знакопеременногоряда и, следовательно, выражение вида всегда определяет комплексное число с ненулевой мнимой частью. Отсюда следует, что в выражении (3.6) нам необходимо принять .Используяпредставление функции Бесселя в виде [12,XIII.А.2]ряда ,получаем Положив , из соотношения (3.6) получаем итоговый вид функции издержекпродавцамонополиста(затрат производителяна монопольном рынке): (3.8)
8где и постоянные и переменные издержки соответственно. Ясно, что в и учитываются издержки, связанные толькос купленным товаром (т.е. с потреблениемтовара, а не с его производством). Продавец, как и производитель, может за данную единицу времени иметь избыточные издержки, существенно большие, чем (конъюнктурные моменты, выплаты кредитов, сезонность работ, капитальные вложения и т.п.) Но эта часть издержек не учитывается в величинах и за даннуюединицу времени.Используя определение модифицированной функции Бесселя
[12,XIII.B]вида ,можно записать .Следовательно, учитывая выражение (3.8), функцию издержек (рис.2) следует записать в виде . (3.9)
Рис.2. Вид функций выручки V(n) и затрат S(n) продавца монополиста(при значениях ).
Модифицированная функция Бесселя νго порядка представима [12,с.279]в виде ряда интегральных выражений. Для целочисленных неотрицательных порядков справедливо и удобно соотношение, предложенное БесселемV(n)S(n)
9
4.Функциональные зависимости на монопольном рынкеДля производных издержек (затрат) справедливы соотношения вида (4.1)Стоимость товара(рис.2), с учетом(2.7) и [13,п.D.2.10.1]), имеет вид , (4.2)где учтено, что Отметим, что , (4.3)как это и должно выполняться из условий (2.5). Для второй производной по потреблению получаем выражение вида
, (4.4)что также полностью согласуется с условиями (2.D).Цена товара на монопольном рынке, сучетом (1.8), выражается в виде (4.5)Отметим, что, потребительская цена с ростом спроса падает, а кривая U(n) выпукла вверх: Учитывая соотношение (2.8), ценность купленного товара имеет вид , (4.6)Потребительский излишек выразится в виде (4.7)Вывод правомерностьгипотезы(2.89)доказана, чтоследует из того, что вычисления по формуле(2.9) вида также приводят к выражению (4.7) для W(). Для величины прибыли P
правомерно записать (4.8)Для производной функции прибыли справедливо соотношение вида
Следовательно,с ростом потребления прибыль (достаточно медленно) растет. Из последнего выражения несложно получить:
10.И это также полностью согласуется с исходной предпосылкой вида (2.5).Важное значение играет понятие эластичности кривых, описывающих категории спроса (потребления) и производства. Наиболее интересна эластичность спроса по цене товара. Коэффициент эластичности неявной функция n(p), задаваемой выражением (4.D), имеет вид
Это выражение представимо в виде
(4.9)Соотношение (4.9) говорит о том, что любоймонопольный рынок является гибким относительное изменение цены ведет к относительному изменению потребления, которое будет по модулю большеотносительного приращения
и иметь противоположный ему знак.D. Ценность денег по товару на монопольном рынкеВ работе [6]было введено понятие ©полезности (ценности)ªденегпо каждому потребительскому товаруконкурентногорынка. Этот вопрос еще более важен при рассмотрении монопольногорынка.Исходная идея сводится к тому, что констатация факта купли
продажи вида ©Первое лицо продало второму лицу 10 кг груш за 200 рублейª также верно, как и заявление ©Второе лицо продало первому 200 рублей за 10 кило грушª. Это следует из того, что любая покупка –это добровольныйпроцесс обмена, т.е., как точно сформулировал один философ, ©продукт, достигаемый при обоюдном непротивлении сторонª. Поэтому, что считать товаром, а что –деньгами, в первом приближении, вопрос договоренности. В самом деле, яблоки –это товар, который продается по цене 20 руб./кг. Но деньги –тоже товар, который продается за грушипо цене D0г/руб. Таким образом, оставляя без внимания прочие функции денег, в первом приближении деньги правомерно считать обычным товаром, обладающим единственным(но зато каким!) видом полезности –высочайшей ликвидностью. Исторически мировыми деньгами стало золото. Золото не подвержено коррозии и обладает высокой прочностью, его немного, но не так мало, как, скажем, платины. Все это обеспечило золоту уникальную роль мировых денег. И любые попытки выдать за ©мировые деньгиª какуюто ©печатную продукциюª, не 11подтвержденную золотым запасом, неизбежно приведут к коллапсу мировой экономики. С чем, похоже, мы можем столкнуться в близком будущем.Заменим используемые понятия на более общие. Вместо ценности Uбудем рассматривать ©благоª A, вместо потребительского излишка W
©выгодуª B, вместо стоимости V
©потериª C, вместо количества товара
n–©носитель благаª N, вместо цены p
©удельные потериª c=C/N. В каждом конкретном экономическом процессе благо, выгода и пр. будут иметь свой смысл с позиции субъектовхозяйствования. Составим таблицу 1.
Таблица. 1.Соответствие экономических и философских категорий товарного обмена
БлагоВыгодаПотериНоситель благаУдельные потериОбщий взглядABCNc = C / NПокупательUWVnp=V/nПроизводительVPSns =S/nПродавецTRnVr = n/V=1/р
По аналогии с излишком потребителя, избыток продавцаRопределим в виде R=T–n, (5.1)где Т–ценность денег, а n–количество приобретенного совокупным покупателем товара.Для цены денег по товару правомерно записать
(5.2)По аналогии с критерием (2.4),условие максимизации избытка продавца запишется в виде , (5.3)а предпосылка правомерна толькодля короткого промежутка (единицы) времени.Следствием критерия (5.3) служат условия . (5.4)Вновь вспомним, что условия оптимизации (5.4) должны выполняться всегда. Но тогда из соотношения(5.4) непосредственно следует (5.5)Следовательно, можно записать (5.6)Использовав соотношение (4.D), получаем
,
12где учтено [12,с.246], что
Отсюда, с учетом соотношения (D.6),приходим к выражению вида (5.7)Второй интеграл в выражении (D.7), очевидно, равен
,
в связи с чем можно записать (5.8)Используемсоотношение вида .Тогда для ценности денег по товару окончательнополучаем выражение вида
, (5.9)где учтено, что . Отметим, что при современной скоростиобработки данных накомпьютерахиспользовать выражение(D.9) не сложно.Заключение.На любомпотребительском рынке продавец (производитель) стремится к получению максимума прибыли. И, как показано выше, на монопольном рынкецена товара равна его предельной ценности(что невернодля многотоварного конкурентного рынка). Используя эти факты, удалосьполучить вид функциональных зависимостей между основными категориями торговли (производства) и совокупного спроса (потребления) для монопольного рынка.
Показано, что любой монопольный рынок обладает гибкой эластичностьюсовокупного спроса по цене товара.Рассмотрен вопрос о ©ценности (полезности)ªденег по товару на монопольном рынке, это интересно не только теоретически, но и чисто прагматически.Остается еще один важный вопрос а существует ли в природе ©чистыйª монопольный рынок? С позиции формальноматематической, повидимому, нет. Но в ряде случаев потребительский рынок целесообразно рассматривать именно как монопольный. Заметим, что множествоважныхматематических понятий, не существующих в природе, с успехом используются в теоретических и прикладныхисследованиях. Пространство элементарных событий в аксиоматике А.Н.Колмогорова, инерциальная система в механике, траектория 13движения нулевой толщины, математическая точкаи т.д.Причем в природе нет объектов или систем, адекватных перечисленным понятиям.Но в прикладных исследованиях это не критично важно толькоясноосознавать, насколько корректно применение данного понятияизучаемой системе или явлению.Библиографические ссылки1.JevonsW.S.Notice of a general mathematical theory of political economy. –British Assoc. For the Advancement of Science. // Report of the 32 Meeting Transaction of the Sections. L.J.Murray, 1862, р.158159.2.JevonsW.S.Brief of a general mathematical theory of political economy. // Journal of the Statistical Society of London.1866, XXIX,№2, р.282287.3.DupuitJ.De la mesure de l`utilite des travaux publics. //Annales des ponts et chaussees,1844, VIII,ser.2,р. 332375.4.Аристотель.Никомахова этика. // Философы Греции. М. Эксмопресс, 1999, с.7931026.5.VinerJ.Cost curves and supply curves. // Readings in Price Theory. Homewood, 1952.6.ЧерепановЕ.В.К вопросу описания количественных взаимосвязей между категориями потребления и производства. // Гуманитарные и социальные науки. Электронный научный журнал. РостовнаДону:изд.ЮФУ,2012, №2,с.313333. (http://hsesonline.ru/2012/02/22_00_01/33.pdf).7.ЧерепановЕ.В.Нетрадиционные вероятностностатистические методы для социальноэкономических и социологических исследований. М. Спутник Плюс, 2012.8.ПиндайкР.,РубинфельдД.Микроэкономика./Пер. с англ. М. Дело, 2000.9.КовалевС.В.Экономическая математика. М. Крокус, 2010.10.SimonH.Theories of decisionmaking in economics and behavioral science.// Microeconomics: Selected Reading. Ed. by E. Mansfield. N.Y., 1971.11.ЗайцевФ.В.,ПолянскийА.Д. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. М. Факториал, 1997.12.ЯнкеЕ., ЭмдеФ.,ЛешФ.Специальные функции. / Пер. с нем. М. Наука, 1977.13.ПрудниковА.П.,БрычковЮ.А.,МаричевО.И. Интегралы и ряды. М. Наука, 1981.
