Креативный урок алгебры в 9-м классе по теме «Графики уравнений, содержащих символ модуля»
ART 45067
Автор:
Ю.
Г. Санников
Ю.
Г. Санников Библиографическое описание статьи для цитирования:
Санников
Ю.
Г. Креативный урок алгебры в 9-м классе по теме «Графики уравнений, содержащих символ модуля» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2015. – Т. 20. – С.
206–210. – URL:
http://e-koncept.ru/2015/45067.htm.
Аннотация. В статье рассматривается тренинг креативного мышления в обучении математике. В статье приведена разработка урока по теме «Графики уравнений, содержащих символ модуля». Вводится понятие графика уравнения, и построение графиков уравнений, содержащих символ модуля. В процессе работы выявляется связь алгебры и геометрии. Рассматривается применение этой темы к решению уравнений с параметром, содержащих символ модуля.
Текст статьи
Санников Юрий Григорьевич,преподаватель математикиГБОУ СОШ № 539 Кировского рна,г.СанктПетербургsan58.spb@gmail.com
Креативный урок алгебры в 9м классе по теме «Графики уравнений, содержащих символ модуля»
Аннотация. В статье рассматривается тренинг креативного мышления в обучении математике. В статье приведена разработка урока по теме «Графики уравнений, содержащих символ модуля». Вводится понятие графика уравнения, и построение графиков уравнений,содержащих символ модуля. В процессе работы выявляется связь алгебры и геометрии. Рассматривается применение этой темы к решению уравнений с параметром, содержащих символ модуля.Ключевые слова: график уравнения, модуль, параметр, творчество, гипотеза, эксперимент.
Тема урока:Графики уравнений, содержащих символ модуля.Предмет:алгебра.Тип урока:комбинированный.
Рис. 1. Блоксхема урокаБЛОК ЭКСПЕРИМЕНТОВ.БЛОК МОТИВАЦИИБЛОК ТВОРЧЕСКОГО РАЗОГРЕВАТЕОРЕТИЧЕСКИЙ БЛОК 1ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ БЛОК 2БЛОК ЭКСПЕРИМЕНТОВ2.ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ БЛОК 3ЭКСПЕРИМЕНТ 1ЭКСПЕРИМЕНТ2БЛОК ПОСТАНОВКИ ТВОРЧЕСКИХ ЗАДАЧБЛОК РЕЗЮМЕЭКСПЕРИМЕНТ 3
Продолжительность занятия:90 минут.Главная дидактическая цель урока:выявление области приложения темы «График уравнения»в алгебре и в её связи с геометрией, формирование знаний по данной теме при решении стандартных и нестандартных алгебраических задач. Развитие у учащихся навыков исследовательской работы.Цели урока: 1.Формирование умений распознавать стандартные задачи в различных формулировках.2.Формирование способности к интеграции знаний изразличных тем курса математики.3.Содействовать развитию логического мышления учащихся, умение выделять главное, обобщать.4.Формирование исследовательской, креативной работы учащихся.5.Воспитание графической культуры учащихся.6.Совершенствование коммуникативной культуры учащихся.Оборудование: доска, мультимедийное оборудование, раздаточный дидактический материал для учащихся.
План урока
1.Блок мотивации. Изучая темы «Графики функций» и «Векторы», мы обнаруживаем тесную связь геометрии и алгебры, и, естественно, возникает вопрос –нельзя ли геометрические фигуры такие как квадрат, прямоугольник, ромб, треугольник задавать алгебраическими уравнениями и иследовать свойства этих фигур алгебраическими методами. Выявлению этой связи между геометрией и алгеброй и будет посвящёнурок. Мы введём новое понятие «График уравнения»и рассмотрим графики уравнений в алгебраических и графических задачах.(3 мин.)
2.Блок творческого разогрева. Повторение определения функции и графика функции. Обсуждение необходимости введения понятия «График уравнения».Устная работа (20 мин.)Актуализация знаний учащихся: повторение, анализ, обобщение.Работа учащихся вследующих режимах: диалог, обсуждение, самостоятельная деятельность.Материалы для проведения устной работы оформлены на доске.
Повторение определения функции и графика функции.На доскепредставлены следующие чертежи (Рис. 2).Каждый ученик получает раздаточный материал с этими чертежами.Обсуждение:1)На каких чертежах представлены графики функций? Почему?2)Графики каких функций представлены на этих чертежах?3)На каких чертежах графики не задают функции? Почему?Обсуждается необходимость введения понятияграфика уравнения.Определение: Графиком уравнения �(ݔǢݕ)=0называют множество точек координатной плоскости ݔ0ݕ, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.
Рис. 2.
3.Теоретический блок 1. Изображение множества точек, координаты которых удовлетворяют заданным условиям. Ведущие идеи: симметрия, сдвиг графика уравнения(Рис. 3).
Рис. 3.
Обсуждается наилучший способ построения графика этого уравнения.
01ݕݔ01ݕݔ01ݕݔ01ݕݔ01ݕݔ01ݕݔ01ݕݔ01ݕݔ−201ݕݔ
Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:|ݔ|+|ݕ|=4Варианты:1.Решить задачу “в лоб”: раскрыть модули в четырёх случаях:I.{ݔ≥0ݕ≥0, ݕ=−ݔ+4II.{ݔ≤0ݕ≥0ǡ ݕ=ݔ+4III.{ݔ≤0ݕ≤0ǡ ݕ=−ݔ−4 IV.{ݔ≥0ݕ≤0, ݕ=ݔ−42.Если ݕ≥0ǡто ݕ=4−|ݔ|Если ݕ<0ǡто ݕ=|ݔ|−4
3.Замечаем, что переменные ݔиݕвходят в уравнение симметрично.Так как |−ݔ|=|ݔ|и|−ݕ|=|ݕ|, то график уравнения должен быть симметричным как относительно оси �ܺ, так и относительно оси �ܻǤРис. 4Строим график в первой четверти при условии, что {ݔ≥0ݕ≥0ݕ=−ݔ+4И симметрично отображаем его как относительнооси �ܺ, так и относительно оси �ܻǤВопрос: какую геометрическую фигуру описывает уравнение |ݔ|+|ݕ|=4?Задание: найти площадь этого квадратаи его сторону: �=12∙82=32ǡܽ=√42+42=4√2Творческое задание: Начертить график уравнения |ݔ|+|ݕ|=�ǡгде
�>0и записать формулы для его площади и стороны.
�=12∙(2�)2=2�2ǡܽ=√�2+�2=�√2
Рис. 5
4.Блок экспериментов.
Эксперимент. Преобразоватьуравнение |ݔ|+|ݕ|=�ǡгде
�>0ǡкоторое описывает квадрат так, чтобыуравнение задавало ромб.Гипотеза: уравнение должно иметь вид:݉|ݔ|+݊|ݕ|=�ǡгде
�>0ǡ݉≠݊.После обсуждения учащиеся получают задание на два варианта:Построить графики уравнений:1вариант: 2|ݔ|+|ݕ|=4 2вариант: |ݔ|+2|ݕ|=401ݕݔ−444−4��������01ݕݔ−���−�
Рис. 6 Рис. 7
5.Теоретический блок 2. Построение графика уравнения вида: |ݔ+ܽ|+|ݕ+ܾ|=�Задание: построить график уравнения |ݔ−2|+|ݕ+2|=41.Повторяется вопрос о построении графика функции ݕ=�(ݔ+ܽ).Выдаются дидактические материалы. Учитель работает удоски.
Рис. 8.01ݕݔ4−4−2201ݕݔ4−42−201ݕݔ01ݕݔ01ݕݔ01ݕݔ201ݕݔ201ݕݔ201ݕݔ−201ݕݔ−201ݕݔ−2ݕ=�(ݔ)ݕ=�(ݔ−2)ݕ=�(ݔ+2)Гипотеза:график уравнения |ݔ−2|+|ݕ+2|=4получается из графика уравнения |ݔ|+|ݕ|=4в результате сдвига на две единицы вправо вдоль оси �ܺи на две единицы в отрицательном направлении вдоль оси �ܻǤГрафик уравнения будет представлять собой квадрат, центр симметрии которого находится в точке (2Ǣ−2)ǤОсями симметрии квадрата будут прямые ݔ=2иݕ=−2Ǥ
Рис. 9.
Выполняется непосредственная проверка гипотезы. Раскрываются модули в четырёх случаях:
I.{ݔ≥2ݕ≥−2, ݕ=−ݔ+4II.{ݔ≤2ݕ≥−2ǡ ݕ=ݔIII.{ݔ≤2ݕ≤−2ǡ ݕ=−ݔ−4 IV.{ݔ≥2ݕ≤−2, ݕ=ݔ−8
6.Блок экспериментов 2. Эксперимент 1.Построить график уравнения: |ݕ−ݔ|+|ݕ+ݔ|=6Рассматриваем четыре случая:
I.{ݕ≥ݔݕ≥−ݔ, ݕ−ݔ+ݕ+ݔ=6ǡ
ݕ=3II.{ݕ≥ݔݕ≤−ݔǡ ݕ−ݔ−ݕ−ݔ=6ǡݔ=−3 III.{ݕ≤ݔݕ≤−ݔ, −ݕ+ݔ−ݕ−ݔ=6ǡݕ=−3IV.{ݕ≤ݔݕ≥−ݔǡ −ݕ+ݔ+ݕ+ݔ=6ǡݔ=3График уравнения представляет собой квадрат центром симметрии которого является точка (0Ǣ0)ǡсторона которого ܽ=6ǡа площадь �=36. Рис. 10.
Эксперимент 2.Построить график уравнения: |ݕ−ݔ|+|ݕ+ݔ|=�ǡ
где�>0Ǥ
Найти его сторону и площадь.
Рис. 11.ܽ=�ǡ
�=�201ݕݔ−66−2−222��������01ݕݔ−33−33��������01ݕݔ−�2�2−�2�2Эксперимент 3.Творческое задание: изменить уравнение|ݕ−ݔ|+|ݕ+ݔ|=8так, чтобы оно описывало прямоугольник.Учащиеся предлагают свои варианты. После чего сроят график уравнения:|ݕ−2ݔ|+|ݕ+2ݔ|=8
I.{ݕ≥ݔݕ≥−ݔ, ݕ−2ݔ+ݕ+2ݔ=8ǡ
ݕ=4II.{ݕ≥ݔݕ≤−ݔǡ ݕ−2ݔ−ݕ−2ݔ=8ǡݔ=−2 III.{ݕ≤ݔݕ≤−ݔ, −ݕ+2ݔ−ݕ−2ݔ=8ǡݕ=−4IV.{ݕ≤ݔݕ≥−ݔǡ −ݕ+2ݔ+ݕ+2ݔ=2ǡݔ=2
Рис. 12
7.Теоретический блок 3. Методика применения полученных знаний и навыков при решении уравнений некоторых типов с модулем и параметром.Задание: Решить уравнение |�−�|+|�+�+�|=�При решении уравнений и неравенств с одним неизвестным, содержащих параметр, удобно проводить исследование на координатнопараметрической плоскости ݔ�ܽǤ(Значение параметра ܽбудем откладывать по вертикальной оси, а значение неизвестного ݔпо горизонтальной оси).
Построим на плоскости ݔ�ܽграфик данного уравнения.Для этого построим прямые ܽ=ݔи ܽ=−ݔ−1, которые разобьют плоскость на 4 части.I.{ܽ≥ݔܽ≥−ݔ−1, ܽ−ݔ+ܽ+ݔ+1=3ǡ
ܽ=1II.{ܽ≥ݔܽ≤−ݔ−1ǡ ܽ−ݔ−ܽ−ݔ−1=3ǡݔ=−2 III.{ܽ≤ݔܽ≤−ݔ−1, −ݕ+2ݔ−ݕ−2ݔ=8ǡݕ=−4IV.{ܽ≤ݔܽ≥−ݔ−1ǡ −ݕ+2ݔ+ݕ+2ݔ=2ǡݔ=2
Рис. 1301ݕݔ−22−44ܽ<−2ܽ=−2−2<ܽ<1ܽ=1ܽ>1−2−2101ܽݔ
1)Если ܽ−2ǡто корней нет;2)Если ܽ=−2ǡторешением уравнения является отрезок [−2Ǣ1];3)Если −2<ܽ<1ǡто уравнение имеет два корня: ݔ1=−2ǡݔ2=1Ǣ4)Если ܽ=1ǡто решением уравнения является отрезок [−2Ǣ1];5)Если ܽ>1ǡто корней нет; Ответ: 1) Если ܽ∈(−∞Ǣ−2)∪(1ǣ+∞), то уравнение корней не имеет;2) Если ܽ=−2 или ܽ=1, то решением является отрезок [−2Ǣ1];3) Если −2<ܽ<1ǡто уравнение имеет два корня: −2Ǣ1Ǥ8.Блок постановки творческих задач.Обсуждение и комментарии к домашнему заданию (7мин.).Домашнее задание к следующему уроку будет содержать:1)Обязательная часть (индивидуальная работа) (Рис. 14).
Рис. 14.
При решении задания 4 допускается совместное творчество.2)Творческая часть (допускается совместное творчество)(Рис. 15).
Рис. 15.
Учащиеся должныпостроить графики этих уравнений и убедиться в том, что одно уравнение описывает параллелограмм, а второе–треугольник.Учащимся предлагается поэкспериментировать с этими уравнениями, меняя коэффициенты при неизвестных, и понаблюдать как это влияет на геометрию получаемых геометрических фигур.Результаты этой самостоятельной работы учащиеся смогут продемонстрировать на следующем уроке.�ǤБлок резюме.1.Учащиеся формулируют главные выводы урока:Дано определение графика уравнения в сравнении с определениемграфика функции.Научились строить графики уравнений, содержащих символ модуля.Установили связь геометрии с алгеброй: различные геометрические фигуры могут быть заданы алгебраическими уравнениями. В частности, были построены квадрат, ромб и прямоугольник.ПОСТРОИТЬ ГРАФИКИ УРАВНЕНИЙ:1.|ݔ+3|+|ݕ−1|=42.|ݔ|−|ݕ|=43.|ݔ+3|−|ݕ−1|=4
РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ4.|ܽ−ݔ+2|+|ܽ+ݔ−2|=6 ПОСТРОИТЬ ГРАФИКИ УРАВНЕНИЙ:5.|ݕ−ݔ|+|ݔ|=46.1−|ݔ+1|=|ݕ−|ݔ+1||7.Найти формулы площади, длин диагоналей и сторону ромба, заданного уравнением: ݉|ݔ|+݊|ݕ|=�ǡгде
�>0ǡ݉≠݊.Познакомились графическим методом решения уравнений с модулем и параметром, с использованием навыков полученных при построении графиков уравнений. 2.Оценивание работы учащихся: самооценка, взаимооценка, оценка работы учащихся учителем.3.Выяснение мнения учащихся об уроке.
Ссылки на источники1.А.Г.Мордкович, Н.П.Николаев Алгебра 9. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. –М.:Мнемозина, 2013.2.И.Ф. Шарыгин.Факультативный курс по математике 10. –М. «Просвещение», 1989.3.В.Г. Болтянский, Ю.В. Сидоров, М.И Шабунин. Лекции и задачи по элементарной математике. Издательство “Наука”, М. 1974.
Креативный урок алгебры в 9м классе по теме «Графики уравнений, содержащих символ модуля»
Аннотация. В статье рассматривается тренинг креативного мышления в обучении математике. В статье приведена разработка урока по теме «Графики уравнений, содержащих символ модуля». Вводится понятие графика уравнения, и построение графиков уравнений,содержащих символ модуля. В процессе работы выявляется связь алгебры и геометрии. Рассматривается применение этой темы к решению уравнений с параметром, содержащих символ модуля.Ключевые слова: график уравнения, модуль, параметр, творчество, гипотеза, эксперимент.
Тема урока:Графики уравнений, содержащих символ модуля.Предмет:алгебра.Тип урока:комбинированный.
Рис. 1. Блоксхема урокаБЛОК ЭКСПЕРИМЕНТОВ.БЛОК МОТИВАЦИИБЛОК ТВОРЧЕСКОГО РАЗОГРЕВАТЕОРЕТИЧЕСКИЙ БЛОК 1ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ БЛОК 2БЛОК ЭКСПЕРИМЕНТОВ2.ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ БЛОК 3ЭКСПЕРИМЕНТ 1ЭКСПЕРИМЕНТ2БЛОК ПОСТАНОВКИ ТВОРЧЕСКИХ ЗАДАЧБЛОК РЕЗЮМЕЭКСПЕРИМЕНТ 3
Продолжительность занятия:90 минут.Главная дидактическая цель урока:выявление области приложения темы «График уравнения»в алгебре и в её связи с геометрией, формирование знаний по данной теме при решении стандартных и нестандартных алгебраических задач. Развитие у учащихся навыков исследовательской работы.Цели урока: 1.Формирование умений распознавать стандартные задачи в различных формулировках.2.Формирование способности к интеграции знаний изразличных тем курса математики.3.Содействовать развитию логического мышления учащихся, умение выделять главное, обобщать.4.Формирование исследовательской, креативной работы учащихся.5.Воспитание графической культуры учащихся.6.Совершенствование коммуникативной культуры учащихся.Оборудование: доска, мультимедийное оборудование, раздаточный дидактический материал для учащихся.
План урока
1.Блок мотивации. Изучая темы «Графики функций» и «Векторы», мы обнаруживаем тесную связь геометрии и алгебры, и, естественно, возникает вопрос –нельзя ли геометрические фигуры такие как квадрат, прямоугольник, ромб, треугольник задавать алгебраическими уравнениями и иследовать свойства этих фигур алгебраическими методами. Выявлению этой связи между геометрией и алгеброй и будет посвящёнурок. Мы введём новое понятие «График уравнения»и рассмотрим графики уравнений в алгебраических и графических задачах.(3 мин.)
2.Блок творческого разогрева. Повторение определения функции и графика функции. Обсуждение необходимости введения понятия «График уравнения».Устная работа (20 мин.)Актуализация знаний учащихся: повторение, анализ, обобщение.Работа учащихся вследующих режимах: диалог, обсуждение, самостоятельная деятельность.Материалы для проведения устной работы оформлены на доске.
Повторение определения функции и графика функции.На доскепредставлены следующие чертежи (Рис. 2).Каждый ученик получает раздаточный материал с этими чертежами.Обсуждение:1)На каких чертежах представлены графики функций? Почему?2)Графики каких функций представлены на этих чертежах?3)На каких чертежах графики не задают функции? Почему?Обсуждается необходимость введения понятияграфика уравнения.Определение: Графиком уравнения �(ݔǢݕ)=0называют множество точек координатной плоскости ݔ0ݕ, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.
Рис. 2.
3.Теоретический блок 1. Изображение множества точек, координаты которых удовлетворяют заданным условиям. Ведущие идеи: симметрия, сдвиг графика уравнения(Рис. 3).
Рис. 3.
Обсуждается наилучший способ построения графика этого уравнения.
01ݕݔ01ݕݔ01ݕݔ01ݕݔ01ݕݔ01ݕݔ01ݕݔ01ݕݔ−201ݕݔ
Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:|ݔ|+|ݕ|=4Варианты:1.Решить задачу “в лоб”: раскрыть модули в четырёх случаях:I.{ݔ≥0ݕ≥0, ݕ=−ݔ+4II.{ݔ≤0ݕ≥0ǡ ݕ=ݔ+4III.{ݔ≤0ݕ≤0ǡ ݕ=−ݔ−4 IV.{ݔ≥0ݕ≤0, ݕ=ݔ−42.Если ݕ≥0ǡто ݕ=4−|ݔ|Если ݕ<0ǡто ݕ=|ݔ|−4
3.Замечаем, что переменные ݔиݕвходят в уравнение симметрично.Так как |−ݔ|=|ݔ|и|−ݕ|=|ݕ|, то график уравнения должен быть симметричным как относительно оси �ܺ, так и относительно оси �ܻǤРис. 4Строим график в первой четверти при условии, что {ݔ≥0ݕ≥0ݕ=−ݔ+4И симметрично отображаем его как относительнооси �ܺ, так и относительно оси �ܻǤВопрос: какую геометрическую фигуру описывает уравнение |ݔ|+|ݕ|=4?Задание: найти площадь этого квадратаи его сторону: �=12∙82=32ǡܽ=√42+42=4√2Творческое задание: Начертить график уравнения |ݔ|+|ݕ|=�ǡгде
�>0и записать формулы для его площади и стороны.
�=12∙(2�)2=2�2ǡܽ=√�2+�2=�√2
Рис. 5
4.Блок экспериментов.
Эксперимент. Преобразоватьуравнение |ݔ|+|ݕ|=�ǡгде
�>0ǡкоторое описывает квадрат так, чтобыуравнение задавало ромб.Гипотеза: уравнение должно иметь вид:݉|ݔ|+݊|ݕ|=�ǡгде
�>0ǡ݉≠݊.После обсуждения учащиеся получают задание на два варианта:Построить графики уравнений:1вариант: 2|ݔ|+|ݕ|=4 2вариант: |ݔ|+2|ݕ|=401ݕݔ−444−4��������01ݕݔ−���−�
Рис. 6 Рис. 7
5.Теоретический блок 2. Построение графика уравнения вида: |ݔ+ܽ|+|ݕ+ܾ|=�Задание: построить график уравнения |ݔ−2|+|ݕ+2|=41.Повторяется вопрос о построении графика функции ݕ=�(ݔ+ܽ).Выдаются дидактические материалы. Учитель работает удоски.
Рис. 8.01ݕݔ4−4−2201ݕݔ4−42−201ݕݔ01ݕݔ01ݕݔ01ݕݔ201ݕݔ201ݕݔ201ݕݔ−201ݕݔ−201ݕݔ−2ݕ=�(ݔ)ݕ=�(ݔ−2)ݕ=�(ݔ+2)Гипотеза:график уравнения |ݔ−2|+|ݕ+2|=4получается из графика уравнения |ݔ|+|ݕ|=4в результате сдвига на две единицы вправо вдоль оси �ܺи на две единицы в отрицательном направлении вдоль оси �ܻǤГрафик уравнения будет представлять собой квадрат, центр симметрии которого находится в точке (2Ǣ−2)ǤОсями симметрии квадрата будут прямые ݔ=2иݕ=−2Ǥ
Рис. 9.
Выполняется непосредственная проверка гипотезы. Раскрываются модули в четырёх случаях:
I.{ݔ≥2ݕ≥−2, ݕ=−ݔ+4II.{ݔ≤2ݕ≥−2ǡ ݕ=ݔIII.{ݔ≤2ݕ≤−2ǡ ݕ=−ݔ−4 IV.{ݔ≥2ݕ≤−2, ݕ=ݔ−8
6.Блок экспериментов 2. Эксперимент 1.Построить график уравнения: |ݕ−ݔ|+|ݕ+ݔ|=6Рассматриваем четыре случая:
I.{ݕ≥ݔݕ≥−ݔ, ݕ−ݔ+ݕ+ݔ=6ǡ
ݕ=3II.{ݕ≥ݔݕ≤−ݔǡ ݕ−ݔ−ݕ−ݔ=6ǡݔ=−3 III.{ݕ≤ݔݕ≤−ݔ, −ݕ+ݔ−ݕ−ݔ=6ǡݕ=−3IV.{ݕ≤ݔݕ≥−ݔǡ −ݕ+ݔ+ݕ+ݔ=6ǡݔ=3График уравнения представляет собой квадрат центром симметрии которого является точка (0Ǣ0)ǡсторона которого ܽ=6ǡа площадь �=36. Рис. 10.
Эксперимент 2.Построить график уравнения: |ݕ−ݔ|+|ݕ+ݔ|=�ǡ
где�>0Ǥ
Найти его сторону и площадь.
Рис. 11.ܽ=�ǡ
�=�201ݕݔ−66−2−222��������01ݕݔ−33−33��������01ݕݔ−�2�2−�2�2Эксперимент 3.Творческое задание: изменить уравнение|ݕ−ݔ|+|ݕ+ݔ|=8так, чтобы оно описывало прямоугольник.Учащиеся предлагают свои варианты. После чего сроят график уравнения:|ݕ−2ݔ|+|ݕ+2ݔ|=8
I.{ݕ≥ݔݕ≥−ݔ, ݕ−2ݔ+ݕ+2ݔ=8ǡ
ݕ=4II.{ݕ≥ݔݕ≤−ݔǡ ݕ−2ݔ−ݕ−2ݔ=8ǡݔ=−2 III.{ݕ≤ݔݕ≤−ݔ, −ݕ+2ݔ−ݕ−2ݔ=8ǡݕ=−4IV.{ݕ≤ݔݕ≥−ݔǡ −ݕ+2ݔ+ݕ+2ݔ=2ǡݔ=2
Рис. 12
7.Теоретический блок 3. Методика применения полученных знаний и навыков при решении уравнений некоторых типов с модулем и параметром.Задание: Решить уравнение |�−�|+|�+�+�|=�При решении уравнений и неравенств с одним неизвестным, содержащих параметр, удобно проводить исследование на координатнопараметрической плоскости ݔ�ܽǤ(Значение параметра ܽбудем откладывать по вертикальной оси, а значение неизвестного ݔпо горизонтальной оси).
Построим на плоскости ݔ�ܽграфик данного уравнения.Для этого построим прямые ܽ=ݔи ܽ=−ݔ−1, которые разобьют плоскость на 4 части.I.{ܽ≥ݔܽ≥−ݔ−1, ܽ−ݔ+ܽ+ݔ+1=3ǡ
ܽ=1II.{ܽ≥ݔܽ≤−ݔ−1ǡ ܽ−ݔ−ܽ−ݔ−1=3ǡݔ=−2 III.{ܽ≤ݔܽ≤−ݔ−1, −ݕ+2ݔ−ݕ−2ݔ=8ǡݕ=−4IV.{ܽ≤ݔܽ≥−ݔ−1ǡ −ݕ+2ݔ+ݕ+2ݔ=2ǡݔ=2
Рис. 1301ݕݔ−22−44ܽ<−2ܽ=−2−2<ܽ<1ܽ=1ܽ>1−2−2101ܽݔ
1)Если ܽ−2ǡто корней нет;2)Если ܽ=−2ǡторешением уравнения является отрезок [−2Ǣ1];3)Если −2<ܽ<1ǡто уравнение имеет два корня: ݔ1=−2ǡݔ2=1Ǣ4)Если ܽ=1ǡто решением уравнения является отрезок [−2Ǣ1];5)Если ܽ>1ǡто корней нет; Ответ: 1) Если ܽ∈(−∞Ǣ−2)∪(1ǣ+∞), то уравнение корней не имеет;2) Если ܽ=−2 или ܽ=1, то решением является отрезок [−2Ǣ1];3) Если −2<ܽ<1ǡто уравнение имеет два корня: −2Ǣ1Ǥ8.Блок постановки творческих задач.Обсуждение и комментарии к домашнему заданию (7мин.).Домашнее задание к следующему уроку будет содержать:1)Обязательная часть (индивидуальная работа) (Рис. 14).
Рис. 14.
При решении задания 4 допускается совместное творчество.2)Творческая часть (допускается совместное творчество)(Рис. 15).
Рис. 15.
Учащиеся должныпостроить графики этих уравнений и убедиться в том, что одно уравнение описывает параллелограмм, а второе–треугольник.Учащимся предлагается поэкспериментировать с этими уравнениями, меняя коэффициенты при неизвестных, и понаблюдать как это влияет на геометрию получаемых геометрических фигур.Результаты этой самостоятельной работы учащиеся смогут продемонстрировать на следующем уроке.�ǤБлок резюме.1.Учащиеся формулируют главные выводы урока:Дано определение графика уравнения в сравнении с определениемграфика функции.Научились строить графики уравнений, содержащих символ модуля.Установили связь геометрии с алгеброй: различные геометрические фигуры могут быть заданы алгебраическими уравнениями. В частности, были построены квадрат, ромб и прямоугольник.ПОСТРОИТЬ ГРАФИКИ УРАВНЕНИЙ:1.|ݔ+3|+|ݕ−1|=42.|ݔ|−|ݕ|=43.|ݔ+3|−|ݕ−1|=4
РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ4.|ܽ−ݔ+2|+|ܽ+ݔ−2|=6 ПОСТРОИТЬ ГРАФИКИ УРАВНЕНИЙ:5.|ݕ−ݔ|+|ݔ|=46.1−|ݔ+1|=|ݕ−|ݔ+1||7.Найти формулы площади, длин диагоналей и сторону ромба, заданного уравнением: ݉|ݔ|+݊|ݕ|=�ǡгде
�>0ǡ݉≠݊.Познакомились графическим методом решения уравнений с модулем и параметром, с использованием навыков полученных при построении графиков уравнений. 2.Оценивание работы учащихся: самооценка, взаимооценка, оценка работы учащихся учителем.3.Выяснение мнения учащихся об уроке.
Ссылки на источники1.А.Г.Мордкович, Н.П.Николаев Алгебра 9. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. –М.:Мнемозина, 2013.2.И.Ф. Шарыгин.Факультативный курс по математике 10. –М. «Просвещение», 1989.3.В.Г. Болтянский, Ю.В. Сидоров, М.И Шабунин. Лекции и задачи по элементарной математике. Издательство “Наука”, М. 1974.
