Элементы теории вероятностей в курсе средней школы в рамках подготовки к ОГЭ

Освоение образовательных программ основного общего образования завершается обязательной государственной итоговой аттестацией по русскому языку и математике. Экзамен в 9 классе – это итог работы учителя и ученика на протяжении 5 лет обучения в средней школе, и подготовка к нему является важной составляющей учебного процесса. Подготовка к основному государственному экзамену требует комплексной подготовки по всем основным разделам школьного курса математики, что в свою очередь устанавливает определенные требования к методике преподавания отдельных тем школьного курса.

К числу разделов, вызывающих затруднения у учащихся, относят стохастическую линию. Решение вероятностных задач требует от учащихся несколько иных навыков и способов рассуждений, чем те, что изучают в рамках других линий школьного курса.

В целом стохастическая линия делится на две основные части: теория вероятностей и математическая статистика [1]. В данной статье остановим внимание в первую очередь на вопросах, связанных с изучением теории вероятностей.

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Ранее данные вопросы в общем школьном курсе не изучались, а рассматривались в рамках факультативных и элективных курсах. Но в последние годы теория вероятностей была введена в школьный курс алгебры 7-11 классов, а также математики 5-6 классов. С 2011 года задания по данному разделу появилась и в ГИА. Однако методика преподавания стохастической линии для школьников была практически не разработана. Перенос методических приемов, применяющих при обучении теории вероятностей в высшей школе, не всегда эффективен. Основной упор в таком случае делается на применение теорем, что требует достаточного уровня подготовки. Как следствие возникает необходимость в совершенствовании методики преподавания стохастической линии для школьников. Особенную значимость эти вопросы приобретают по отношению к обучению школьников 5-6 классов.

Одним из основных затруднений, возникающих при изучении данной темы, является обучение решению вероятностных задач. В первую очередь это связано с самим определением понятия вероятности, а также с необходимостью учитывать число возможных вариантов, отвечающих заданным условиям.

Для успешного обучения школьников материал по теории вероятностей необходимо представить в структурированном виде. Изучаемый в школьном курсе теоретический материал позволяет выделить ряд базовых действий, использующихся при решении задач. Поэтому встает вопрос поиска таких задач, решение которых объединяло бы в себе несколько действий и правил теории вероятностей. В соответствии с тем, какие именно были указаны действия, можно определить ряд так называемых базовых или ключевых задач, вокруг которых можно группировать аналогичные задания.

При поиске таких задач, в первую очередь необходимо определить уровень подготовки школьников 9 класса к решению задач по теории вероятностей, которым предстоит сдавать ОГЭ. С этой целью учащимся была предложена проверочная работа, включающая из 4 задачи по теории вероятностей из сборников для подготовки к ОГЭ. Приведем пример такой задачи [2]. В прямоугольник 5×4 см² помещён круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга? Данная задача относится к теме геометрическая вероятность. По определению искомая вероятность равна отношению площадей соответствующих фигур. В этом случае требуется найти площадь круга радиусом 1,5 см (в который точка должна попасть – благоприятствующий исход) и площадь прямоугольника 5×4 см² (в которой точка ставится – общий исход). В результате получаем, что , . Тогда вероятность данного события равна .

Основная цель данной работы заключалась в том, чтобы определить наиболее типичные ошибки, возникающие при решении задач по теории вероятностей. Анализ письменных работ учащихся показал, что ими были допущены следующие основные типы ошибок:

1. Задания выполнены неверно вследствие незнания теории.

2. Задания выполнены по содержанию правильно, но в вычислениях допущены арифметические ошибки.

3. Задания не выполнены, но в некоторых задачах присутствуют отдельные верные шаги решения.

Возникающие вычислительные ошибки, в определенном смысле, являются наименьшей из проблем, так как они не зависят от понимания алгоритма решения вероятностной задачи. Но при сдаче ОГЭ такие ошибки превращаются в самую серьезную проблему. Отсутствие вычислительной культуры при правильной последовательности шагов решение не позволяет дать правильный ответ на вопрос задачи, а следовательно получить высокий результат на экзамене.

Во многих случаях основное затруднение учащихся при решении задач по теории вероятностей заключается в том, что они не могут полностью осознать и воспринять математическую модель задачи. Стохастические задачи отличаются достаточным их разнообразием, что осложняет выбор конкретной модели. Они сохраняют определенную новизну и создают трудности не только для учеников, но и для учителей.

В таких условиях представляется значимым выделение основных моделей, которые можно считать базовыми. В результате возникает возможность формирования системы так называемых ключевых задач, в которых реализуются наиболее значимые алгоритмы их решения. За счет элементарных преобразований данных моделей можно их использовать для решения сходных заданий.

Под ключевой задачей будем понимать задачу, реализующую базовые алгоритмы действий, на основе которых можно решить целую группу сходных задач. В качестве примера рассмотрим задачу на формулу повторных независимых испытаний [3]. На некотором поле повреждены гербицидами 15 % растений мяты рассадной посадки. Найти наивероятнейшее число поврежденных гербицидами растений мяты среди 20 растений, отобранных с этого поля случайным образом и соответствующую вероятность. При решении данной задачи можно выделить следующие этапы (табл. 1).

Таблица 1.

Решение ключевой задачи по теме повторение опытов

Модель, рассмотренная в данной задаче, является не самой простой. Тем не менее задачи подобного типа, предлагают при подготовке к ОГЭ по математике. Приведем пример такой задачи [4]. Стрелок совершает 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна 0,7. Найти вероятность того, что стрелок попадёт 2 раза.

Если среди четырех выстрелов было 2 попадания, то оставшиеся 2 выстрела будут являться промахами. Обозначим вероятность попадания , тогда вероятность промаха . По формуле Бернулли получаем .

При этом не имеет существенного значения содержательная формулировка ключевой задачи, так как более важным является демонстрация алгоритма ее решения.

Выделение ключевых задач позволяет систематизировать и упорядочить материал для работы с учащимися, а также создает возможности для более осознанного и глубокого понимания теории вероятностей и формирования навыков решения задач.

Освоение образовательных программ основного общего образования завершается обязательной государственной итоговой аттестацией по русскому языку и математике. Экзамен в 9 классе – это итог работы учителя и ученика на протяжении 5 лет обучения в средней школе, и подготовка к нему является важной составляющей учебного процесса. Подготовка к основному государственному экзамену требует комплексной подготовки по всем основным разделам школьного курса математики, что в свою очередь устанавливает определенные требования к методике преподавания отдельных тем школьного курса.

К числу разделов, вызывающих затруднения у учащихся, относят стохастическую линию. Решение вероятностных задач требует от учащихся несколько иных навыков и способов рассуждений, чем те, что изучают в рамках других линий школьного курса.

В целом стохастическая линия делится на две основные части: теория вероятностей и математическая статистика [1]. В данной статье остановим внимание в первую очередь на вопросах, связанных с изучением теории вероятностей.

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Ранее данные вопросы в общем школьном курсе не изучались, а рассматривались в рамках факультативных и элективных курсах. Но в последние годы теория вероятностей была введена в школьный курс алгебры 7-11 классов, а также математики 5-6 классов. С 2011 года задания по данному разделу появилась и в ГИА. Однако методика преподавания стохастической линии для школьников была практически не разработана. Перенос методических приемов, применяющих при обучении теории вероятностей в высшей школе, не всегда эффективен. Основной упор в таком случае делается на применение теорем, что требует достаточного уровня подготовки. Как следствие возникает необходимость в совершенствовании методики преподавания стохастической линии для школьников. Особенную значимость эти вопросы приобретают по отношению к обучению школьников 5-6 классов.

Одним из основных затруднений, возникающих при изучении данной темы, является обучение решению вероятностных задач. В первую очередь это связано с самим определением понятия вероятности, а также с необходимостью учитывать число возможных вариантов, отвечающих заданным условиям.

Для успешного обучения школьников материал по теории вероятностей необходимо представить в структурированном виде. Изучаемый в школьном курсе теоретический материал позволяет выделить ряд базовых действий, использующихся при решении задач. Поэтому встает вопрос поиска таких задач, решение которых объединяло бы в себе несколько действий и правил теории вероятностей. В соответствии с тем, какие именно были указаны действия, можно определить ряд так называемых базовых или ключевых задач, вокруг которых можно группировать аналогичные задания.

При поиске таких задач, в первую очередь необходимо определить уровень подготовки школьников 9 класса к решению задач по теории вероятностей, которым предстоит сдавать ОГЭ. С этой целью учащимся была предложена проверочная работа, включающая из 4 задачи по теории вероятностей из сборников для подготовки к ОГЭ. Приведем пример такой задачи [2]. В прямоугольник 5×4 см² помещён круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга? Данная задача относится к теме геометрическая вероятность. По определению искомая вероятность равна отношению площадей соответствующих фигур. В этом случае требуется найти площадь круга радиусом 1,5 см (в который точка должна попасть – благоприятствующий исход) и площадь прямоугольника 5×4 см² (в которой точка ставится – общий исход). В результате получаем, что , . Тогда вероятность данного события равна .

Основная цель данной работы заключалась в том, чтобы определить наиболее типичные ошибки, возникающие при решении задач по теории вероятностей. Анализ письменных работ учащихся показал, что ими были допущены следующие основные типы ошибок:

1. Задания выполнены неверно вследствие незнания теории.

2. Задания выполнены по содержанию правильно, но в вычислениях допущены арифметические ошибки.

3. Задания не выполнены, но в некоторых задачах присутствуют отдельные верные шаги решения.

Возникающие вычислительные ошибки, в определенном смысле, являются наименьшей из проблем, так как они не зависят от понимания алгоритма решения вероятностной задачи. Но при сдаче ОГЭ такие ошибки превращаются в самую серьезную проблему. Отсутствие вычислительной культуры при правильной последовательности шагов решение не позволяет дать правильный ответ на вопрос задачи, а следовательно получить высокий результат на экзамене.

Во многих случаях основное затруднение учащихся при решении задач по теории вероятностей заключается в том, что они не могут полностью осознать и воспринять математическую модель задачи. Стохастические задачи отличаются достаточным их разнообразием, что осложняет выбор конкретной модели. Они сохраняют определенную новизну и создают трудности не только для учеников, но и для учителей.

В таких условиях представляется значимым выделение основных моделей, которые можно считать базовыми. В результате возникает возможность формирования системы так называемых ключевых задач, в которых реализуются наиболее значимые алгоритмы их решения. За счет элементарных преобразований данных моделей можно их использовать для решения сходных заданий.

Под ключевой задачей будем понимать задачу, реализующую базовые алгоритмы действий, на основе которых можно решить целую группу сходных задач. В качестве примера рассмотрим задачу на формулу повторных независимых испытаний [3]. На некотором поле повреждены гербицидами 15 % растений мяты рассадной посадки. Найти наивероятнейшее число поврежденных гербицидами растений мяты среди 20 растений, отобранных с этого поля случайным образом и соответствующую вероятность. При решении данной задачи можно выделить следующие этапы (табл. 1).

Таблица 1.

Решение ключевой задачи по теме повторение опытов

Модель, рассмотренная в данной задаче, является не самой простой. Тем не менее задачи подобного типа, предлагают при подготовке к ОГЭ по математике. Приведем пример такой задачи [4]. Стрелок совершает 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна 0,7. Найти вероятность того, что стрелок попадёт 2 раза.

Если среди четырех выстрелов было 2 попадания, то оставшиеся 2 выстрела будут являться промахами. Обозначим вероятность попадания , тогда вероятность промаха . По формуле Бернулли получаем .

При этом не имеет существенного значения содержательная формулировка ключевой задачи, так как более важным является демонстрация алгоритма ее решения.

Выделение ключевых задач позволяет систематизировать и упорядочить материал для работы с учащимися, а также создает возможности для более осознанного и глубокого понимания теории вероятностей и формирования навыков решения задач.