Конструирование задач на движение на математическом кружке

В связи с новыми требованиями к результатам обучения в средней школе необходимо углубить формирование прочных и осознанных знаний, развить творческий потенциал ребёнка. В методике преподавания математики текстовая задача и работа над её решением оказывает заметное воздействие на интеллектуальное развитие ученика. По умению ученика решать задачи и проверяется его уровень знания предмета. Поэтому отдадим предпочтение не количеству автоматически решённых задач по шаблону, а более глубокому анализу решаемых задач. Каким же образом можно заинтересовать учащихся в работе с текстовыми задачами, повысив при этом его предметную грамотность? Существуют различные приёмы такой работы. 

Я предлагаю рассмотреть один из мало изученных приёмов, а именно: конструирование задач учениками. Исследовательская деятельность подростков находится на максимуме и необходимо использовать этот аспект для повышения качества обучения, привития интереса к математике, обучению в целом. В процессе решения и конструирования задач у учащихся происходит формирование навыка моделирования реальных объектов и взаимосвязанных явлений. В самостоятельном конструировании задач обучаемый имеет возможность на развитие творческого подхода к решению задач, более глубокого понимания данных задач, к тому же попутно он повышает грамотность и культуру речи. Такую работу уместно выполнять и группой учеников, что повышает уровень адаптации учащихся для работы в коллективе. «Основное математическое и дополнительное математическое образование не должны существовать друг без друга» [1]. Включив в программу дополнительного обучения работу над конструированием задач, учитель автоматически повысит уровень осознанности, прочности знаний и предметной заинтересованности учащихся. 

Что же понимать под словом «задача»? Задача в широком понимании данного понятия – это система, компонентами которой являются сам предмет задачи и необходимая модель состояния предмета задачи [2]. 

Возможны различные виды заданий на конструирование задач: 

• на установление аналогичных задач; 
• по математической модели; 
• на отыскание, составление подзадач; 
• на дополнение данных по неполной ситуации; 
• с другими численными данными; 
• по схеме условия в общем виде; 
• на отыскание, составление обратных задач; 
• на отбор данных по избыточной ситуации; 
• на постановку вопроса к условию; 
• по схеме-решения в общем виде;

Под составлением (конструированием) задачи я понимаю не простую репродукцию задачи из учебника с заменой данных, а самостоятельную постановку и решение проблемы учащимися. Но самостоятельное, творческое конструирование задач достигается постепенным овладением данным процессом. Необходимы знания о задачах, тренировка в их постановке, конструировании. Для этого необходима отработка специальных заданий.

Итак, если в процессе обучения математике учащиеся регулярно составляют задачи, то это способствует повышения их умения вести поиск решений задач, развитие интереса к математике 

Выделим для рассмотрения в данной статье из основных групп задач, изучаемых в школе в 5 классе, задачи на движение. 

Успех в решении задач данной группы зависит от знания основной формулы, а именно вычисления пути (S) через скорость (V) и время (t): 

S=V*t 

Используя данную формулу и знания, полученные ранее на уроках математики, учащиеся легко выведут формулы для нахождения времени (t) через путь (S) и скорость (V) или скорости (V) через путь (S) и время (t) 

t=S:V V=S:t 

Причём, при каждом решении задач на движение, Я предлагаю, чтобы ребята записывали основную формулу и выводили бы из неё необходимую формулу для данной задачи, тем самым, доводя знание формул до автоматизма. 

Разберём конкретный вид задач на движение, а именно задачи на движение на воде. Усложним условие тем, что движение происходит на движущейся воде, т. е. реке.

 Имеет смысл данную тему разбить на два занятия или на две части. Первая – посвящена движению одного объекта строго по течению или против него, т. е рассмотрим базовые подзадачи для второй части, а вторая –движению объекта и по течению и против него в одной задаче.

Первая часть.

1. По течению

Тогда возможны два (2) варианта:

1) когда скорость течения и есть скорость передвижения; 

2) когда скорость течения увеличивается тем или иным способом. 

1) Начнём конструирование задач для первого случая. Для иллюстрации такого движения Я использую произведение В. Бианки «Мышонок Пик». В нём замечательный мышонок Пик плыл по реке на кусочке коры и, естественно, передвигался со скоростью течения. Здесь полезно дать объяснение, что в математике часто используют понятие скорости плота, которое приравнивается скорости течения. Предлагая учащимся некоторые варианты передвижения муравей на листочке, бумажный кораблик и т. п. можно было бы перейти к составлению задач. Но, обычно, в этот момент возникает вопрос, а какова же скорость течения реки? Важно, что ребята уже встречались с такими задачами, но не обращали внимание на скорость рек!

Необходима некоторая заготовка по скоростям течения рек. Для расширения кругозора предлагаю «визитку» о некоторых известных реках России: 

Енисей – быстрая, порожистая река. Для него характерны большие скорости течения вследствие большого уклона русла реки. В верховьях реки они особенно значительны и в летнее время составляют 7 км/ч. 

Средняя скорость течения равнинной реки Волги невысокая – от 2 до 6 км/час. 

Скорость течения Оби 3 км/ч.

Основываясь на полученной информации, учащиеся легко составляют задачи на нахождение пути, времени и скорости. Заодно, обогащая свои познания и об окружающей их природе. 

2) Усложняем задачу, добавляя собственную скорость плывущего по течению объекта.В начале изучения таких задач выясняем, что, когда плывём по течению, течение нам помогает плыть, поэтому мы к скорости объекта прибавляем скорость течения.

Формула для вычисления усложняется: 

S=(V₁+V₂)*t 

Легко конструируются и решаются задачи на нахождение пути или времени. А вот с нахождением одной из скоростей возникают трудности. Как раз на уроках математического кружка и появляется возможность попробовать вывести эти формулы. Такой вывод ещё полезен и тем, что в дальнейшем, на уроках физики учащиеся будут решать данные задачи именно этим способом. 

V₁= S: t - V₂; V₂ = S: t - V₁ 

Интересно, чтобы учащиеся на этот раз сконструировали задачи по математической модели. 

Например, 

130:2 – 68; 404:4-3 

Данная математическая модель также заставит учащихся задуматься над физическим смыслом полученных результатов и с интересом обратить внимание, что данные передвижения, возможно, осуществлялись на Енисее и Оби (или Волге?). 

С другой стороны, интересен алгебраический подход в решении данного типа задач, если необходимо найти одну из скоростей. Умение решать задачу несколькими способами является одним из признаков хорошей подготовки школьников по математике. Обучение поискам нескольких способов решения задачи – это одна из форм учебной работы по развитию математического мышления школьников, их общего развития.

Вспоминаем, что задачи на составление уравнений можно решать по схеме:

1. Анализ и краткая запись условия задачи. Построение чертежа, если он необходим.

2. Выявление оснований для составления уравнения.

3. Составление уравнения.

4. Решение уравнения.

5. Исследования корней уравнения.

6. Запись ответа.

Тогда пробуем решить любую из составленных задач уравнением, вводя под переменной (х) неизвестную скорость. А, затем, опять тренируемся в составлении (конструировании) задач, но уже по данному уравнению. 

Например, 

(х+3)*3=156 

Можно рассмотреть с учащимися и равносильное уравнение, его физический смысл:

3*х+9=156

1. Переход к задачам против течения не составит труда, т. к. математически в данном случае меняется только знак перед скоростью течения (на отрицательный). Выясняем, что, когда плывём против течения, течение нам мешает плыть, поэтому мы из скорости объекта вычитаем скорость течения.

Тогда формула для нахождения пути будет выглядеть следующим образом: S=(V₁-V₂)*t  

Напомню, что краткая запись всех задач оформляется, как, обычно, в таблицу 1: 

Таблица 1

На этом этапе все «подводные камни» разобраны и учащиеся готовы к работе в группах. Группы составляют задачи, обмениваются ими и решают. После чего обсуждаются плюсы и минусы составленных задач, выбираются лучшие. 

Выводы, которые учащиеся делают при решении задач на движение по реке одного объекта:

Скорость объекта по течению равна сумме собственной скорости и скорости течения реки.

Скорость объекта против течения равна разности собственной скорости и скорости течения реки.

Собственная скорость плота равна скорости течения реки. 

Вторая часть.

Когда разобраны случаи движения по течению и против течения, как базовые, можно усложнять задачи. Теперь в задаче возможно несколько вариантов движения одного объекта как по течению, так и против него. Тогда используется следующий вид таблицы 2:

Таблица 2 

В 5 классе ученики только начинают овладевать алгебраическим способом решения задач. Поэтому для данного (комплексного) вида задач, когда присутствует и движение по течению и движение против него предлагаю сначала решить задачу на угадывание необходимого уравнения для задачи, заданной табличной формой. Дальнейшего решения данного уравнения и его разбор по частям, т. е. ученики должны хорошо видеть связь между формулами на движение и компонентами уравнения. И только затем переходить к конструированию (составлению) задач.

Задача. Катер за 2 ч прошёл 40 км по течению реки и 22 км обратно, затратив на обратный путь 1 ч. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите скорость катера в пути.

Таблица 3 

Пусть х км/ч – собственная скорость катера. Какое из уравнений соответствует условию задачи.

1) 2*(х+2)=40

2) 2*(х-2)+1*(х+2)=62

3) 1*(х-2)=22

4) 2*(х-2)+х+2=62

Решение:

Обращаю внимание, что в данной задаче дополнительно мы можем обратить внимание на равносильность 2) и 4) уравнений. Предпочтительнее 4). Его и решаем.

После данного разбора, ученики могут сначала составить аналогичную задачу и решить её с помощью уравнения, затем можно предложить конструирование задачи по уравнению. Например,

(5+х)*4+(5-х)*3=32

Для завершения работы по изучению задач на движение предлагается учащимся для решения «необычные» задачи на движение по воде: 

1*. Пароход шёл от Нижнего Новгорода до Астрахани 5 суток, а обратно 
7 суток. Сколько времени плывут плоты от Нижнего Новгорода до Астрахани? [3] 

2*. Два пловца одновременно прыгнули с плота и поплыли в разные стороны: один – по течению, второй – против течения реки. Через 5 минут они одновременно повернули и поплыли обратно. Какой из пловцов доплывёт до плота быстрее? [4]

Итак, обе части занятия математического кружка по конструированию задач подходят к концу. Предлагаю, заканчивать данное занятие составлением учащимися собственной рабочей тетради с их собственными сконструированными задачами на движение по воде. Эту работу можно предложить выполнить в качестве домашнего задания, с использованием ПК, возможно, украсив буклет иллюстрациями.

От понимания физического смысла данных, которые учащиеся использовали для конструирования собственных текстовых задач на движение по воде, от понимания базовых моделей, на которых основаны более сложные задачи на движение зависит дальнейшее развитие умения учащихся решать задачи данного типа. И при чётком понимании физических основ задач на движение навык в решении приходит легко, а задачи воспринимаются с удовольствием. 

В статье определена роль решения задачи в обучении и воспитании учащихся в средней общеобразовательной школе. Методика конструирования задач оказывает весьма положительное влияние на умственное развитие школьников, поскольку она требует выполнения различных умственных операций [5]. Решение задач развивает мышление. Мало того, именно решение задач способствует воспитанию терпения, настойчивости, воли, способствует пробуждению интереса к самому процессу поиска решения, даёт возможность испытать глубокое удовлетворение, связанное с удачным решением.

В результате изученной темы было выяснено, что существует множество различных задач. Естественно, все их виды рассмотреть невозможно. Также мы научились правильно анализировать условия задачи и решать их разными методами (путём составления уравнений, путём составления таблиц и т. д.) и разными способами: алгебраическим и арифметическим. Арифметические способы решения текстовых задач имеют большой развивающий потенциал. Но в данной статье предпочтение отдаётся алгебраическому способу.