Первый замечательный предел

Я благодарен главному редактору журнала П.М.Гореву за рекомендацию доклада к публикации.
Представляю несколько положений, не вошедших в доклад.
1. В доказательстве теоремы аналитическим методом отсутствует важный силлогизм, без которого возникает ощущение «порочного круга»:
«Для доказательства воспользуемся геометрическим смыслом производной: значение производной функции y=f(x) в точке x равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции через эту точку x, т.е. k=f^ʹ (x).
Имеем, δ(x)=A(x)= cos (x+ x)/2= cos 2x/2= cosx; δ(x)=cosx.
При x=0, δ(0)=cos0=1. Прямая y=kx проходит через начало координат: y=x; k=1. Если y=x касательная, то cos0=1 и 1=f^ʹ (0); откуда 〖δ(0)=cos0=1=f〗^ʹ (0); 〖δ(0)=f〗^ʹ (0).»
2. Видим что, кроме критических точек, f^ʹ (x) отличается от δ(x) на множитель 2sin((x_2 - x_1)/2)/(x_2-x_1 ). Величины 2sin((x_2 - x_1)/2) и 〖 x〗_2-x_1, являясь бесконечно малыми, не являются эквивалентными: 2sin((x_2 - x_1)/2) ≈ 〖 x〗_2-x_1 (≈- отношение приближенного равенства). При ∆x→0, 2sin((x_2 - x_1)/2)/(x_2-x_1 )→1.
В промежутках монотонности функции f^ʹ (x) и δ(x) имеют одинаковые знаки: положительные, если функция возрастает и отрицательные, если функция убывает. Если при этом в промежутке монотонности график функции меняет характер выпуклости, то имеем точку перегиба, в которой 〖δ(x)=f〗^ʹ (x).
В точках экстремума функция обобщения и производная функция равны 0: 〖δ(x)=f〗^ʹ (x)=0 и, переходя через них, функция f(x)=sinx меняют характер монотонности.
3. Для алгебраических функций, как показано в докладе, функция обобщения и производная функция совпадают на всей области определения: 〖δ(x)=f〗^ʹ (x).
Для трансцендентных функций, функция обобщения δ(x) является тем пределом, который получается при нахождении производной f^ʹ (x). На самом деле будет справедливой формула: 〖lim〗┬(∆x→0)⁡〖f^ʹ (x)=δ(x).〗
Проблема заключается в том, что на практике, для произвольных функций заданных аналитически, сложно представить ∆(x_1;x_2 )=f(x_2 )-f(x_1 ) в виде произведения; выделить множитель A(x_1;x_2 ).
Для основных элементарных функций, которые изучаются в школе такое представление является доступным и полезным, т.к. способствует совершенствованию умений учащихся в выполнении тождественных преобразований выражений.
4. ПРОГРАММА
факультативного курса «Исследование функций на монотонность»
Обоснование
Введение метода обобщения в программу школьного курса математики было бы полезно по следующим причинам:
Метод обобщения расширяет возможности более полного изучения свойств функций на раннем этапе обучения, уже в основной школе.
Оказывается возможным в полной мере реализовать схему исследования функций до изучения производной. Появляется возможность находить промежутки монотонности функции по определению.
В процессе изучения темы естественно повторяются и закрепляются умения учащихся выполнять тождественные преобразования выражений соответствующих исследуемой функции, заданной аналитически, и соответственно решать уравнения и неравенства.
Удовлетворяется запрос ВУЗов об исключении из школьной программы элементов математического анализа, которые в урезанной форме повторяют вузовский курс. Элегантно устраняется теория пределов на данном этапе обучения.
При нахождении промежутков монотонности методом обобщения осуществляется эффективная пропедевтика понятия производной функции.
Осуществляется серьезная пропедевтика решения задач с параметрами при исследовании функций в общем виде.
Появляется возможность изучения в школе свойства выпуклости графика функции.
Наряду с исследованием предполагается построение и чтение графиков функций.
И, наконец, учебный материал темы в полной мере соответствует требованиям развивающего обучения.
Вспомним историю введения элементов математического анализа в содержание школьного курса математики. Главным аргументом в пользу этого введения ставилась необходимость исследования функций на монотонность. Практика показала, что те отрывочные знания элементов математического анализа не помогают, а скорее мешают изучению высшей математики в вузе. Об этом свидетельствуют многие статьи из журнала «Математика в школе».» Многие преподаватели категорически выступали за исключение элементов анализа из школьного курса математики.
Ведение в школьный курс математики метода обобщения избавляет школьников от изучения теории пределов. Зато в вузе появляется возможность легко оттолкнуться от функции обобщения, отметив, что это производная, но ее практически невозможно получить для функций, которые будут изучаться в курсе математического анализа. Появляется мотивация и изучение «с чистого листа» теории пределов и т.д.; довольно сложного учебного материала, но готовыми для этой работы студентами.
Основная школа
1. Различные определения монотонности функции на промежутке.
2. Разность ∆(x_1;x_2 )=f(x_2 )-f(x_1 ) и ее представление в виде произведения.
3. Промежутки знакопостоянства ∆(x_1;x_2 ), функция обобщения δ(x).
4. Алгоритм исследования функций на монотонность методом обобщения.
5. Примеры исследования основных алгебраических функций на монотонность методом обобщения.
Средняя школа
6. Определение понятия производной.
7. Доказательство f^ʹ (x)=δ(x) для алгебраических функций.
8. Алгоритм исследования алгебраических функций на монотонность с помощью производной.
9. Примеры исследования основных алгебраических функций на монотонность с помощью производной.
10. Монотонность тригонометрических функций. Первый замечательный предел.
Примечание. При обобщении, переходе от A(x_1;x_2 ) к δ(x), можно провести следующее рассуждение: «Мы находим промежутки монотонности, а значит x_1 и 〖 x〗_2 должны находиться в одном из них и ни при каких условиях не попадать в разные промежутки. Для того, чтобы это обеспечить наверняка сделаем их равными и обозначим через x: x_1=〖 x〗_2=x. Такую замену называют обобщением, а функцию δ(x) функцией обобщения».
Список литературы по теме
Дворянинов С.В., Розов Н.Х. Некоторые замечания об изучении функций в школе // Математика в школе. – 1994. – №5.
Гилев В.Г. Об одном методе нахождения промежутков монотонности рациональных функций // Математика в школе. – 1996. – №2.
Гилев В.Г. Исследование рациональных функций на монотонность и экстремумы. – 2011. – 90 с.: ил. (Серия “Математика: элективный курс”).
Гилев В.Г. Исследование алгебраических функций без использования производной. – 2012. – 162 с.: ил. (Серия “Математика: элективный курс”).
Гилев В. Г. Методика исследования элементарных функций на монотонность и выпуклость графика методом обобщения // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2015. – № 4 (апрель). – С. 66–70.
Гилев В. Г. Об открытии метода обобщения при исследовании функций на монотонность и выпуклость графика // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2015. – Т. 6. – С. 51–55.
2. Гилев В. Г. Исследование функций с использованием метода обобщения. – LAP LАMBERT Academic Publishing, 2015. – 267 с.
Гилев В. Г. Исследование функций на монотонность // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2016. – № 7 (июль). – С. 95–104.
Гилев В. Г. Методика исследования функций на выпуклость графика // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2016. – № 8 (август).

Гилев В.Г.
Поправка. В предыдущем выступлении в предложении «Я доказал первый замечательный предел с использованием теоремы обобщения σ(х)» следует читать «…с использованием функции обобщения …».
Благодарю Д. Шармина за отзыв о моей работе.
Уважаемые коллеги, предлагаю на Ваше рассмотрение следующий вариант доказательства первого замечательного предела.
Лемма. Для любого х из области определения функции f(х): f̍ ̍(х) = δ(х).
Замечание.
а) Для рациональных функций f ̍(х) = δ(х) по определению.
б) Для трансцендентных функций f ̍(х) = δ(х) = k в точках касания. По сути, f ̍(х) это предел отношения, а δ(х) – значение этого предела.
Теорема 1. limB(x)/x = 1 при х → 0.
Доказательство. Пусть х0 – точка касания к графику функции f(х), х – текущая координата графика. Имеем, х1 = х0 = 0, х2 = х, Δх = х.
При Δх = х → 0, получаем:
lim Δу)/Δx = f ̍(0) = k;
lim Δу)/Δx = limB(x)/x· δ(0) = k;
f ̍(0) = δ(0) = k, где k – угловой коэффициент касательной.
Видим, что limB(x)/x = 1 при х → 0.
Теорема 2. limsin(x)/x = 1 при х → 0.
Доказательство следует из теоремы 1.
Замечание. В качестве исходной функции можно взять sin2x, а еще лучше tgx. В этих случаях сразу получается отношение sin(x)/x.

Заключительное слово автора доклада
В очередной раз выражаю благодарность журналу «Концепт» за предоставленную возможность продвижения идеи, выражающейся в использовании метода обобщения при исследовании функций в школьном курсе математики. К сожалению, в очередной раз активность исходила в основном от меня. Единственный отзыв от Д. Шармина, за что я ему очень благодарен. Справедливости ради отмечу, что на мою почту несколько откликов пришло от бывших коллег, бывших моих студентов, которые работают учителями и даже настоящих студентов (одно письмо).
Преподаватели пишут: «Установки жесткие: никаких "пустых" конференций и малоизвестных журналов. Концепт под запретом. Пишем только в солидные Вестники и журналы, входящие в базы данных Scopus и WoS».
У учителей тоже проблемы: «Наша работа сводится к тому, чтобы успеть выдать программу наряду с постоянным натаскиванием на сдачу ЕГЭ под пристальным вниманием УО, чтоб, не дай бог, школа не подорвала показатели района по сдаче ЕГЭ».
Есть и обнадеживающие моменты.
Из письма преподавателя вуза: «По статьям об исследовании функции на монотонность и об исследовании графика функции на выпуклость на следующей неделе студенты будут делать доклады на методике обучения математике. Мы сейчас с ними как раз изучаем методику обучения алгебре в основной школе».
Письмо от студентки 3 курса Вятского государственного университета города Кирова: «В процессе получения новых знаний я столкнулась с вашей статьёй "Исследование функции на монотонность". В процессе изучения я поняла, что не всегда метод обобщения у меня получается применить. Помогите мне, пожалуйста, разобраться с функцией f(x)= ln x. По Вашему методу можно действовать так:
f(x_2)-f(x_1 )=lnx_2-lnx_1= lnx_1∙ ((lnx_2)/(lnx_1 ) - 1), где lnx_1 это А, а (lnx_2)/(lnx_1 ) – 1 это В.
Что делать дальше?
Мой ответ:
Без второго замечательного предела задача не решается. Опасаясь поставить Вас в затруднительное положение, высылаю решение.
Для Вашего случая будем иметь:
∆y=f(x_2)-f(x_1 )=lnx_2-lnx_1= ln(x_1+∆x)-lnx_1=ln (x_1+∆x)/x_1 =ln(1+∆x/x_1 ) =
= ∆x/x_1 ∙x_1/∆x ln(1+∆x/x_1 )=∆x/x_1 ∙〖ln(1+∆x/x_1 )〗^(x_1/∆x)= 1/x_1 ∆x∙〖ln(1+∆x/x_1 )〗^(x_1/∆x) = 1/x_1 ∙∆x∙〖ln(1+∆x/x_1 )〗^(x_1/∆x) =
= B(x_1;x_2 )∙A(x_1;x_2 ), где B(x_1;x_2 )=∆x, A(x_1;x_2 )=1/x_1 ∙〖ln(1+∆x/x_1 )〗^(x_1/∆x)=1/x_1 ∙lne=1/x_1 .
A(x_1;x_2 )=1/x_1 .
Имеем, δ(x)=A(x)=1/x.
Кстати, если возможно, анонсирую следующую статью «Методика введения элементов математического анализа на основе метода обобщения», в которой на наглядно интуитивном уровне вводятся основные понятия математического анализа. С использованием функции обобщения вводится понятие эквивалентных величин, доказываются первый и второй замечательные пределы. Приводятся примеры нахождения производных элементарных основных функций без использования теории пределов.
Еще раз благодарность сотрудникам журнала «Концепт». Спасибо за доступность, в отличие от журналов ВАКа, для авторов и пользователей. Успехов Вам в благородном деле!
С уважением В.Гилев.