Целесообразность создания и активного использования микроструктурных средств в процессе изучения первого раздела стереометрии
ART 86152
Авторы:
С.
В. Лознева, М.
Г. Макарченко
С.
В. Лознева, М.
Г. Макарченко Библиографическое описание статьи для цитирования:
Лознева
С.
В.,
Макарченко
М.
Г. Целесообразность создания и активного использования микроструктурных средств в процессе изучения первого раздела стереометрии // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2016. – Т. 11. – С.
701–705. – URL:
http://e-koncept.ru/2016/86152.htm.
Аннотация. В статье рассмотрены четыре этапа, образующие деятельность по решению задач, элементарные шаги для исследования микроструктуры ДРЗ, некоторые микроструктурные средства решения задач первого раздела стереометрии и показана целесообразность их создания и активного использования на уроках математики.
Ключевые слова:
решение задач, стереометрия, микроструктура решения задач, деятельность по решению задач
Текст статьи
Макарченко Михаил Геннадиевич,Доктор педагогических наук, профессор.ТИ имени А.П. Чехова (филиал) ФГБОУВО «Ростовский государственный экономический университет (РИНХ)» г. Таганрог.mmacarchenko@mail.ru
ЛозневаСветлана Викторовна,Магистрант (педагогическое образование) факультета физики, математики, информатики. ТИ имени А.П. Чехова (филиал) ФГБОУВО «Ростовский государственный экономический университет (РИНХ)» г. Таганрог.loznevasvetlana@mail.ru
Целесообразность создания и активного использования микроструктурных средствв процессе изучения первого раздела стереометрии
Аннотация. В статье рассмотрены: четыре этапа образующие деятельность по решению задач, элементарные шагидля исследования микроструктуры деятельности по решению задач, некоторые микроструктурные средства решения задач первого раздела стереометрии и показана целесообразность их создания и активного использования на уроках математики.Ключевыеслова:стереометрия, решение задач, микроструктура решения задач,этапы, группы,деятельность по решению задач.
В школьном курсе стереометрии первым разделом является«взаимное расположение прямых, прямых и плоскостей в пространстве». От того насколько качественно он будет изучен зависит усвоениевсего последующего материала. А как показывают практика и анализ методической литературы учащиеся плохо владеют стереометрическим материалом. Анализ ЕГЭ показывает следующие результаты[6]:в среднем 20% выпускниковдаже не приступаютк решению стереометрических задач, 51% выпускников, пытающихся решить геометрическую задачу, допускают традиционные ошибки, в основе которых лежат незнание стереометрического материала и неумение проводить логические рассуждения.Чтобы понять причины неумения учащимися самостоятельно решать сложные задачи, представьте себе, что нужно научить учащихся изготовлению мебели или шитью платья. Неужели обучение начнем с того, что предложим им изготовить табуретку или какоето платье? Нет, сначала учат разбираться в материалах, которые используются для мебели или платья. Затем учащихся обучают выполнениюотдельных элементарных операций разными инструментами. И только после этого предлагают ученикам изготовить ту самую табуретку. Иными словами, для того чтобы человек сознательно овладел каким либо сложным делом, ему нужно дать необходимые знания об объектах, с которыми ему придется иметь дело, научить отдельным действиям и операциям, из которых состоит его будущая работа, обучить основным методам этой работы. А ведь решение задач –это ещё более сложная деятельность, чем изготовление мебели или каких –либо других предметов (в умственном плане). Мы хотим, чтобы учащиеся научились решать самостоятельно (а не по подражанию) сложные задачи, но не даём им никаких знаний о задачах и их решении, не вырабатываем у них нужных для этого элементарных умений и навыков[3, с. 117]. В связи с этим возникает вопрос:«каким образом учителю необходимо организовыватьдеятельность по решению задач и доказательству теорем по стереометрии, чтобы изменить создавшееся положение?».Для этого целесообразно ввести понятие «микроструктуры деятельности по решению задач». Что это такое?Мы будем в этой статье понимать под микроструктуройдеятельности особенности изучаемого материала, то есть те умения, которыми должен обладать ученик для понимания и использования теоретического материала.Особенно большую роль играют задачи в обучении[4, с. 3]. Решение задач в обучении выступает как цель, и как средство обучения. Вот почему проблема задач является одной из основных для дидактики, педагогической психологии и частных методик. Сейчас, когда в педагогической теории и практике широко обсуждаются вопросы интенсификации умственного развития учащихся, эта проблема приобретает особую остроту и актуальность.Как сделать обучение максимально развивающим мышление, все познавательные способности учащихся, как научить их мыслить. Для этого будем использовать микроструктурудеятельности по решению задач.Что бы понять, что такое микроструктура деятельности по решению задач, разберём, что означает термин «решение задач». Термин «решение задач» в научной и учебнопедагогической деятельности (литературе) применяется в трёх смыслах[4, с.62]: 1) решение задач как ПЛАН (способ, метод) осуществления требований задачи. В этом случае« У этой задачи есть несколько решений» (Я нашёл очень интересное решение). 2) решение как ПРОЦЕСС выполнения решения; решение задачи как процесс осуществления требования задачи, какпроцесс выполнения плана решения; (я затратил на решение этой задачи более двух часов).В этом случае «При решении этой задачи я использовал нестандартные примеры»; 3) решение задачи как РЕЗУЛЬТАТ выполнения плана решения. Вэтом случае говорят « У этого уравнения одно решение». (Мы нашли два решения системы уравнения).В тех случаях, когда мы будем иметь в виду всё,то общее, что объединяет все эти три указанных понятия –три аспекта решения задачи, будем пользоваться термином деятельность. Следовательно, деятельность по решению задач –это и составления плана решения и процесс осуществления плана решения, и результат решения.При этом мы имеем в виду деятельность человека при решении задач, а не работу машины, которая тоже может решать некоторые задачи. И так пусть человек получает для решения задачу. Изучим, какова же должна быть его деятельность по решению задачи(то есть макроструктура ДРЗ). Первый этапДРЗ –это этап анализа задачи. Он состоит из нескольких частей задачи: а) установление предметной области, при этом выявляется характер каждого её элемента; б) выявление отношений, которыми связаны элементы предметной области задачи, и их характера. в) определение оператора и требования задачи–опознание задачи.Второй этапДРЗ –это этап составления плана решения, завершения поиска идеи. Выбор искомых величин, попытки подвести задачу под известный тип, выбор наиболее приемлемого метода решения. Выбор стратегии и поиск плана, апробация и т.д.Третий этап ДРЗ–это этап осуществления плана решения. На этом этапе проводится практическая реализация плана решения во всех его деталях с одновременной корректировкой через соотнесение с условием и выбранным базисом, выбор способа оформления решения и само оформление решения, запись результата.Четвёртый этап ДРЗ –это этап обсуждения (анализа) процесса решения.В ходе этого этапа фиксируется конечный результат решения, анализ результата, выявление существенного, систематизаций новых знаний, опыта.Попробуем представитьдля васмикроструктуру ДРЗ.Более важно выявить, те элементарные шаги (в смысле нерасчленимые) из которых состоят эти этапы деятельности, а для этого надо провести микроанализ (микроподход). Под такими шагамиподразумевают мыслительные шаги, их подразделяют на 2 типа: а) шаги, реализация которых, представляет собой достоверный вывод. б) шаги, реализация которых, представляет собой лишь правдоподобный (негарантированно достоверный) вывод.Изучение структуры, характеристики, классификации этих элементарных шагов является основным звеном в исследовании микроструктуры ДРЗ. Л. М. Фридман предлагает сделать это следующим образом: а) Группа тождественно –истинных высказываний(теория Т). Это или даётся в условиях задачи, или имеется у решателя в виде системы знаний. б) Группа истинных высказываний (группа Д),те случаи, которые заданы в задаче.
в) Группа правил логических преобразований высказываний и образования сложных высказываний (правил, вывода) (группа П).
г) Группа особых специальных преобразований и действий по решению задач, которые исторически выработаны коллективным многовековым опытом людей в процессе решения задач (группа С).Уделимнемного внимания элементам группы Т и Д. В группу Т входит составнаячасть задачи, которую принято называть предметной областью (класс фиксированных объектов, о которых идёт речь в задаче).Также важнуюроль имеютотношения, которые связывают объекты предметной области.Требования задачи будут ещё одной составной частью задачи(немаловажно указание о цели решения задачи). И заключающей частью будет являться оператор задачи (совокупность тех действий, которые надо произвести над условиями задачи, чтобы выполнить её требование).Если в некоторой рассмотренной области знаний выделить совокупность некоторых высказыванийвместе с правилами вывода из них других истинных высказываний называют теорией в данной области знаний.
Для группы Д характерно установление структуры задачи для этого требуется переформулировать задачу так, чтобы определить все её основные части и отношения между ними и второстепенное (не влияющее на структуру задачи) вычеркнуть. Шагом к такому преобразованию будет построение высказывательной модели.На основе обобщённых высказывательных моделей задач можно построить символические структурные модели. Поскольку всякая задача состоит из условия, требования и оператора, то её структуру можно представить в виде следующей схемы: Условие ӏ?ӏ→оператор→требование,Здесь ӏ?ӏ→есть знак оператора задачи.Записав все элементы схемы символически, пользуясь общеизвестными и вводимыми обозначениями, то мы получим структурную модель задачи.То есть группа Д –это и есть совокупность действий, которые нужно выполнить, чтобы получить преобразования.Давайте рассмотрим теперь элементы группы П: можно выделить две подгруппы. К первой подгруппе относятся все те общелогические правила вывода и преобразований, в результате которых из истинных высказываний получаются также истинные высказывания. Эти элементы группы П образуют подгруппу дедуктивных логических правил. Ко второй подгруппе общелогических правил преобразований высказываний относятся те, врезультате которых получаются вероятные высказывания. Эту подгруппу называют правдоподобных логических правил. В отличие от предшествующих элементов всех групп, элементы группы С весьма плохо определены и характер их изучен меньше всего.Характер элементов группы С отличается совершенно недостаточной определённостью. Рассмотрим подгруппы на которые делится группа С: подгруппа общих преобразований и действий по решению задач и из подгруппы частных преобразований и действий по решению отдельных видов задач.
Представленные группы микроструктурных средств по решению задач должны наполняться с учетом конкретного математического содержания « его специфики». Понимая под этим содержанием «первые разделы стереометрии», а под его спецификой –использование планиметрических средств возможно только после «перехода из пространства в плоскость», выделяем в группе С преобразования, которые обоснованно «описывают» этот «переход». Ниже приведён пример целесообразности введенияв предполагаемый образовательный процесс микроструктурного средства. Пример 1. В сборнике задач[2, с. 95]приведена задача: «81.6» (рис. 1.). Кратко приведём решение и обобщим его. Решение: Точка М∈АD, следовательно, М∈плоскости АDC. Аналогично, Н∈(АDC). Так как иМ, и Н принадлежат плоскости АDC, то «все точки прямой МН принадлежат этой плоскости также принадлежит и прямая АС. Прямые МН и АС не параллельны (так заданно рисунком, а значит, и условием задачи). Продлевая отрезки,получим точку S–как точку пересечения этих прямых.То есть, точка Sпринадлежит и прямой МН, и прямой АС. Прямая АС содержится в плоскости АВС. Значит, точка Sпринадлежит плоскости АВС. Итак, точка Sпринадлежит и прямой MH, и плоскости АВС. Следовательно, точка Sявляется точкой пересечения прямой МН и плоскости АВС. Значит, точка Sпринадлежит и плоскости АВС. Итак, точка Sпринадлежит и прямой МН и плоскости АВС. Следовательно, точка Sявляется точкой пересечения прямой МН и плоскости АВС.Обобщение. 1. Для того чтобы построить точку пересечения двух объектов, надо: а) доказать, что эта точка принадлежит одному из этих объектов; б) доказать, что эта точка принадлежит и другому объекту; в) сделать вывод,что эта точка является точкой пересечения этих объектов. 2. Чтобы доказать что некоторый объект можно построить надо: а) указать способ построения объекта; б) доказать, что построенный этим способом объект соответствует (удовлетворяет) заданнымтребованиям. 3. Чтобы доказать, что некоторая прямая принадлежит заданной плоскости достаточно доказать, что две различные точки этой прямой принадлежат этой плоскости. Эти обобщения, во –первых, «переводят»действия в пространстве в плоскость;во –вторых, этими обобщениями можно воспользоваться и при решении других задач –эти «правила» переносимы в другие ситуации; в –третьих, указанные обобщения можно рассматривать в качестве практической интерпретации известных теоретических(стереометрических) фактов; в –четвертых, обобщения можно считать моделями разных этапов решения данной задачи (моделью некоторого объекта (прототипа) называется такой естественный или искусственный объект, который в определённом отношении подобен прототипу (оригиналу), используемому в качестве заместителя прототипа, и изучение которого даёт новые знания о прототипе.[5, с. 54]). Эти выводы приводят к мысли о целесообразности сообщения этих обобщений ученикам, а, значит, обоснованно считать их микроструктурными средствами деятельности по решению стереометрических задач.Продемонстрируем действенность подобныхмикроструктурных средствна примере.Пример 2. Пусть требуется решить следующую задачу[2, с. 96 №82.5]: b∈�, b∥а, а∉�, через точку М плоскости �(М∉b) проведена прямаяc, c‖а. Докажите, что прямая cлежит в плоскости �.Для еёрешения можно воспользоваться следующими микроструктурными средствами. Чтобы доказать, что прямая имеющая одну общую точку с плоскостью, лежит в этой плоскости, надо: 1) показать, что эта прямая не пересекает данную плоскость; 2) сделать вывод о принадлежности этой прямой данной плоскости на основании взаимного расположения прямой и плоскости. Покажем,как может быть выполнен пункт 1. Чтобы доказать, что прямаяcне пересекает данную плоскость�, надо показать, что другая прямая а не принадлежащая этой плоскости и ‖ даннойпрямой не пересекает плоскость �. Действительно: пусть надо показать, что прямая c не пересекает данную плоскость �. Для этого надо показать, что другая прямая а, не принадлежит этой плоскости (см. условие) и данной прямой с(см. условие), не пересекаетплоскость �. 1) Если предположить, что прямая с пересекает плоскость �, то и‖ ей прямая а, тоже пересекает эту плоскость �, что не верно, т.к. прямая а‖плоскости �.2)Так как прямаяс имеет общую точку с плоскостью �и не пересекает её, то прямая симеет общую точку с плоскостью �и не пересекает её, то прямая спринадлежит плоскости �. Таким образом,пункт1из указанного микроструктурного средства
выполнен. Перейдём к пункту 2.1)Чтобы доказать, что некоторая прямая, имеющая общую точку с плоскостью принадлежит этой плоскости надо: доказать, что эта прямая не пересекает данную плоскость, и сделать вывод, что она лежит в плоскости. 2) Чтобы доказать, что прямая не пересекает эту плоскость надо: доказать, что другая прямая параллельная данной прямой неможетпересекатьэту плоскость.Таким образом пункт 2 из указанного микроструктурного средства выполнен. Это значит, что задача решена, и действенность указанного выше средства показана. Учитывая, какие теоретические факты содержатся в параграфе §1 [Параллельность прямых, прямой и плоскости], можно указать, например, следующие микроструктурные средства.Объединение. 1. Для того чтобы доказать, что один объект принадлежит другому объекту, надо: а) доказать, что точка принадлежит одному объекту; б) доказать, что точка принадлежит другому объекту; в) доказать, что другие точки тоже принадлежат этим объектам.2. Чтобы доказать, что объекты имеют различные общие точки–воспользуемсяметодом от противного, для этого: а) дадим опровержение принадлежностиодного объекта другому;б) сделаем вывод из нашего утверждения;в) выведем следствие из нашего утверждения (т.к. а‖с, то и а∩�);г) объясним, что полученный результат несоответствует условиям задачи; д) сделаем вывод, чтообъект принадлежит другому объекту. Это удовлетворяет условиям задачи. Сделаем вывод,что задача решена, единственно верным способом.При рассмотрении микроструктурыдеятельности по решению задач представленных в § 1 учебника Геометрии 1011[1, с. 9]и в сборнике задач[2, с. 95], получили ответ на вопрос, и выделили основные микроструктурные средства,которымидолженнаучиться владеть и успешно пользоваться ученик.Все микроструктурные средства: 1) Указать способ построения; 2) Доказать, что построенные этим способом объекты отвечают требованиям задачи.Микроструктурные средства: используемые в примере1; 1. Для того чтобы построить точку пересечения двух объектов, надо: а) доказать, что эта точка принадлежит одному из этих объектов; б) доказать, что эта точка принадлежит и другому объекту; в) сделать вывод, что эта точка является точкой пересечения этих объектов. 2. Чтобы доказать что некоторый объект можно построить надо: а) указать способ построения объекта; б) доказать, что построенный этим способом объект соответствует (удовлетворяет) заданным требованиям. 3. Чтобы доказать, что некоторая прямая принадлежит заданной плоскости достаточно доказать, что две различные точки этой прямой принадлежат этой плоскости. Микроструктурные средства: используемые в примере 2; 1. Для того чтобы доказать, что один объект принадлежит другому объекту, надо: а) доказать, что точка принадлежит одному объекту; б) доказать, что точка принадлежит другому объекту; в) доказать, что другие точки тоже принадлежат этим объектам. 2. Чтобы доказать, что объекты имеют различные общие точки –воспользуемся методом от противного, для этого: а) дадим опровержение принадлежности одного объекта другому; б) сделаем вывод из нашего утверждения; в) выведем следствие из нашего утверждения; г)объясним, что полученный результат не соответствует условиям задачи; д) сделаем вывод, чтообъект принадлежит другому объекту.Выводы. Не усвоение школьниками стереометрического материала, приводит к выводу об актуальности представлять решение задач болееразвёрнуто, либо же пошагово. «Пошаговость» представления решения задачи означает, что совокупность «шагов»представляетмикроструктуру деятельности по решению самой задачи. Этим уже объясняется целесообразностьвведения микроструктурных средств при решении задач. Первый раздел стереометрии является базисным для дальнейшего изучения пространственныхфигур или других стереометрических объектов.Стереометрическими объектами первого раздела являются точки, прямые и плоскости. На примере этих объектов проще разобрать и понять, что будут представлять: группа тождественно –истинных высказываний (теория Т),группа истинных высказываний (группа Д), группа правил логических преобразований высказываний и образования сложных высказываний (правил, вывода) (группа П),группа особых специальных преобразований и действий по решению задач, которые исторически выработаны коллективным многовековым опытом людей в процессе решения задач (группа С).
Решив две задачи первого раздела стереометриис использованием микроструктурных средствгруппы С, было показано, вопервых, решение задачи упорядочено последовательностью операций, представленных в описании микроструктурного средства, а, значит, организация процесса решения упорядочена и целостна, вовторых, решение, а точнее его способ или основная мысль, переносимы в другие ситуации.Эти рассуждения приводят к мысли о целесообразности создания и активного использования микроструктурных средств при решении других задач сборника, выделив подобные задачи в группы задач.
Ссылки на источники1.Геометрия: Учеб. Для 1011 кл. общеоразоват. Учреждений/ Л.С. Атанясян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. –6е изд. –М.: Просвещение, 1998. –207 с.: ил. –ISBN5090083940.2.Зив Б.Г. и др. Задачи по геометрии для 711 классов/ Б.Г. Зив. В.М. Мейлер, А.Г. Баханский. –М.: Просвещение, 1991. –171 с.: ил. –(Бка учителя математики). –ISBN5090028508. 3.Фридман Лев Моисеевич Теоретические основы методики обучения математике: Учебное пособие. Изд. 2е, испр. и доп. –М.: ЕдиториалУРСС, 2005. –248 с. (Психология, педагогика, технология обучения.)
ISBN 53540088324.Фридман Л.М. Логикопсихологический анализ школьных учебных задач. М., «Педагогика», 1977. 208 с. с ил. Науч.исслед. инт общей и пед. психологии. (Акад. пед. наук РССС). 5.Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика. Учеб. пос. для учителя и студентов педвузов и колледжей. –М.: Школьная Пресса, 2002. –208 с. –(Библиотека журнала «Математика в школе», вып. 15). ISBN 5921900990
6.rcmo.ruРегиональный центр мониторинга в образовании. Статистика ЕГЭ 2014.
ЛозневаСветлана Викторовна,Магистрант (педагогическое образование) факультета физики, математики, информатики. ТИ имени А.П. Чехова (филиал) ФГБОУВО «Ростовский государственный экономический университет (РИНХ)» г. Таганрог.loznevasvetlana@mail.ru
Целесообразность создания и активного использования микроструктурных средствв процессе изучения первого раздела стереометрии
Аннотация. В статье рассмотрены: четыре этапа образующие деятельность по решению задач, элементарные шагидля исследования микроструктуры деятельности по решению задач, некоторые микроструктурные средства решения задач первого раздела стереометрии и показана целесообразность их создания и активного использования на уроках математики.Ключевыеслова:стереометрия, решение задач, микроструктура решения задач,этапы, группы,деятельность по решению задач.
В школьном курсе стереометрии первым разделом является«взаимное расположение прямых, прямых и плоскостей в пространстве». От того насколько качественно он будет изучен зависит усвоениевсего последующего материала. А как показывают практика и анализ методической литературы учащиеся плохо владеют стереометрическим материалом. Анализ ЕГЭ показывает следующие результаты[6]:в среднем 20% выпускниковдаже не приступаютк решению стереометрических задач, 51% выпускников, пытающихся решить геометрическую задачу, допускают традиционные ошибки, в основе которых лежат незнание стереометрического материала и неумение проводить логические рассуждения.Чтобы понять причины неумения учащимися самостоятельно решать сложные задачи, представьте себе, что нужно научить учащихся изготовлению мебели или шитью платья. Неужели обучение начнем с того, что предложим им изготовить табуретку или какоето платье? Нет, сначала учат разбираться в материалах, которые используются для мебели или платья. Затем учащихся обучают выполнениюотдельных элементарных операций разными инструментами. И только после этого предлагают ученикам изготовить ту самую табуретку. Иными словами, для того чтобы человек сознательно овладел каким либо сложным делом, ему нужно дать необходимые знания об объектах, с которыми ему придется иметь дело, научить отдельным действиям и операциям, из которых состоит его будущая работа, обучить основным методам этой работы. А ведь решение задач –это ещё более сложная деятельность, чем изготовление мебели или каких –либо других предметов (в умственном плане). Мы хотим, чтобы учащиеся научились решать самостоятельно (а не по подражанию) сложные задачи, но не даём им никаких знаний о задачах и их решении, не вырабатываем у них нужных для этого элементарных умений и навыков[3, с. 117]. В связи с этим возникает вопрос:«каким образом учителю необходимо организовыватьдеятельность по решению задач и доказательству теорем по стереометрии, чтобы изменить создавшееся положение?».Для этого целесообразно ввести понятие «микроструктуры деятельности по решению задач». Что это такое?Мы будем в этой статье понимать под микроструктуройдеятельности особенности изучаемого материала, то есть те умения, которыми должен обладать ученик для понимания и использования теоретического материала.Особенно большую роль играют задачи в обучении[4, с. 3]. Решение задач в обучении выступает как цель, и как средство обучения. Вот почему проблема задач является одной из основных для дидактики, педагогической психологии и частных методик. Сейчас, когда в педагогической теории и практике широко обсуждаются вопросы интенсификации умственного развития учащихся, эта проблема приобретает особую остроту и актуальность.Как сделать обучение максимально развивающим мышление, все познавательные способности учащихся, как научить их мыслить. Для этого будем использовать микроструктурудеятельности по решению задач.Что бы понять, что такое микроструктура деятельности по решению задач, разберём, что означает термин «решение задач». Термин «решение задач» в научной и учебнопедагогической деятельности (литературе) применяется в трёх смыслах[4, с.62]: 1) решение задач как ПЛАН (способ, метод) осуществления требований задачи. В этом случае« У этой задачи есть несколько решений» (Я нашёл очень интересное решение). 2) решение как ПРОЦЕСС выполнения решения; решение задачи как процесс осуществления требования задачи, какпроцесс выполнения плана решения; (я затратил на решение этой задачи более двух часов).В этом случае «При решении этой задачи я использовал нестандартные примеры»; 3) решение задачи как РЕЗУЛЬТАТ выполнения плана решения. Вэтом случае говорят « У этого уравнения одно решение». (Мы нашли два решения системы уравнения).В тех случаях, когда мы будем иметь в виду всё,то общее, что объединяет все эти три указанных понятия –три аспекта решения задачи, будем пользоваться термином деятельность. Следовательно, деятельность по решению задач –это и составления плана решения и процесс осуществления плана решения, и результат решения.При этом мы имеем в виду деятельность человека при решении задач, а не работу машины, которая тоже может решать некоторые задачи. И так пусть человек получает для решения задачу. Изучим, какова же должна быть его деятельность по решению задачи(то есть макроструктура ДРЗ). Первый этапДРЗ –это этап анализа задачи. Он состоит из нескольких частей задачи: а) установление предметной области, при этом выявляется характер каждого её элемента; б) выявление отношений, которыми связаны элементы предметной области задачи, и их характера. в) определение оператора и требования задачи–опознание задачи.Второй этапДРЗ –это этап составления плана решения, завершения поиска идеи. Выбор искомых величин, попытки подвести задачу под известный тип, выбор наиболее приемлемого метода решения. Выбор стратегии и поиск плана, апробация и т.д.Третий этап ДРЗ–это этап осуществления плана решения. На этом этапе проводится практическая реализация плана решения во всех его деталях с одновременной корректировкой через соотнесение с условием и выбранным базисом, выбор способа оформления решения и само оформление решения, запись результата.Четвёртый этап ДРЗ –это этап обсуждения (анализа) процесса решения.В ходе этого этапа фиксируется конечный результат решения, анализ результата, выявление существенного, систематизаций новых знаний, опыта.Попробуем представитьдля васмикроструктуру ДРЗ.Более важно выявить, те элементарные шаги (в смысле нерасчленимые) из которых состоят эти этапы деятельности, а для этого надо провести микроанализ (микроподход). Под такими шагамиподразумевают мыслительные шаги, их подразделяют на 2 типа: а) шаги, реализация которых, представляет собой достоверный вывод. б) шаги, реализация которых, представляет собой лишь правдоподобный (негарантированно достоверный) вывод.Изучение структуры, характеристики, классификации этих элементарных шагов является основным звеном в исследовании микроструктуры ДРЗ. Л. М. Фридман предлагает сделать это следующим образом: а) Группа тождественно –истинных высказываний(теория Т). Это или даётся в условиях задачи, или имеется у решателя в виде системы знаний. б) Группа истинных высказываний (группа Д),те случаи, которые заданы в задаче.
в) Группа правил логических преобразований высказываний и образования сложных высказываний (правил, вывода) (группа П).
г) Группа особых специальных преобразований и действий по решению задач, которые исторически выработаны коллективным многовековым опытом людей в процессе решения задач (группа С).Уделимнемного внимания элементам группы Т и Д. В группу Т входит составнаячасть задачи, которую принято называть предметной областью (класс фиксированных объектов, о которых идёт речь в задаче).Также важнуюроль имеютотношения, которые связывают объекты предметной области.Требования задачи будут ещё одной составной частью задачи(немаловажно указание о цели решения задачи). И заключающей частью будет являться оператор задачи (совокупность тех действий, которые надо произвести над условиями задачи, чтобы выполнить её требование).Если в некоторой рассмотренной области знаний выделить совокупность некоторых высказыванийвместе с правилами вывода из них других истинных высказываний называют теорией в данной области знаний.
Для группы Д характерно установление структуры задачи для этого требуется переформулировать задачу так, чтобы определить все её основные части и отношения между ними и второстепенное (не влияющее на структуру задачи) вычеркнуть. Шагом к такому преобразованию будет построение высказывательной модели.На основе обобщённых высказывательных моделей задач можно построить символические структурные модели. Поскольку всякая задача состоит из условия, требования и оператора, то её структуру можно представить в виде следующей схемы: Условие ӏ?ӏ→оператор→требование,Здесь ӏ?ӏ→есть знак оператора задачи.Записав все элементы схемы символически, пользуясь общеизвестными и вводимыми обозначениями, то мы получим структурную модель задачи.То есть группа Д –это и есть совокупность действий, которые нужно выполнить, чтобы получить преобразования.Давайте рассмотрим теперь элементы группы П: можно выделить две подгруппы. К первой подгруппе относятся все те общелогические правила вывода и преобразований, в результате которых из истинных высказываний получаются также истинные высказывания. Эти элементы группы П образуют подгруппу дедуктивных логических правил. Ко второй подгруппе общелогических правил преобразований высказываний относятся те, врезультате которых получаются вероятные высказывания. Эту подгруппу называют правдоподобных логических правил. В отличие от предшествующих элементов всех групп, элементы группы С весьма плохо определены и характер их изучен меньше всего.Характер элементов группы С отличается совершенно недостаточной определённостью. Рассмотрим подгруппы на которые делится группа С: подгруппа общих преобразований и действий по решению задач и из подгруппы частных преобразований и действий по решению отдельных видов задач.
Представленные группы микроструктурных средств по решению задач должны наполняться с учетом конкретного математического содержания « его специфики». Понимая под этим содержанием «первые разделы стереометрии», а под его спецификой –использование планиметрических средств возможно только после «перехода из пространства в плоскость», выделяем в группе С преобразования, которые обоснованно «описывают» этот «переход». Ниже приведён пример целесообразности введенияв предполагаемый образовательный процесс микроструктурного средства. Пример 1. В сборнике задач[2, с. 95]приведена задача: «81.6» (рис. 1.). Кратко приведём решение и обобщим его. Решение: Точка М∈АD, следовательно, М∈плоскости АDC. Аналогично, Н∈(АDC). Так как иМ, и Н принадлежат плоскости АDC, то «все точки прямой МН принадлежат этой плоскости также принадлежит и прямая АС. Прямые МН и АС не параллельны (так заданно рисунком, а значит, и условием задачи). Продлевая отрезки,получим точку S–как точку пересечения этих прямых.То есть, точка Sпринадлежит и прямой МН, и прямой АС. Прямая АС содержится в плоскости АВС. Значит, точка Sпринадлежит плоскости АВС. Итак, точка Sпринадлежит и прямой MH, и плоскости АВС. Следовательно, точка Sявляется точкой пересечения прямой МН и плоскости АВС. Значит, точка Sпринадлежит и плоскости АВС. Итак, точка Sпринадлежит и прямой МН и плоскости АВС. Следовательно, точка Sявляется точкой пересечения прямой МН и плоскости АВС.Обобщение. 1. Для того чтобы построить точку пересечения двух объектов, надо: а) доказать, что эта точка принадлежит одному из этих объектов; б) доказать, что эта точка принадлежит и другому объекту; в) сделать вывод,что эта точка является точкой пересечения этих объектов. 2. Чтобы доказать что некоторый объект можно построить надо: а) указать способ построения объекта; б) доказать, что построенный этим способом объект соответствует (удовлетворяет) заданнымтребованиям. 3. Чтобы доказать, что некоторая прямая принадлежит заданной плоскости достаточно доказать, что две различные точки этой прямой принадлежат этой плоскости. Эти обобщения, во –первых, «переводят»действия в пространстве в плоскость;во –вторых, этими обобщениями можно воспользоваться и при решении других задач –эти «правила» переносимы в другие ситуации; в –третьих, указанные обобщения можно рассматривать в качестве практической интерпретации известных теоретических(стереометрических) фактов; в –четвертых, обобщения можно считать моделями разных этапов решения данной задачи (моделью некоторого объекта (прототипа) называется такой естественный или искусственный объект, который в определённом отношении подобен прототипу (оригиналу), используемому в качестве заместителя прототипа, и изучение которого даёт новые знания о прототипе.[5, с. 54]). Эти выводы приводят к мысли о целесообразности сообщения этих обобщений ученикам, а, значит, обоснованно считать их микроструктурными средствами деятельности по решению стереометрических задач.Продемонстрируем действенность подобныхмикроструктурных средствна примере.Пример 2. Пусть требуется решить следующую задачу[2, с. 96 №82.5]: b∈�, b∥а, а∉�, через точку М плоскости �(М∉b) проведена прямаяc, c‖а. Докажите, что прямая cлежит в плоскости �.Для еёрешения можно воспользоваться следующими микроструктурными средствами. Чтобы доказать, что прямая имеющая одну общую точку с плоскостью, лежит в этой плоскости, надо: 1) показать, что эта прямая не пересекает данную плоскость; 2) сделать вывод о принадлежности этой прямой данной плоскости на основании взаимного расположения прямой и плоскости. Покажем,как может быть выполнен пункт 1. Чтобы доказать, что прямаяcне пересекает данную плоскость�, надо показать, что другая прямая а не принадлежащая этой плоскости и ‖ даннойпрямой не пересекает плоскость �. Действительно: пусть надо показать, что прямая c не пересекает данную плоскость �. Для этого надо показать, что другая прямая а, не принадлежит этой плоскости (см. условие) и данной прямой с(см. условие), не пересекаетплоскость �. 1) Если предположить, что прямая с пересекает плоскость �, то и‖ ей прямая а, тоже пересекает эту плоскость �, что не верно, т.к. прямая а‖плоскости �.2)Так как прямаяс имеет общую точку с плоскостью �и не пересекает её, то прямая симеет общую точку с плоскостью �и не пересекает её, то прямая спринадлежит плоскости �. Таким образом,пункт1из указанного микроструктурного средства
выполнен. Перейдём к пункту 2.1)Чтобы доказать, что некоторая прямая, имеющая общую точку с плоскостью принадлежит этой плоскости надо: доказать, что эта прямая не пересекает данную плоскость, и сделать вывод, что она лежит в плоскости. 2) Чтобы доказать, что прямая не пересекает эту плоскость надо: доказать, что другая прямая параллельная данной прямой неможетпересекатьэту плоскость.Таким образом пункт 2 из указанного микроструктурного средства выполнен. Это значит, что задача решена, и действенность указанного выше средства показана. Учитывая, какие теоретические факты содержатся в параграфе §1 [Параллельность прямых, прямой и плоскости], можно указать, например, следующие микроструктурные средства.Объединение. 1. Для того чтобы доказать, что один объект принадлежит другому объекту, надо: а) доказать, что точка принадлежит одному объекту; б) доказать, что точка принадлежит другому объекту; в) доказать, что другие точки тоже принадлежат этим объектам.2. Чтобы доказать, что объекты имеют различные общие точки–воспользуемсяметодом от противного, для этого: а) дадим опровержение принадлежностиодного объекта другому;б) сделаем вывод из нашего утверждения;в) выведем следствие из нашего утверждения (т.к. а‖с, то и а∩�);г) объясним, что полученный результат несоответствует условиям задачи; д) сделаем вывод, чтообъект принадлежит другому объекту. Это удовлетворяет условиям задачи. Сделаем вывод,что задача решена, единственно верным способом.При рассмотрении микроструктурыдеятельности по решению задач представленных в § 1 учебника Геометрии 1011[1, с. 9]и в сборнике задач[2, с. 95], получили ответ на вопрос, и выделили основные микроструктурные средства,которымидолженнаучиться владеть и успешно пользоваться ученик.Все микроструктурные средства: 1) Указать способ построения; 2) Доказать, что построенные этим способом объекты отвечают требованиям задачи.Микроструктурные средства: используемые в примере1; 1. Для того чтобы построить точку пересечения двух объектов, надо: а) доказать, что эта точка принадлежит одному из этих объектов; б) доказать, что эта точка принадлежит и другому объекту; в) сделать вывод, что эта точка является точкой пересечения этих объектов. 2. Чтобы доказать что некоторый объект можно построить надо: а) указать способ построения объекта; б) доказать, что построенный этим способом объект соответствует (удовлетворяет) заданным требованиям. 3. Чтобы доказать, что некоторая прямая принадлежит заданной плоскости достаточно доказать, что две различные точки этой прямой принадлежат этой плоскости. Микроструктурные средства: используемые в примере 2; 1. Для того чтобы доказать, что один объект принадлежит другому объекту, надо: а) доказать, что точка принадлежит одному объекту; б) доказать, что точка принадлежит другому объекту; в) доказать, что другие точки тоже принадлежат этим объектам. 2. Чтобы доказать, что объекты имеют различные общие точки –воспользуемся методом от противного, для этого: а) дадим опровержение принадлежности одного объекта другому; б) сделаем вывод из нашего утверждения; в) выведем следствие из нашего утверждения; г)объясним, что полученный результат не соответствует условиям задачи; д) сделаем вывод, чтообъект принадлежит другому объекту.Выводы. Не усвоение школьниками стереометрического материала, приводит к выводу об актуальности представлять решение задач болееразвёрнуто, либо же пошагово. «Пошаговость» представления решения задачи означает, что совокупность «шагов»представляетмикроструктуру деятельности по решению самой задачи. Этим уже объясняется целесообразностьвведения микроструктурных средств при решении задач. Первый раздел стереометрии является базисным для дальнейшего изучения пространственныхфигур или других стереометрических объектов.Стереометрическими объектами первого раздела являются точки, прямые и плоскости. На примере этих объектов проще разобрать и понять, что будут представлять: группа тождественно –истинных высказываний (теория Т),группа истинных высказываний (группа Д), группа правил логических преобразований высказываний и образования сложных высказываний (правил, вывода) (группа П),группа особых специальных преобразований и действий по решению задач, которые исторически выработаны коллективным многовековым опытом людей в процессе решения задач (группа С).
Решив две задачи первого раздела стереометриис использованием микроструктурных средствгруппы С, было показано, вопервых, решение задачи упорядочено последовательностью операций, представленных в описании микроструктурного средства, а, значит, организация процесса решения упорядочена и целостна, вовторых, решение, а точнее его способ или основная мысль, переносимы в другие ситуации.Эти рассуждения приводят к мысли о целесообразности создания и активного использования микроструктурных средств при решении других задач сборника, выделив подобные задачи в группы задач.
Ссылки на источники1.Геометрия: Учеб. Для 1011 кл. общеоразоват. Учреждений/ Л.С. Атанясян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. –6е изд. –М.: Просвещение, 1998. –207 с.: ил. –ISBN5090083940.2.Зив Б.Г. и др. Задачи по геометрии для 711 классов/ Б.Г. Зив. В.М. Мейлер, А.Г. Баханский. –М.: Просвещение, 1991. –171 с.: ил. –(Бка учителя математики). –ISBN5090028508. 3.Фридман Лев Моисеевич Теоретические основы методики обучения математике: Учебное пособие. Изд. 2е, испр. и доп. –М.: ЕдиториалУРСС, 2005. –248 с. (Психология, педагогика, технология обучения.)
ISBN 53540088324.Фридман Л.М. Логикопсихологический анализ школьных учебных задач. М., «Педагогика», 1977. 208 с. с ил. Науч.исслед. инт общей и пед. психологии. (Акад. пед. наук РССС). 5.Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика. Учеб. пос. для учителя и студентов педвузов и колледжей. –М.: Школьная Пресса, 2002. –208 с. –(Библиотека журнала «Математика в школе», вып. 15). ISBN 5921900990
6.rcmo.ruРегиональный центр мониторинга в образовании. Статистика ЕГЭ 2014.
