Прогнозирование показателей надежности авиационной техники с использованием рядов Фурье
ART 96214
Автор:
Т.
В. Васильева
Т.
В. Васильева Библиографическое описание статьи для цитирования:
Васильева
Т.
В. Прогнозирование показателей надежности авиационной техники с использованием рядов Фурье // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2016. – Т. 15. – С.
1476–1480. – URL:
http://e-koncept.ru/2016/96214.htm.
Аннотация. В статье рассмотрен подход к прогнозированию показателей надежности авиационной техники, представленных временными рядами и имеющих ярко выраженный сезонный характер. Временной ряд показателя разлагается на тренд с использованием метода наименьших квадратов и периодическую составляющую в виде ряда Фурье. Коэффициенты Фурье вычисляются с помощью схемы, предложенной Рунге. Прогноз показателя складывается из прогноза по тренду и прогноза по ряду Фурье.
Текст статьи
Васильева Татьяна Владимировна,кандидат технических наук, доцент кафедры алгебры, геометрии и анализа ФГАОУ ВПО «Дальневосточный федеральный университет», г. Владивостокvasileva.tv@dvfu.ru
Прогнозирование показателей надежности авиационной техники
с использованием рядов Фурье
Аннотация.В статье рассмотрен подход к прогнозированию показателей надежности авиационной техники, представленных временными рядамии имеющих ярко выраженный сезонный характер. Временной ряд показателя разлагается на тренд с использованием метода наименьших квадратов и периодическую составляющую в виде ряда Фурье. Коэффициенты Фурье вычисляются с помощью схемы, предложенной Рунге. Прогноз показателя складывается из прогноза по трендуипрогноза по ряду Фурье.Ключевые слова: временной ряд, ряд Фурье, тренд, параметр потока отказов.
Проблема обеспечения безотказности в работе изделий авиационной техники (АТ) в настоящее время является актуальной вследствие усложнения конструкции воздушных судов (ВС) и их систем, состоящих из большого числа элементов, блоков и узлов, увеличения числа выполняемых ими функций и повышения напряженности режимов их работы. В процессе эксплуатации АТ в случайные моменты времени работоспособное состояние ее систем и агрегатов может нарушаться, т.е. возникают отказы и неисправности изделий АТ[1].Под отказом понимается событие, заключающееся в нарушении работоспособности изделия. Под работоспособным состоянием изделия в данном случае понимается такое состояние,при котором значения параметров, характеризующих способность выполнять заданные функции, соответствуют требованиям нормативнотехнической документации.Под неисправностью или повреждением подразумевается событие, заключающееся в нарушении исправного состояния изделия, системы при сохранении работоспособного состояния. По последствиям и степени опасности отказы АТ можно разделить на катастрофические, критические, граничные и безопасные. Катастрофические отказы, как правило, заканчиваются авиационным происшествием (разрушение конструкции самолета в воздухе, отказы, следствием которых является взрыв, и т.д.). Критические отказы имеют опасный характер и могут привести к авиационному происшествию (АП). Парирование таких отказов в полете связано с выполнением сложных операций в условиях высокой эмоциональной напряженности и дефицита времени. К ним можно отнести отказы двигателей, систем управления и других важнейших агрегатов и систем самолета. Граничные отказы могут привести к нарушению режима полета, ухудшить работу агрегата или какойлибо системы самолета, но не угрожают безопасности полета. Экипаж успешно справляется с последствиями таких отказов. Безопасные отказы не приводят к опасным последствиям, а лишь создают незначительные затруднения при выполнении полета.По данным ИКАО большая часть отказов и неисправностей (98 … 99%) обнаруживается и устраняется на земле в процессе технического обслуживания инженернотехническим составом, некоторая часть (около 1…2%) выявляется в воздухе и локализуется своевременными и правильными действиями экипажа и только около 0,01% приводит к АП.В результате появления отказов и неисправностей в отдельныхсистемах, недостатков в наземном обеспечении полетов, ошибок и нарушений правил эксплуатации и пилотирования ВС, а также различных сочетаний перечисленных факторов в полете могут возникнуть особые ситуации.В практике статистического анализа надежности АТ исходные данные часто представлены в виде временных (динамических) рядов. Как правило, рассматривают дискретные временные ряды, для которых наблюдения делаются через фиксированные интервалы времени, принимаемые за единицу отсчета.Будем предполагать, что характеристики рассматриваемых временныхрядов формируются под совокупным влиянием множества различных факторов, которые могутсильно варьировать. Это приводит к изменению уровня изучаемого явления во времени. Поэтому будем рассматривать нестационарные ряды, у которых средние значения уровней, их дисперсии и другие характеристики не остаются постоянными во времени. Мы будем предполагать, что влияние всех основных факторов выражаетсячерез время. Учитывая, что многие показатели надежности АТ носят явно выраженный сезонный характер, выделение сезонной компоненты временных рядов имеет важное практическое значение. Поэтому будем исходить из того, что временной ряд состоит из суммы трех компонент:yt = xt + gt +et,гдеxt–уровень ряда в момент t(может быть детерминированной функцией, случайной функцией или их комбинацией),gt–функция, описывающая колебательные или гармонические составляющие, выражающие сезонность в момент времени t,et–случайный неавтокоррелированный процесс с нулевым математическим ожиданием и конечной (не обязательно постоянной) дисперсией. В дальнейшем под трендом будем понимать закон эволюции уровня xtво времени. Тренд может быть выражен либо детерминированной функцией, либо случайной, либо их комбинацией.При исследовании временных рядов выделяют две основные задачи:
описание изменения характеристик временного ряда во времени;
статистическое прогнозирование обнаруженных тенденций.Перечисленные задачи тесно взаимосвязаны, так как прогнозирование характеристик временного ряда невозможно без предварительного их анализа.Основным инструментом любого прогноза является схема экстраполяции, которая базируется на предположении о сохранении в будущем прошлых и настоящих тенденций развития временного ряда.Наиболее распространенным приемом выявления тенденции развития является сглаживание (выравнивание) временного ряда. Суть различных приемов, с помощью которыхосуществляется сглаживание, сводится к замене фактических уровней ряда расчетными значениями, имеющими меньшийразброс, чемисходные данные. Благодаря этому тенденция развития проявляет себя более явно.Важным этапом сглаживания является расчет параметров выбранной функциональной зависимости. Наиболее распространенным методом оценки параметров зависимостей является метод наименьших квадратов и его модификации.
В качестве исследуемой характеристики временного ряда был выбран параметр потока отказов, так как он наиболее полно отражает требование полноты информации, надежности и наглядности анализа, а также является основным показателем надежности АТ при методе технического обслуживания и ремонта с контролем уровня надежности [2]. Поэтому задача анализаи прогнозирования параметра потока отказов является достаточно актуальной.При исследовании динамики явлений периодического характера в качестве аналитической формы развития во времени принимается уравнение следующего вида:yt= a0+ (a1*cos(2πt/n) + b1*sin(2πt/n)) + (a2*cos(2*2πt/n) + b2*sin(2*2πt/n)) + … +(am*cos(m*2πt/n) + bm*sin(m*2πt/n)) (1),где yt
значение временного ряда в момент t,n–количество наблюдений,m=n/2.Уравнение (1) представляет ряд Фурье, в котором величина mопределяет количество гармоник ряда [3,4]. Ряд Фурье выражает периодическое движение достаточно хорошо, если сама периодичность налицо. Для изучения специфического периодического явления –сезонности
необходимо взятьn=12. Запишем ряд динамики в виде:
(2πt/n): 0 π/6 π/3 π/2 2/3π 5/6π π 7/6π 4/3π 3/2π 5/3π 11/6π
yt: y0 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10 y11 Рунге предложил экономную схему для вычисления коэффициентов Фурье, в которой все необходимые расчеты сводятся к минимуму [3].Сначала выписывают исходные данные в указанном ниже порядке и над каждой парой подписанных одна под другой ординат производят сложение и вычитание:
Ординатыy0 y1
y2 y3 y4 y5
y6 y11 y10 y9 y8 y7СуммыРазностиu0 u1 u2 u3 u4 u5 u6 v1 v2 v3 v4 v5
Затем аналогично выписывают эти суммы и разности и снова подвергают их сложению и вычитанию:
Суммыu0 u1 u2 u3u6 u5 u4СуммыРазностиs0 s1 s2 s3d0 d1 d2
Разностиv1 v2 v3v5 v4СуммыРазностиz1 z2 z3f1 f2
Теперь, получив после всех этих сложений и вычитаний ряд величин s, d, z, f, можно следующим образом выразить через них искомые коэффициенты:12a0= s0+ s1+ s2+ s3, 6a1= d0+ 0,866d1+ 0,5d2, 6a2= (s0–s3) + 0,5(s1–s2), 6a3= d0–d2, 6b1= 0,5z1+ 0,866z2+ z3, 6b2= 0,866(f1+ f2), 6b3= z1–z3 и т.д.Если взять n=24, то схема вычислений будет следующей:имеем двадцать четыре ординатыy0, y1, y2, …, y23,соответствующие значениям аргумента: 0,
π/12,
π/6, …, 23/6π.Не вдаваясь в подробности (ввиду полной аналогии с предыдущим), приведем сразу схему вычислений, также предложенную Рунге:
Ординатыy0
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8 y9
y10 y11
y12 y23y22y21y20y19y18y17 y16y15y14 y13
СуммыРазности u0 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10 u11u12 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
Суммыu0 u1 u2 u3 u4 u5 u6u12 u11 u10 u9 u8 u7СуммыРазностиp0 p1 p2 p3 p4 p5 p6q0 q1 q2 q3 q4 q5
Разностиv1 v2 v3 v4 v5 v6v11 v10 v9 v8 v7СуммыРазностиr1 r2 r3 r4 r5 r6s1 s2 s3
s4
s5
Суммыр0 p1 p2 p3p6 p5 p4СуммыРазностиk0 k1 k2 k3l0 l1 l2
Разностиs1 s2 s3s5 s4СуммыРазностиm1 m2 m3n1 n2
С величинами q и rнет необходимостипроделывать сложения и вычитания. Теперь через полученные указанным путем величины k, l, m,n,qи rкоэффициенты Фурье выразятся следующим образом:24a0= k0+ k1+ k2+ k3,12a1= [q0+ 0,5q4+0,6124(q1+ q5)] + [0,8660q2+ 0,7071q3+ 0,3536(q1–q5)],12a2= l0+ 0,8660l1+ 0,5l2,12a3= (q0–q4) + 0,7071(q1–q3–q5),12a4= (k0–k3) + 0,5(k1–k2),12a5= [q0+ 0,5q4+ 0,6124(q1+ q5)] –[0,8660q2+ 0,7071q3+ 0,3536(q1–q5)],
12a6= l0–l2, 12b1= [0,5r2+ r6+ 0,6124(r1+ r5) ] + [0,7071r3+ 0,8660r4–0,3536(r1–r5)],
12b2= 0,5m1+ 0,8660m2+ m3,
12b3= (r2–r6) + 0,7071(r1+ r3–r5),
12b4= 0,8660(n1+ n2),
12b5= [0,5r2+ r6+ 0,6124(r1+ r5)] –[0,7071r3+ 0,8660r4–0,3536(r1–r5)],
12b6= m1–m3, и т.д.Дальнейшие коэффициенты по двадцати четырем ординатам получаются все с меньшей и меньшей точностью.Кроме приведенных схем для приближенного вычисления коэффициентов тригонометрического разложения функции существуют и другие: для шестнадцати или тридцати двух ординат, для тридцати шести ординат и т.д. Придуманы также вырезные шаблоны, автоматически устанавливающие расположение вычислений. Во всех этих случаях сущность приемов, с помощью которых достигаются упрощения при практическом вычислении коэффициентов Фурье, остается та же, что и выше. Для n=12за пределами первых двухтрех гармоникнельзя ждать скольконибудь удовлетворительной точности.Результат сразу улучшается при переходе к n=24.Здесь можно ждать хорошей точности для первых семивосьми гармоник. При разложении функции в ряд Фурье последовательные члены имеют периоды 2π, 2π/2, 2π/3и т.д. Анализируемые ряды динамики обычно имеют конечную длину n. Если интервалы между наблюдениями представляют собой постоянную величину, например, месяц, то самый медленный, т.е. самый большой, период косинусоидальной кривой равен nмесяцам,что соответствует угловой частоте2π/n. Наименьший период этой кривой составляет два месяца, т.к. необходимы по крайней мере два месяца, чтобы кривая завершила цикл. Если n=12, то периоды гармоник 12; 6; 4; 3; 2,4 и 2 месяца соответственно. Ряды Фурье описывают только стационарные процессы.Поскольку показатели надежности АТ чаще всего имеют тенденцию, то временной ряд не является стационарным. В этом случае ряд Фурье применим, если исследуемый ряд показателя надежности АТ привести к стационарному виду. Для этой цели необходимо удалить из исходного временного ряда тренд f(t), используя метод наименьших квадратов,и применить ряд Фурье к остаточным величинам (yt–f(t)). При прогнозировании такого показателя строится суммарный прогноз, т.е. прогноз по тренду плюспрогноз по ряду Фурье для остаточных величин.Таким образом, при наличии периодических колебаний во временных рядах показателей надежности АТ модель прогноза должна учитывать эти колебания. С этой целью может быть использован ряд Фурье с достаточно простыми инженерными расчетами, дающими удовлетворительную точность.
Ссылки на источники1.
Безопасность полетов: Учебник для вузов/ Р.В. Сакач, Б.В. Зубков, М.Ф. Давиденко и др.;
под.ред. Р.В. Сакача. –М.: Транспорт, 1989. –239 с..
2.Смирнов Н.Н., ИцковичА.А. Обслуживание и ремонт авиационной техники по состоянию. –2е изд., перераб. и доп. –М.: Транспорт, 1987. –272 с. 3.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том3: Учебное пособие для университетов и педагогических институтов. –М.: Наука, гл. ред. физ.мат. литературы, 1970. –656 с.4.Кендэл М. Временные ряды / Пер.с англ. ипредисл. Ю.П. Лукашина. М.: Финансы и статистика, 1981. –199 с.
Прогнозирование показателей надежности авиационной техники
с использованием рядов Фурье
Аннотация.В статье рассмотрен подход к прогнозированию показателей надежности авиационной техники, представленных временными рядамии имеющих ярко выраженный сезонный характер. Временной ряд показателя разлагается на тренд с использованием метода наименьших квадратов и периодическую составляющую в виде ряда Фурье. Коэффициенты Фурье вычисляются с помощью схемы, предложенной Рунге. Прогноз показателя складывается из прогноза по трендуипрогноза по ряду Фурье.Ключевые слова: временной ряд, ряд Фурье, тренд, параметр потока отказов.
Проблема обеспечения безотказности в работе изделий авиационной техники (АТ) в настоящее время является актуальной вследствие усложнения конструкции воздушных судов (ВС) и их систем, состоящих из большого числа элементов, блоков и узлов, увеличения числа выполняемых ими функций и повышения напряженности режимов их работы. В процессе эксплуатации АТ в случайные моменты времени работоспособное состояние ее систем и агрегатов может нарушаться, т.е. возникают отказы и неисправности изделий АТ[1].Под отказом понимается событие, заключающееся в нарушении работоспособности изделия. Под работоспособным состоянием изделия в данном случае понимается такое состояние,при котором значения параметров, характеризующих способность выполнять заданные функции, соответствуют требованиям нормативнотехнической документации.Под неисправностью или повреждением подразумевается событие, заключающееся в нарушении исправного состояния изделия, системы при сохранении работоспособного состояния. По последствиям и степени опасности отказы АТ можно разделить на катастрофические, критические, граничные и безопасные. Катастрофические отказы, как правило, заканчиваются авиационным происшествием (разрушение конструкции самолета в воздухе, отказы, следствием которых является взрыв, и т.д.). Критические отказы имеют опасный характер и могут привести к авиационному происшествию (АП). Парирование таких отказов в полете связано с выполнением сложных операций в условиях высокой эмоциональной напряженности и дефицита времени. К ним можно отнести отказы двигателей, систем управления и других важнейших агрегатов и систем самолета. Граничные отказы могут привести к нарушению режима полета, ухудшить работу агрегата или какойлибо системы самолета, но не угрожают безопасности полета. Экипаж успешно справляется с последствиями таких отказов. Безопасные отказы не приводят к опасным последствиям, а лишь создают незначительные затруднения при выполнении полета.По данным ИКАО большая часть отказов и неисправностей (98 … 99%) обнаруживается и устраняется на земле в процессе технического обслуживания инженернотехническим составом, некоторая часть (около 1…2%) выявляется в воздухе и локализуется своевременными и правильными действиями экипажа и только около 0,01% приводит к АП.В результате появления отказов и неисправностей в отдельныхсистемах, недостатков в наземном обеспечении полетов, ошибок и нарушений правил эксплуатации и пилотирования ВС, а также различных сочетаний перечисленных факторов в полете могут возникнуть особые ситуации.В практике статистического анализа надежности АТ исходные данные часто представлены в виде временных (динамических) рядов. Как правило, рассматривают дискретные временные ряды, для которых наблюдения делаются через фиксированные интервалы времени, принимаемые за единицу отсчета.Будем предполагать, что характеристики рассматриваемых временныхрядов формируются под совокупным влиянием множества различных факторов, которые могутсильно варьировать. Это приводит к изменению уровня изучаемого явления во времени. Поэтому будем рассматривать нестационарные ряды, у которых средние значения уровней, их дисперсии и другие характеристики не остаются постоянными во времени. Мы будем предполагать, что влияние всех основных факторов выражаетсячерез время. Учитывая, что многие показатели надежности АТ носят явно выраженный сезонный характер, выделение сезонной компоненты временных рядов имеет важное практическое значение. Поэтому будем исходить из того, что временной ряд состоит из суммы трех компонент:yt = xt + gt +et,гдеxt–уровень ряда в момент t(может быть детерминированной функцией, случайной функцией или их комбинацией),gt–функция, описывающая колебательные или гармонические составляющие, выражающие сезонность в момент времени t,et–случайный неавтокоррелированный процесс с нулевым математическим ожиданием и конечной (не обязательно постоянной) дисперсией. В дальнейшем под трендом будем понимать закон эволюции уровня xtво времени. Тренд может быть выражен либо детерминированной функцией, либо случайной, либо их комбинацией.При исследовании временных рядов выделяют две основные задачи:
описание изменения характеристик временного ряда во времени;
статистическое прогнозирование обнаруженных тенденций.Перечисленные задачи тесно взаимосвязаны, так как прогнозирование характеристик временного ряда невозможно без предварительного их анализа.Основным инструментом любого прогноза является схема экстраполяции, которая базируется на предположении о сохранении в будущем прошлых и настоящих тенденций развития временного ряда.Наиболее распространенным приемом выявления тенденции развития является сглаживание (выравнивание) временного ряда. Суть различных приемов, с помощью которыхосуществляется сглаживание, сводится к замене фактических уровней ряда расчетными значениями, имеющими меньшийразброс, чемисходные данные. Благодаря этому тенденция развития проявляет себя более явно.Важным этапом сглаживания является расчет параметров выбранной функциональной зависимости. Наиболее распространенным методом оценки параметров зависимостей является метод наименьших квадратов и его модификации.
В качестве исследуемой характеристики временного ряда был выбран параметр потока отказов, так как он наиболее полно отражает требование полноты информации, надежности и наглядности анализа, а также является основным показателем надежности АТ при методе технического обслуживания и ремонта с контролем уровня надежности [2]. Поэтому задача анализаи прогнозирования параметра потока отказов является достаточно актуальной.При исследовании динамики явлений периодического характера в качестве аналитической формы развития во времени принимается уравнение следующего вида:yt= a0+ (a1*cos(2πt/n) + b1*sin(2πt/n)) + (a2*cos(2*2πt/n) + b2*sin(2*2πt/n)) + … +(am*cos(m*2πt/n) + bm*sin(m*2πt/n)) (1),где yt
значение временного ряда в момент t,n–количество наблюдений,m=n/2.Уравнение (1) представляет ряд Фурье, в котором величина mопределяет количество гармоник ряда [3,4]. Ряд Фурье выражает периодическое движение достаточно хорошо, если сама периодичность налицо. Для изучения специфического периодического явления –сезонности
необходимо взятьn=12. Запишем ряд динамики в виде:
(2πt/n): 0 π/6 π/3 π/2 2/3π 5/6π π 7/6π 4/3π 3/2π 5/3π 11/6π
yt: y0 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10 y11 Рунге предложил экономную схему для вычисления коэффициентов Фурье, в которой все необходимые расчеты сводятся к минимуму [3].Сначала выписывают исходные данные в указанном ниже порядке и над каждой парой подписанных одна под другой ординат производят сложение и вычитание:
Ординатыy0 y1
y2 y3 y4 y5
y6 y11 y10 y9 y8 y7СуммыРазностиu0 u1 u2 u3 u4 u5 u6 v1 v2 v3 v4 v5
Затем аналогично выписывают эти суммы и разности и снова подвергают их сложению и вычитанию:
Суммыu0 u1 u2 u3u6 u5 u4СуммыРазностиs0 s1 s2 s3d0 d1 d2
Разностиv1 v2 v3v5 v4СуммыРазностиz1 z2 z3f1 f2
Теперь, получив после всех этих сложений и вычитаний ряд величин s, d, z, f, можно следующим образом выразить через них искомые коэффициенты:12a0= s0+ s1+ s2+ s3, 6a1= d0+ 0,866d1+ 0,5d2, 6a2= (s0–s3) + 0,5(s1–s2), 6a3= d0–d2, 6b1= 0,5z1+ 0,866z2+ z3, 6b2= 0,866(f1+ f2), 6b3= z1–z3 и т.д.Если взять n=24, то схема вычислений будет следующей:имеем двадцать четыре ординатыy0, y1, y2, …, y23,соответствующие значениям аргумента: 0,
π/12,
π/6, …, 23/6π.Не вдаваясь в подробности (ввиду полной аналогии с предыдущим), приведем сразу схему вычислений, также предложенную Рунге:
Ординатыy0
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8 y9
y10 y11
y12 y23y22y21y20y19y18y17 y16y15y14 y13
СуммыРазности u0 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10 u11u12 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
Суммыu0 u1 u2 u3 u4 u5 u6u12 u11 u10 u9 u8 u7СуммыРазностиp0 p1 p2 p3 p4 p5 p6q0 q1 q2 q3 q4 q5
Разностиv1 v2 v3 v4 v5 v6v11 v10 v9 v8 v7СуммыРазностиr1 r2 r3 r4 r5 r6s1 s2 s3
s4
s5
Суммыр0 p1 p2 p3p6 p5 p4СуммыРазностиk0 k1 k2 k3l0 l1 l2
Разностиs1 s2 s3s5 s4СуммыРазностиm1 m2 m3n1 n2
С величинами q и rнет необходимостипроделывать сложения и вычитания. Теперь через полученные указанным путем величины k, l, m,n,qи rкоэффициенты Фурье выразятся следующим образом:24a0= k0+ k1+ k2+ k3,12a1= [q0+ 0,5q4+0,6124(q1+ q5)] + [0,8660q2+ 0,7071q3+ 0,3536(q1–q5)],12a2= l0+ 0,8660l1+ 0,5l2,12a3= (q0–q4) + 0,7071(q1–q3–q5),12a4= (k0–k3) + 0,5(k1–k2),12a5= [q0+ 0,5q4+ 0,6124(q1+ q5)] –[0,8660q2+ 0,7071q3+ 0,3536(q1–q5)],
12a6= l0–l2, 12b1= [0,5r2+ r6+ 0,6124(r1+ r5) ] + [0,7071r3+ 0,8660r4–0,3536(r1–r5)],
12b2= 0,5m1+ 0,8660m2+ m3,
12b3= (r2–r6) + 0,7071(r1+ r3–r5),
12b4= 0,8660(n1+ n2),
12b5= [0,5r2+ r6+ 0,6124(r1+ r5)] –[0,7071r3+ 0,8660r4–0,3536(r1–r5)],
12b6= m1–m3, и т.д.Дальнейшие коэффициенты по двадцати четырем ординатам получаются все с меньшей и меньшей точностью.Кроме приведенных схем для приближенного вычисления коэффициентов тригонометрического разложения функции существуют и другие: для шестнадцати или тридцати двух ординат, для тридцати шести ординат и т.д. Придуманы также вырезные шаблоны, автоматически устанавливающие расположение вычислений. Во всех этих случаях сущность приемов, с помощью которых достигаются упрощения при практическом вычислении коэффициентов Фурье, остается та же, что и выше. Для n=12за пределами первых двухтрех гармоникнельзя ждать скольконибудь удовлетворительной точности.Результат сразу улучшается при переходе к n=24.Здесь можно ждать хорошей точности для первых семивосьми гармоник. При разложении функции в ряд Фурье последовательные члены имеют периоды 2π, 2π/2, 2π/3и т.д. Анализируемые ряды динамики обычно имеют конечную длину n. Если интервалы между наблюдениями представляют собой постоянную величину, например, месяц, то самый медленный, т.е. самый большой, период косинусоидальной кривой равен nмесяцам,что соответствует угловой частоте2π/n. Наименьший период этой кривой составляет два месяца, т.к. необходимы по крайней мере два месяца, чтобы кривая завершила цикл. Если n=12, то периоды гармоник 12; 6; 4; 3; 2,4 и 2 месяца соответственно. Ряды Фурье описывают только стационарные процессы.Поскольку показатели надежности АТ чаще всего имеют тенденцию, то временной ряд не является стационарным. В этом случае ряд Фурье применим, если исследуемый ряд показателя надежности АТ привести к стационарному виду. Для этой цели необходимо удалить из исходного временного ряда тренд f(t), используя метод наименьших квадратов,и применить ряд Фурье к остаточным величинам (yt–f(t)). При прогнозировании такого показателя строится суммарный прогноз, т.е. прогноз по тренду плюспрогноз по ряду Фурье для остаточных величин.Таким образом, при наличии периодических колебаний во временных рядах показателей надежности АТ модель прогноза должна учитывать эти колебания. С этой целью может быть использован ряд Фурье с достаточно простыми инженерными расчетами, дающими удовлетворительную точность.
Ссылки на источники1.
Безопасность полетов: Учебник для вузов/ Р.В. Сакач, Б.В. Зубков, М.Ф. Давиденко и др.;
под.ред. Р.В. Сакача. –М.: Транспорт, 1989. –239 с..
2.Смирнов Н.Н., ИцковичА.А. Обслуживание и ремонт авиационной техники по состоянию. –2е изд., перераб. и доп. –М.: Транспорт, 1987. –272 с. 3.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том3: Учебное пособие для университетов и педагогических институтов. –М.: Наука, гл. ред. физ.мат. литературы, 1970. –656 с.4.Кендэл М. Временные ряды / Пер.с англ. ипредисл. Ю.П. Лукашина. М.: Финансы и статистика, 1981. –199 с.
