Методика изложения темы «Функции случайных величин»

Библиографическое описание статьи для цитирования:
Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М. Методика изложения темы «Функции случайных величин» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2017. – № 4 (апрель). – URL: http://e-koncept.ru/2017/170090.htm.
Аннотация. В работе предлагается методика изложения темы «Функции случайных величин» в курсе «Теория вероятностей». Статья написана на основе многолетнего опыта преподавания этого предмета и будет полезна как студентам, так и преподавателям при проведении практических занятий. В ней отсутствуют доказательства используемых теорем, однако приведен список литературы, к которому можно обратиться за более подробными разъяснениями. Рассмотрено большое количество примеров, которые позволят студентам усвоить изучаемый материал в необходимом объеме. Цель работы – помочь студентам приобрести навыки применения вероятностных методов к решению различных задач.
Раздел: Педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям)
Комментарии
Нет комментариев
Оставить комментарий
Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы комментировать.
Текст статьи
Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М.Методика изложения темы «Функции случайных величин»// Научнометодический электронный журнал «Концепт». –2017. –№ 4(апрель).–0,3п.л. –URL: http://ekoncept.ru/2017/170090.htm.1

ART170090УДК 378.147

Ахметова Фания Харисовна,

кандидат физикоматематических наук, доцент ФГБОУ ВО Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, г.Москваdobrich2@mail.ru

Ласковая Татьяна Алексеевна,старший преподавательФГБОУ ВО Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, г. Москваtalaskovy@mail.ru

Попова Елена Михайловна,кандидат физикоматематических наук, доцентФГБОУ ВО Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, г. Москваelmipo@yandex.ru

Методика изложения темы Функции случайных величин

Аннотация. В работе предлагается методика изложения темы Функции случайных величин в курсе Теория вероятностей. Статья написана на основе многолетнего опыта преподавания этого предмета и будет полезна как студентам, так и преподавателям при проведении практических занятий. В ней отсутствуют доказательства используемых теорем, однако приведен список литературы, к которому можно обратиться за более подробными разъяснениями. Рассмотрено большое количество примеров, которые позволят студентам усвоить изучаемый материал в необходимом объеме.Цель работы ‬помочь студентам приобрести навыки применения вероятностных методов к решению различных задач.Ключевые слова: функция случайной величины, плотность распределения вероятностей функции случайной величины, закон распределения, композиция законов распределения.Раздел: 01 педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания по предметным областям.

Случайные величины, которые функционально зависят от множества случайных факторов, встречаются практически во всех дисциплинах 1,2. Например, уровень благосостояния человека ‬это функция заработной платы, налогов, стоимости продовольственных и промышленных товаров и услуг и т.д., количество сердечных сокращений ‬функция возраста, высоты местности, температуры тела и т.д.В приложениях при построении математических моделей часто рассматриваются случайные величины, связанные функциональной зависимостью. В простейшем случае для технических специальностей задача ставится следующим образом: на вход технического устройства поступает случайное воздействие X; устройство подвергает воздействие Xнекоторому функциональному преобразованию φи на выходе дает случайную величину:,или,или.Нам известен закон распределения X,и требуется найти закон распределения Y.Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М.Методика изложения темы «Функции случайных величин»// Научнометодический электронный журнал «Концепт». –2017. –№ 4(апрель).–0,3п.л. –URL: http://ekoncept.ru/2017/170090.htm.2

Законы распределения функций случайной величины.Функции одной переменной

Если X‬дискретная случайная величина, имеющая закон распределения, задаваемый табл.1, а, где ‬неслучайная функция,то Yтакже дискретная случайная величина, причем ее возможные значения .

Таблица 1









Если при этом различны например, строго монотонна, то . Если же среди

имеются одинаковые значения, то , то есть необходимо сложить вероятности тех , для которых .Пример 1.Дискретная случайная величина Xимеет закон распределения, представленный в табл.2. Найти закон распределения случайной величины .

Таблица 2

X21012p0,20,10,10,20,4

Решение.Значениям ‬2; ‬1; 0; 1; 2 случайной величины Xсоответствуют значения 9; 3; 1; 3; 9 случайной величины Y. Учитывая, что среди возможных значений Yвстречаются одинаковые, получаем:

Итак, закон распределения Yимеет вид, представленный в табл.3.

Таблица 3

Y139p0,10,30,6

Если X‬непрерывная случайная величина, имеющая плотность распределения , а , причем ‬монотонная непрерывно дифференцируемая функция, то Yтакже непрерывная случайная величина. Функция распределения и плотность распределения Yимеют,соответственно, вид:

,

(1)

,(2)где *‬обратная функция к . Если же ‬немонотонная функция, то Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М.Методика изложения темы «Функции случайных величин»// Научнометодический электронный журнал «Концепт». –2017. –№ 4(апрель).–0,3п.л. –URL: http://ekoncept.ru/2017/170090.htm.3

,

(3)где означает kй интервал осиOX, на котором. Например,, а рис. 1. Плотность распределения случайной величины Yнаходится дифференцированием по y.Математическое ожидание и дисперсию случайной величины Yнаходим по формулам:

,(4).(5)Можно также определить математическое ожидание и дисперсию Y, зная лишь плотность распределения вероятностей случайной величины Xи функцию ,по формулам:,

(6).(7)Пример 2.Пусть случайная величина Xподчиняется закону распределения N(0;1)и . Найти: 1 математическое ожидание и дисперсию Y, используя плотность распределения вероятностей случайной величины X; 2 плотность распределения случайной величины Y; 3 математическое ожидание и дисперсию Y, используя найденную плотность распределения случайной величины Y.Решение.По условию Xимеетплотность распределения вероятностей .1)Вычислим математическое ожидание по формуле 6:.Первый член суммы стремится к нулю при , второй член представляет собой интеграл Пуассона. Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой 7. Вначале вычислим :.Следовательно, .Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М.Методика изложения темы «Функции случайных величин»// Научнометодический электронный журнал «Концепт». –2017. –№ 4(апрель).–0,3п.л. –URL: http://ekoncept.ru/2017/170090.htm.4

2)Найдем плотность распределения случайной величины Y.Функцияимеет два интервала монотонности и , на каждом из которых определена обратная функция: на и

на . Найдем функцию распределения Y:,где и показаны на рис.2. Итак, при .

Применяя формулу дифференцирования определенного интеграла по параметру, получаем выражение для плотности распределения вероятностей при Окончательно получаем 3)Используя найденную плотность распределения случайной величины Y,найдем математическое ожидание и дисперсию по формулам 4 и 5. ,.Полученные интегралы были вычислены в пункте 1.Окончательно, . Обратим внимание, что числовые характеристики, вычисленные различными методами, совпадают.Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М.Методика изложения темы «Функции случайных величин»// Научнометодический электронный журнал «Концепт». –2017. –№ 4(апрель).–0,3п.л. –URL: http://ekoncept.ru/2017/170090.htm.5

Пример 3.Какому функциональному преобразованию надо подвергнуть случайную величину X,распределенную равномерно на отрезке , чтобы получить случайную величину Y,распределенную по закону Коши ?Решение.По условию случайная величина X распределена равномерно на . Тогда плотность распределения Xравна

Используя формулу 2, получаем , где ‬обратная к функции , которую нужно найти. Имеем . Таким образом, , откуда получаем функцию .Функции двух случайных величин

Пусть ‬дискретный случайный вектор, имеющий закон распределения, заданный табл. 4, где ),и пусть , где ‬неслучайная функция двух переменных.Таблица 4

XY

















Тогда закон распределения случайной величины Zнаходят следующим образом:1)Вычисляют значения для всех пар .2)Вычисляют вероятности . Если для различных пар и получаются одинаковые значения z, то соответствующие вероятности надо сложить, т.е..Пример 4.Двумерный случайный вектор задан своим законом распределения (табл.5. Найти закон распределения случайной величины .Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М.Методика изложения темы «Функции случайных величин»// Научнометодический электронный журнал «Концепт». –2017. –№ 4(апрель).–0,3п.л. –URL: http://ekoncept.ru/2017/170090.htm.6

Таблица 5

XY10120,010,090,210,020,080,120,030,070,4

Решение.Найдем значения Z:, , , ,, , , ,.Итак, случайная величина Zпринимает всего три значения: . Вычислим соответствующие вероятности:

Закон распределения Zзапишем с помощью табл.6:Таблица 6

z147p0,080,280,64

Если же ‬непрерывный случайный вектор, имеющий двумерную плотность распределения , а , где ‬неслучайная функция двух переменных, то закон распределения Zнаходят по следующей схеме.1)Находятфункциюраспределения случайной величины Zпо формуле:.(8)2)Если необходимо найти плотность распределения случайной величины Z, то ее получают дифференцированием функции распределения .Пример 5.Пусть непрерывный случайный вектор распределен равномерно в области . Найти плотность распределения случайной величины .Решение.Двумерная плотность распределения случайного вектораимеет вид: Найдем функцию распределения случайной величины:, где ‬область на плоскости, зависящая от значения действительной переменной z. Для фиксированного значения zобласть показана на рис. 3 горизонтальной штриховкой. Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М.Методика изложения темы «Функции случайных величин»// Научнометодический электронный журнал «Концепт». –2017. –№ 4(апрель).–0,3п.л. –URL: http://ekoncept.ru/2017/170090.htm.7

Учитывая, что отличен от нуля только в квадрате , то , где ‬область, показанная на рис.3 двойной штриховкой, а

‬площадь этой области. Нетрудно видеть, что при площадь области равна , а при : . Следовательно, функция распределения величины Zимеет вид:

Дифференцируя по z, получаем плотность распределения вероятностей:

Объединяя полученные результаты,имеем .

Закон распределения суммы двух случайных величин

Часто возникает задача об определении закона распределения суммы компонент случайного вектора по известному закону совместного распределения его компонент.Пусть ‬непрерывный случайный вектор с известной плотностью совместного распределения компонент . Тогда плотность распределения имеет вид:

.(9)В том случае, когда Xи Y‬независимые случайные величины, формула 9 приобретает вид:.(10)Если же, кроме того, Xи Yнезависимы и принимают только неотрицательные значения, формула 10 может быть записана следующим образом:Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М.Методика изложения темы «Функции случайных величин»// Научнометодический электронный журнал «Концепт». –2017. –№ 4(апрель).–0,3п.л. –URL: http://ekoncept.ru/2017/170090.htm.8

.(11)Для случая, когда ‬дискретный случайный вектор,закон распределения суммы записывается в виде табл.7, где , а.

Таблица 7

Z



p



В частности, если ‬дискретный случайный вектор с независимыми компонентами, то .В том случае, когда складываются независимые случайные величиныXи Y, то говорят о композиции законов распределения. Очевидно, что композиция законов распределения непрерывных случайных величин ‬это свертка . Закон распределения называется устойчивым к композиции, если при композиции законов распределения одного типа снова получается тот же закон распределения, но с другими параметрами. Устойчивыми к композиции являются нормальный закон, закон распределения Эрланга, биномиальный, Пуассона.Пример 6.Измеряется некоторая физическая величина X, равномерно распределенная на отрезке . Процесс измерения проводится в условиях воздействия аддитивной независимой от Xпомехи Y, распределенной по нормальному закону с параметрами . Найти плотность распределения вероятностей фактически измеряемой величины .Решение.Плотности распределения вероятностей Xи Yимеют вид соответственно:

и.В силу формулы 10 плотность распределения записывается следующим образом:

где ‬функция стандартного нормального распределения N(0,1).Пример 7.Решить задачу композиции показательных распределений с параметрами и соответственно.Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М.Методика изложения темы «Функции случайных величин»// Научнометодический электронный журнал «Концепт». –2017. –№ 4(апрель).–0,3п.л. –URL: http://ekoncept.ru/2017/170090.htm.9

Решение. Плотности распределения вероятностей случайных величинXи Yсоответственно равны:

(12)

(13)Так как нам нужно решить задачу композиции, то Xи Yнезависимы. Из 12 и 13 следует, что Xи Yпринимают только неотрицательные значения, следовательно, по формуле 11 имеем при :

Запишем окончательный вид плотности распределения:.Пример 8.Независимые случайные величины Xи Yраспределены по одному и тому же закону, задаваемому табл.8. Описать закон распределения .

Таблица 8

Решение.Найдем возможные значения Z.

Вычислим соответствующие вероятности:

Итак, закон распределения задаетсятабл.9.

012



Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М.Методика изложения темы «Функции случайных величин»// Научнометодический электронный журнал «Концепт». –2017. –№ 4(апрель).–0,3п.л. –URL: http://ekoncept.ru/2017/170090.htm.10

Таблица 9

Методика, которая положена в основу данной работы, позволит достаточно быстро сформировать представление о способах решения широкого круга задач по теме Функции случайных величин. Теоретический материал носит справочный характер и поможет преподавателям и студентам при подготовке к практическим занятиям.

Ссылки на источники1.Косова А.В., Пелевина И.Н., Попова Е.М. Методика изложения темы Случайные величины в курсе Теория вероятностей//Инженерный вестник / МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электронный журнал. ‬2015.‬№6. ‬URL:http://engbul.bmstu.ru/doc/777361.html.2.Ахметова Ф.Х., Ласковая Т.А., Попова Е.М. Методика изложения темы Решение задач на классическую вероятность с помощью формул комбинаторикив курсе Теории вероятностей // Инженерный вестник / МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электронный журнал. ‬2015.‬№6. ‬URL: http://engbul.bmstu.ru/doc/777339.html.

Faniya Akhmetova,Candidate of PhysicalMathematical Sciences, Associate Professor,Bauman Moscow State Technical University, Moscowdobrich2@mail.ruTatiana Laskova,Senior lecturer, Bauman Moscow State Technical University, Moscowtalaskovy@mail.ruElena Popova,Candidate of PhysicalMathematical Sciences, Associate Professor,Bauman Moscow State Technical University, Moscowelmipo@yandex.ruTechnique of the reentation of the toic Function of random variabe”Abstract. In work the method of presentation of the topic "Functions of random variables" in the course "Probability theory". The article is written based on years of experience teaching this subject and will be useful for both students and teachers in conducting practical classes. There are no proofs of the theorems used, however, a list of references that can be consulted for more detailed explanations. Considered a large number of examples that will allow students to learn the material under study to the extent necessary. The aim of this work is to help students to acquire skills in the application of probability methods to thesolution of various problems.Key words: function of random variable, the density of the probability distribution function of a random variable, distribution law, the composition of the distribution laws.References1.Kosova,A. V., Pelevina,I. N.&Popova,E. M. (2015. Metodika izlozhenija temy Sluchajnye velichiny”v kurse Teorija verojatnostej”, Inzhenernyj vestnik/ MGTU im. N. Je. Baumana. Jelektronnyj zhurnal, №6. Available at: http://engbul.bmstu.ru/doc/777361.html(in Russian).2.Ahmetova,F. H., Laskovaja,T. A. & Popova,E. M. (2015. Metodika izlozhenija temy Reshenie zadach na klassicheskuju verojatnost' s pomoshh'ju formul kombinatoriki”v kurse Teorii verojatnostej”, Inzhenernyj vestnik/ MGTU im. N. Je. Baumana. Jeektronny zhurna, №6. Available at:http://engbul.bmstu.ru/doc/777339.html(in Russian).

Рекомендованокпубликации:

Горевым П. М.,кандидатомпедагогических наук, главным редактором журнала Концепт

Поступила в редакциюReceived..17Получена положительная рецензияReceived a positivereview..17ПринятакпубликацииAccepted for publication..17ОпубликованаPublished05.04.17

© Концепт, научнометодический электронный журнал, 2017©Ахметова Ф. Х., Ласковая Т. А., Попова Е. М.,2017

01234



www.ekoncept.ru