Методика исследования элементарных функций на монотонность и выпуклость графика методом обобщения
В.
Г. ГилевБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Гилев
В.
Г. Методика исследования элементарных функций на монотонность и выпуклость графика методом обобщения // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2015. – № 4 (апрель). – С.
66–70. – URL:
http://e-koncept.ru/2015/15102.htm.
Аннотация. В статье решается проблема исследования элементарных функций на монотонность и выпуклость графика без использования производной, по определению. Решением проблемы явился метод, который в статье носит название метода обобщения. В результате обобщения появляется функция, промежутки знакопостоянства которой определяют промежутки монотонности и выпуклости графика исходной функции.
Текст статьи
Гилев В. Г. Методика исследования элементарных функций на монотон0ность и выпуклость графика методом обобщения// Концепт. 22015. 2№04(апрель).2ART15102. 20,4п. л. 2URL: http://ekoncept.ru/2015/15102.htm. 2Гос. рег. ол№дС 7749965.2ISSN 2304120X. 1
ART15102УДК 373.851
Гилев Валерий Георгиевич,
кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики, информатики и методики их преподавания ФГБОУ ВПО «Ишимский государственный педагогический институт им. П. П. Ершова»; г. ИшимGilev.valery@gmail.com
Методика исследования элементарных функций на монотонность и выпуклость графика методом обобщения
Аннотация.В статье решается проблема исследования элементарных функций на монотонность и выпуклость графика без использования производной, по определению. Решением проблемы явился метод, который в статье носит название метода обобщения. В результате обобщения появляется функция, промежутки знакопостоянства которой определяют промежутки монотонности и выпуклости графика исходной функции.Ключевые слова:функция, монотонность, выпуклость графика, исследование, метод обобщения.Раздел: (01) педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).
Если функция задана формулой, то установление свойств этой функции называется исследованием функции. При исследовании функций до знакомства с производной наиболее трудным является поиск промежутков монотонности. Учащиеся, зная определения возрастания и убывания функции, не могут найти соответствующие промежутки, так как не знают метода их нахождения. Вместе с темпрограмма по математике предусматривает, чтобы основные свойства функции были освоены учащимися до изучения элементов математического анализа. Наиболее полно о проблемах изучения свойств функций говорится в статье С.В.Дворянинова и Н.Х.Розова ≦1]. Этастатья подтвердила важность нахождения промежутков монотонности без использования производной. Авторами был предложен один из путей нахождения промежутков монотонности –на основе свойств монотонности сложных функций. Вместе с темавторы статьи утверждали, что «предлагаемая в начале Хкласса схема исследования функции в точном понимании этой задачи реализована быть не может» ≦2]. В процессе решения проблемы был предложен новый метод исследования рациональных функций на монотонность, основанный на идее обобщения. Этот метод позволяет реализовывать схему исследования функции «в точном понимании этой задачи». Результаты были опубликованы в статье ≦3].Метод обобщения при нахождении промежутков монотонности рациональныхи алгебраическихфункций был реализован вкнигах ≦4] и ≦5].В статье развивается идея обобщения для исследования элементарныхфункций, т.е. всех основных функций, которые изучаются в школьном курсе математики. В ней обобщение выступает в качестве метода исследованияфункций не только на монотонность, но и на выпуклость графика без использования первой и второй производной.Рассмотрим выражение ∆(ݔ1;ݔ2)=0приݔ1=ݔ2.Вэтом случае его можно представить в виде произведения двух множителей: ∆(ݔ1;ݔ2)=B(ݔ1;ݔ2)∙A(ݔ1;ݔ2), таких, что приݔ1=ݔ2B(ݔ1;ݔ2) =0иA(ݔ1;ݔ2) ≠0.Точки х=ݔ1=ݔ2, в которых множитель A(ݔ1;ݔ2) =A(х) =0,являются точками смены знака множителя A(ݔ1;ݔ2).К таким выражениям относятся, например, выражения ∆(ݔ1;ݔ2)=�(ݔ2)−�(ݔ1)и ∆(ݔ1;ݔ2)=�(�1+�22)−�(�1)+�(�2)2,где�(ݔ)–элементарная функция.Гилев В. Г. Методика исследования элементарных функций на монотон0ность и выпуклость графика методом обобщения// Концепт. 22015. 2№04(апрель).2ART15102. 20,4п. л. 2URL: http://ekoncept.ru/2015/15102.htm. 2Гос. рег. ол№дС 7749965.2ISSN 2304120X. 2
Примеры
1.∆(ݔ1;ݔ2)= ݔ22− ݔ12= (ݔ2−ݔ1)·(ݔ2+ݔ1)= B(ݔ1;ݔ2) ·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) =ݔ2−ݔ1, A(ݔ1;ݔ2) = ݔ2+ݔ1. На самом деле при ݔ1=ݔ2имеем:∆(ݔ1;ݔ2)=ݔ22− ݔ12=0; B(ݔ1;ݔ2) =ݔ2−ݔ1=0, A(ݔ1;ݔ2) = ݔ2+ݔ1≠0. 2.∆(ݔ1;ݔ2)= ݔ23−ݔ13=(ݔ2−ݔ1)(ݔ22+ݔ1ݔ2+ݔ22)= B(ݔ1;ݔ2) ·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2)=ݔ2−ݔ1,A(ݔ1;ݔ2) = ݔ22+ݔ1ݔ2+ݔ22.3.∆(ݔ1;ݔ2)=�12−�22�12�22= (ݔ2−ݔ1)∙−(�2+�1)�12�22= B(ݔ1;ݔ2) ·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) =ݔ2−ݔ1, A(ݔ1;ݔ2) = −�2+�1�12�22.4.∆(ݔ1;ݔ2)=
�2−�1√�2+√�1=(ݔ2−ݔ1)∙1√�2+√�1= B(ݔ1;ݔ2)·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2)=ݔ2−ݔ1, A(ݔ1;ݔ2) = 1√�2+√�1.5.∆(ݔ1;ݔ2)=(ܽݔ22+ܾݔ2+ܿ)−(ܽݔ12+ܾݔ1+ܿ)=(ܽݔ22−ܽݔ12)+(ܾݔ2−ܾݔ1)= (ݔ2−−ݔ1)(ݔ2+ݔ1)+ܾ(ݔ2−ݔ1)=(ݔ2−ݔ1)(ܽ(ݔ2+ݔ1)+ܾ)=B(ݔ1;ݔ2)·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2)=ݔ2−ݔ1, A(ݔ1;ݔ2) = ܽ(ݔ2+ݔ1)+ܾ.6.∆(ݔ1;ݔ2)=ܽ�2−ܽ�1=ܽ�1(�2�1−1)= B(ݔ1;ݔ2) ·�(ݔ1;ݔ2),гдеB(ݔ1;ݔ2) =�2�1−1, A(ݔ1;ݔ2) = ܽ�1.7.∆(ݔ1;ݔ2)= ��݊ݔ2−��݊ݔ1= 2��݊(�2−�12)∙ܿ�(�2+�12)=B(ݔ1;ݔ2) ·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) = 2��݊(�2−�12), A(ݔ1;ݔ2) = ܿ�(�2+�12).8.∆(ݔ1;ݔ2)= (�1+�22)2−�12+�222=�12+2�1�2+�224−�12+�222=�12+2�1�2+�22−2�12−2�224==−�12+2�1�2−�224=−(�2−�1)24=(ݔ2−ݔ1)2∙−14=B(ݔ1;ݔ2) ∙A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) =(ݔ2–ݔ1)2,A(ݔ1;ݔ2) = −14.Приݔ1=ݔ2имеем:∆(ݔ1;ݔ2)= (�1+�22)2−�12+�222=0; B(ݔ1;ݔ2)=(ݔ2–ݔ1)2=0, A(ݔ1;ݔ2) = −14≠0.9.∆(࢞;࢞)=(࢞+࢞)−࢞+࢞=�13+3�12�2+3�1�22+�238−�13+�232= �13+3�12�2+3�1�22+�23−4�13−4�238=−3�13+3�12�2+3�1�22−3�238= 3�12(�2−�1)−3�22(�2−�1)8= −3(�2–�1)2(�1+�2)8=(ݔ2–ݔ1)2·(−38(ݔ1+ݔ2))=B(ݔ1;ݔ2) ∙A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2)=(ݔ2–ݔ1)2,A(ݔ1;ݔ2) = −38(ݔ1+ݔ2).10.∆(ݔ1;ݔ2)= 2�1+�2−�2+�12�1�2= 4�1�2−(�1+�2)22�1�2(�1+�2)= 4�1�2−�12−2�1�2−�222�1�2(�1+�2)=−�12+2�1�2−�222�1�2(�1+�2)=−(�2−�1)22�1�2(�1+�2)=(ݔ2−ݔ1)2∙−12�1�2(�1+�2)= B(ݔ1;ݔ2)·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) =(ݔ2−ݔ1)2, A(ݔ1;ݔ2) = −12�1�2(�1+�2).11.∆(ݔ1;ݔ2)= ܽ�1+�22−�1+�22= 2�1+�22−�1−�22= −((�12)−2�12�22+(�22))2= −(�12−�22)2= (ܽ�12−ܽ�22)∙(−12)= B(ݔ1;ݔ2) ·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) = (ܽ�12−ܽ�22),A(ݔ1;ݔ2) = −12. Гилев В. Г. Методика исследования элементарных функций на монотон0ность и выпуклость графика методом обобщения// Концепт. 22015. 2№04(апрель).2ART15102. 20,4п. л. 2URL: http://ekoncept.ru/2015/15102.htm. 2Гос. рег. ол№дС 7749965.2ISSN 2304120X. 3
12.∆(ݔ1;ݔ2)= sin(�1+�22)−���(�1)+���(�2)2= sin�1+�22−sin�1+�22ܿ��1−�22= sin�1+�22∙(1−ܿ��1−�22)= B(ݔ1;ݔ2) ·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) = =1−ܿ��2−�12, A(ݔ1;ݔ2) = ��݊�1+�22.Определение 1.Функция f(x) называется возрастающейна данном числовом промежутке Р, если для любых ݔ1и ݔ2из промежутка Р, таких, что ݔ2� ݔ1, выполняется неравенство f(ݔ2�) f(ݔ1).Определение 2.Функция f(x) называется убывающейна данном числовом промежутке Р, если для любых ݔ1и ݔ2из промежутка Р, таких, что ݔ2� ݔ1, выполняется неравенство f(ݔ2) f(ݔ1).Определение 3. Функция f(x) называется выпуклой вверхна данном числовом промежутке Р, если для любых ݔ1и ݔ2из промежутка Р, таких, что ݔ2� ݔ1, выполняется неравенство f(�1+�22)� �(�1)+�(�2)2.
Определение 4.Функция f(x) называется выпуклой внизна данном числовом промежутке Р, если для любых ݔ1и ݔ2из промежутка Р, таких, что ݔ2� ݔ1, выполняется неравенство f(�1+�22)�(�1)+�(�2)2.
Исходя из определений 1–4, имеем: 1.Функция y=f(x) возрастает, если имеем: ݔ2� ݔ1⇒f(ݔ2�) f(ݔ1).2.Функция y=f(x) убывает, если имеем: ݔ2� ݔ1⇒f(ݔ2) f(ݔ1).3.График функции y=f(x) выпуклый вверх, если имеем: ݔ2� ݔ1⇒�(�1+�22)�(�1)+�(�2)2.4.График функции y=f(x) выпуклый вниз, если имеем:ݔ2� ݔ1⇒�(�1+�22)൏�(�1)+�(�2)2.При исследовании функции ݕ=�(ݔ)на монотонность по определению поступаем следующим образом.Пусть ݔ1,ݔ2∈ܦ�такие, что ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2− ݔ1�0. Требуется найти промежутки, в которых f(ݔ2) � f(ݔ1) или f(ݔ2) f(ݔ1), т.е. оценить разность ∆(ݔ1;ݔ2)= =�(ݔ2)−�(ݔ1).Для этого представим ее в виде произведения двух множителей:∆(ݔ1;ݔ2)=�(ݔ2)−�(ݔ1)=B(ݔ1;ݔ2)∙A(ݔ1;ݔ2), причемприݔ1=ݔ2B(ݔ1;ݔ2) =0иA(ݔ1;ݔ2) ≠0.Аналогично при исследовании функции ݕ=�(ݔ)на выпуклость графика по определению поступаем следующим образом.Пусть ݔ1,ݔ2∈ܦ�такие, что ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2− ݔ1> 0. Требуется найти промежутки, в которых �(�1+�22)�(�1)+�(�2)2или �(�1+�22)൏�(�1)+�(�2)2, т.е. оценить разность ∆(ݔ1;ݔ2)= �(�1+�22)−�(�1)+�(�2)2. Для этого представим ее в виде произведения двух множителей:∆(ݔ1;ݔ2)=�(�1+�22)−�(�1)+�(�2)2=B(ݔ1;ݔ2)∙A(ݔ1;ݔ2), причемприݔ1=ݔ2B(ݔ1;ݔ2) =0иA(ݔ1;ݔ2)≠0.И далее, так как в определениях монотонности и выпуклости графика функции принимается ݔ2� ݔ1, то есть ݔ2≠ݔ1то для определенности выделим множитель B(ݔ1;ݔ2)0, тогда знак ∆(ݔ1;ݔ2)будет зависеть только от знака множителя A(ݔ1;ݔ2). Остается ответить, на каких промежутках A(ݔ1;ݔ2) принимает положительные значения, а на каких –отрицательные. Для этого найдем вспомогательную функцию Гилев В. Г. Методика исследования элементарных функций на монотон0ность и выпуклость графика методом обобщения// Концепт. 22015. 2№04(апрель).2ART15102. 20,4п. л. 2URL: http://ekoncept.ru/2015/15102.htm. 2Гос. рег. ол№дС 7749965.2ISSN 2304120X. 4
�(ݔ), сделав обобщение путем замены ݔ1и ݔ2на хв выражении A(ݔ1;ݔ2): �(ݔ)= A(х), где х= ݔ1= ݔ2. Вспомогательную функцию �(ݔ)назовем функцией обобщения. Переменная хпринадлежит одному из устанавливаемых исследованием промежутков. Для нахождения самих промежутков необходимо решить соответственно неравенства �(ݔ)> 0 и �(ݔ)< 0. Решение неравенства�(ݔ)> 0 определяет промежутки возрастания (выпуклости вверх графика) функции. Решение неравенства �(ݔ)< 0 определяет промежутки убывания (выпуклости вниз графика) функции. Точки, в которых функция обобщения �(ݔ)= 0, называются критическими (точками экстремума или перегиба). Итак, обобщение, т.е. замена ݔ1и ݔ2на хв выражении A(ݔ1;ݔ2), явилось решением проблемы исследования функций на монотонность и выпуклость графика без использования первой и второй производных. Поэтому можно говорить об исследовании функций на монотонность и выпуклость графика методом обобщения.
Примеры
Исследовать функцию на монотонность
1.у= ࢞.
Решение.Пусть ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2−ݔ1� 0.∆(ݔ1;ݔ2)= �(ݔ2)−�(ݔ1)=ݔ22− ݔ12= (ݔ2−ݔ1)·(ݔ2+ݔ1)= B(ݔ1;ݔ2) ·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) =ݔ2−ݔ10, A(ݔ1;ݔ2) = ݔ2+ݔ1.Найдем функцию обобщения �(ݔ)= A(х) = х + х= 2х. Итак, �(ݔ)= 2х. �(ݔ)= 0 при х= 0 −критическая точка, точка экстремума.�(ݔ)> 0 при х> 0, значит,на промежутке ≦0; +∞) функция ݕ=ݔ2возрастает. �(ݔ)< 0 при х < 0, значит,на промежутке (−∞;0] функция у= х2 убывает. Таким образом, функция ݕ=ݔ2возрастает на промежутке ≦0; +∞), а убывает на промежутке (−∞;0].2.у=࢞.
Решение. Пусть ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2−ݔ1� 0. Имеем:∆(ݔ1;ݔ2)=f(ݔ2) − f(ݔ1) =ݔ23−ݔ13=(ݔ2−ݔ1)(ݔ22+ݔ1ݔ2+ݔ22)= B(ݔ1;ݔ2) ·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2)=ݔ2−ݔ10,A(ݔ1;ݔ2) = ݔ22+ݔ1ݔ2+ݔ22.Найдем функцию обобщения:�(ݔ)= A(х) = ݔ2+ݔ2+ݔ2=3ݔ2. Итак, �(ݔ)= 3ݔ2. �(ݔ)= 0 при х= 0 −критическая точка.�(ݔ)> 0 при x∈(−∞;0)∪(0;+∞). В точкех= 0 нет смены монотонности: х= 0−точка перегиба. Функция возрастает при x ∈R.3.у=
࢞.
Решение.ܦ�= (−∞;0)∪(0;+∞). Пусть ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2−ݔ1� 0. Имеем:∆(ݔ1;ݔ2)=f(ݔ2) − f(ݔ1) = 1�22−1�12=�12−�22�12�22= (ݔ2−ݔ1)∙−(�2+�1)�12�22=B(ݔ1;ݔ2)·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) =ݔ2−ݔ10, A(ݔ1;ݔ2) = −�2+�1�12�22. Найдем функцию обобщения: �(ݔ)= A(х) =−�+��2�2=−2��4=−2�3. Итак, �(ݔ)= −2�3≠ 0 −критических точек нет.�(ݔ)�0 при (−∞;0). Функция у = ݔ−2возрастает. �(ݔ)< 0 при (0;+∞). Функция у = ݔ−2убывает.Гилев В. Г. Методика исследования элементарных функций на монотон0ность и выпуклость графика методом обобщения// Концепт. 22015. 2№04(апрель).2ART15102. 20,4п. л. 2URL: http://ekoncept.ru/2015/15102.htm. 2Гос. рег. ол№дС 7749965.2ISSN 2304120X. 5
4.у= ࢞.
Решение.Пусть ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2− ݔ1> 0. Имеем: у= ݔ12=√ݔ; ܦ�=[0;+∞).∆(ݔ1;ݔ2)= √ݔ2−√ݔ1=(√�2−√�1)∙(√�2+√�1)(√�2+√�1)= �2−�1(√�2+√�1)= (ݔ2−ݔ1)∙1√�2+√�1= B(ݔ1;ݔ2)·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) =ݔ2−ݔ10, A(ݔ1;ݔ2) = =1√�2+√�1.Найдем функцию обобщения: �(ݔ)= A(х) =1√�+√�= 12√�.Итак, �(ݔ)= 12√�
� 0.Функция у= ݔ12возрастает в промежутке определения [0;+∞).5.࢟=ࢇ࢞+࢈࢞+ࢉ.
Решение.Пусть ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2−ݔ1� 0. Имеем:∆(ݔ1;ݔ2)=(ܽݔ22+ܾݔ2+ܿ)−−(ܽݔ12+ܾݔ1+ܿ)=(ܽݔ22−ܽݔ12)+(ܾݔ2−ܾݔ1)=ܽ(ݔ2−ݔ1)(ݔ2+ݔ1)+ܾ(ݔ2−ݔ1)= =(ݔ2−ݔ1)(ܽ(ݔ2+ݔ1)+ܾ)= B(ݔ1;ݔ2)·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) =ݔ2−ݔ10, A(ݔ1;ݔ2) = =ܽ(ݔ2+ݔ1)+ܾ. Найдем функцию обобщения: �(ݔ)= A(х) = ܽ(ݔ+ݔ)+ܾ= 2ܽݔ+ܾ.Имеем: �(ݔ)=2ܽݔ+ܾ.�(ݔ)=0; 2ܽݔ+ܾ=0;ݔ=−2–критическая точка.
Функция возрастает, если �(ݔ)� 0; 2ܽݔ+ܾ0, откуда 2ܽݔ−ܾ. Имеем два случая: 1) если а> 0, то ݔ−2, т.е. x∈(−2;+∞);2) если а< 0, то ݔ൏−2, т.е. x∈(−∞;−2).Функция убывает, если �(ݔ)൏0, 2ܽݔ+ܾ൏0, откуда 2ܽݔ൏−ܾ. Имеем два случая: 1) если а> 0, тоݔ൏−2, т.е. x∈(−∞;−2);2) если а< 0, то . ݔ−2, т.е. x∈(−2;+∞).Так как ݔ=−2–критическая точка, то приходим к выводу:если а> 0, то функция у = ܽݔ2+ܾݔ+ܿубывает при ݔ∈(−∞;−2]и возрастает при ݔ∈[−2;+∞); если а< 0, то функция у= ܽݔ2+ܾݔ+ܿвозрастает при ݔ∈(−∞;−2]и убывает при ݔ∈[−2;+∞).6.࢟=ࢇ࢞.Решение.Заметим, что множество значений показательной функции ݕ=ܽ�равно: ܧ�= (0; +∞). Пусть ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2− ݔ1> 0. Имеем: ∆(ݔ1;ݔ2)=ܽ�2−ܽ�1=ܽ�1(�2�1−1)= B(ݔ1;ݔ2) ·�(ݔ1;ݔ2),гдеB(ݔ1;ݔ2) =�2�1−1, A(ݔ1;ݔ2) = ܽ�1.1) При a> 1 имеем: ܽ�1� 0,и так как ܽ�2−�1�1, тоܽ�2−�1−10.Таким образом, ܽ�1(ܽ�2−�1−1)> 0, т.е. f(ݔ2) − f(ݔ1�) 0. Функция возрастает.2) При 0 < a< 1 имеем: ܽ�1� 0,и так как ܽ�2−�11, тоܽ�2−�1−1൏0.Таким образом, ܽ�1(ܽ�2−�1−1)൏0, т.е. f(ݔ2) − f(ݔ1) ൏0. Функция убывает.7.࢟=���࢞.Гилев В. Г. Методика исследования элементарных функций на монотон0ность и выпуклость графика методом обобщения// Концепт. 22015. 2№04(апрель).2ART15102. 20,4п. л. 2URL: http://ekoncept.ru/2015/15102.htm. 2Гос. рег. ол№дС 7749965.2ISSN 2304120X. 6
Решение.Пусть, с учетом периодичности функцииݕ=��݊ݔ, −�2ݔ1൏ݔ2�2или �2ݔ1൏ݔ23�2. В силу свойств числовых неравенств в первом и во втором случаях: 0൏�2−�12�2. Имеем:∆(ݔ1;ݔ2)= ��݊ݔ2−��݊ݔ1= 2��݊(�2−�12)∙ܿ�(�2+�12)= B(ݔ1;ݔ2) ·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) = 2��݊(�2−�12)0, A(ݔ1;ݔ2) = ܿ�(�2+�12).Найдем функцию обобщения: �(ݔ)= A(х) = ܿ�(�+�2)= ܿ�(2�2)= ܿ�ݔ.Имеем:�(ݔ)= ܿ�ݔ.�(ݔ)= 0; ܿ�ݔ=0; ݔ= �2+ �݊,݊∈ܼ–критические точки.�(ݔ)0;ܿ�ݔ0;−�2+2�݊൏ݔ൏�2+2�݊,݊∈ܼ–функцияݕ=��݊ݔвозрастает.�(ݔ)൏0;ܿ�ݔ൏0;�2+2�݊൏ݔ൏3�2+2�݊,݊∈ܼ−функция ݕ=��݊ݔубывает.Так как критические точки являются точками экстремума, имеем: функция синус возрастает на каждом из промежутков [−�2+2�݊;�2+2�݊], ݊∈ܼи убывает накаждомизпромежутков[�2+2�݊;3�2+2�݊], ݊∈ܼ.
Исследовать функцию на выпуклость графика8.у=࢞.
Решение.Пусть ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2−ݔ1� 0. ∆(ݔ1;ݔ2)=f(�1+�22)−�(�1)+�(�2)2= (�1+�22)2−�12+�222= �12+2�1�2+�224−�12+�222= �12+2�1�2+�22−2�12−2�224= −�12+2�1�2−�224= −(�2−�1)24= (ݔ2−ݔ1)2∙−14= B(ݔ1;ݔ2) ∙A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) =(ݔ2–ݔ1)20,A(ݔ1;ݔ2) = −14൏0−график функции у=ݔ2выпуклый вниз.
9.у=࢞.
Решение.Пусть ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2−ݔ1� 0.∆(ݔ1;ݔ2)=f(�1+�22)−�(�1)+�(�2)2= (�1+�22)3−�13+�232=�13+3�12�2+3�1�22+�238−�13+�232= �13+3�12�2+3�1�22+�23−4�13−4�238= −3�13+3�12�2+3�1�22−3�238= 3�12(�2−�1)−3�22(�2−�1)8= =−3(�2–�1)2(�1+�2)8=(ݔ2–ݔ1)2·(−38(ݔ1+ݔ2))=B(ݔ1;ݔ2) ∙A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2)=(ݔ2–ݔ1)20,A(ݔ1;ݔ2) = −38(ݔ1+ݔ2).Найдем функцию обобщения: �(ݔ)= A(х) = −38·2х= −34ݔ. Таким образом, �(ݔ)= −34ݔ. Найдем промежутки выпуклости графика функции:�(ݔ)< 0 при x� 0 –график функции у= ݔ3выпуклый вниз.�(ݔ)> 0 при x 0 –график функции у= ݔ3выпуклый вверх.�(ݔ)= 0 при х= 0 –критическая точка, точка перегиба.
Итак, при х∈(−∞;0]график функции выпуклый вверх, а при х∈[0; +∞) –выпуклый вниз.10.у= ࢞−.
Решение. Заметим, что область определения функцииу= ݔ−1или у=
1�равна: ܦ�= (−∞;0)∪(0;+∞). Гилев В. Г. Методика исследования элементарных функций на монотон0ность и выпуклость графика методом обобщения// Концепт. 22015. 2№04(апрель).2ART15102. 20,4п. л. 2URL: http://ekoncept.ru/2015/15102.htm. 2Гос. рег. ол№дС 7749965.2ISSN 2304120X. 7
Пусть ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2−ݔ1� 0.∆(ݔ1;ݔ2)= f(�1+�22)−�(�1)+�(�2)2= 2�1+�2−
1�1+
1�22= 2�1+�2−�2+�12�1�2=4�1�2−(�1+�2)22�1�2(�1+�2)=4�1�2−�12−2�1�2−�222�1�2(�1+�2)=−�12+2�1�2−�222�1�2(�1+�2)=−(�2−�1)22�1�2(�1+�2)=(ݔ2−ݔ1)2∙−12�1�2(�1+�2)= B(ݔ1;ݔ2)·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) =(ݔ2−ݔ1)20, A(ݔ1;ݔ2) = −12�1�2(�1+�2). Найдем функцию обобщения: �(ݔ)= A(х) =−12��(�+�)=−14�3. Итак, �(ݔ)= −14�3. �(ݔ)≠ 0 −критических точек нет.�(ݔ)� 0; −14�3� 0; x 0 −график функции выпуклый вверх.�(ݔ) 0; −14�3 0; x�0 −график функции выпуклый вниз.Итак, график функции у= ݔ−1выпуклый вверх при x∈(−∞;0)и выпуклый вниз при ݔ∈(0;+∞).11.࢟=ࢇ࢞, где a� 0, a≠ 1.Решение.Пусть ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2−ݔ1� 0. Имеем:∆(ݔ1;ݔ2)= f(�1+�22)−�(�1)+�(�2)2= ܽ�1+�22−�1+�22= 2�1+�22−�1−�22= −((�12)−2�12�22+(�22))2= −(�12−�22)2= (ܽ�12−ܽ�22)∙(−12)= B(ݔ1;ݔ2) ·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) = (ܽ�12−ܽ�22),A(ݔ1;ݔ2) = −12.Функция обобщения�(ݔ)=−12൏0−график функции у= ܽ�выпуклый вниз. Итак, график функции у= ܽ�выпуклый вниз приݔ∈(−∞;+∞).12.у = sinx.Решение.Пусть ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2− ݔ1> 0. Применяя формулу суммы синусов, получим: ∆(ݔ1;ݔ2)=�(�1+�22)−�(�1)+�(�2)2=sin(�1+�22)−���(�1)+���(�2)2= sin�1+�22−sin
ܿ��1−�22= sin�1+�22∙(1−ܿ��1−�22)= B(ݔ1;ݔ2) ·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) =1−ܿ��2−�120, A(ݔ1;ݔ2) = ��݊�1+�22.Найдем функцию обобщения: �(ݔ)= A(х) =��݊�+�2=��݊2�2=��݊ݔ.Таким образом, �(ݔ)=��݊ݔ.Найдем промежутки выпуклости графика исходной функции. �(ݔ)� 0; ��݊ݔ� 0; 2πпxπ+ 2πп, п∈ܼ−график функции у= ��݊ݔвыпуклый вверх.�(ݔ) 0; ��݊ݔ 0; −π + 2πпx 2πп, п∈ܼ−график функции у= ��݊ݔвыпуклый вниз. �(ݔ)= 0; ��݊ݔ=0при х= πп, п∈ܼ−точки перегиба. Итак, приݔ∈[2πп ; π + 2πп], п∈ܼграфик выпуклый вверх, а прих ∈[−�+2�݊;2�݊], п∈ܼ−выпуклый вниз.
Ссылки на источники1.Дворянинов С.В., РозовН.Х.Некоторые замечания об изучении функций в школе// Математика в школе. –1994.–№5.2.Там же.–С. 28.3.Гилев В.Г. Об одном методе нахождения промежутков монотонности рациональных функций// Математика в школе. –1996.–№2.4.Гилев В.Г. Исследование рациональных функций на монотонность и экстремумы.–М., 2011.–90 с.: ил. (Серия «Математика: элективный курс»).5.Гилев В.Г. Исследованиеалгебраических функцийбез использования производной. –М., 2012. –162 с.: ил. (Серия «Математика: элективный курс»).
Гилев В. Г. Методика исследования элементарных функций на монотон0ность и выпуклость графика методом обобщения// Концепт. 22015. 2№04(апрель).2ART15102. 20,4п. л. 2URL: http://ekoncept.ru/2015/15102.htm. 2Гос. рег. ол№дС 7749965.2ISSN 2304120X. 8
Valery Gilev,Candidate of Pedagogic Sciences,AssociateProfessor at the chair of Mathematics, Computer Science and Teaching Methods; Ishim State Pedagogical InstituteP.P.Ershova; Ishim,DolgoprudnyGilev.valery@gmail.comResearch method of elementary functionsonmonotony and convexity schedule by generalizationmethodAbstract.The paper solves the problem of elementary functions study on monotony and convexity graphics, without using derivative, but by definition. The solution is the method that is called themethod of generalization. The result is the function, which determinesthe intervals of constant sign intervals of monotonicity and convexity of the graph of original function.Key words:function, monotonity, convexity, graphics, research, method of generalization.References1.Dvorjaninov,S. V.&Rozov,N. H. (1994) “Nekotorye zamechanija ob izuchenii funkcij v shkole”,Matematika v shkole,№ 5.2.Ibid.,p. 28.3.Gilev,V. G. (1996) “Ob odnom metode nahozhdenija promezhutkov monotonnosti racional'nyh funkcij”,Matematika v shkole,№ 2.4.Gilev,V. G. (2011) Issledovanie racional'nyh funkcij na monotonnost' i jekstremumy,Moscow,90 p.: il. (Serija “Matematika: jelektivnyj kurs”).5.Gilev,V. G. (2012) Issledovanie algebraicheskih funkcij bez ispol'zovanija proizvodnoj,Moscow,162 p.: il. (Serija “Matematika: jelektivnyj kurs”).
Рекомендованокпубликации:
Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»
Поступила в редакциюReceived04.02.15Получена положительная рецензияReceived a positive review06.02.15ПринятакпубликацииAccepted for publication06.02.15ОпубликованаPublished30.04.15
© Концепт, научнометодический электронный журнал, 2015©Гилев В. Г., 2015www.ekoncept.ru
ART15102УДК 373.851
Гилев Валерий Георгиевич,
кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики, информатики и методики их преподавания ФГБОУ ВПО «Ишимский государственный педагогический институт им. П. П. Ершова»; г. ИшимGilev.valery@gmail.com
Методика исследования элементарных функций на монотонность и выпуклость графика методом обобщения
Аннотация.В статье решается проблема исследования элементарных функций на монотонность и выпуклость графика без использования производной, по определению. Решением проблемы явился метод, который в статье носит название метода обобщения. В результате обобщения появляется функция, промежутки знакопостоянства которой определяют промежутки монотонности и выпуклости графика исходной функции.Ключевые слова:функция, монотонность, выпуклость графика, исследование, метод обобщения.Раздел: (01) педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).
Если функция задана формулой, то установление свойств этой функции называется исследованием функции. При исследовании функций до знакомства с производной наиболее трудным является поиск промежутков монотонности. Учащиеся, зная определения возрастания и убывания функции, не могут найти соответствующие промежутки, так как не знают метода их нахождения. Вместе с темпрограмма по математике предусматривает, чтобы основные свойства функции были освоены учащимися до изучения элементов математического анализа. Наиболее полно о проблемах изучения свойств функций говорится в статье С.В.Дворянинова и Н.Х.Розова ≦1]. Этастатья подтвердила важность нахождения промежутков монотонности без использования производной. Авторами был предложен один из путей нахождения промежутков монотонности –на основе свойств монотонности сложных функций. Вместе с темавторы статьи утверждали, что «предлагаемая в начале Хкласса схема исследования функции в точном понимании этой задачи реализована быть не может» ≦2]. В процессе решения проблемы был предложен новый метод исследования рациональных функций на монотонность, основанный на идее обобщения. Этот метод позволяет реализовывать схему исследования функции «в точном понимании этой задачи». Результаты были опубликованы в статье ≦3].Метод обобщения при нахождении промежутков монотонности рациональныхи алгебраическихфункций был реализован вкнигах ≦4] и ≦5].В статье развивается идея обобщения для исследования элементарныхфункций, т.е. всех основных функций, которые изучаются в школьном курсе математики. В ней обобщение выступает в качестве метода исследованияфункций не только на монотонность, но и на выпуклость графика без использования первой и второй производной.Рассмотрим выражение ∆(ݔ1;ݔ2)=0приݔ1=ݔ2.Вэтом случае его можно представить в виде произведения двух множителей: ∆(ݔ1;ݔ2)=B(ݔ1;ݔ2)∙A(ݔ1;ݔ2), таких, что приݔ1=ݔ2B(ݔ1;ݔ2) =0иA(ݔ1;ݔ2) ≠0.Точки х=ݔ1=ݔ2, в которых множитель A(ݔ1;ݔ2) =A(х) =0,являются точками смены знака множителя A(ݔ1;ݔ2).К таким выражениям относятся, например, выражения ∆(ݔ1;ݔ2)=�(ݔ2)−�(ݔ1)и ∆(ݔ1;ݔ2)=�(�1+�22)−�(�1)+�(�2)2,где�(ݔ)–элементарная функция.Гилев В. Г. Методика исследования элементарных функций на монотон0ность и выпуклость графика методом обобщения// Концепт. 22015. 2№04(апрель).2ART15102. 20,4п. л. 2URL: http://ekoncept.ru/2015/15102.htm. 2Гос. рег. ол№дС 7749965.2ISSN 2304120X. 2
Примеры
1.∆(ݔ1;ݔ2)= ݔ22− ݔ12= (ݔ2−ݔ1)·(ݔ2+ݔ1)= B(ݔ1;ݔ2) ·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) =ݔ2−ݔ1, A(ݔ1;ݔ2) = ݔ2+ݔ1. На самом деле при ݔ1=ݔ2имеем:∆(ݔ1;ݔ2)=ݔ22− ݔ12=0; B(ݔ1;ݔ2) =ݔ2−ݔ1=0, A(ݔ1;ݔ2) = ݔ2+ݔ1≠0. 2.∆(ݔ1;ݔ2)= ݔ23−ݔ13=(ݔ2−ݔ1)(ݔ22+ݔ1ݔ2+ݔ22)= B(ݔ1;ݔ2) ·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2)=ݔ2−ݔ1,A(ݔ1;ݔ2) = ݔ22+ݔ1ݔ2+ݔ22.3.∆(ݔ1;ݔ2)=�12−�22�12�22= (ݔ2−ݔ1)∙−(�2+�1)�12�22= B(ݔ1;ݔ2) ·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) =ݔ2−ݔ1, A(ݔ1;ݔ2) = −�2+�1�12�22.4.∆(ݔ1;ݔ2)=
�2−�1√�2+√�1=(ݔ2−ݔ1)∙1√�2+√�1= B(ݔ1;ݔ2)·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2)=ݔ2−ݔ1, A(ݔ1;ݔ2) = 1√�2+√�1.5.∆(ݔ1;ݔ2)=(ܽݔ22+ܾݔ2+ܿ)−(ܽݔ12+ܾݔ1+ܿ)=(ܽݔ22−ܽݔ12)+(ܾݔ2−ܾݔ1)= (ݔ2−−ݔ1)(ݔ2+ݔ1)+ܾ(ݔ2−ݔ1)=(ݔ2−ݔ1)(ܽ(ݔ2+ݔ1)+ܾ)=B(ݔ1;ݔ2)·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2)=ݔ2−ݔ1, A(ݔ1;ݔ2) = ܽ(ݔ2+ݔ1)+ܾ.6.∆(ݔ1;ݔ2)=ܽ�2−ܽ�1=ܽ�1(�2�1−1)= B(ݔ1;ݔ2) ·�(ݔ1;ݔ2),гдеB(ݔ1;ݔ2) =�2�1−1, A(ݔ1;ݔ2) = ܽ�1.7.∆(ݔ1;ݔ2)= ��݊ݔ2−��݊ݔ1= 2��݊(�2−�12)∙ܿ�(�2+�12)=B(ݔ1;ݔ2) ·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) = 2��݊(�2−�12), A(ݔ1;ݔ2) = ܿ�(�2+�12).8.∆(ݔ1;ݔ2)= (�1+�22)2−�12+�222=�12+2�1�2+�224−�12+�222=�12+2�1�2+�22−2�12−2�224==−�12+2�1�2−�224=−(�2−�1)24=(ݔ2−ݔ1)2∙−14=B(ݔ1;ݔ2) ∙A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) =(ݔ2–ݔ1)2,A(ݔ1;ݔ2) = −14.Приݔ1=ݔ2имеем:∆(ݔ1;ݔ2)= (�1+�22)2−�12+�222=0; B(ݔ1;ݔ2)=(ݔ2–ݔ1)2=0, A(ݔ1;ݔ2) = −14≠0.9.∆(࢞;࢞)=(࢞+࢞)−࢞+࢞=�13+3�12�2+3�1�22+�238−�13+�232= �13+3�12�2+3�1�22+�23−4�13−4�238=−3�13+3�12�2+3�1�22−3�238= 3�12(�2−�1)−3�22(�2−�1)8= −3(�2–�1)2(�1+�2)8=(ݔ2–ݔ1)2·(−38(ݔ1+ݔ2))=B(ݔ1;ݔ2) ∙A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2)=(ݔ2–ݔ1)2,A(ݔ1;ݔ2) = −38(ݔ1+ݔ2).10.∆(ݔ1;ݔ2)= 2�1+�2−�2+�12�1�2= 4�1�2−(�1+�2)22�1�2(�1+�2)= 4�1�2−�12−2�1�2−�222�1�2(�1+�2)=−�12+2�1�2−�222�1�2(�1+�2)=−(�2−�1)22�1�2(�1+�2)=(ݔ2−ݔ1)2∙−12�1�2(�1+�2)= B(ݔ1;ݔ2)·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) =(ݔ2−ݔ1)2, A(ݔ1;ݔ2) = −12�1�2(�1+�2).11.∆(ݔ1;ݔ2)= ܽ�1+�22−�1+�22= 2�1+�22−�1−�22= −((�12)−2�12�22+(�22))2= −(�12−�22)2= (ܽ�12−ܽ�22)∙(−12)= B(ݔ1;ݔ2) ·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) = (ܽ�12−ܽ�22),A(ݔ1;ݔ2) = −12. Гилев В. Г. Методика исследования элементарных функций на монотон0ность и выпуклость графика методом обобщения// Концепт. 22015. 2№04(апрель).2ART15102. 20,4п. л. 2URL: http://ekoncept.ru/2015/15102.htm. 2Гос. рег. ол№дС 7749965.2ISSN 2304120X. 3
12.∆(ݔ1;ݔ2)= sin(�1+�22)−���(�1)+���(�2)2= sin�1+�22−sin�1+�22ܿ��1−�22= sin�1+�22∙(1−ܿ��1−�22)= B(ݔ1;ݔ2) ·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) = =1−ܿ��2−�12, A(ݔ1;ݔ2) = ��݊�1+�22.Определение 1.Функция f(x) называется возрастающейна данном числовом промежутке Р, если для любых ݔ1и ݔ2из промежутка Р, таких, что ݔ2� ݔ1, выполняется неравенство f(ݔ2�) f(ݔ1).Определение 2.Функция f(x) называется убывающейна данном числовом промежутке Р, если для любых ݔ1и ݔ2из промежутка Р, таких, что ݔ2� ݔ1, выполняется неравенство f(ݔ2) f(ݔ1).Определение 3. Функция f(x) называется выпуклой вверхна данном числовом промежутке Р, если для любых ݔ1и ݔ2из промежутка Р, таких, что ݔ2� ݔ1, выполняется неравенство f(�1+�22)� �(�1)+�(�2)2.
Определение 4.Функция f(x) называется выпуклой внизна данном числовом промежутке Р, если для любых ݔ1и ݔ2из промежутка Р, таких, что ݔ2� ݔ1, выполняется неравенство f(�1+�22)�(�1)+�(�2)2.
Исходя из определений 1–4, имеем: 1.Функция y=f(x) возрастает, если имеем: ݔ2� ݔ1⇒f(ݔ2�) f(ݔ1).2.Функция y=f(x) убывает, если имеем: ݔ2� ݔ1⇒f(ݔ2) f(ݔ1).3.График функции y=f(x) выпуклый вверх, если имеем: ݔ2� ݔ1⇒�(�1+�22)�(�1)+�(�2)2.4.График функции y=f(x) выпуклый вниз, если имеем:ݔ2� ݔ1⇒�(�1+�22)൏�(�1)+�(�2)2.При исследовании функции ݕ=�(ݔ)на монотонность по определению поступаем следующим образом.Пусть ݔ1,ݔ2∈ܦ�такие, что ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2− ݔ1�0. Требуется найти промежутки, в которых f(ݔ2) � f(ݔ1) или f(ݔ2) f(ݔ1), т.е. оценить разность ∆(ݔ1;ݔ2)= =�(ݔ2)−�(ݔ1).Для этого представим ее в виде произведения двух множителей:∆(ݔ1;ݔ2)=�(ݔ2)−�(ݔ1)=B(ݔ1;ݔ2)∙A(ݔ1;ݔ2), причемприݔ1=ݔ2B(ݔ1;ݔ2) =0иA(ݔ1;ݔ2) ≠0.Аналогично при исследовании функции ݕ=�(ݔ)на выпуклость графика по определению поступаем следующим образом.Пусть ݔ1,ݔ2∈ܦ�такие, что ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2− ݔ1> 0. Требуется найти промежутки, в которых �(�1+�22)�(�1)+�(�2)2или �(�1+�22)൏�(�1)+�(�2)2, т.е. оценить разность ∆(ݔ1;ݔ2)= �(�1+�22)−�(�1)+�(�2)2. Для этого представим ее в виде произведения двух множителей:∆(ݔ1;ݔ2)=�(�1+�22)−�(�1)+�(�2)2=B(ݔ1;ݔ2)∙A(ݔ1;ݔ2), причемприݔ1=ݔ2B(ݔ1;ݔ2) =0иA(ݔ1;ݔ2)≠0.И далее, так как в определениях монотонности и выпуклости графика функции принимается ݔ2� ݔ1, то есть ݔ2≠ݔ1то для определенности выделим множитель B(ݔ1;ݔ2)0, тогда знак ∆(ݔ1;ݔ2)будет зависеть только от знака множителя A(ݔ1;ݔ2). Остается ответить, на каких промежутках A(ݔ1;ݔ2) принимает положительные значения, а на каких –отрицательные. Для этого найдем вспомогательную функцию Гилев В. Г. Методика исследования элементарных функций на монотон0ность и выпуклость графика методом обобщения// Концепт. 22015. 2№04(апрель).2ART15102. 20,4п. л. 2URL: http://ekoncept.ru/2015/15102.htm. 2Гос. рег. ол№дС 7749965.2ISSN 2304120X. 4
�(ݔ), сделав обобщение путем замены ݔ1и ݔ2на хв выражении A(ݔ1;ݔ2): �(ݔ)= A(х), где х= ݔ1= ݔ2. Вспомогательную функцию �(ݔ)назовем функцией обобщения. Переменная хпринадлежит одному из устанавливаемых исследованием промежутков. Для нахождения самих промежутков необходимо решить соответственно неравенства �(ݔ)> 0 и �(ݔ)< 0. Решение неравенства�(ݔ)> 0 определяет промежутки возрастания (выпуклости вверх графика) функции. Решение неравенства �(ݔ)< 0 определяет промежутки убывания (выпуклости вниз графика) функции. Точки, в которых функция обобщения �(ݔ)= 0, называются критическими (точками экстремума или перегиба). Итак, обобщение, т.е. замена ݔ1и ݔ2на хв выражении A(ݔ1;ݔ2), явилось решением проблемы исследования функций на монотонность и выпуклость графика без использования первой и второй производных. Поэтому можно говорить об исследовании функций на монотонность и выпуклость графика методом обобщения.
Примеры
Исследовать функцию на монотонность
1.у= ࢞.
Решение.Пусть ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2−ݔ1� 0.∆(ݔ1;ݔ2)= �(ݔ2)−�(ݔ1)=ݔ22− ݔ12= (ݔ2−ݔ1)·(ݔ2+ݔ1)= B(ݔ1;ݔ2) ·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) =ݔ2−ݔ10, A(ݔ1;ݔ2) = ݔ2+ݔ1.Найдем функцию обобщения �(ݔ)= A(х) = х + х= 2х. Итак, �(ݔ)= 2х. �(ݔ)= 0 при х= 0 −критическая точка, точка экстремума.�(ݔ)> 0 при х> 0, значит,на промежутке ≦0; +∞) функция ݕ=ݔ2возрастает. �(ݔ)< 0 при х < 0, значит,на промежутке (−∞;0] функция у= х2 убывает. Таким образом, функция ݕ=ݔ2возрастает на промежутке ≦0; +∞), а убывает на промежутке (−∞;0].2.у=࢞.
Решение. Пусть ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2−ݔ1� 0. Имеем:∆(ݔ1;ݔ2)=f(ݔ2) − f(ݔ1) =ݔ23−ݔ13=(ݔ2−ݔ1)(ݔ22+ݔ1ݔ2+ݔ22)= B(ݔ1;ݔ2) ·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2)=ݔ2−ݔ10,A(ݔ1;ݔ2) = ݔ22+ݔ1ݔ2+ݔ22.Найдем функцию обобщения:�(ݔ)= A(х) = ݔ2+ݔ2+ݔ2=3ݔ2. Итак, �(ݔ)= 3ݔ2. �(ݔ)= 0 при х= 0 −критическая точка.�(ݔ)> 0 при x∈(−∞;0)∪(0;+∞). В точкех= 0 нет смены монотонности: х= 0−точка перегиба. Функция возрастает при x ∈R.3.у=
࢞.
Решение.ܦ�= (−∞;0)∪(0;+∞). Пусть ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2−ݔ1� 0. Имеем:∆(ݔ1;ݔ2)=f(ݔ2) − f(ݔ1) = 1�22−1�12=�12−�22�12�22= (ݔ2−ݔ1)∙−(�2+�1)�12�22=B(ݔ1;ݔ2)·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) =ݔ2−ݔ10, A(ݔ1;ݔ2) = −�2+�1�12�22. Найдем функцию обобщения: �(ݔ)= A(х) =−�+��2�2=−2��4=−2�3. Итак, �(ݔ)= −2�3≠ 0 −критических точек нет.�(ݔ)�0 при (−∞;0). Функция у = ݔ−2возрастает. �(ݔ)< 0 при (0;+∞). Функция у = ݔ−2убывает.Гилев В. Г. Методика исследования элементарных функций на монотон0ность и выпуклость графика методом обобщения// Концепт. 22015. 2№04(апрель).2ART15102. 20,4п. л. 2URL: http://ekoncept.ru/2015/15102.htm. 2Гос. рег. ол№дС 7749965.2ISSN 2304120X. 5
4.у= ࢞.
Решение.Пусть ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2− ݔ1> 0. Имеем: у= ݔ12=√ݔ; ܦ�=[0;+∞).∆(ݔ1;ݔ2)= √ݔ2−√ݔ1=(√�2−√�1)∙(√�2+√�1)(√�2+√�1)= �2−�1(√�2+√�1)= (ݔ2−ݔ1)∙1√�2+√�1= B(ݔ1;ݔ2)·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) =ݔ2−ݔ10, A(ݔ1;ݔ2) = =1√�2+√�1.Найдем функцию обобщения: �(ݔ)= A(х) =1√�+√�= 12√�.Итак, �(ݔ)= 12√�
� 0.Функция у= ݔ12возрастает в промежутке определения [0;+∞).5.࢟=ࢇ࢞+࢈࢞+ࢉ.
Решение.Пусть ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2−ݔ1� 0. Имеем:∆(ݔ1;ݔ2)=(ܽݔ22+ܾݔ2+ܿ)−−(ܽݔ12+ܾݔ1+ܿ)=(ܽݔ22−ܽݔ12)+(ܾݔ2−ܾݔ1)=ܽ(ݔ2−ݔ1)(ݔ2+ݔ1)+ܾ(ݔ2−ݔ1)= =(ݔ2−ݔ1)(ܽ(ݔ2+ݔ1)+ܾ)= B(ݔ1;ݔ2)·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) =ݔ2−ݔ10, A(ݔ1;ݔ2) = =ܽ(ݔ2+ݔ1)+ܾ. Найдем функцию обобщения: �(ݔ)= A(х) = ܽ(ݔ+ݔ)+ܾ= 2ܽݔ+ܾ.Имеем: �(ݔ)=2ܽݔ+ܾ.�(ݔ)=0; 2ܽݔ+ܾ=0;ݔ=−2–критическая точка.
Функция возрастает, если �(ݔ)� 0; 2ܽݔ+ܾ0, откуда 2ܽݔ−ܾ. Имеем два случая: 1) если а> 0, то ݔ−2, т.е. x∈(−2;+∞);2) если а< 0, то ݔ൏−2, т.е. x∈(−∞;−2).Функция убывает, если �(ݔ)൏0, 2ܽݔ+ܾ൏0, откуда 2ܽݔ൏−ܾ. Имеем два случая: 1) если а> 0, тоݔ൏−2, т.е. x∈(−∞;−2);2) если а< 0, то . ݔ−2, т.е. x∈(−2;+∞).Так как ݔ=−2–критическая точка, то приходим к выводу:если а> 0, то функция у = ܽݔ2+ܾݔ+ܿубывает при ݔ∈(−∞;−2]и возрастает при ݔ∈[−2;+∞); если а< 0, то функция у= ܽݔ2+ܾݔ+ܿвозрастает при ݔ∈(−∞;−2]и убывает при ݔ∈[−2;+∞).6.࢟=ࢇ࢞.Решение.Заметим, что множество значений показательной функции ݕ=ܽ�равно: ܧ�= (0; +∞). Пусть ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2− ݔ1> 0. Имеем: ∆(ݔ1;ݔ2)=ܽ�2−ܽ�1=ܽ�1(�2�1−1)= B(ݔ1;ݔ2) ·�(ݔ1;ݔ2),гдеB(ݔ1;ݔ2) =�2�1−1, A(ݔ1;ݔ2) = ܽ�1.1) При a> 1 имеем: ܽ�1� 0,и так как ܽ�2−�1�1, тоܽ�2−�1−10.Таким образом, ܽ�1(ܽ�2−�1−1)> 0, т.е. f(ݔ2) − f(ݔ1�) 0. Функция возрастает.2) При 0 < a< 1 имеем: ܽ�1� 0,и так как ܽ�2−�11, тоܽ�2−�1−1൏0.Таким образом, ܽ�1(ܽ�2−�1−1)൏0, т.е. f(ݔ2) − f(ݔ1) ൏0. Функция убывает.7.࢟=���࢞.Гилев В. Г. Методика исследования элементарных функций на монотон0ность и выпуклость графика методом обобщения// Концепт. 22015. 2№04(апрель).2ART15102. 20,4п. л. 2URL: http://ekoncept.ru/2015/15102.htm. 2Гос. рег. ол№дС 7749965.2ISSN 2304120X. 6
Решение.Пусть, с учетом периодичности функцииݕ=��݊ݔ, −�2ݔ1൏ݔ2�2или �2ݔ1൏ݔ23�2. В силу свойств числовых неравенств в первом и во втором случаях: 0൏�2−�12�2. Имеем:∆(ݔ1;ݔ2)= ��݊ݔ2−��݊ݔ1= 2��݊(�2−�12)∙ܿ�(�2+�12)= B(ݔ1;ݔ2) ·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) = 2��݊(�2−�12)0, A(ݔ1;ݔ2) = ܿ�(�2+�12).Найдем функцию обобщения: �(ݔ)= A(х) = ܿ�(�+�2)= ܿ�(2�2)= ܿ�ݔ.Имеем:�(ݔ)= ܿ�ݔ.�(ݔ)= 0; ܿ�ݔ=0; ݔ= �2+ �݊,݊∈ܼ–критические точки.�(ݔ)0;ܿ�ݔ0;−�2+2�݊൏ݔ൏�2+2�݊,݊∈ܼ–функцияݕ=��݊ݔвозрастает.�(ݔ)൏0;ܿ�ݔ൏0;�2+2�݊൏ݔ൏3�2+2�݊,݊∈ܼ−функция ݕ=��݊ݔубывает.Так как критические точки являются точками экстремума, имеем: функция синус возрастает на каждом из промежутков [−�2+2�݊;�2+2�݊], ݊∈ܼи убывает накаждомизпромежутков[�2+2�݊;3�2+2�݊], ݊∈ܼ.
Исследовать функцию на выпуклость графика8.у=࢞.
Решение.Пусть ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2−ݔ1� 0. ∆(ݔ1;ݔ2)=f(�1+�22)−�(�1)+�(�2)2= (�1+�22)2−�12+�222= �12+2�1�2+�224−�12+�222= �12+2�1�2+�22−2�12−2�224= −�12+2�1�2−�224= −(�2−�1)24= (ݔ2−ݔ1)2∙−14= B(ݔ1;ݔ2) ∙A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) =(ݔ2–ݔ1)20,A(ݔ1;ݔ2) = −14൏0−график функции у=ݔ2выпуклый вниз.
9.у=࢞.
Решение.Пусть ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2−ݔ1� 0.∆(ݔ1;ݔ2)=f(�1+�22)−�(�1)+�(�2)2= (�1+�22)3−�13+�232=�13+3�12�2+3�1�22+�238−�13+�232= �13+3�12�2+3�1�22+�23−4�13−4�238= −3�13+3�12�2+3�1�22−3�238= 3�12(�2−�1)−3�22(�2−�1)8= =−3(�2–�1)2(�1+�2)8=(ݔ2–ݔ1)2·(−38(ݔ1+ݔ2))=B(ݔ1;ݔ2) ∙A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2)=(ݔ2–ݔ1)20,A(ݔ1;ݔ2) = −38(ݔ1+ݔ2).Найдем функцию обобщения: �(ݔ)= A(х) = −38·2х= −34ݔ. Таким образом, �(ݔ)= −34ݔ. Найдем промежутки выпуклости графика функции:�(ݔ)< 0 при x� 0 –график функции у= ݔ3выпуклый вниз.�(ݔ)> 0 при x 0 –график функции у= ݔ3выпуклый вверх.�(ݔ)= 0 при х= 0 –критическая точка, точка перегиба.
Итак, при х∈(−∞;0]график функции выпуклый вверх, а при х∈[0; +∞) –выпуклый вниз.10.у= ࢞−.
Решение. Заметим, что область определения функцииу= ݔ−1или у=
1�равна: ܦ�= (−∞;0)∪(0;+∞). Гилев В. Г. Методика исследования элементарных функций на монотон0ность и выпуклость графика методом обобщения// Концепт. 22015. 2№04(апрель).2ART15102. 20,4п. л. 2URL: http://ekoncept.ru/2015/15102.htm. 2Гос. рег. ол№дС 7749965.2ISSN 2304120X. 7
Пусть ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2−ݔ1� 0.∆(ݔ1;ݔ2)= f(�1+�22)−�(�1)+�(�2)2= 2�1+�2−
1�1+
1�22= 2�1+�2−�2+�12�1�2=4�1�2−(�1+�2)22�1�2(�1+�2)=4�1�2−�12−2�1�2−�222�1�2(�1+�2)=−�12+2�1�2−�222�1�2(�1+�2)=−(�2−�1)22�1�2(�1+�2)=(ݔ2−ݔ1)2∙−12�1�2(�1+�2)= B(ݔ1;ݔ2)·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) =(ݔ2−ݔ1)20, A(ݔ1;ݔ2) = −12�1�2(�1+�2). Найдем функцию обобщения: �(ݔ)= A(х) =−12��(�+�)=−14�3. Итак, �(ݔ)= −14�3. �(ݔ)≠ 0 −критических точек нет.�(ݔ)� 0; −14�3� 0; x 0 −график функции выпуклый вверх.�(ݔ) 0; −14�3 0; x�0 −график функции выпуклый вниз.Итак, график функции у= ݔ−1выпуклый вверх при x∈(−∞;0)и выпуклый вниз при ݔ∈(0;+∞).11.࢟=ࢇ࢞, где a� 0, a≠ 1.Решение.Пусть ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2−ݔ1� 0. Имеем:∆(ݔ1;ݔ2)= f(�1+�22)−�(�1)+�(�2)2= ܽ�1+�22−�1+�22= 2�1+�22−�1−�22= −((�12)−2�12�22+(�22))2= −(�12−�22)2= (ܽ�12−ܽ�22)∙(−12)= B(ݔ1;ݔ2) ·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) = (ܽ�12−ܽ�22),A(ݔ1;ݔ2) = −12.Функция обобщения�(ݔ)=−12൏0−график функции у= ܽ�выпуклый вниз. Итак, график функции у= ܽ�выпуклый вниз приݔ∈(−∞;+∞).12.у = sinx.Решение.Пусть ݔ2� ݔ1, т. е. ݔ2− ݔ1> 0. Применяя формулу суммы синусов, получим: ∆(ݔ1;ݔ2)=�(�1+�22)−�(�1)+�(�2)2=sin(�1+�22)−���(�1)+���(�2)2= sin�1+�22−sin
ܿ��1−�22= sin�1+�22∙(1−ܿ��1−�22)= B(ݔ1;ݔ2) ·A(ݔ1;ݔ2), гдеB(ݔ1;ݔ2) =1−ܿ��2−�120, A(ݔ1;ݔ2) = ��݊�1+�22.Найдем функцию обобщения: �(ݔ)= A(х) =��݊�+�2=��݊2�2=��݊ݔ.Таким образом, �(ݔ)=��݊ݔ.Найдем промежутки выпуклости графика исходной функции. �(ݔ)� 0; ��݊ݔ� 0; 2πпxπ+ 2πп, п∈ܼ−график функции у= ��݊ݔвыпуклый вверх.�(ݔ) 0; ��݊ݔ 0; −π + 2πпx 2πп, п∈ܼ−график функции у= ��݊ݔвыпуклый вниз. �(ݔ)= 0; ��݊ݔ=0при х= πп, п∈ܼ−точки перегиба. Итак, приݔ∈[2πп ; π + 2πп], п∈ܼграфик выпуклый вверх, а прих ∈[−�+2�݊;2�݊], п∈ܼ−выпуклый вниз.
Ссылки на источники1.Дворянинов С.В., РозовН.Х.Некоторые замечания об изучении функций в школе// Математика в школе. –1994.–№5.2.Там же.–С. 28.3.Гилев В.Г. Об одном методе нахождения промежутков монотонности рациональных функций// Математика в школе. –1996.–№2.4.Гилев В.Г. Исследование рациональных функций на монотонность и экстремумы.–М., 2011.–90 с.: ил. (Серия «Математика: элективный курс»).5.Гилев В.Г. Исследованиеалгебраических функцийбез использования производной. –М., 2012. –162 с.: ил. (Серия «Математика: элективный курс»).
Гилев В. Г. Методика исследования элементарных функций на монотон0ность и выпуклость графика методом обобщения// Концепт. 22015. 2№04(апрель).2ART15102. 20,4п. л. 2URL: http://ekoncept.ru/2015/15102.htm. 2Гос. рег. ол№дС 7749965.2ISSN 2304120X. 8
Valery Gilev,Candidate of Pedagogic Sciences,AssociateProfessor at the chair of Mathematics, Computer Science and Teaching Methods; Ishim State Pedagogical InstituteP.P.Ershova; Ishim,DolgoprudnyGilev.valery@gmail.comResearch method of elementary functionsonmonotony and convexity schedule by generalizationmethodAbstract.The paper solves the problem of elementary functions study on monotony and convexity graphics, without using derivative, but by definition. The solution is the method that is called themethod of generalization. The result is the function, which determinesthe intervals of constant sign intervals of monotonicity and convexity of the graph of original function.Key words:function, monotonity, convexity, graphics, research, method of generalization.References1.Dvorjaninov,S. V.&Rozov,N. H. (1994) “Nekotorye zamechanija ob izuchenii funkcij v shkole”,Matematika v shkole,№ 5.2.Ibid.,p. 28.3.Gilev,V. G. (1996) “Ob odnom metode nahozhdenija promezhutkov monotonnosti racional'nyh funkcij”,Matematika v shkole,№ 2.4.Gilev,V. G. (2011) Issledovanie racional'nyh funkcij na monotonnost' i jekstremumy,Moscow,90 p.: il. (Serija “Matematika: jelektivnyj kurs”).5.Gilev,V. G. (2012) Issledovanie algebraicheskih funkcij bez ispol'zovanija proizvodnoj,Moscow,162 p.: il. (Serija “Matematika: jelektivnyj kurs”).
Рекомендованокпубликации:
Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»
Поступила в редакциюReceived04.02.15Получена положительная рецензияReceived a positive review06.02.15ПринятакпубликацииAccepted for publication06.02.15ОпубликованаPublished30.04.15
© Концепт, научнометодический электронный журнал, 2015©Гилев В. Г., 2015www.ekoncept.ru
