Полный текст статьи
Печать

Аннотация. В статье представлена и анализирована проблема развития самостоятельности мышления учащихся. Говорится о том, что творческое мышление есть высшая ступень самостоятельности. Данная статья для обобщения опыта учителей математики, а также при планировании и разработке урока.
Ключевые слова: самостоятельность, творчество, новизна, синтез, анализ 

Математический опыт учащихся нельзя считать полным, если он не имел случая решить задачу, изобретенную им самим.
Д. Пойа

Проблема развития самостоятельности мышления учащихся в процессе обучения математики является острой проблемой методики математики. Анализ характера умственной деятельности учеников на различных уроках, в разных классах показал, что лишь 15–20% учебного времени тратиться на самостоятельную работу, при этом, чем старше класс, тем меньше занимаются учащиеся различным видом самостоятельных работ. Упражнения по самостоятельному составлению задач, уравнений изучают вовсе из стабильных учебников математики для 5-11 классов. Создается ненормальное положение: с возрастом учащиеся, конечно, становятся более способными к самостоятельной работе, а им предоставляют для этого все меньше возможностей.

В литературе понятие «самостоятельность» толкует часто, не четко, основываясь лишь на внешней стороне деятельности учащихся. Одно дело, когда школьник без помощи учителя решают ту или иную готовую задачу, например, устанавливает делимость данного многочлена на (х-2), пользуясь теоремой Безу. Однако характер мышления ученика изменяется коренным образом, если ему предложить, скажем, составить многочлен третьей степени, делящийся на (х-2). Такое упражнение выполняется тривиально: достаточно умножить этот множитель на любой квадратный трехчлен, например: (х-2) (х2+3х-6)= х3 + х2 -12х+12.

Самое неожиданное в психологическом отношении здесь заключается в том, что подобные задания полностью отсутствуют в практике обучения, у рядового ученика такая простая мысль сама по себе и не возникает!? Творческое задание, подобное приведенному, вполне доступно любому обучающемуся и в принципе должно встречаться на каждой странице учебника математики в силу совершенной необходимости для нормального развития ума обучающегося…

Знания ученика будут прочными, если они приобретены не одной памятью, не заучены механически, а являются продуктом собственных размышлений и проб и закрепить его собственной творческой деятельности над учебным материалом. Эту важную роль самостоятельности мышления для дальнейшего приобретения и применения знаний отмечали известные ученые. Так академик С. Г. Струмилин в своих воспоминаниях писал, что сначала он решал содержащиеся в журнале задачи, а затем сам стал корреспондентом журнала, отсылая туда самостоятельно задачи и теоремы.

Творческое мышление есть высшая ступень самостоятельности, иначе говоря, не всякую самостоятельную работу можно назвать творческой работой. При обсуждении вопросов обучения математике весьма важно учитывать то, что решение учениками предложенной задачи и составление ими аналогичной задачи в любом классе, взаимно дополняющие друг друга и диалектически противоречивые, коренным образом различаются. Многие формы математических упражнений нередко мало чем могут помочь развитию творческих начал, в них как бы спрятаны все концы, дана уже готовая схема.

…Относительно так называемых творческих упражнений существует в методике две крайности. Одни полагают, что обычно ученик не может сам ставить перед собой проблему. Отсюда делают вывод, что в школьных условиях уже достаточно, если ученик сможет решить готовую задачу, предложенную ему учителем.

К. Э. Циолковский писал, что сначала он делал открытия, известные всем, затем – известные немногим и, наконец, никому не известные. Обучение математике в школе вполне можно и нужно строить так, чтобы оно представлялось для учащегося серией маленьких открытий, по ступенькам которых ум ученика может подняться к высшим обобщениям. По любому разделу математики можно сконструировать такое задание, выполнение которого действительно содержало бы различные элементы творчества. Обычное дело, когда ученик, выучив признак делимости на 9, решает типичную задачу на прямолинейное применение правила: разделится ли без остатка на 9, скажем число 2207?

Совсем другое дело, если учащимся предложено деформированное число 35**6, требуется добавить в середине две цифры, так чтобы число разделилось без остатка на 9. Вывод: всего искомых чисел существует 11. Такая работа не основывается уже на прямолинейном применении правила (установления того, делится или не делится данное число на 9), а идет более сложным путем. Размышляя и опираясь на правило, ученик в этом случае встречается и с комбинаторикой, и с перечислением всех возможных решений. Это, несомненно, математическое творчество, пусть и элементарное. Так упражнения по составлению уравнений, задач обладают для учащихся качествами новизны и оригинальностью, поэтому такие задания можно отнести к творческим.

Нельзя согласиться и со второй крайностью понятия математического творчества учащихся, когда под ним разумевают только изящное, чем- то необычное, отличное от стандартного решения задачи, составленное кем-то другим. (не учащимся).

Важно учитывать при обучении следующее положение. Творчество – (какое бы оно не было это техническое, музыкальное, математическое и т.д.) всегда означает созидание, синтез чего – то существенно нового. Не может быть настоящего творчества там, где действительность не носит прежде всего конструктивного характера. Самостоятельно составленная и решенная задача запоминается полнее и прочнее, чем просто решенная.

Составление задач осуществляется на основе более широкого набора логических операций, чем решение готовой задачи. Например:

  1. Найти целые числа х, у, z такие, чтобы их наибольшим общим делителем была 1. Как называются эти числа? НОД(x,y,z)=1»;
  2. Наименьшее общее кратное двух чисел равно 12. Назвать такие пары чисел. Сколько всего решений? НОК (* *) =12;
  3. Составить и решить систему двух уравнений второй степени имеющую данные решения;
  4. Составить задачу, решаемую квадратным уравнением, такую, чтобы она имела два решения»;
  5. Решено логарифмическое уравнение, составить аналогичное уравнение с корными: х1= -2, х2 = +1
  6. Составить неравенство второй степени, имеющее решения 3<x<5
  7. Составить убывающую геометрическую прогрессию, такую, чтобы сумма ее членов была равна 20 и т. д.

Решения готовой задачи представляется часто тривиальным, однако составление аналогичной задачи, удовлетворяющей определенным условиям, по новизне применяемых при этом логических средств представляет вначале значительные трудности, ибо требует совершенно иных умений. В то же время – и это очень важно! – трудность составления задачи является временной, относительной: показ учителем способа составления превращает это задание в обычное, доступное всем учащимся. Чтобы подтвердить сказанное, приведем примеры:

Введение таких заданий очень важно, например, приучить учеников иллюстрировать правила и определения соответствующими примерами. Такие усложненные задания означают тренировку в творческом мышлении учащихся.

Опыт показывает, что нередко более целесообразно поступать иначе: учитель, привлекая к работе учеников, составляет задачу нового вида, а затем школьники решают составленную задачу коллективно. При таком методе учащиеся наблюдают сначала процесс синтеза, а затем – анализа; здесь синтез пролаживает путь анализу в соответствии с логикой вопроса. При этом ученики усваивают во взаимосвязи оба пути мышления: обучаются составлению задач и их решению.       

Составление задач и их решения всегда приводит к возникновению циклических связей мыслей (на основе перерастания прямой связи (А→В) в обратную, (В→А) и появления замкнутой связи (А→В→А)).

Например: Отец и сын вместе заработали руб, причем заработок отца больше заработка сына в два раза. Сколько заработал каждый из них? Решение сводится к составлению уравнения

2х+х=60. (У)

(Ответ 40руб и 20 руб). Проверка ответа, в сущности, сводится к установлению тождества:

20*2+20=60. (Т)

Таким образом, трехчленная абстрактная схема обычных упражнений по решению задач алгебраическим способом выглядит так:

Задача (З)→уравнение (У)→тождества (Т).

Можно решить сотню таких задач, но от этого мышление не обогатиться обратимыми связями типа: тождество→уравнение→задача. (Примечателен в этом отношении следующий факт: восьмиклассники обнаруживали непонимание смысла тождества, не умели конструировать тождество, пока не выполняли упражнений по преобразованию тождества в уравнение.)

Чтобы довести односторонюю незамкнутую связь (З)→(У)→(Т) до циклической связи (З)→(У)→(Т)→(У)→(З), надо сразу же вслед за решением предыдущей задачи предложить школьникам составить аналогичную задачу, исходя, например, из следующего тождества:

30*4+30=150 (Т1)

Ученики обнаружат одинаковую роль чисел 20 и 30 соответственно в тождествах (Т) и (Т1) и перейдут от тождества (Т1) к уравнению (У1) совершив переход от числа 30 к переменной, а одним из значений которой является число 30:

4а +а = 150 (У1)

Дальше остается подобрать к уравнению (У1) соответствующее условие задачи (З1), т. е. от символической записи перейти к словесному оформлению мысли.

Например: Учительница принесла тетради в клетку и в линейку – всего 150 штук. При этом оказалось, что тетрадей в клетку было больше, чем тетрадей в линейку, в 4 раза. Сколько было тетрадей в клетку и сколько – в линейку?

Практика обучения, предусматривающая сравнение процессов решения и составления задач, показывает, что при такой методике дети значительно быстрее овладевают не только программным умениям решать задачи, но, сверх того и «внепрограммным» умением конструировать алгебраическую задачу.

Составление задачи с наперед заданным решением требует применения знаний в иных связях, чем это бывает при решении готовой задачи, хотя и составление задач, и решение готовой задачи, как правило, выполняются на основе одной и той же суммы знаний. Однако нужно владеть еще особыми приемами конструирования задачи, комбинирования ее элементов, многие из которых намечаются с большой долей произвольности. При этом часто приходится искать необычные связи, идти непроторенными путями, пока не будет найдено удачное сочетание элементов задачи. Собственно, это и означает развитие самостоятельного мышления. 

Ссылки на источники

  1. П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев «Укрупнение дидактических единиц в обучении математике»
  2. Л.В. Ончукова «Введение в логику. Логические операции» Киров,2004г
  3. С.И. Ожегов «Словарь русского языка» Советская энциклопедия 1972г
  4. Е.М. Вечтомов Я.В. Петухова «Решение логических задач, как основа развития мышления» Концепт 2012 г.