Моноурок математики в системе НФТМ-ТРИЗ

Система образования как сфера подготовки личности к жизни меняет ориентацию с накопления знаний на освоение способов мышления и деятельности. В соответствии с действующей образовательной концепцией учебный процесс должен основываться на системно-деятельностном подходе, цель которого – развитие личности ученика при активном восприятии учебного материала. Новые задачи, стоящие перед учителем, не могут быть решены в полной мере только средствами традиционной педагогики. Возникаетнеобходимость в поиске новых средств и методических решений, в частности видоизменения структуры и содержания традиционного урока.

При построении модели развивающего урока математики в качестве основы нами была использована структура креативного урока, предложенная в системе непрерывного формирования творческого мышления и развития творческих способностей обучающихся с активным использованием теории решения изобретательских задач М. М. Зиновкиной (НФТМ-ТРИЗ), которая максимально учитывает развивающий эффект урока. Структура урока по методологии творчества существенно отличается от традиционного урока и включает в себя блоки, реализующие цели урока, адекватные целям развивающего образования в целом [1].

В системе НФТМ-ТРИЗ предлагается структура спаренного креативного урока. Классно-урочная система, отсутствие в основной школе спаренных уроков математики и специфика математического образования привели нас к необходимости модернизации структуры креативного урока. Опыт показывает, что наиболее эффективным для формирования универсальных учебных действий оказался вариант креативного моноурока математики, построенный по схеме, представленной на рисунке ниже.

Структура креативного моноурока

Мотивационный блок представляет собой специально отобранную систему оригинальных объектов-сюрпризов, интересных фактов, способных вызвать удивление учащегося. Этот блок не только настраивает ребенка и обеспечивает его включение в урок, но и развивает любознательность, побуждает к поисковой активности.

На этом этапе креативного моноурока математики могут быть использованы следующие педагогические приемы:

-     показ математического фокуса;

-     удивление от сообщенного факта;

-     «нематематическое» начало урока;

-     удивление ученика от возникшего противоречия, которого не должно быть;

-     удивление от материала, который только предстоит изучить.

Приведем несколько примеров.

Тема «Признаки делимости».Учитель показывает на доске одновременно несколько многозначных чисел и, не производя никаких вычислений, говорит, что конкретное число делится на 2, другое делится на 5, на 9 и т. д. Ученикам разрешается проверить правоту учителя, используя калькуляторы. Учитель задает вопрос: «Как он (учитель) об этом узнал, в чем суть фокуса?» Чаще всего ученики отвечают, что числа были к уроку специально подобраны, вычисления были сделаны до урока. Далее предлагается эксперимент: ученик на доске пишет любое многозначное число, про которое учитель говорит, что оно точно делится (не делится) на 2, 3, 5, 9. Ученики проверяют на калькуляторе. Эксперимент повторяется несколько раз, ученики убеждаются в эффекте «фокуса» и готовы ему научиться.

Тема «Сфера, шар».Учитель держит в руке апельсин с заведомо толстой кожурой. Диалог из серии возможных вопросов:

– Откуда у меня апельсин?

– Откуда апельсины в магазине? (Где выращивают апельсины?)

– По какому признаку покупатель выбирает апельсины при покупке? (по размеру, оттенку цвета, запаху, визуально оценивает толщину кожуры и т. д.)

– Покупая апельсин, какую часть его стоимости мы платим за кожуру?

– Оказывается, объем кожуры апельсина примерно равен объему сочной части плода, то есть практически половину денег мы плати за кожуру.

– Как вы думаете у апельсина, который я держу в руках, кожура толстая?

– Покупая апельсин с толстой кожурой, вы приобретаете в основном кожуру и платите, соответственно, большую часть стоимости тоже за нее.

После этого можно почистить апельсин, сжать (смять) кожуру и визуально увидеть примерное равенство объемов плода и кожуры.

Уже на блоке мотивации ученики вовлекаются в универсальную учебную деятельность, где возможно формирование следующих универсальных учебных действий:

-     регулятивных: целеполагание, прогнозирование, планирование, саморегуляция, оценка;

-     познавательных: осознанное и произвольное построение речевого высказывания, построение логической цепи рассуждений, участие в постановке и формулировании проблемы, моделирование;

-     коммуникативных: умение выражать свои мысли в соответствии с условиями коммуникации, планирование учебного сотрудничества с учителем и учениками;

-     личностных: установление учащимися связи между целью учебной деятельности и ее мотивом.

Содержательный блок соединяет программный материал учебного предмета (математики) с системой заданий, направленных на развитие дивергентного, логического мышления, творческих способностей учащихся, способности к острому, живому восприятию, абстрактному и сложному мышлению, речевой, математической и технической грамотности.

Здесь могут быть использованы следующие приемы педагогической техники:

-     задачи на использование контрпримера;

-     отсутствие вопроса к данным;

-     использование в формулировке лишних данных;

-     задачи, для которых необходимо самостоятельно «добыть» числовые данные;

-     смена размерности пространства для решения задачи;

-     самостоятельное изобретение учениками «новых» способов решений, каких нет в учебнике.

Важнейшим элементом структуры формирования учебной математической деятельности является учебная задача, решая которую ученик выполняет определенные действия и операции. Особенностью содержательного блока моноурока математики является использование заданий открытого типа, которые практически не встречаются в школьных учебниках [2]. Если выбранная технология является фундаментом сценария урока, то наполнение его содержания открытыми задачами – это аранжировка, помогающая ученику понять суть изучаемого, придающая красоту уроку, активизирующая мыслительные процессы.

В отличие от закрытых задач, типичных для школьного учебника математики, открытые задачи предполагают «размытое» условие, имеющее степень неопределенности, разнообразные (часто неалгоритмические) методы решения, набор разнообразных вариантов ответа. Открытые задачи предусматривают возможность применения стандартных знаний в нестандартных ситуациях. При выполнении таких заданий ученик может проявить способность к логическому и абстрактному мышлению, то есть умение классифицировать, обобщать и проводить аналогии, прогнозировать результат, генерировать идеи [3].

Открытые задачи в целом и общем могут использоваться на любом из этапов урока математики [4], обеспечивать построение уроков целой темы [5], находить отражение в системе дополнительного математического образования [6].

Включение в число учебных и задач открытого типа, изменение степени (вида) их открытости позволяет решать некоторые противоречия, присущие традиционному обучению (см. табл.), а значит, выходить на новые образовательные результаты.

Противоречия традиционного обучения, решаемые открытыми задачами

Убежденность в том, что открытые задачи способствуют вовлечению учащихся в универсальную учебную деятельность, логично влечет вопрос: можно ли весь процесс обучения построить только на задачах открытого типа? Очевидно, нет. Ребенок в обучении должен решать оба типа задач: и открытые, и закрытые. Важно то, что эти два типа задач необходимо сочетать в определенной наиболее эффективной последовательности. Наибольшая эффективность в смешанной стратегии – использовать открытые задачи как в начале, так и в конце обучения.

Примерами использования задач в содержательном блоке могут быть:

1. Классификация объектов. По каким признакам могут быть разделены на группы следующие числа: -5; 14,6; 90; 0; –1; 1,3; 726; –180; 3?

2. Задача без вопроса. Родители Артема – люди очень интересных профессий. Мама – стюардесса, а папа – машинист скорого поезда. Мама бывает дома один раз в четыре дня, а папа – один раз в семь дней. Так получилось, что оба они 1 сентября ушли в рейс.

В структуре креативного урока для изучения программного материала могут быть использованы общие методы научного творчества, «тризовские» приемы разрешения противоречий, такие как прием «наоборот», принцип динамичности, принцип перехода в другое измерение, принцип «посредника» и др. Например, на уроке с детьми может быть проведена игра «Да-нет-ка».

Таким образом, в содержательном блоке креативного моноурока математики возможно формирование таких универсальных учебных действий:

-     регулятивных: саморегуляция, коррекция, контроль;

-     познавательных: поиск и выделение необходимой информации, структурирование знаний, рефлексия способов и условий действия, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого характера, анализ, синтез, подведение под понятие, моделирование;

-     коммуникативных: постановка вопросов (инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации); выявление, идентификация проблемы, поиск и оценка альтернативных способов разрешения конфликта, принятие решения и его реализация;

-     личностных: оценивание усваиваемого содержания, исходя из социальных и личностных ценностей, обеспечивающее личностный моральный выбор.

Психологические и физиологические исследования показывают тесную связь между напряженной умственной и эмоциональной нагрузкой и напряжением скелетной мускулатуры, вегетативными сдвигами. Снижение психической напряженности на фоне мышечного расслабления проявляется в виде «раскрепощения» в общении, поведении, деятельности и проявлении чувств. Поэтому обязательным блоком на уроке является психологическая разгрузка, которая реализуется через упражнения по гармонизации развития полушарий головного мозга, через аутотренинг, через систему подвижно‑эмоциональных игр, театрализацию и др. Осуществляется релаксация за счет положительных эмоций, что служит хорошей эмоциональной разгрузкой для ребенка.

Следующий блок представляет собой головоломку, воплощенную в реальный объект, в котором реализована оригинальная идея. Это упражнение по преодолению инерции мышления, развитию смекалки в результате её решения. Решение головоломки требует от ученика нетрадиционного поворота мысли. Происходит развитие парадоксального мышления, преодоление стереотипов мышления, развитие творческого воображения.

Резюме обеспечивает обратную связь с учащимися на уроке и предусматривает качественную и эмоциональную оценку учащимися самого урока.

Именно такая структура урока позволяет на каждом его этапе формировать не только предметные знания и умения, но и в совместной творческой деятельности обеспечивать достижения учащимися личностных и метапредметных результатов.

Приведем в качестве примера урок математики в 6-ом классе по теме «Признаки делимости» (обобщающее повторение материала).

Мотивация

После приветствия ученикам предлагается просмотреть слайд-фильм.

– Фильм очень короткий, но в нем такие важные слова. Вслушайтесь в них!

 «…В бесконечном множестве натуральных чисел, так же как среди звезд Вселенной, выделяются отдельные числа и целые их «созвездия» удивительной красоты, числа с необыкновенными свойствами и своеобразной, только им присущей гармонией. Надо только уметь увидеть эти числа, заметить их свойства. Всмотритесь в натуральный ряд чисел – и вы найдете в нем много удивительного и диковинного, забавного и серьезного, неожиданного и курьезного. Видит тот, кто смотрит. Ведь люди и в летнюю звездную ночь не заметят… сияние Полярной звезды, если не направят свой взор в безоблачную высь…»

– И что же интересного в этом мире чисел? Чем они могут нас удивить? Например, фокусами. Сейчас я вам покажу один из них.

Фокус. Записать на листочке бумаги любое трехзначное число, приписать к этому числу справа такое же число, разделить данное число на 7, разделить этот результат на 11, разделить результат на 13. Если все вычисления были выполнены правильно, то получится трехзначное число, которое было написано первоначально. Почему? (Гипотезы учеников.)

Вместе разгадываем фокус (фронтальная работа).

– 1001 – какое интересное число. У этого числа есть даже имя. Да какое! Во всем мире его называют числом Шахерезады. А почему это число так называется? (Гипотезы учеников.)

– Магия не обязательно подразумевает ловкость рук. Можно использовать также математику с ее логическими механизмами, в том числе и тему «Делимость чисел».

Далее формулируем цели урока.

– Вы завершаете изучение темы «Делимость чисел», познакомились с новыми понятиями, алгоритмами. Если тема изучена, зачем нужен сегодняшний урок? (Ответы учеников.)

В качестве акта удивления здесь использовались видеофрагмент и математический фокус. Кроме фокуса удивляющим моментом является возможность на уроке математики пользоваться калькулятором, ведь задача этого этапа не в формировании вычислительных умений. Все это вместе приводит совместную деятельность учителя и учащихся к постановке и принятию темы и целей урока.

Содержательный блок 

Особенностью урока, его ключевой идеей является включение в его содержание заданий открытого типа, которые активизируют, способствуют вовлечению учащихся в универсальную учебную деятельность. На уроке уделяется внимание овладению общими методами научного творчества: классификацией с незаданными критериями, построению контрпримера, мозговой атаке.

Задание «Классификация чисел». На какие группы можно разбить числа: 25, 146, 90, 5, 12, 17, 26, 180, 3, 11111? (Ученики предлагают разные варианты.)

– Как среди этих чисел вы увидели числа, которые делятся (не делятся) на какое-то число, не выполняя операцию деления? (Использовали признаки делимости.)

Задание «Найди пару». У каждого ученика карточка, на которой написана половина формулировки одного из признаков делимости. Необходимо найти половинки каждого признака и сформулировать его.

Задание «Придумай число». Придумать число, которое:

-      не делится на 3;

-      делится на 5, но не делится на 10;

-      делится на 9, но не делится на 3 (нет такого числа).

– Выясняем, почему такое число не смогли придумать?

Задание «Подбери цифру». В числе *4* вместо звездочек поставьте цифры так, чтобы полученное число делилось и на 3, и на 10.

Показываем все возможные варианты: всего можно получить три числа: 240, 540, 840.

– Среди чисел есть особый класс. Вот несколько первых чисел из этого класса: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Что это за числа? (Простые числа.)

– Для математиков эти числа очень важны, но как они распределяются по числовому ряду до сих пор до конца не ясно. В 1859 году немецкий математик Георг Риман предложил свой способ их поиска. Математики подвергли проверке этот метод уже на полутора триллионах подобных чисел, но никто не может доказать, что и дальше проверка будет успешной. Гипотеза Римана широко используется при расчете систем безопасности передачи данных, поэтому ее доказательство имеет большой практический смысл. Тому, кто докажет гипотезу Римана, институт Клэя обещает выплатить миллион долларов. 

– Если есть числа простые, значит, есть и… (составные числа).

Задание. Можно ли все натуральные числа разбить на простые и составные? Все ли натуральные числа охвачены данной классификацией?

– Есть число 1, которое не относится ни к простым, ни к составным.

– Мы озвучили одну из проблем современной науки – недоказанность гипотезы Римана, – а сейчас я расскажу вам сказку.

Сказка с заданиями

– 28 сентября число 28 решило пригласить в гости всех своих делителей, меньших, чем оно само. Первой прибежала единица, за ней двойка, за ней... Какие еще числа пришли в гости к числу 28? (1; 2; 4; 7; 14)

– Когда все гости собрались, число 28 увидело, что их немного. Оно огорчилось и предложило, чтобы каждый из гостей привел еще и своих делителей. Сколько придет новых гостей? (больше никто не придет). Почему?

– Какой же праздник без хоровода. Все гости числа 28 соединились знаком «плюс» и о чудо! Какой же оказалось сумма? (28).

– Единица сказала, что всякое число, которое равно сумме своих меньших делителей, называется... (совершенным).

– Число 28 обрадовалось и спросило, какие есть еще совершенные числа. (6; 28; 496).

– Наступило 29 сентября, и число 29 тоже решило пригласить в этот день в гости своих меньших делителей. Первой как всегда пришла единица. Кто еще пришел в гости? (Никто.)

– Что можно сказать про число 29? Какое оно? (Простое.)

– И в октябре продолжался тот же обычай.

– Только одно число не дождалось гостей. Что это за число? (1).

– А сколько раз единица побывала в гостях? (30). У каких чисел был только один гость? (2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31). Что это за гость? (1)

Психологическая разгрузка

Психологическая разгрузка на уроке реализована через игру-соревнование, игру «Да-нет-ка», игру «Кто больше?».

Игра-соревнование по рядам. На доске для каждого ряда приготовлено задание, ученики по очереди выходят и подписывают ответ. Побеждает команда, которая раньше других без ошибок выполнила задание. Призом победившей команде является карточка с цифрой (любой).

НОД (25, 3) =           

НОД (10, 4) =           

НОК (25, 3) =            

НОД (7, 30) =

Игра «Да-нет-ка». Учитель загадывает трёхзначное число. Побеждает тот, кто первым его угадает. Можно задавать только те вопросы, на которые ответ – либо «да», либо «нет». Победитель получает карточку с цифрой.

Задание «Кто больше?» На слайде набор чисел: 29, 6, 76, 39, 45, 7, 10, 101, 85, 400. Посмотрите на слайд и предположите, какое задание сейчас будет сформулировано?

После этого слайд закрывается. Задание: воспроизвести на память числа со слайда. Побеждает тот, кто вспомнит больше чисел. Победители получают карточку с цифрой.

Головоломка

В этом блоке используется головоломка «Неугомонный квадрат» [7].

Задание. Головоломка состоит из пяти частей. Возьмите четыре из них – все, кроме квадратика составьте из них квадрат. А теперь попытайтесь составить квадрат из всех пяти частей.

Предложенная головоломка тоже является заданием открытого типа: в формулировке содержится противоречие: как, добавив новый элемент, можно снова сложить квадрат?

Содержательный блок

Цель урока – не только в повторении темы и подготовке к контрольной работе. Главное назначение урока в формировании у детей понимания того, зачем они изучали тему большое количество времени. Поэтому в качестве дидактического материала используются реальные жизненные ситуации.

– Где нам могут пригодиться знания по теме «Делимость чисел», кроме уроков математики?

– Умение вычислять НОД и НОК чисел может помочь людям разных профессий.

Задачи

1. Заведующая хозяйством Раиса Ивановна дала поручение учителю технологии Андрею Петровичу закупить самые короткие доски, которые можно распилить на равные части и по 30 см, и по 40 см. Какой длины доски будет покупать Андрей Петрович?
2. Родители Артема – люди очень интересных профессий. Мама – стюардесса, а папа – машинист скорого поезда. Мама бывает дома один раз в четыре дня, а папа – один раз в семь дней. Так получилось, что оба они 1 сентября ушли в рейс. Этот текст можно назвать задачей? (Нет.) Сформулируйте вопрос, чтобы данный текст можно было считать задачей. Выбираем из предложенных вопросов: «Когда Артем увидит своих родителей дома вместе?», – и решаем задачу.
3. Вчера в цветочный магазин привезли 660 белых роз, 165 красных и 173 желтых. Целый день продавец магазина пытается составить наибольшее количество одинаковых букетов из красных и белых роз, так, чтобы не осталось ни одной лишней. Но пока ничего не выходит. Зашедшая к ней в магазин дочка-шестиклассница быстро решила эту задачу, сообщив, сколько надо сделать букетов и какое количество каждого вида цветов в них войдет. Как рассуждала дочь Маша?

Игра «Что? Где? Когда?» (один раунд). Одновременно играют 3 команды знатоков (по рядам). Вопрос: «Всё самое важное и ценное я храню в сейфе, на котором кодовый замок. Код замка – семизначное число, состоящее из двоек и троек. Двоек больше чем троек, а само число делится и на 3, и на 4. Уважаемые знатоки, через одну минуту назовите код замка моего сейфа».

Команда-победитель получает карточку с цифрой.

Резюме 

В данном компоненте урока предусмотрены развитие навыков качественной оценки и самооценки личной и коллективной деятельности; проверка достижения целей. На этом этапе дети получили продукт своей деятельности (число с описанием). Рефлексивные моменты включены в разные этапы урока и заключаются в понимании учителем степени успешности и осознанности выполнения заданий.

Все три команды учеников, используя все заработанные в ходе урока карточки с цифрами, составляют из них число и описывают свойства этого числа в терминах темы «Делимость чисел».

Таким образом, выбранная структура развивающего креативного моноурока математики и включение в его содержание открытых задач позволяют на основе метапредметного подхода (передача ученикам способов работы со знанием) организовать метапредметную деятельность (деятельность за пределами учебного предмета, направленная на обучение обобщенным способам работы с любым предметным понятием и связана с жизненными ситуациями) для достижения метапредметных результатов (освоенные учениками обобщенные способы деятельности, применимые как в рамках образовательного процесса, так и в реальных жизненных ситуациях).

Использование открытых задач на уроке и за его пределами позволяет улучшить результаты освоения учениками программного материала. Мониторинг результатов учебной деятельности школьников показывает положительную динамику.

 Открытые задачи повышают воспитательный потенциал урока, являются средством формирования качеств ученика: они заставляют оценивать содержание, исходя из социальных и личностных ценностей, обеспечивающих личный моральный выбор. Так, ученики используют математический аппарат для реализации социально значимых проектов, демонстрируя готовность применять усвоенные знания и способы деятельности в реальной жизни для решения практических задач. Используя методы научного творчества, ученики пробуют смотреть на будущее общества как на открытую задачу. Пять учеников награждены дипломами Всероссийского конкурса «Твой Форсайт» за творческий подход в решении изобретательских задач по методике ТРИЗ.  Результаты учеников – это лучший ответ на вопрос «Для чего это используется?»

Сегодня убедительной считается оценка деятельности в количественном выражении, но не всё можно измерить числами (да, наверняка, и не нужно). Метапредметные результаты – это результаты на перспективу успешной самостоятельной жизни наших детей. К тому же, при решении учебных и внеучебных задач ученики проявляют креативность мышления, инициативу, находчивость, активность, способность к эмоциональному восприятию математических задач и рассуждений, берут на себя ответственность за выбор способа решения и ответа. Значит, открытые задачи могут быть средством достижения личностных результатов.

Говоря о средствах формирования у учеников универсальных учебных действий, необходимо отметить, что предлагаемые методические решения должны также быть универсальными. Открытые задачи может использовать учитель любого предмета. Это подтверждает важность владения общими методами развития творческого мышления. Будущее нашей школы – за творческими педагогами.