Пошаговое решение задач первого раздела стереометрии на базовом и профильном уровнях
ART 970457
Авторы:
С.
В. Лознева, М.
Г. Макарченко
С.
В. Лознева, М.
Г. Макарченко Библиографическое описание статьи для цитирования:
Лознева
С.
В.,
Макарченко
М.
Г. Пошаговое решение задач первого раздела стереометрии на базовом и профильном уровнях // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2017. – Т. 39. – С.
651–655. – URL:
http://e-koncept.ru/2017/970457.htm.
Аннотация. В статье рассмотрены результаты анализа ГИА 2016. В целях увеличения процентного содержания правильного выполнения заданий и развития у учащихся навыков и умения решения задач предлагается использовать средства и методы обучения решению задач по геометрии, такие как микроструктурные средства, элементарные шаги решения задач. Также рассматривается полезность создания и использования в процессе обучения моделей. Приводятся примеры решения задач с использованием средств и методов обучения решению задач по геометрии применительно к первой, второй и третьей главам учебника геометрии, и показана логика внедрения и использования средств на уроках.
Ключевые слова:
геометрия, мышление, этапы, стереометрия, микроструктура, шаги, группы, макроструктура решения задач
Текст статьи
Лознева Светлана Викторовна,магистрант (педагогическое образование) факультета физики, математики, информатики. ТИ имени А.П. Чехова (филиал) ФГБОУВО «Ростовский государственный экономический университет (РИНХ)» г. Таганрог.loznevasvetlana@mail.ru
Макарченко Михаил Геннадиевич,доктор педагогических наук, профессор.ТИ имени А.П. Чехова (филиал) ФГБОУВО «Ростовский государственный экономический университет (РИНХ)» г. Таганрог.mmacarchenko@mail.ru
По шаговое решение задач первого раздела стереометрии на базовом и профильном уровне
Аннотация. В статье рассмотрены результаты анализа ГИА 2016. В целях увеличения процентного содержания правильного выполнения заданий и развития у учащихся навыков и умения решения задач предлагается использоватьсредстваи методы обучения решению задач по геометрии.Такие какмикроструктурныесредства,элементарныешагирешения задач. Так же рассматривается полезность создания и использования в процессе обучения моделей. Приводятся примерырешения задач с использованием средств и методов обучения решению задач по геометрии применительно кпервой,второй и третьей глав учебника геометрии и показана логикавнедрения и использования средств на уроках.Ключевые слова:стереометрия, геометрия, шаги, группы, этапы, макроструктурарешения задач, микроструктура,мышление.
В школьном курсе стереометрии первым разделом является «Взаимное расположение прямых, прямых и плоскостей в пространстве». От того насколько качественно он будет изучен зависит усвоение всего последующего материала. А как показывает практика и анализ методической литературы, учащиеся плохо владеют стереометрическим материалом. Анализ ГИА 2016 показывает следующие результаты [5]: взаданиях с кратким ответом самые низкие результаты получены при выполнении задания 10 «задачи с практическим содержанием» (26%). Кроме того на низком уровне оказались выполнены задания 8 (44%) «на вычисление объема пирамиды». Анализируя результаты решениягеометрических заданий с кратким ответом, следует отметить, что выпускники хорошо справились с планиметрическими задачами 3 (94%) и 6 (82%), и хуже всего выполнили стереометрическую задачу 10 (26%). В самом деле,низкий процент выполнения оказался у стереометрических задач. Например, сравнивая результаты полного решения задач 13 (34,1%) и 14 (1,6%), которые максимально оценивались в 2 балла, получаем, что алгебраическую задачу 13 выполнило в 21 раз большее число выпускников. Это соотношение увеличилось по сравнению с 2015г., где оно равнялось 12,5. Выпускники, пытающиеся решить геометрическую задачу, допускают традиционные ошибки, в основе которых лежат незнание стереометрического материала и неумение проводить логические рассуждения. Чтобы устранить причины неумения учащимися самостоятельно решать сложные задачи, нужно представить себе процесс обучения поэтапно, т.е. каким образом сложную задачу можно разложить на составляющие её простые подзадачи. Рассмотрим пример того, как начинают процесс обучения изготовлению мебели или шитью платья. Нужна ли поэтапность или пошаговость этих процессов обучения? Неужели обучение начнем с того, что предложим им изготовить табуретку или какоето платье? Нет, сначала учат разбираться в материалах, которые используются для мебели или платья. Затем учащихся обучают выполнению отдельных элементарных операций разными инструментами. И только после этого предлагают ученикам изготовить ту самую табуретку. Иными словами, для того чтобы человек сознательно овладел каким либо сложным делом, ему нужно дать необходимые знания об объектах, с которыми ему придется иметь дело, научить отдельным действиям и операциям, из которых состоит его будущая работа, обучить основным методам этой работы. А ведь решение задач –это ещё более сложная деятельность, чем изготовление мебели или каких –либо других предметов (в умственном плане). Мы хотим, чтобы учащиеся научились решать самостоятельно (а не по аналогии) сложные задачи, осмысленно осуществлять их поиск, но не даём им никаких надпредметных знаний о задачах и их решении, не вырабатываем у них нужных для этого элементарных умений и навыков.Формирование соответствующих умений, как специфических математических, должно быть включено в планы работы учителя, они должны стать предметом целенаправленнойактивной деятельности учащихся. Учащиеся должны знать, какими умениями и навыками они должны овладеть, и необходимым постоянным внешним и внутренним контролем за ходом овладения этими умениями и навыками, за их качеством.Помимо осознания цели овладения тех или иных умений и навыков, важно, чтобы учащиеся осозналиглавный мотив работы. Ставя цель –сформировать данное умение, учитель должен сделать это так, чтобы каждый ученик понял, зачем это нужно ему, какой личностный смысл имеет работа по овладению данным умением.После мотивационного этапа ученикидолжны получитьобразец или правило (алгоритм) выполнения соответствующего действия, возможные способы выполнения этого действия. Первые выполненные учащимися действия должны подвергаться всестороннему анализу, выявлению ошибок и нерациональных шагов, допущенных учащимися. Следует обсуждать коллективно возможности более рационального выполнения данного действия.Тренировка, примененияуменияна практике, не должна быть тягостной и чрезмерно сосредоточенной во времени. Лучше её проводить несколько раз с достаточными временными промежутками. А главное –использовать формируемое умение как операцию для выполнения каких –то других сложных действий [6, 174].Кроме средств познания, позволяющих прямо или косвенноувеличивать познавательные возможности человека, для более глубокого всестороннего изучения различных объектов познания разные его заместители.Дело в том, что непосредственное или косвенное изучение с помощью различных приборов и аппаратов реальных объектов зачастую невозможно в силу их многогранности, большой сложности этих объектов. А ведь изучение реального объекта, как правило, предполагает рассмотрение лишь одной какойто его стороны или особенности. Для этого надо выделить эту сторону или особенность, которая нас интересует как непосредственный объект познания, и отвлечься от всех других свойств и особенностей этого объекта. Так, например, геометрия изучает лишь форму, размеры и взаимное расположение тех же самых тел и т.п. Каждая наука разрабатываетсвой способ выделения из реальных предметов, тел и явлений именно тех сторон, которые изучают в этойнауке. Для этого, в частности, она конструирует разные идеальные объекты. Геометрия строит идеальные геометрические фигуры и тела, имеющие определённую форму, размеры и взаимное расположение и т.д. Каждая наука изучает, по сути дела, не сами реальные предметы, явления и процессы, а их заместителей –модели этих реальных объектов.[8, 53]Идеальные (мыслительные, умственные, воображаемые) модели, создаваемые учащимсяв своём воображении в виде образа воображения. В процессе решения учащийся должен научится создавать у себя умственную модель –представление о решаемой задаче, которую он должен удерживать в памяти до конца процесса её решения, а также воображаемую модель о том, какой вид эта задача может принять при том или ином её преобразовании.[8, 56]Создание и использование моделей при решении задач, создаваемыхучащимися в своём воображении в виде образа воображения, способствуют развитию мышления и воображения учащихся.
Важной задачей обучения математике является развитие мышления и воображения учащихся. Конечно, развитие мышления и воображения учащихсяпроисходит в процессе обучения всех учебных предметов, в процессе собственной деятельности и общения детей со взрослыми и сверстниками в повседневной жизни.Однако роль обучения математике в развитии этих психологических процессов очень велика. Рассмотрим отдельные аспекты, связанные с развитием мышления и воображения в процессе обучения математике.Мышление вообще есть психический процесс, с помощью которого человек устанавливает внутренние свойства объектов познания, которые нельзя обнаружить с помощью восприятия, а также связи и отношения между объектами. Поэтому мышление есть внечувственный процесс решения. В процессеобучении у ребёнка начинает развиваться рассуждающее ирепродуктивное и продуктивноемышление.Рассуждающее мышление протекает осознанно, оно развёрнуто по этапам и во времени.Наконец, часто мышление делят на репродуктивное и продуктивное (творческое). Репродуктивное мышление это решение задач по известным правилам и алгоритмам. Продуктивное же мышление же мышление –это нахождение новых способов решения задач, вообще создание чего –то нового, ранее неизвестного для данного человека или общества.Наиболее важным свойством мышления является его прогностичность. С помощью мышления мы намечаем цели(цель –это предвидимый результат действия или поступка), разрабатываем планы осуществления этих целей. Рассуждающеемышление осуществляется с помощью следующих мыслительных действий.Анализ –мысленное расчленение объекта познания на части с целью установления его свойств и особенностей, взаимосвязей этих частей объекта. Синтез –мыслительное воссоединение отдельных элементов или частей в единое целое.Сравнение –сопоставление объектов познания с целью нахождения сходства (выделения общих свойств) и различий (выделения особенных свойств каждого из сравниваемых объектов) между ними.Абстрагирование –это мыслительное выделение каких –либо существенных свойств и признаков при одновременном отвлечении от всех других свойств и признаков этих объектов. В результате абстрагирования выделенное свойство или признак сам становится предметом мышления (абстрактным предметом).В обучении математике предпочтительно использовать теоретические обобщения. При изучении фундаментальных понятий следует сначала дать учащимся общее представление об этом понятии. Затем его обогащать, углублять, конкретизировать.Конкретизация –может выступать в двух формах:1)как мыслительный переход от общего к единичному, частному;2)как восхождение от абстрактно –общего к конкретно –частному путём выявления различных свойств и признаков этого абстрактно –общего. Обогащение абстрактно –общего конкретным содержанием. Такаяконкретизация и есть теоретическоеобобщение[6, 177]. Для того чтобы научить учащихся самостоятельно решать нестандартные задачи, выработать у учащихся общий подход к решению любых задач, сформировать способность разумного поиска способа решения задач незнакомого вида (имеются в виду задачи школьного типа, не требующие особых методов решения), необходимо следующее. 1.Дать учащимся элементарные знания теории задач. Эти знания не следует выделять в особую тему, а можно давать попутно с решением задач в течение всех лет обучения, возвращаясь к одному и тому же понятию неоднократно. Например, первое понятие о задаче и её структуре следует дать учащимся ещё в начальной школе, но затем в средних и старших классах это понятие необходимо уточнять и углублять многократно. Тоже следует делать с другими понятиями теории задач: генезис задач, классификация задач, сущность и процесс решения и т. д. 2. Закрепитьу учащихся прочные умения и навыки в выполнении отдельных элементарных действий, входящих в процесс решения сложных задач: умение проводить анализ задачи, построение различных её моделей, осуществление планомерного поиска способа решения, выполнение проверки решения, исследование задачи и её решения и учебно познавательный анализ задачи и найденного решения. Это достигается с помощью выполнения учениками особой системы упражнений. 3. Познакомить учащихся с основными эвристическими методами решения школьных математических задач и закрепитьу них прочное умение и испытывать эти методы для решения разнообразных задач [6,с.117]. В связи с этим возникает вопрос: «Каким образом учителю необходимо организовывать деятельность по решению задач и доказательству теорем по стереометрии, чтобы изменить создавшееся положение?». Для управления организацией деятельности по решению стереометрических задач первого раздела целесообразно выделить все составляющие этой деятельности и, прежде всего, те операции и действия, которые используются в деятельности по решению задач именно этого раздела стереометрии. Другими словами –полезно описать «микроструктуры деятельности по решению задач» указанного раздела. Что это такое? Л.М.Фридман, вводя данный термин [7,62], указывал, что понимает под «микроструктурой деятельности по решению задач» элементарные шаги этой сложной мыслительной деятельности. Раскроем содержание данного понятия, предварительно представив смысл понятия «макроструктура деятельности по решению задач», или «общая структура деятельности», или «этапы решения задачи» или «элементарные шаги». Первый этап деятельности по решению задач –это этап анализа задачи. Он состоит из нескольких частей задачи: а) установление предметной области, при этом выявляется характер каждого её элемента; б) выявление отношений, которыми связаны элементы предметной области задачи, и их характера; в) определение оператора и требования задачи –опознание задачи. Второй этап деятельности по решению задач –это этап составления плана решения, завершения поиска идеи. Выбор искомых величин, попытки подвести задачу под известный тип, выбор наиболее приемлемого метода решения. Выбор стратегии и поиск плана, апробация и т.д. Третий этап деятельности по решению задач–это этап осуществления плана решения. На этом этапе проводится практическая реализация плана решения во всех его деталях содновременной корректировкой через соотнесение с условием и выбранным базисом, выбор способа оформления решения и само оформление решения, запись результата. Четвёртый этап деятельности по решению задач–это этап обсуждения (анализа) процесса решения. В ходе этого этапа фиксируется конечный результат решения, анализ результата, выявление существенного, систематизаций новых знаний, опыта. Попробуем представить микроструктуру деятельности по решению задач. Более важно выявить те элементарные шаги (в смысле нерасчленимые) из которых состоят эти этапы деятельности, а для этого надо провести микроанализ (микроподход). Под такими шагами подразумевают мыслительные шаги, их подразделяют на 2 типа: а) шаги, реализация которых, представляет собой достоверный вывод.б) шаги, реализация которых представляет собой лишь правдоподобный (негарантированно достоверный) вывод. Изучение структуры, характеристики, классификации этих элементарных шагов является основным звеном в исследовании микроструктуры решения задач. Л.М. Фридман предлагает изучить структуру, характеристику, классификацию этих элементарных шагов разбивая на группы теорию, данные, правила, опыт по решению задач следующим образом: 1) группа тождественно –истинных высказываний (теория Т). Это теория или даётся нам непосредственно в условиях задачи(если эта задача полнопоставленная), или же теория имеется у решающего в виде системы знаний той области, к которой принадлежит заданная задача, (если она является обычной неполно поставленной); 2) группа истинных высказываний –тех частных, конкретных условиях (данных), которые заданы в задаче (группа Д); 3) группа правил логических преобразований высказываний и образования сложных высказываний (правил, вывода) (группа П); 4) группа особых специальных преобразований и действий по решению задач, которые исторически выработаны коллективным многовековым опытом людей в процессе решения задач (группа С) [7,62]. Характер элементов группы С отличается совершенно недостаточной определённостью. Так, например, общее правило, идущее ещё от Б. Паскаля: «Заменить термины их определениями», является, пожалуй, более определённым, чем многие другие, но и в нем неясно, все ли встречающиеся термины нужно заменять их определениями, а если не все, то какие нужно заменять, а какие не нужно. К тому же один и тот же термин имеет зачастую не одно определение, а несколько: каким из этих определений нужно заменить данный термин? Никаких указаний по этому вопросу в самом правиле нет.А вот правило, идущее от Р. Декарта: «Нужно дробить каждую из трудностей, которые мы разбираем, на столько частей, на сколько можно, чтобы их лучше разрешить», или весьма близкое правило: «Если вопрос вполне понят, нужно освободить его от всякого излишнего представления, дать ему самое простое выражение и разделить спомощью перечисления на столько частей, на сколько это возможно». Другое правило Декарта, важность которого несомненна: «Полезно чертить фигуру и предлагать их чувствам, чтобы помочь вниманию», но и оно, конечно, весьма неопределенно, ибо неясно, какие фигуры и когда следует чертить. Несколько более определены частные правила для решения отдельных видов задач. Среди элементов группы С, кроме рассмотренных выше двух подгрупп (общих и частных правил преобразований и действий по решению задач), имеется ещё одна подгруппа, которую можно рассматривать и как самостоятельную группу –это подгруппа элементов прошлого опыта субъекта по решению задач в виде хранимых в его памяти условий задач и планов их решения (подгруппа личностного опыта субъекта по решению задач). Элементы этой подгруппы представляют собой по сути дела правила преобразований и действий по решению задач определённого вида, но явно не сформулированные. Очевидно, в памяти субъекта вместе с задачей и планом её решения храниться и результат анализа этого решения в форме общего представления. Соотношение конкретной задачи с этим общим представлением помогает решающему найти нужные действия. Элементарные шаги деятельности по решению задач состоят из сочетания элементов указанных четырёх групп высказыванийи правил. Структура элементарных шагов определяется характером этого сочетания. Возможны, например, такие структуры элементарных шагов: 1. Применять к определённому элементу групп Д, т.е. к тому или иному условию задачи, определённое преобразование –элемент группы С. 2. Сочетать какой –то элемент группы Д или некоторую совокупность этих элементов с элементом подгруппы субъективного опыта по решению задачи (т.е. с ранее решённой задачей или её частью) группы С и, применяя к этому сочетанию некоторый элемент подгруппы правдоподобных логических правил (например, правило аналогии или какое –либо другое) группы П, получить вероятностный вывод. 3. Сочетать определённый элемент группы Д с некоторым элементом группы Т (т. е. с каким –то тождественно –истинным высказыванием) и, применив к этому сочетанию определённый элемент подгруппы дедуктивных логических правил множества П (т.е. какое –то правило логического вывода или правило логической операции), получить достоверный вывод в виде нового высказывания и т. д. и т. п. Реализация каждого такого сочетания и представляет собой элементарный шаг деятельности. Их совокупность образует всю деятельность по решению данной задачи. В данной статье на конкретных примерах продемонстрирована возможность и целесообразность введения элементарных шагов (микроструктурных средств) по решению задач в образовательный процесс по стереометрии. Представленные группы микроструктурных средств (элементарных шагов) по решению задач должны наполняться с учетом конкретного математического содержания «его специфики». Понимая под этим содержанием «первые разделы стереометрии», а под его спецификой –использование планиметрических средств возможно только после «перехода из пространства в плоскость», выделяем в группе С преобразования, которыеобоснованно «описывают» этот «переход». Ниже приведён пример целесообразности введения в предполагаемый образовательный процесс микроструктурного средства (элементарных шагов). Пример 1: Дидактические материалы 10 класс [2, 5] приведена задача: «С3.2».Кратко приведем решение и обобщим его (рис. 1). Решение: прямая а‖α, а∈β, прямая bпрямая пересечения α и β по признаку параллельности двух прямых [1,25] а‖b. По условию задачи а‖с, тогдавоспользовавшись теоремой [1, 25], сделаем вывод, что b‖с. Воспользовавшись теоремой 1.6 [4,269] докажем, что b‖c. Обобщение. Для того чтобы доказать параллельность двух прямых достаточно доказать: а) что одна из этих прямых параллельна третьей, б) что вторая из этих прямых параллельна третьей, в) сделать вывод о параллельности этих прямых. Пример 2: [2, 11] Пусть требуется решить следующую задачу «С1.1»: Прямые а и bпересекаются в точке О, А ∈а, В ∈b, Y∈АВ. Докажите, что прямые а и bи точка Yлежат в одной плоскости (рис. 2). Для её решения можно воспользоваться следующими микроструктурными средствами: чтобы доказать что две прямые и точка лежат в одной плоскости, надо: а) показать что одна прямая лежит в плоскости; б) показать что вторая прямая лежит в этой плоскости; в) показать что точка лежит в этой плоскости. 1)Чтобы показать и доказать что одна и вторая прямые лежать в плоскости воспользуемся свойством 3 [1, 11]. 2)Чтобы показать, что исходная точка лежит в этой же плоскости достаточно показать, что прямая содержащая эту точку лежит в этой плоскости [1, 8].3) показать единственность решения принадлежности прямой плоскости [1, 11].Пример 3: Учебник геометрия 1011, упр.10 [1,62]. Решим и обобщим решение (рис. 3). Решение: Проведём прямую а₁‖а так, что а₁⌿b. Тогда, через прямые а и b, проходит плоскость и она единственная[1,11]. В этой плоскости α проведём прямуюа₁‖а. Вспомним определение[1,61]. Так как а‖ а₁, то угол между плоскостью α и прямой а равен углу между проекцией прямой а₁на плоскость α и прямой а₁, следовательно равен 60°. Рассмотрим прямую bкак перпендикуляр, прямую а₁, как наклонную и проведём проекцию наклонной (прямой а₁). Получили три прямые находящиеся в одной плоскости, заключившие между собой прямоугольный треугольник. [1, 8] рассмотрим треугольник. Один угол 90°, другой угол 60°. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что угол между перпендикуляром и наклонной составляет 30°. Вспомним, что а₁строили ‖ а, bне пересекается с а(т.к. скрещенные прямые) [4, 318]. Тогда можно сказать, что угол между скрещивающимися прямыми а и bтоже равен 30°. Что и т.д.Обобщение. Для того чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми достаточно: 1) построить параллельную прямую одной из скрещивающихся прямых. 2) найти градусную меру угла между плоскостью и построенной прямой. 3) Обозначить фигуру образованную прямыми. 4) найти градусную меру неизвестного угла полученной фигуры. 5) обозначить и найти искомую величину.Вывод. Решение задач первогораздела стереометрии всегда вызывало и до сих пор вызывает трудности у школьников. Этот факт свидетельствует и об отсутствии целостного понимания ими как раздела а целом, так и его отдельных теоретических положений. Целостное осмысление отдельно взятого теоретического положения стереометрии связано и с пониманием мотивирования его введения, и логической структурой его формирования и его доказательства [3]. Но главное, целостное понимание формирования теоретического положения активизируется в его применении. Применение теоретических фактов стереометрии может быть представлено описанием микроструктуры деятельности по использованию факта, например, в ходе решения задач. Этим объясняется целесообразность использования микроструктурных средств теоретических фактов первогораздела стереометрии. Активность использования микроструктурных средств первогораздела стереометрии определяется статусом целостности представления самого микроструктурного средства. Статус обычной рекомендации задаёт один уровень активности, а статус модели деятельности –другой. Подача микроструктурного средства ученикам должна отражать модель самого теоретического факта и смысл его применения. Совокупность всех микроструктурных средств первогораздела стереометрии помогает создать единую целостность всего первогораздела стереометрии, а значит, и обеспечивающих последующее изучениедругих объектов стереометрии.
Ссылки на источники1.Геометрия.1011 классы: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений (базовый и профильный уровни) / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов 6е изд., стер. –М.: Мнемозина, 2009. –288 с.: ил.2.Геометрия. Дидактические материалы. 10 класс : базовый и профил. уровни / Б. Г.Зив. –11е изд. –М. : Просвещение, 2011. –159 с.: ил. –(МГУ школе).3.Макарченко М.Г. Контекстуальный анализ учебных текстов по математике / Известия Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена. –2008. № 11 (71). С. 268276.4.Математика: Справ. материалы: Кн. Для учащихся. 2е изд. –М.: Просвещение, 1990. 416 с.: ил.5.Региональный центр мониторинга в образовании. Статистика ГИА 2016. URL: http://rcmo.ru (датаобращения 03.11.2016).6.ФридманЛ. М. Теоретические основы методики обучения математике: Учебное пособие. Изд. 2е, испр. и доп. –М.: Едиториал УРСС, 2005. –248 с.7.Фридман Л.М. Логикопсихологический анализ школьных учебных задач. М.: Педагогика, 1977.208 с.8.Фридман Л. М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика. Учеб. Пос. Для учителей и студентов педвузов и колледжей. –М.: Школьная Пресса, 2002. –208 с.(Библиотека журнала «Математика в школе», вып.15).
Макарченко Михаил Геннадиевич,доктор педагогических наук, профессор.ТИ имени А.П. Чехова (филиал) ФГБОУВО «Ростовский государственный экономический университет (РИНХ)» г. Таганрог.mmacarchenko@mail.ru
По шаговое решение задач первого раздела стереометрии на базовом и профильном уровне
Аннотация. В статье рассмотрены результаты анализа ГИА 2016. В целях увеличения процентного содержания правильного выполнения заданий и развития у учащихся навыков и умения решения задач предлагается использоватьсредстваи методы обучения решению задач по геометрии.Такие какмикроструктурныесредства,элементарныешагирешения задач. Так же рассматривается полезность создания и использования в процессе обучения моделей. Приводятся примерырешения задач с использованием средств и методов обучения решению задач по геометрии применительно кпервой,второй и третьей глав учебника геометрии и показана логикавнедрения и использования средств на уроках.Ключевые слова:стереометрия, геометрия, шаги, группы, этапы, макроструктурарешения задач, микроструктура,мышление.
В школьном курсе стереометрии первым разделом является «Взаимное расположение прямых, прямых и плоскостей в пространстве». От того насколько качественно он будет изучен зависит усвоение всего последующего материала. А как показывает практика и анализ методической литературы, учащиеся плохо владеют стереометрическим материалом. Анализ ГИА 2016 показывает следующие результаты [5]: взаданиях с кратким ответом самые низкие результаты получены при выполнении задания 10 «задачи с практическим содержанием» (26%). Кроме того на низком уровне оказались выполнены задания 8 (44%) «на вычисление объема пирамиды». Анализируя результаты решениягеометрических заданий с кратким ответом, следует отметить, что выпускники хорошо справились с планиметрическими задачами 3 (94%) и 6 (82%), и хуже всего выполнили стереометрическую задачу 10 (26%). В самом деле,низкий процент выполнения оказался у стереометрических задач. Например, сравнивая результаты полного решения задач 13 (34,1%) и 14 (1,6%), которые максимально оценивались в 2 балла, получаем, что алгебраическую задачу 13 выполнило в 21 раз большее число выпускников. Это соотношение увеличилось по сравнению с 2015г., где оно равнялось 12,5. Выпускники, пытающиеся решить геометрическую задачу, допускают традиционные ошибки, в основе которых лежат незнание стереометрического материала и неумение проводить логические рассуждения. Чтобы устранить причины неумения учащимися самостоятельно решать сложные задачи, нужно представить себе процесс обучения поэтапно, т.е. каким образом сложную задачу можно разложить на составляющие её простые подзадачи. Рассмотрим пример того, как начинают процесс обучения изготовлению мебели или шитью платья. Нужна ли поэтапность или пошаговость этих процессов обучения? Неужели обучение начнем с того, что предложим им изготовить табуретку или какоето платье? Нет, сначала учат разбираться в материалах, которые используются для мебели или платья. Затем учащихся обучают выполнению отдельных элементарных операций разными инструментами. И только после этого предлагают ученикам изготовить ту самую табуретку. Иными словами, для того чтобы человек сознательно овладел каким либо сложным делом, ему нужно дать необходимые знания об объектах, с которыми ему придется иметь дело, научить отдельным действиям и операциям, из которых состоит его будущая работа, обучить основным методам этой работы. А ведь решение задач –это ещё более сложная деятельность, чем изготовление мебели или каких –либо других предметов (в умственном плане). Мы хотим, чтобы учащиеся научились решать самостоятельно (а не по аналогии) сложные задачи, осмысленно осуществлять их поиск, но не даём им никаких надпредметных знаний о задачах и их решении, не вырабатываем у них нужных для этого элементарных умений и навыков.Формирование соответствующих умений, как специфических математических, должно быть включено в планы работы учителя, они должны стать предметом целенаправленнойактивной деятельности учащихся. Учащиеся должны знать, какими умениями и навыками они должны овладеть, и необходимым постоянным внешним и внутренним контролем за ходом овладения этими умениями и навыками, за их качеством.Помимо осознания цели овладения тех или иных умений и навыков, важно, чтобы учащиеся осозналиглавный мотив работы. Ставя цель –сформировать данное умение, учитель должен сделать это так, чтобы каждый ученик понял, зачем это нужно ему, какой личностный смысл имеет работа по овладению данным умением.После мотивационного этапа ученикидолжны получитьобразец или правило (алгоритм) выполнения соответствующего действия, возможные способы выполнения этого действия. Первые выполненные учащимися действия должны подвергаться всестороннему анализу, выявлению ошибок и нерациональных шагов, допущенных учащимися. Следует обсуждать коллективно возможности более рационального выполнения данного действия.Тренировка, примененияуменияна практике, не должна быть тягостной и чрезмерно сосредоточенной во времени. Лучше её проводить несколько раз с достаточными временными промежутками. А главное –использовать формируемое умение как операцию для выполнения каких –то других сложных действий [6, 174].Кроме средств познания, позволяющих прямо или косвенноувеличивать познавательные возможности человека, для более глубокого всестороннего изучения различных объектов познания разные его заместители.Дело в том, что непосредственное или косвенное изучение с помощью различных приборов и аппаратов реальных объектов зачастую невозможно в силу их многогранности, большой сложности этих объектов. А ведь изучение реального объекта, как правило, предполагает рассмотрение лишь одной какойто его стороны или особенности. Для этого надо выделить эту сторону или особенность, которая нас интересует как непосредственный объект познания, и отвлечься от всех других свойств и особенностей этого объекта. Так, например, геометрия изучает лишь форму, размеры и взаимное расположение тех же самых тел и т.п. Каждая наука разрабатываетсвой способ выделения из реальных предметов, тел и явлений именно тех сторон, которые изучают в этойнауке. Для этого, в частности, она конструирует разные идеальные объекты. Геометрия строит идеальные геометрические фигуры и тела, имеющие определённую форму, размеры и взаимное расположение и т.д. Каждая наука изучает, по сути дела, не сами реальные предметы, явления и процессы, а их заместителей –модели этих реальных объектов.[8, 53]Идеальные (мыслительные, умственные, воображаемые) модели, создаваемые учащимсяв своём воображении в виде образа воображения. В процессе решения учащийся должен научится создавать у себя умственную модель –представление о решаемой задаче, которую он должен удерживать в памяти до конца процесса её решения, а также воображаемую модель о том, какой вид эта задача может принять при том или ином её преобразовании.[8, 56]Создание и использование моделей при решении задач, создаваемыхучащимися в своём воображении в виде образа воображения, способствуют развитию мышления и воображения учащихся.
Важной задачей обучения математике является развитие мышления и воображения учащихся. Конечно, развитие мышления и воображения учащихсяпроисходит в процессе обучения всех учебных предметов, в процессе собственной деятельности и общения детей со взрослыми и сверстниками в повседневной жизни.Однако роль обучения математике в развитии этих психологических процессов очень велика. Рассмотрим отдельные аспекты, связанные с развитием мышления и воображения в процессе обучения математике.Мышление вообще есть психический процесс, с помощью которого человек устанавливает внутренние свойства объектов познания, которые нельзя обнаружить с помощью восприятия, а также связи и отношения между объектами. Поэтому мышление есть внечувственный процесс решения. В процессеобучении у ребёнка начинает развиваться рассуждающее ирепродуктивное и продуктивноемышление.Рассуждающее мышление протекает осознанно, оно развёрнуто по этапам и во времени.Наконец, часто мышление делят на репродуктивное и продуктивное (творческое). Репродуктивное мышление это решение задач по известным правилам и алгоритмам. Продуктивное же мышление же мышление –это нахождение новых способов решения задач, вообще создание чего –то нового, ранее неизвестного для данного человека или общества.Наиболее важным свойством мышления является его прогностичность. С помощью мышления мы намечаем цели(цель –это предвидимый результат действия или поступка), разрабатываем планы осуществления этих целей. Рассуждающеемышление осуществляется с помощью следующих мыслительных действий.Анализ –мысленное расчленение объекта познания на части с целью установления его свойств и особенностей, взаимосвязей этих частей объекта. Синтез –мыслительное воссоединение отдельных элементов или частей в единое целое.Сравнение –сопоставление объектов познания с целью нахождения сходства (выделения общих свойств) и различий (выделения особенных свойств каждого из сравниваемых объектов) между ними.Абстрагирование –это мыслительное выделение каких –либо существенных свойств и признаков при одновременном отвлечении от всех других свойств и признаков этих объектов. В результате абстрагирования выделенное свойство или признак сам становится предметом мышления (абстрактным предметом).В обучении математике предпочтительно использовать теоретические обобщения. При изучении фундаментальных понятий следует сначала дать учащимся общее представление об этом понятии. Затем его обогащать, углублять, конкретизировать.Конкретизация –может выступать в двух формах:1)как мыслительный переход от общего к единичному, частному;2)как восхождение от абстрактно –общего к конкретно –частному путём выявления различных свойств и признаков этого абстрактно –общего. Обогащение абстрактно –общего конкретным содержанием. Такаяконкретизация и есть теоретическоеобобщение[6, 177]. Для того чтобы научить учащихся самостоятельно решать нестандартные задачи, выработать у учащихся общий подход к решению любых задач, сформировать способность разумного поиска способа решения задач незнакомого вида (имеются в виду задачи школьного типа, не требующие особых методов решения), необходимо следующее. 1.Дать учащимся элементарные знания теории задач. Эти знания не следует выделять в особую тему, а можно давать попутно с решением задач в течение всех лет обучения, возвращаясь к одному и тому же понятию неоднократно. Например, первое понятие о задаче и её структуре следует дать учащимся ещё в начальной школе, но затем в средних и старших классах это понятие необходимо уточнять и углублять многократно. Тоже следует делать с другими понятиями теории задач: генезис задач, классификация задач, сущность и процесс решения и т. д. 2. Закрепитьу учащихся прочные умения и навыки в выполнении отдельных элементарных действий, входящих в процесс решения сложных задач: умение проводить анализ задачи, построение различных её моделей, осуществление планомерного поиска способа решения, выполнение проверки решения, исследование задачи и её решения и учебно познавательный анализ задачи и найденного решения. Это достигается с помощью выполнения учениками особой системы упражнений. 3. Познакомить учащихся с основными эвристическими методами решения школьных математических задач и закрепитьу них прочное умение и испытывать эти методы для решения разнообразных задач [6,с.117]. В связи с этим возникает вопрос: «Каким образом учителю необходимо организовывать деятельность по решению задач и доказательству теорем по стереометрии, чтобы изменить создавшееся положение?». Для управления организацией деятельности по решению стереометрических задач первого раздела целесообразно выделить все составляющие этой деятельности и, прежде всего, те операции и действия, которые используются в деятельности по решению задач именно этого раздела стереометрии. Другими словами –полезно описать «микроструктуры деятельности по решению задач» указанного раздела. Что это такое? Л.М.Фридман, вводя данный термин [7,62], указывал, что понимает под «микроструктурой деятельности по решению задач» элементарные шаги этой сложной мыслительной деятельности. Раскроем содержание данного понятия, предварительно представив смысл понятия «макроструктура деятельности по решению задач», или «общая структура деятельности», или «этапы решения задачи» или «элементарные шаги». Первый этап деятельности по решению задач –это этап анализа задачи. Он состоит из нескольких частей задачи: а) установление предметной области, при этом выявляется характер каждого её элемента; б) выявление отношений, которыми связаны элементы предметной области задачи, и их характера; в) определение оператора и требования задачи –опознание задачи. Второй этап деятельности по решению задач –это этап составления плана решения, завершения поиска идеи. Выбор искомых величин, попытки подвести задачу под известный тип, выбор наиболее приемлемого метода решения. Выбор стратегии и поиск плана, апробация и т.д. Третий этап деятельности по решению задач–это этап осуществления плана решения. На этом этапе проводится практическая реализация плана решения во всех его деталях содновременной корректировкой через соотнесение с условием и выбранным базисом, выбор способа оформления решения и само оформление решения, запись результата. Четвёртый этап деятельности по решению задач–это этап обсуждения (анализа) процесса решения. В ходе этого этапа фиксируется конечный результат решения, анализ результата, выявление существенного, систематизаций новых знаний, опыта. Попробуем представить микроструктуру деятельности по решению задач. Более важно выявить те элементарные шаги (в смысле нерасчленимые) из которых состоят эти этапы деятельности, а для этого надо провести микроанализ (микроподход). Под такими шагами подразумевают мыслительные шаги, их подразделяют на 2 типа: а) шаги, реализация которых, представляет собой достоверный вывод.б) шаги, реализация которых представляет собой лишь правдоподобный (негарантированно достоверный) вывод. Изучение структуры, характеристики, классификации этих элементарных шагов является основным звеном в исследовании микроструктуры решения задач. Л.М. Фридман предлагает изучить структуру, характеристику, классификацию этих элементарных шагов разбивая на группы теорию, данные, правила, опыт по решению задач следующим образом: 1) группа тождественно –истинных высказываний (теория Т). Это теория или даётся нам непосредственно в условиях задачи(если эта задача полнопоставленная), или же теория имеется у решающего в виде системы знаний той области, к которой принадлежит заданная задача, (если она является обычной неполно поставленной); 2) группа истинных высказываний –тех частных, конкретных условиях (данных), которые заданы в задаче (группа Д); 3) группа правил логических преобразований высказываний и образования сложных высказываний (правил, вывода) (группа П); 4) группа особых специальных преобразований и действий по решению задач, которые исторически выработаны коллективным многовековым опытом людей в процессе решения задач (группа С) [7,62]. Характер элементов группы С отличается совершенно недостаточной определённостью. Так, например, общее правило, идущее ещё от Б. Паскаля: «Заменить термины их определениями», является, пожалуй, более определённым, чем многие другие, но и в нем неясно, все ли встречающиеся термины нужно заменять их определениями, а если не все, то какие нужно заменять, а какие не нужно. К тому же один и тот же термин имеет зачастую не одно определение, а несколько: каким из этих определений нужно заменить данный термин? Никаких указаний по этому вопросу в самом правиле нет.А вот правило, идущее от Р. Декарта: «Нужно дробить каждую из трудностей, которые мы разбираем, на столько частей, на сколько можно, чтобы их лучше разрешить», или весьма близкое правило: «Если вопрос вполне понят, нужно освободить его от всякого излишнего представления, дать ему самое простое выражение и разделить спомощью перечисления на столько частей, на сколько это возможно». Другое правило Декарта, важность которого несомненна: «Полезно чертить фигуру и предлагать их чувствам, чтобы помочь вниманию», но и оно, конечно, весьма неопределенно, ибо неясно, какие фигуры и когда следует чертить. Несколько более определены частные правила для решения отдельных видов задач. Среди элементов группы С, кроме рассмотренных выше двух подгрупп (общих и частных правил преобразований и действий по решению задач), имеется ещё одна подгруппа, которую можно рассматривать и как самостоятельную группу –это подгруппа элементов прошлого опыта субъекта по решению задач в виде хранимых в его памяти условий задач и планов их решения (подгруппа личностного опыта субъекта по решению задач). Элементы этой подгруппы представляют собой по сути дела правила преобразований и действий по решению задач определённого вида, но явно не сформулированные. Очевидно, в памяти субъекта вместе с задачей и планом её решения храниться и результат анализа этого решения в форме общего представления. Соотношение конкретной задачи с этим общим представлением помогает решающему найти нужные действия. Элементарные шаги деятельности по решению задач состоят из сочетания элементов указанных четырёх групп высказыванийи правил. Структура элементарных шагов определяется характером этого сочетания. Возможны, например, такие структуры элементарных шагов: 1. Применять к определённому элементу групп Д, т.е. к тому или иному условию задачи, определённое преобразование –элемент группы С. 2. Сочетать какой –то элемент группы Д или некоторую совокупность этих элементов с элементом подгруппы субъективного опыта по решению задачи (т.е. с ранее решённой задачей или её частью) группы С и, применяя к этому сочетанию некоторый элемент подгруппы правдоподобных логических правил (например, правило аналогии или какое –либо другое) группы П, получить вероятностный вывод. 3. Сочетать определённый элемент группы Д с некоторым элементом группы Т (т. е. с каким –то тождественно –истинным высказыванием) и, применив к этому сочетанию определённый элемент подгруппы дедуктивных логических правил множества П (т.е. какое –то правило логического вывода или правило логической операции), получить достоверный вывод в виде нового высказывания и т. д. и т. п. Реализация каждого такого сочетания и представляет собой элементарный шаг деятельности. Их совокупность образует всю деятельность по решению данной задачи. В данной статье на конкретных примерах продемонстрирована возможность и целесообразность введения элементарных шагов (микроструктурных средств) по решению задач в образовательный процесс по стереометрии. Представленные группы микроструктурных средств (элементарных шагов) по решению задач должны наполняться с учетом конкретного математического содержания «его специфики». Понимая под этим содержанием «первые разделы стереометрии», а под его спецификой –использование планиметрических средств возможно только после «перехода из пространства в плоскость», выделяем в группе С преобразования, которыеобоснованно «описывают» этот «переход». Ниже приведён пример целесообразности введения в предполагаемый образовательный процесс микроструктурного средства (элементарных шагов). Пример 1: Дидактические материалы 10 класс [2, 5] приведена задача: «С3.2».Кратко приведем решение и обобщим его (рис. 1). Решение: прямая а‖α, а∈β, прямая bпрямая пересечения α и β по признаку параллельности двух прямых [1,25] а‖b. По условию задачи а‖с, тогдавоспользовавшись теоремой [1, 25], сделаем вывод, что b‖с. Воспользовавшись теоремой 1.6 [4,269] докажем, что b‖c. Обобщение. Для того чтобы доказать параллельность двух прямых достаточно доказать: а) что одна из этих прямых параллельна третьей, б) что вторая из этих прямых параллельна третьей, в) сделать вывод о параллельности этих прямых. Пример 2: [2, 11] Пусть требуется решить следующую задачу «С1.1»: Прямые а и bпересекаются в точке О, А ∈а, В ∈b, Y∈АВ. Докажите, что прямые а и bи точка Yлежат в одной плоскости (рис. 2). Для её решения можно воспользоваться следующими микроструктурными средствами: чтобы доказать что две прямые и точка лежат в одной плоскости, надо: а) показать что одна прямая лежит в плоскости; б) показать что вторая прямая лежит в этой плоскости; в) показать что точка лежит в этой плоскости. 1)Чтобы показать и доказать что одна и вторая прямые лежать в плоскости воспользуемся свойством 3 [1, 11]. 2)Чтобы показать, что исходная точка лежит в этой же плоскости достаточно показать, что прямая содержащая эту точку лежит в этой плоскости [1, 8].3) показать единственность решения принадлежности прямой плоскости [1, 11].Пример 3: Учебник геометрия 1011, упр.10 [1,62]. Решим и обобщим решение (рис. 3). Решение: Проведём прямую а₁‖а так, что а₁⌿b. Тогда, через прямые а и b, проходит плоскость и она единственная[1,11]. В этой плоскости α проведём прямуюа₁‖а. Вспомним определение[1,61]. Так как а‖ а₁, то угол между плоскостью α и прямой а равен углу между проекцией прямой а₁на плоскость α и прямой а₁, следовательно равен 60°. Рассмотрим прямую bкак перпендикуляр, прямую а₁, как наклонную и проведём проекцию наклонной (прямой а₁). Получили три прямые находящиеся в одной плоскости, заключившие между собой прямоугольный треугольник. [1, 8] рассмотрим треугольник. Один угол 90°, другой угол 60°. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что угол между перпендикуляром и наклонной составляет 30°. Вспомним, что а₁строили ‖ а, bне пересекается с а(т.к. скрещенные прямые) [4, 318]. Тогда можно сказать, что угол между скрещивающимися прямыми а и bтоже равен 30°. Что и т.д.Обобщение. Для того чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми достаточно: 1) построить параллельную прямую одной из скрещивающихся прямых. 2) найти градусную меру угла между плоскостью и построенной прямой. 3) Обозначить фигуру образованную прямыми. 4) найти градусную меру неизвестного угла полученной фигуры. 5) обозначить и найти искомую величину.Вывод. Решение задач первогораздела стереометрии всегда вызывало и до сих пор вызывает трудности у школьников. Этот факт свидетельствует и об отсутствии целостного понимания ими как раздела а целом, так и его отдельных теоретических положений. Целостное осмысление отдельно взятого теоретического положения стереометрии связано и с пониманием мотивирования его введения, и логической структурой его формирования и его доказательства [3]. Но главное, целостное понимание формирования теоретического положения активизируется в его применении. Применение теоретических фактов стереометрии может быть представлено описанием микроструктуры деятельности по использованию факта, например, в ходе решения задач. Этим объясняется целесообразность использования микроструктурных средств теоретических фактов первогораздела стереометрии. Активность использования микроструктурных средств первогораздела стереометрии определяется статусом целостности представления самого микроструктурного средства. Статус обычной рекомендации задаёт один уровень активности, а статус модели деятельности –другой. Подача микроструктурного средства ученикам должна отражать модель самого теоретического факта и смысл его применения. Совокупность всех микроструктурных средств первогораздела стереометрии помогает создать единую целостность всего первогораздела стереометрии, а значит, и обеспечивающих последующее изучениедругих объектов стереометрии.
Ссылки на источники1.Геометрия.1011 классы: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений (базовый и профильный уровни) / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов 6е изд., стер. –М.: Мнемозина, 2009. –288 с.: ил.2.Геометрия. Дидактические материалы. 10 класс : базовый и профил. уровни / Б. Г.Зив. –11е изд. –М. : Просвещение, 2011. –159 с.: ил. –(МГУ школе).3.Макарченко М.Г. Контекстуальный анализ учебных текстов по математике / Известия Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена. –2008. № 11 (71). С. 268276.4.Математика: Справ. материалы: Кн. Для учащихся. 2е изд. –М.: Просвещение, 1990. 416 с.: ил.5.Региональный центр мониторинга в образовании. Статистика ГИА 2016. URL: http://rcmo.ru (датаобращения 03.11.2016).6.ФридманЛ. М. Теоретические основы методики обучения математике: Учебное пособие. Изд. 2е, испр. и доп. –М.: Едиториал УРСС, 2005. –248 с.7.Фридман Л.М. Логикопсихологический анализ школьных учебных задач. М.: Педагогика, 1977.208 с.8.Фридман Л. М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика. Учеб. Пос. Для учителей и студентов педвузов и колледжей. –М.: Школьная Пресса, 2002. –208 с.(Библиотека журнала «Математика в школе», вып.15).
