The stochastic component of the course Mathematics for students of juridical specialties universities

Идеи и методы теории вероятностей и математической статистики находят широкое применение в различных областях знаний. Сфера их приложений настолько велика, что охватывает не только естественнонаучные направления (физика, химия, медицина, биология), но и направления гуманитарные (лингвистика, литературоведение, социология, история, юриспруденция). Известно большое количество примеров, демонстрирующих возможности математического аппарата в решении проблем и задач, возникающих в основе большинства исследований, внешне, казалось бы, далеких от математики, например: частотная модель языка в лингвистике, анализ статистических особенностей языка отдельных писателей в литературоведении, корреляционные и регрессионные модели исторических процессов, обработка данных конкретных социологических исследований и др. (ряд подобных примеров отображен в работах [1, 2]).

Достаточно серьезный математический аппарат используется во многих сферах юридической деятельности. Существенную роль здесь играет статистика. Известный бельгийский математик, астроном, метеоролог, социолог Адольф Кетли (1796–1874), один из основоположников научной статистики, большое внимание уделял статистике преступности. В своей книге “Sur L/homme et le developpement de ses facultes, ou essai de physique sociale” («О человеке и развитии его способностей, или Опыт социальной физики», 1835 г.) он писал: «Во всем, что касается преступлений, одни и те же числа воспроизводятся с поразительным и не подлежащим сомнению постоянством... Это постоянство, с которым одни и те же преступления из года в год совершаются в том же самом порядке и влекут за собой в одинаковых размерах одни и те же наказания, есть один из излюбленнейших фактов, какие сообщает нам статистика уголовных судов...» [3] Адольф Кетли был уверен, что, опираясь на эти статистические данные, можно даже предугадать количество участников тех или иных преступлений.

Известно много примеров использования судебной статистики в правоведении и юридической практике. Например, статистические методы позволяют:

−          отслеживать динамику правонарушений;

−          оценивать с помощью ряда показателей эффективность гражданского и уголовного судопроизводства;

−          изучать причины преступности;

−          производить количественный анализ признаков объекта исследования, определять частоту их встречаемости и идентификационной значимости (баллистическая, автотехническая, почерковедческая, дактилоскопическая и другие экспертизы);

−          проводить исследования, основанные на статистическом анализе закономерных связей, существующих между событием преступления, личностью преступника, данными о месте совершения преступления, особенностями преступного поведения и др.

В юриспруденции и математике применяются общие методы рассуждений, нацеленные на выявление истины, в связи с чем уметь рассуждать, применяя на практике методы индукции и дедукции, должен не только математик, но и будущий правовед. Роль математики состоит в формировании мышления будущего юриста на уровне системы знаний и овладения приемами логико-математического абстрагирования, методами анализа и синтеза сложных юридических вопросов. В связи с этим можно сказать, что будущий правовед, занимаясь математикой, в той или иной степени формирует свое профессиональное мышление [4].

Основной целью преподавания стохастической линии в курсе математики студентам юридических специальностей вузов является формирование у них особого вероятностно-статистического способа рассуждений (вероятностного мышления), ознакомление с основными статистическими методами, применяемыми в процессе обработки данных, привитие навыков грамотного применения этих методов и правильной интерпретации результатов статистического анализа. Способами достижения этой цели являются:

−          включение в процесс обучения задач и примеров прикладного характера;

−          организация исследовательской деятельности студентов (проведение лабораторных и экспериментальных работ, создание проблемных ситуаций, приближенных к профессиональной деятельности будущих юристов и требующих для своего решения использования стохастического аппарата).

Отметим, что большое число реальных прикладных задач, ориентированных на представителей различных областей знаний (технических, гуманитарных, экономических, юридических и др.), уже успешно решены командой программистов и математиков и представлены интернет-сервисами [5].

Статистические исследования (обработка и статистический анализ данных наблюдений) включают ряд основных элементов: построение эмпирических распределений исследуемых показателей (признаков), статистическую оценку средних величин и дисперсий количественных признаков, вычисление коэффициентов корреляции и установление корреляционной зависимости одних величин от других. Именно на эти темы и разделы теории вероятностей и математической статистики необходимо обратить особое внимание студентов. Действительно, от будущих юристов, как уже было сказано выше, требуются умения осуществлять правильный сбор и обработку информации, делать достоверные выводы или прогнозы на основании имеющегося материала. В качестве материала исследовательской работы могут выступать преступления, их причины и характер, участники преступлений, их возраст, индивидуальные характеристики и т. д. Данные могут быть как взяты из уже существующих источников, так и собраны студентами самостоятельно.

Приведем примеры подобных задач, которые могут быть предложены студентам юридических направлений на занятиях по математике.

Задача 1. Проанализировать данные таблицы, приведенной ниже.

1. Построить диаграммы, отражающие уголовную преступность в период Великой Отечественной войны, и сравнить число осужденных по трем представленным показателям по годам осуждения.
2. Используя статистические данные таблицы, проверить гипотезу о зависимости между количеством лиц, судимых вообще, и преступников, осужденных: а) по указам военного времени; б) общими судами.

Указание. При решении п. 2 задачи 1 используйте коэффициент корреляции :

, , ,

где n – число наблюдений;  − среднее арифметическое наблюдений количества судимых вообще;  − среднее арифметическое наблюдений количества преступников, осужденных: а) по указам военного времени; б) общими судами.

Судимость в СССР в период Великой Отечественной войны [6]

Задача 2 [7]. На основании имеющихся данных о возрасте рецидивистов, осужденных за грабеж и разбой:

1)     определите статистическое распределение выборки (постройте ряд распределения, вычислите относительные частоты возрастов), вычислите выборочную среднюю (средний возраст рецидивистов);

2)     если предположить, что в настоящее время в целом по России отбывают наказание за грабеж и разбой 180 тыс. человек, то укажите, сколько из них в возрасте 18 лет; до 20 лет;

3)     постройте полигон распределения выборки;

4)     постройте интервальный вариационный ряд и соответствующее ему статистическое интервальное распределение возрастов с указанием относительных частот (количество интервалов задать равным 9);

5)     постройте гистограмму распределения возрастов рецидивистов:

18 20 32 23 20 24 22 18 29 23 19 21 18 23 18 24 27 31 19 25

27 21 28 25 16 17 27 21 19 20 19 25 18 27 22 23 19 31 32 27

19 22 30 17 22 19 18 24 20 22 17 29 21 27 17 31 25 20 24 19

26 28 21 18 26 21 20 23 26 23 19 25 21 20 18 25 33 18 33 19

33 28 31 22 30 19 26 18 29 20 29 19 23 32 17 20 33 21 33 19.

Задача 3. Задача об «оптимальной численности» суда присяжных [8]. Рассмотрим ситуацию, в которой требуется решить вопрос о численности присяжных заседателей для принятия решения по делу, рассматриваемому судом в некотором регионе. В случае большинства голосов решения суда присяжных принимаются. В случае четного числа присяжных заседателей возможна ситуация, когда голоса разделятся поровну, тогда назначается повторное слушание дела, что финансово невыгодно. В свою очередь, принятие в суде неправильного решения негуманно. Поэтому «оптимальной численностью» суда считается такая, при которой шансы принять правильное решение при первом же слушании дела максимальны. Используя вышеприведенное определение «оптимальной численности» суда, установите, что предпочтительнее: суд из двух, трех или четырех присяжных?

Приведем решение задачи 3.

Пусть р – вероятность принятия правильного решения каждым из судей. Так как судьи принимают свои решения независимо, то вероятность принятия правильного решения для судов, состоящих из двух, трех или четырех человек (при условии большинства голосов в каждом случае), по формуле Я. Бернулли , где n – общее число испытаний в схеме Бернулли, k – число успехов) соответственно равна:

 (вероятность того, что два судьи из двух приняли правильное решение);

 (вероятность того, что правильное решение приняли три или два судьи из трех человек);

   (вероятность того, что правильное решение приняли четыре или три судьи из четырех человек).

Таким образом, мы пришли к следующим результатам:

Сравним полученные результаты между собой в том понимании «оптимальной численности» суда, которая описана в условии задачи.

1)     Состав суда присяжных из двух человек имеет преимущество перед составом суда из трех человек, если:

,  или , что невозможно.

Следовательно, суд из трех присяжных «лучше» суда из двух присяжных.

2)     Состав суда присяжных из четырех человек более «оптимален» состава суда из трех человек, если:

Полученное неравенство не имеет решения, а значит, суд из четырех присяжных не может оказаться «лучше» суда из трех присяжных.

Вывод: результаты решения задачи показывают, что суд присяжных заседателей, состоящий из трех человек, является «оптимальным» в случае выбора из двух, трех или четырех присяжных.

Сравнить суды из двух и четырех присяжных в плане «оптимальности» предлагаем самостоятельно.

В заключение отметим, что реализация прикладной направленности обучения математике, использование активных методов обучения и грамотная организация самостоятельной работы студентов, включение их в процесс решения проблем и задач, имеющих характер реального статистического исследования, позволяют студентам становиться активными участниками учебного процесса, самостоятельно добывать новые знания или закреплять уже приобретенные [9], а также способствуют: 1) развитию мышления студентов, формированию у них правильных статистических представлений [10]; 2) раскрытию их творческого потенциала; 3) развитию исследовательских умений и навыков, столь необходимых представителям вышеуказанных направлений специализации; 4) формированию положительной мотивации к изучению математики, которая, как известно, являясь побудительным стимулом к обучению, напрямую влияет на эффективность учебного процесса [11].