Visiting Olympiad in mathematics for students VSU: situation, tasks, analysis of the results

В последние годы наблюдается тенденция организации высшими учебными заведениями различного рода конкурсов и олимпиад для школьников. Связано это в первую очередь с тем, чтобы дать возможность подготовленным абитуриентам, мотивированным на получение образования по конкретному направлению, получить дополнительные баллы при поступлении в вуз, что делает их более конкурентоспособными при конкурсном отборе на бюджетные места.

Факультет компьютерных и физико-математических наук Вятского государственного университета уже имеет опыт в проведении подобного рода мероприятий для старшеклассников: 4 года проводится олимпиада «Реальность. Задача. Алгоритм», состоящая из трех конкурсных вариантов письменной работы (по математике, физике и информатике); дважды проведен комплексный конкурс с активными формами организации познавательной деятельности «Математика плюс физика» [1, 2]; второй год проводится выездная олимпиада по математике, физике и информатике.

Проведение выездных олимпиад не является новшеством в работе с абитуриентами. Так, например, МФТИ ежегодно проводит такую олимпиаду в конце января силами студентов и аспирантов, начиная с 1962 года, во всех регионах страны [3]. Основной целью таких олимпиад служит конкурсный отбор наиболее талантливых и «сильных» абитуриентов для вуза.

При запуске выездной олимпиады по математике, физике и информатике мы руководствовались в первую очередь соображениями охвата региона конкурсным движением, в котором могли бы попробовать силы старшеклассники из удаленных мест, у которых нет возможности принять очное участие в конкурсах в областном центре. Таким образом, по замыслам организаторов должны создаваться равные условия для всех выпускников школ Кировской области. Проведение выездной олимпиады осуществляется силами студентов факультета, составление и проверка работ – преподавателями, имеющими опыт работы со школьниками.

В 2014/2015 учебном году конкурсный вариант выездной олимпиады по математике был составлен в традиционной форме: учащимся предлагалось решить 6 задач различного уровня сложности из разных разделов школьного курса математики. Приведем конкурсный вариант здесь без решений, отметив, что задачи заимствованы из известного пособия для абитуриентов «3000 конкурсных задач по математике» [4].

1 (2 балла). Самолёт сначала летел со скоростью 220 км/ч. Когда ему осталось лететь на 385 км меньше, чем он пролетел, скорость его стала равной 330 км/ч. Средняя скорость самолёта не всём пути 250 км/ч. Какое расстояние пролетел самолёт?

2 (2 балла). Решите уравнение, в котором  – натуральное число: .

3 (3 балла). Число 64 разбейте на два слагаемых так, чтобы сумма первого слагаемого с квадратом второго была наименьшей.

4 (3 балла). Вершины куба с ребром 1 являются центрами шаров одинакового радиуса. Объем части куба, расположенной вне шаров, равен 0,5. Какова длина части ребра куба, лежащей вне шаров?

5 (4 балла). В выпуклом четырёхугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины диагоналей, равна длине отрезка, соединяющего середины сторон AD и BC. Найдите величину угла, образованного продолжениями сторон AB и CD.

6 (4 балла). Решите неравенство: .

 В 2015/2016 учебном году было решено изменить концепцию проведения конкурса и перейти от традиционного варианта письменной работы к новой форме – решению базовых задач с краткой записью решения и выполнению кейс-заданий с задачами с возрастающей сложностью. К тому же за основную идею была взята практическая ориентированность заданий. Это связано с тем, что знания предметного материала, умение решать задачи так или иначе показывает Единый государственный экзамен по математике, результаты которого итак представляются абитуриентом при поступлении на направления подготовки факультета. Однако умение применять полученные в школьном курсе математики знания и умения на практике достаточно сложно отследить по итогам ЕГЭ, хотя, общеизвестно, что именно практико-ориентированные знания и умения наиболее важны для дальнейшей профессиональной деятельности и показывают владение учеником предметным материалом на уровне применения, что говорит о высоком уровне математических знаний школьника [5].

 Ниже приведен конкурсный вариант, предлагавшийся абитуриентам, с решениями задач и ссылками на источники заимствования заданий, где это было возможно указать.

А. Базовые задачи

1. Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длиной 150 м – за 15 с. Какова длина поезда.

Решение. Когда поезд проходит мимо платформы, он проезжает 150 м и свою длину. Поезд проходит свою длину за 5 с, значит, платформу длиной 150 м – за 10 с, и его скорость равна 15 м/с, следовательно, его длина 15 · 5 = 75 м.

2. На метеостанции заметили, что в течение некоторого периода времени, если утром шёл дождь, то вечером было ясно, а если дождь шёл вечером, то было ясно утром. Всего было 9 дождливых дней, причём 6 раз выпадали ясные вечера и 7 раз было ясным утро. Сколько дней охватывал весь этот период времени? [6]

Решение. Всего было 0,5 · (6 + 7 – 9) = 2 полностью ясных дней, следовательно, рассматриваемый период охватывал 9 + 2 = 11 дней. 

3. При температуре 0°С рельс имеет длину l₀ = 10 м. При прокладке путей при этой температуре между рельсами оставили зазор в 4,5 мм. При возрастании температуры длина рельса будет меняться по закону l(t°) = l₀ · (1 + α · t°), где α = 1,2 · 10^–5 (°С)^–1 – коэффициент теплового расширения, t° – температура в градусах Цельсия. При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? [7]

Решение. Величина зазора между рельсами будет определяться разностью l – l₀, то есть будет равна l₀ · α · t° = 1,2 · 10^–4 · t°, что должно быть не меньше 4,5 мм = 4,5· 10^–3 м. Из неравенства
1,2 · 10^–4 · t° ≥ 4,5· 10^–3 получаем t° ≥ 37,5, значит наименьшая температура, необходимая для исчезновения зазора, составит 37,5 °С.

4. На карте по­ка­зан путь Лены от дома до школы. Лена из­ме­ри­ла длину каж­до­го участ­ка и под­пи­са­ла его. Ис­поль­зуя ри­су­нок, опре­де­ли­те длину пути (в м), если мас­штаб 1 : 10 000 см [8].

Решение. На карте путь составит 14 см. При соответствующем масштабе это значение равно 140 000 см или 140 м.

5. Первый насос наполняет бак за 15 минут, второй – за 20 минут, а третий – за 2 часа. За сколько минут наполнят бак одновременно три насоса?

Решение. За 2 часа (120 минут) первый насос может наполнить 8 баков, второй – 6 баков и третий – 1 бак. Вместе за 120 минут они наполнят 15 баков, а значит, 1 бак за 120 : 15 = 8 минут.

Б. Кейс-задания

6. Предприятие, специализирующееся на производстве обуви, для производства ботинок и сапог использует сырье двух типов: кожу и резину. Нормы расхода каждого из них на производство единицы продукции каждого вида и объем расхода сырья за 1 день заданы таблицей:

6.1. Пусть ежедневный объем выпуска сапог и ботинок составляет x₁, и х₂ соответственно. Запишите, какой будет математическая модель для нахождения ежедневного выпуска каждого вида обуви.

6.2. Рассчитайте ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.

6.3. Какова будет стоимость сырья, затраченного на производство сапог, если стоимость условной единицы кожи составляет 200 рублей, а резины 90 рублей? [9]

Решение. 6.1. Очевидно, математической моделью выпуска обуви будет система из двух уравнений: 2x₁ + 2х₂ = 200;5x₁ + 3х₂ = 350. 6.2. Решая ее, получаем значения x₁ = 25 пар (сапог) и х₂ = 75 пар (ботинок). 6.3. Соответственно, затраты сырья на производство сапог составят: (2 · 200 + 5 · 90) · 25 = 21 250 руб.

7. Из круглого бревна диаметром 30 см вытесывают балку с прямоугольным поперечным сечением, основание которого равно z и высота h. Оставшаяся часть бревна идет в отходы.

7.1. При каких размерах поперечного сечения балки количество отходов будет минимальным?

7.2. Каковы должны быть размеры поперечного сечения балки, чтобы ее прочность, пропорциональная величине , была максимальной?

7.3. Пусть P₀ – прочность балки при максимально возможном квадратном поперечном сечении, а P_max – максимально возможная прочность балки. Каково значение отношения P₀/P_max? [10]

Решение. 7.1. Высота и основание сечения при заданном диаметре 30 см связаны соотношением, выражаемым по теореме Пифагора: h² = 900 – z². Составим функцию площади по переменной z: . Ее производная, заданная на интервале (0; 30), обращается в ноль при , что является точкой максимума. При этом значение высоты составит также .

7.2. Составим функцию прочности . Ее производная на интервале (0; 30) обращается в ноль при , что является точкой максимума. При этом значение высоты составит , а максимальная прочность балки .

7.3. Несложно вычислить . Следовательно, искомое соотношение составит .

8. В ящике лежат красные и чёрные носки. Василий Петрович, собираясь на работу, не глядя достаёт из ящика последовательно два носка.

8.1. Какое наименьшее число носков надо вынуть, чтобы гарантированно достать пару чёрных, если в ящике по дюжине носков каждого цвета?

8.2. Если в ящике лежит по три пары носков каждого цвета, то какова вероятность, что оба вынутых носка окажутся красными?

8.3. Какое наименьшее число носков каждого цвета должно содержаться в ящике, чтобы оба вынутых носка оказались красными с вероятностью 0,5? [11]

Решение. 8.1. Чтобы гарантированно достать 2 носка черного цвета (даже в самом худшем случае) потребуется вынуть из ящика 12 + 2 = 14 носков.

8.2. Всего в ящике лежит 12 носков, из которых 6 красные. Вынуть первый красный носок можно с вероятностью 6/12 = 1/2. После этого второй красный носок можно достать с вероятностью 5/11. По формуле произведения зависимых событий получаем 5/22, что и составит искомую вероятность.

8.3. Пусть в ящике x красных и y черных носков. Вероятность достать красный носок составит x / (x + y). Тогда второй красный носок будет вынут с вероятностью (x – 1) / (x + y – 1). Произведение этих двух величин должно составлять ровно 0,5. Полагая для начала число черных носков равным 1, получаем число красных носков равным 3, то есть всего в ящике 4 носка. Заметим, что красных носков по условию задачи не может быть меньше двух, поэтому дальнейшее увеличение черных носков даст в ящике не менее 4-х носков в сумме, а, следовательно, 4 носка – минимально возможное количество носков в ящике.

Кратко остановимся на статистике конкурса.

Всего в конкурсном испытании приняли участие 162 человека, 123 из них имеют ненулевой результат по математике (т. е. выполняли работу и получили не менее одного балла). География участников – Кировская область, в том числе районные школы, лицеи, гимназии и сельские школы. Учащиеся областного центра к участию в конкурсе не допускались.

Задачи конкурса оценивались из расчета по 1 баллу за каждое верно выполненное задание с обоснованным решением. Таким образом можно было получить 5 баллов за базовую часть и 9 баллов за кейс-задания. Дробные баллы не ставились. Всего за конкурсные задания можно было получить 14 баллов.

Распределение участников по баллам показано на диаграмме.

Средний балл по всем 123 участникам, набравшим не менее одного балла, составил 2,72, что значительно менее половины возможных баллов. Этот результат также ниже, чем освоение базовых задач конкурса. При оценке заданий четко отслеживалось обоснованное решение задач. Правильные ответы без решения или объяснения оценивались 0 баллами. Особую сложность вызвали кейс-задания, решение которых практически отсутствует у участников конкурса.

Результаты конкурса говорят о том, что участвовавшие в нем школьники плохо решают практико-ориентированные задания и, возможно, не были готовы к тому, что подобного рода задачи могут быть предложены в качестве конкурсного испытания. Возможно, что здесь сыграла свою роль и наблюдающаяся в последнее время тенденция «натаскивания» учеников на решение задач ЕГЭ, которые в большинстве своем не носят практическую ориентацию.

В целом же можно сделать вывод, что методической науке в ближайшее время необходимо усилить разработку подходов, которые могли бы способствовать сокращению разрыва между необходимым современному обществу уровнем развития учащихся с их творческим потенциалом и умением решать практико-ориентированные задачи и курсом преподаваемой в школе математики.