Olga VergazovaВ последние годы выпускники школ при изучении школьного курса алгебры и начал анализа, а также в процессе подготовки к сдаче Единого государственного экзамена недостаточно акцентируют свое внимание на применении свойств и графиков элементарных функций, прежде всего тригонометрических, в процессе решения задач. Как результат, студенты-первокурсники в процессе обучения математике в вузе испытывают трудности или допускают ошибки при нахождении области определения функции, определении ее свойств (четность/нечетность, периодичность), при анализе поведения функции на бесконечности, при построении графика, при сравнении чисел вида ln2 и ln3 или cos1 и cos2 с помощью графика. Современные десяти- и одиннадцатиклассники на уроках математики мало применяют или совсем не применяют графический метод решения уравнений. Одна из причин этого – недостаточное использование возможностей функционально-графического метода при изучении темы «Решение тригонометрических уравнений и неравенств», так как авторы основных учебных пособий по математике, такие как А. Г. Мордкович, Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, основное внимание при изучении данной темы уделяют работе с числовой окружностью [1, 2].
Для исправления сложившейся ситуации следует дифференцированно подходить к подготовке старшеклассников, планирующих сдавать Единый государственный экзамен по математике профильного уровня. Школьники, которые планируют поступать в технические вузы или на математические специальности, должны обладать хорошо сформированным и развитым навыком применения функционально-графического метода. В процессе подготовки к Единому государственному экзамену по математике (профильный уровень) указанный навык можно приобрести и совершенствовать в процессе работы над заданиями с развернутым ответом № 13. Согласно кодификатору требований, задание № 13 проверяет умение решать уравнение или неравенство и относится к группе заданий повышенного уровня. Как определяют его методисты, задание № 13 обычно представляет собой относительно несложное уравнение или неравенство с отбором корней или решений соответственно. Такие задания могут содержать тригонометрические функции, логарифмы, степени и корни. В данных задачах обычно нужно методом замены переменной свести тригонометрическое уравнение к квадратному уравнению (часть а) и провести отбор корней, связанный с условием задачи или с ограниченностью новой переменной, наличием выражения с переменной в знаменателе алгебраической дроби, под знаками корней четной степени, логарифмов и т. д. (часть б). В большинстве случаев авторы пособий, изданных в последние годы, в случае тригонометрических уравнений и неравенств рекомендуют обращаться в пункте б) к числовой окружности [3–5]. Но, ограничиваясь применением только числовой окружности, старшеклассник не проводит систематическую работу по формированию и развитию навыка построения графиков тригонометрических функций. Как результат, не вырабатывается и не развивается навык работы с графиками в целом. В дальнейшем первокурсник при изучении математических дисциплин не сможет, мысленно представляя график той или иной функции, быстро и правильно провести анализ более сложных задач. Лишь немногие современные авторы рассматривают в пособиях все три возможных метода решения такого рода задач: 1) метод с применением числовой окружности; 2) аналитический метод; 3) функционально-графический метод. Отметим, в частности, пособие для учителей и старшеклассников авторов А. А. Прокофьева и А. Г. Корянова [6].
Продемонстрируем применение функционально-графического метода на примере решения задачи № 13 Единого государственного экзамена по математике (профильный уровень).
Задача 1. Решите уравнение =0 [7].
Решение
Данное уравнение равносильно системе
Корнями квадратного уравнения являются и .
Как видно из рис. 1, и не удовлетворяют условию .
Следовательно, данное уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней.
Рис. 1
Задача 2. Решите уравнение = 0 [8].
Решение
Данное уравнение равносильно системе
Решим тригонометрическое уравнение данной системы:
, где nϵZ.
, где nϵZ.
Как видно из рис. 2, с учетом условия корнями данного уравнения являются , где nϵZ.
Ответ: , где nϵZ.
Рис. 2
Задача 3. Решите уравнение = 0.
Решение
Перейдем к равносильной системе
Преобразуем уравнение и неравенство системы, получим:
Выполним замену переменной: = t, где ≤ 1.
Найдем корни квадратного уравнения , получим: ˃ 1.
Рассмотрим систему условий:
Решим данную систему графически, получим , где (рис. 3).
Ответ: , где
Рис. 3
Задача 4
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [9].
Решение
а) Запишем уравнение в виде
Выполним замену переменной: = t, где ≤ 1.
Корнями квадратного уравнения являются .
Значит, = .
, где
б) Найдем абсциссы точек пересечения графика функции и прямой , принадлежащие отрезку (рис. 4). Получим и .
Рис. 4
Ответ: а) ± , где
б) и – корни данного уравнения, принадлежащие отрезку
При решении рассмотренных выше примеров использовалось схематическое построение графиков простейших тригонометрических функций. Решение в таком случае отвечает важнейшим дидактическим принципам – наглядности и простоты. В отличие от аналитического метода, не требуется проводить много вычислений. Систематическое применение данного метода акцентирует внимание старшеклассника на свойствах функций, изученных в школьном курсе алгебры и начал анализа, развивает и совершенствует навыки чтения и аккуратного построения графиков. При всех своих достоинствах использование числовой окружности не имеет всех перечисленных выше возможностей. Очевидно, владение функционально-графическим методом на отличном уровне необходимо любому студенту-первокурснику при изучении высшей математики, в частности математического анализа.