Methods of topics presentation «Theory of functions limits» in the course «Mathematical analysis»

В инженерном образовании построение математических моделей физических и механических процессов играет важнейшую роль, поскольку будущий специалист должен уметь проводить анализ инженерных задач за счет использования математических методов и давать качественную оценку полученного результата. Для этого на первых этапах обучения используется аппарат математического анализа и изучаются его основные понятия.

Для начала отметим, что предел функции – это одно из ключевых понятий математического анализа, оно вводится на первых лекциях и затем постоянно используется в дальнейшем. С помощью определения предела функции по Коши доказывается целый ряд важнейших теорем, как это видно из работ [1–5]. Поэтому студентам необходимо научиться расписывать пределы при различных стремлениях аргумента, уметь оперировать ими и находить значения пределов функции, даже если возникают неопределенности при вычислениях.

1. 1.     Теория пределов функций. Трактовка предела функции по Коши

Прежде чем дать определение предела функции по Коши, предлагается ввести понятия окрестностей конечной и бесконечной точек при различном стремлении аргумента. Для удобства восприятия сведём все эти понятия в табл. 1.

Таблица 1

Типы окрестностей

Используя результаты табл. 1, наглядно продемонстрируем, как будут выглядеть определения пределов функции  по Коши при различных стремлениях аргумента .

Определение 1. Число  называется пределом функции  в точке , если для любого сколь угодно малого  найдется такое , что для всех  (или для всех ) выполняется неравенство .

Или с помощью логических символов:

    .

Определение 2. Число  называется правым пределом функции  в точке , если для любого сколь угодно малого  найдется такое , что для всех  (или для всех ) выполняется неравенство .

Или с помощью логических символов:

.

Определение 3. Число  называется левым пределом функции  в точке , если для любого сколь угодно малого  найдется такое , что для всех  (или для всех ) выполняется неравенство .

Или с помощью логических символов:

    .

Определение 4. Число  называется пределом функции  в бесконечно удаленной точке ( ), если для любого сколь угодно малого  найдется такое , что для всех  (или для всех ) выполняется неравенство .

Или с помощью логических символов:

    .

Определение 5. Число  называется правым пределом функции  в бесконечно удаленной точке ( ), если для любого сколь угодно малого  найдется такое , что для всех  (или для всех ) выполняется неравенство .

Или с помощью логических символов:

    .

Определение 6. Число  называется левым пределом функции  в бесконечно удаленной точке ( ), если для любого сколь угодно малого  найдется такое , что для всех  (или для всех ) выполняется неравенство .

Или с помощью логических символов:

    .

А теперь рассмотрим определения предела функции по Коши другого вида, а именно: когда функция имеет различные стремления.

Определение 7. , если для сколь угодно большого числа  найдется такое , что для всех  выполняется неравенство .

Или с помощью логических символов:

    .

Определение 8

      .

Определение 9

      .

Определение 10

    .

Определение 11

    .

Пределы 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11 называются односторонними.

Рассмотрим ниже примеры задач, которые позволят более детально разъяснить студентам содержание и смысл базовых определений 1–11.

Задача 1. Доказать по определению: .

Возьмем произвольное  и найдем :         . Таким образом для      такое, что для  выполняется неравенство . Например для     .

Задача 2. Доказать по определению: .

Возьмем произвольное  и найдем :         . Таким образом для      такое, что для  выполняется неравенство .

Задача 3. Доказать по определению: .

Возьмем произвольное  и найдем :             . Таким образом, для      такое, что для  выполняется неравенство .

Приведём теоремы, которые послужат теоретическим обоснованием при решении задач.

Теорема 1 (о единственности предела). Если предел функции в точке существует, то он единственен.

Определение 12. Функция  называется локально ограниченной, если она ограничена при : существует такое  и такая , что для всех  выполняется неравенство .

Пример 1. Функция  локально ограничена при .

Теорема 2 (о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел). Если функция  имеет конечный предел в точке , то она локально ограничена.

Теорема 3 (о пределе промежуточной функции). Если существуют конечный , конечный  и такая , что для любых  выполняется неравенство , то существует конечный .

Теорема 4 (арифметические операции с функциями, имеющими конечные пределы). Если существуют конечный  и конечный , то:

1)     существует конечный ;

2)     существует конечный ;

3)     существует конечный  при условии, что .

Теорема 5 (о замене переменной в пределе или о пределе сложной функции). Если функция  имеет в точке  конечный предел  и не принимает значение  в некоторой проколотой окрестности  точки , а функция  имеет в точке  конечный предел , то сложная функция  имеет предел в точке  и он равен .

Студентам необходимо на примере разъяснить смысл этой теоремы. Поскольку предел функции – это число, то, делая замену переменной, нет необходимости возвращаться к прежней переменной.

Задача 4. Вычислим:

.

Если точка  принадлежит области определения элементарной функции , то .

Задача 5. .

1. 2.     Основные способы вычисления пределов, содержащих неопределенности

Решение любой задачи на вычисление предела функции подчиняется определенному алгоритму, а именно:

1. Подставить в выражение предельное значение аргумента.
2. Определить, есть или нет неопределенность. Если нет, дать ответ.
3. Если неопределенность есть, то по ее виду выбрать одно из правил устранения этой неопределенности.
4. Преобразовать выражение согласно выбранному правилу и к новой форме предела применить данный алгоритм, начиная с п. 1.

Многолетняя практикапреподавания этой темы показывает, что основные методы вычисления пределов лучше структурировать в виде табл. 2. Это существенно поможет восприятию неопределенностей, способов их устранения и облегчит усвоение студентами приемов вычисления пределов функций.

Таблица 2

Типы неопределенностей и правила их раскрытия

Проиллюстрируем правила раскрытия неопределенностей, рассмотренных в табл. 2, на примерах задач.

Задача 6. Вычислить .

При подстановке  в числитель и знаменатель получаем . Это значит, что в числителе и в знаменателе есть общий множитель . Разложим на множители многочлены числителя и знаменателя.

.

Задача 7. Вычислить .

Снова имеем неопределенность вида . Для выделения «критического» множителя в этом случае удобно использовать замену переменной, выбрав ее так, чтобы избавиться от иррациональностей в числителе и знаменателе: . При .

.

Задача 8. Вычислить предел .

В приведенном примере существует неопределенность вида . Чтобы раскрыть ее, необходимо свести выражение, стоящее под знаком предела, к дроби. Сделаем это, домножив на сопряженное. В результате тип неопределенности сменится на . Раскроем эту неопределенность, вынося самые «весомые» слагаемые числителя и знаменателя за скобки:

=

Методика, которая положена в основу данной работы, позволит существенно ускорить процесс подготовки и проведения семинарских занятий по пределам функций, выполнения домашнего задания, подготовки к рубежному контролю и экзамену. Обобщен опыт изложения материала по указанной теме [6–11], предложены таблицы, которые весьма облегчат восприятие теории пределов и помогут при решении задач.