Irina SechkinaВ развивающем обучении система приёмов (методов) учебной деятельности включает в себя наблюдение, анализ, синтез, выделение главного, сравнение, аналогию, обобщение, конкретизацию, моделирование, классификацию, перенос. В этом перечне приёмы аналогии и синтеза находятся в одном ряду, эти приёмы взаимосвязаны, и цель данной статьи – раскрыть характер этой связи, в частности описать в деталях работу метода «аналогия» в педагогической технологии синтеза знаний.
Метод аналогии играет важную роль в организации учебного процесса по математике в техническом вузе:
- в каждом блоке курса математики выделяются так называемые «типовые задачи», из которых затем формируются «типовые расчёты»;
- преподаватель демонстрирует образцы решения типовых задач, не оставляя при этом никаких профессиональных секретов на зачёты и экзамены, то есть студентам выдаётся полная система разрешающих алгоритмов;
- далее студенты по аналогии выполняют каждый свой вариант типового расчёта;
- преподаватель проверяет работы, далее следует коррекция учебного процесса (исправление ошибок и недочётов, обобщающее повторение, закрепление учебного материала).
При сопоставлении контролирующих материалов преподаватель учитывает уровень сложности тестового задания (начальный, операционный и аналитико-синтетический) и степень использования метода аналогий на каждом из уровней сложности, который зависит от характера тестовой задачи. Вообще говоря, чем сложнее тестовая задача, тем больше алгоритм её решения отличается от разрешающего алгоритма, сообщённого преподавателем, тем затруднительней проверить рассуждение по аналогии. Поэтому метод аналогии больше используется на начальном и операционном уровнях сложности тестовых заданий, но чрезмерное увлечение методом аналогии может привести к преобладанию формального подхода, к отрыву формы представления учебного материала от его содержания [1].
Что касается аналитико-синтетического уровня сложности тестов, то и на нём нельзя обойтись без метода аналогии. Более того, такой инструмент обучения математике, как рефлексивный анализ, широко использует метод аналогий, причём «выработка умения находить аналогии и понимать концепции различных математических дисциплин представляется крайне важной» [2]. В этой фразе кроме аналогии упомянуто «понимание концепции различных дисциплин». Концепция одной, отдельно взятой математической дисциплины – это, прежде всего, фундаментальное ядро и универсальные действия (методы дисциплины), следовательно, речь идёт о системе знаний на уровне синтеза знаний, тем более что понимание различных математических дисциплин невозможно без рефлексии над системами межпредметных и внутрипредметных связей, над содержанием фундаментального ядра теории и характером универсальных действий. Иначе говоря, понимание комплекса дисциплин требует применения педагогической технологии синтеза знаний [3].
Методу аналогий в математике посвящено много трудов [4, 5]. С точки зрения педагогической технологии синтеза знаний аналогия должна присутствовать как элемент эвристики и рефлексии на всех этапах синтеза знаний: аналогия необходима для адаптации и оптимизации системы знаний, может быть полезной для оценки фундаментальности и универсальности знаний, когда изучаемая система близка по своим характеристикам (структуре, параметрам, функциям) к уже изученным, хорошо знакомым системам знаний, то есть характеристики уже изученной системы выступают в роли весовых коэффициентов при экспертной оценке характеристик изучаемой системы.
Науке известны примеры теорий совершенно не «аналогичных» (достаточно упомянуть классическую механику Ньютона и квантовую механику) и очень «аналогичных» (например, теория действительных чисел по Дедекинду и теория действительных чисел по Вейерштрассу).
Шансы успешного применения метода аналогии резко возрастают, когда этот метод сопрягается с методом синтеза знаний. Одним из приёмов сопряжения метода аналогий с методом синтеза знаний может служить решение одной задачи несколькими способами: каждый отдельно взятый способ решения задачи уже известен, студенты, действуя по аналогии, находят решение этой задачи этими способами; другой способ решения затрагивает новую отрасль знаний. При этом область используемых в учебном процессе знаний расширяется постепенно по мере включения новых способов решения, что и приводит в конечном итоге к системе знаний, носящей синтетический характер.
Например, при решении систем линейных алгебраических уравнений аналогия сочетается с синтезом знаний, если мы одну заданную систему решаем тремя способами: методом Гаусса, методом Крамера и матричным методом. Для включения трёх аналогий необходимо, чтобы главный определитель системы был отличен от нуля, иначе матричный метод и метод Крамера не работают.
Другим способом сочетания метода аналогий и метода синтеза знаний является частичное изменение условий задачи для получения возможностей действовать по аналогии. Этим приёмом широко пользуются многие математики: когда нужно что-то доказать, а «как это доказать – неизвестно», в условие задачи вносится требование, что условие «уже выполняется», что позволяет осуществить метод аналогии, то есть использовать аналогичное решение. Остаётся только как-нибудь «избавиться» от дополнительного предположения [6–8].
Изучая роль метода аналогии как метода педагогической технологии синтеза знаний, мы должны обратить внимание на возможность аналогии при развитии главных достоинств отечественного образования: фундаментальности, научности, системности и практической направленности.
Действуя по аналогии при определении фундаментального ядра содержания учебной дисциплины, мы можем использовать богатый опыт ведущих вузов страны: МГУ им. М. В. Ломоносова, МИФИ, НГУ и др. Учебные программы дисциплин курса «Высшая математика», разработанные ведущими преподавателями указанных вузов, «берутся за основу», то есть педагоги других вузов имеют возможность дорабатывать, перерабатывать эти программы, используя метод аналогии, но далее необходим учёт специфики данного вуза (профили подготовки специалистов и бакалавров, наличие материальной базы, приборов и измерительной техники, уровень подготовки абитуриентов, особенности рынка труда в конкретном регионе).
Учёт специфики данного вуза и региона возможен только на путях адаптации системы знаний к новым условиям и её оптимизации, иначе говоря, к методу аналогии требуется в обязательном порядке подключать технологии синтеза знаний, чтобы добиться достаточно высокого качества учебно-воспитательного процесса в конкретном вузе.
Важную роль играет метод аналогий в математической информатике, где имеются библиотеки подпрограмм решения типовых задач линейной и векторной алгебры, анализа и теории функций, дифференциальных уравнений (пакеты Mathematica, Maple, Matlab, MathCAD и др.).
Например, приводятся формулы (1.3) и (1.4) метода Мюллера, который служит для нахождения корней уравнения и развивает метод касательных Ньютона, используя квадратичную интерполяцию функции. Затем предлагается «Упражнение 1.1. Получите эти формулы самостоятельно по аналогии с методом Ньютона, оставив в разложении первые три слагаемых» [9].
Метод аналогий при неосторожном использовании вычислительной (компьютерной) техники может привести к неверному результату.
Например, при вычислении определённых и несобственных интегралов при увеличении числа разбиений объём вычислений стремительно возрастает; кроме того, с увеличением числа шагов вычислительного алгоритма накапливается ошибка округления. К примеру, компьютер даёт результат , хотя известно, что расходится [10].
Таким образом, необходим этап адаптации разрешающего вычислительного алгоритма к специфике конкретной теоретической или практической задачи. Как видно из приведённого примера, одного метода аналогий (выбора значка интеграла из палитры специальных знаков, внесения переменной интегрирования, подынтегральной функции и пределов интегрирования) в математической информатике не всегда хватает для адекватного решения задачи, здесь требуется дополнительный синтез возможностей вычислительной техники, теории ошибок, возникающих при использовании разрешающего алгоритма, и всех дополнительных ограничений, вытекающих из реальной задачи [11, 12].
В учебно-воспитательном процессе приёмы учебной деятельности образуют систему, в которой один приём может быть связан с другим приёмом не непосредственно, а через какой-нибудь третий приём. Например, приём аналогии часто сопрягается с приёмом синтеза знаний через приём классификации. Действительно, если изучается множество треугольников, то оно разбивается на множество треугольников остроугольных (все углы острые), прямоугольных (один угол прямой) и тупоугольных (один угол тупой). Изучение прямоугольных треугольников проводим методом аналогий на базе теоремы Пифагора с привлечением терминов «катет» и «гипотенуза», изучение остроугольных и тупоугольных треугольников методом аналогий базируется на теореме синусов, теореме косинусов и формуле Мольвейде. Метод классификации в этом случае помогает достичь уровня синтеза знаний, поскольку охватывает все виды плоских треугольников.
Но не всегда метод аналогий вкупе с методом классификации приводит к такому эффекту, как синтез знаний. К примеру, интегрирование рациональных функций одной действительной переменной всегда возможно и может быть выполнено по аналогии до конечного результата, а случай интегрирования иррациональных функций не всегда приводит к нужному результату, поскольку существуют иррациональные функции, первообразные которых существуют, но не выражаются в конечном виде через элементарные функции. В частности, интегралы от так называемого дифференциального бинома берутся только в трёх известных случаях, а в остальных случаях они не берутся (теорема П. Л. Чебышева) в конечном виде [13–16].
Тем не менее сопряжение метода аналогий с методом синтеза знаний, как опосредованно, так и напрямую, не только возможно, но и необходимо для того, чтобы учебные приёмы становились в процессе обучения приёмами умственной деятельности. Наша цель – вывести всех заинтересованных обучаемых на уровень синтеза знаний в развитии математического и общенаучного мышления.
Подводя итоги работы, можно утверждать:
- без метода аналогий трудно обойтись как в науке, так и в процессе обучения;
- метод аналогии имеет свои границы в процессе познания, его пределы, вообще говоря, сужаются при приближении к уровню синтеза развития математического мышления;
- метод аналогий играет важную роль при усвоении фундаментального ядра теорий и универсальных научных и учебных действий в ходе выполнения расчётно-графических работ, типовых расчётов и контрольных тестов;
- метод аналогий успешно сопрягается с педагогической технологией синтеза знаний (как эвристический способ, как элемент теории доказательства утверждений, при многовариантном решении одной задачи, в процессе проектирования и моделирования системы знаний).