Full text

Исследовать функцию  – это значит установить ее свойства, опираясь на определения или признаки этих свойств. Исследовать функцию на монотонность – это значит найти промежутки, в которых функция возрастает или убывает.

При исследовании функций до знакомства с производной наиболее трудным является поиск промежутков монотонности. Учащиеся, зная определения возрастания и убывания функции, не могут найти соответствующие промежутки, так как не знают метода их нахождения. Вместе с тем программа по математике предусматривает, чтобы основные свойства функций были освоены учащимися до изучения элементов математического анализа. В настоящей работе рассматриваются методы исследования функций на монотонность: традиционный, с использованием первой производной, и новый, который называется методом обобщения. При втором методе получается функция обобщения, промежутки знакопостоянства которой определяют промежутки монотонности функции [1].

 

  1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ

 

Наглядное представление возрастания и убывания функции на промежутке

 

Пусть функция задана графически.

Если на некотором промежутке Р при движении карандашом по графику слева направо рука поднимается вверх, то говорят, что на этом промежутке функция возрастает (рис. 1, а).

 

 

 

 

 

 

 

 

Если на некотором промежутке Р при движении карандашом по графику слева направо рука опускается вниз, то говорят, что на этом промежутке функция убывает (см. рис. 1, б).

 

На рис. 2, а) функция возрастает на промежутке  и убывает на промежутке .

Точку b называют критической, или точкой экстремума. При переходе через эту точку функция меняет свое поведение с возрастания на убывание. В этом случае точка называется точкой максимума и записывается . Значение функции в этой точке называется максимумом функции и записывается .

На рис. 2, б) функция убывает на промежутке  и возрастает на промежутке .

Точку  также называют критической, или точкой экстремума. При переходе через эту точку функция меняет свое поведение с убывания на возрастание. В этом случае точка называется точкой минимума и записывается . Значение функции в этой точке называется минимумом функции и записывается .

Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

 

Словесное определение возрастания и убывания функции на промежутке

 

При движении карандашом слева направо по графику возрастающей на промежутке Р функции у = f(x) на рис. 3, а) абсциссы и ординаты точек графика увеличиваются. В этом случае с увеличением значений аргумента значения функции увеличиваются. Говорят, что функция у = f(x) возрастает на промежутке Р, если с увеличением значений аргумента значения функции увеличиваются.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При движении карандашом слева направо по графику убывающей на промежутке Р функции  на рис. 3,б) абсциссы точек графика увеличиваются, а ординаты – уменьшаются. В этом случае с увеличением значений аргумента значения функции уменьшаются. Говорят, что функция убывает на промежутке Р, если с увеличением значений аргумента значения функции уменьшаются.

Аналитическое определение возрастания и убывания функции на промежутке

 

Функция  называется возрастающей на данном числовом промежутке Р, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т. е. для любых и  из промежутка Р, таких, что , выполнено неравенство
(рис. 4, а).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция  называется убывающей на данном числовом промежутке Р, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т. е. для любых и  из промежутка Р, таких, что , выполнено неравенство
(рис. 4, б).

Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

Функция у = f(x) называется кусочно-монотонной на некотором множестве , если множество  можно разбить на конечное число подмножеств так, что на каждом из них функция является монотонной.

Определение 1. Функция  называется возрастающей на данном числовом промежутке Р, если для любых  и  из промежутка Р, таких, что при , выполняется неравенство .

Функция  называется убывающей на данном числовом промежутке Р, если для любых  и  из промежутка Р, таких, что при , выполняется неравенство .

Итак, функция возрастает на промежутке Р, если для любых ,  из этого промежутка выполняется: .

Функция убывает на промежутке Р, если для любых ,  из этого промежутка выполняется: .

 

Геометрическое определение возрастания и убывания функции на промежутке

 

Определение 2. Функция  называется возрастающей на данном числовом промежутке Р, если касательная к графику функции образует острый угол с осью  (см. рис. 5, а)

Функция  называется убывающей на данном числовом промежутке Р, если касательная к графику функции образует тупой угол с осью  (см. рис. 5, б).

В случае, когда  касательная параллельна оси  Имеем критические точки.

Если в критической точке функция меняет характер монотонности, то имеем экстремум. Так, на рис. 6, а) имеем максимум, так как функция меняет характер монотонности с возрастания на убывание. На рис. 6, б) имеем минимум, так как функция меняет характер монотонности с убывания на возрастание.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если в критической точке функция не меняет характер монотонности, то имеем перегиб. На рис. 7, а) функция возрастает, на рис. 7, б) функция убывает.

 

Постановка и решение проблемы

 

Для элементарной функции  запишем выражение

.

Очевидно, что при  поэтому выражение  можно представить в виде произведения двух множителей ( ; ) ( ; ): ( ; ) ( ; ), причем при , ( ; ) и ( ; )

Спрашивается, при каких значениях ,  и когда ?

Для определенности примем  тогда можно выделить множитель ( ; ) . Знак  будет зависеть только от знака множителя ( ; ).

Остается ответить, на каких промежутках ( ; ) принимает положительные значения, а на каких  отрицательные. Для этого найдем функцию , сделав обобщение путем замены  и  на  в выражении ( ; ): . Функцию  назовем функцией обобщения. Переменная  принадлежит одному из устанавливаемых исследованием промежутку. Для нахождения самих промежутков необходимо решить соответственно неравенства

 и .

Решение неравенства  определяет промежутки, в которых . Решение неравенства  определяет промежутки, в которых .

Метод, при помощи которого находится функция  назовем методом обобщения.

Итак, замена  и  на  в выражении ( ;  явилась решением проблемы знакопостоянства выражения .

Замечание. Замена  и  на  в выражении  в математическом анализе называется операцией предельного перехода.

 

 

  1. ПРИЗНАКИ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ

 

Отметим, что особенностью рассматриваемого свойства функции является то, что исследовать функцию на монотонность невозможно, исходя из его определений непосредственно. С этой целью пользуются признаками монотонности функции.

 

Признак монотонности функции по функции обобщения

 

Из определений 1 и 2 следует признак выпуклости графика функции, который сформулирован в теореме 1.

Теорема 1. Если функция обобщения  в данном промежутке Р положительна, то функция возрастает, а если отрицательна – убывает в этом промежутке.

Докажем эту теорему.

Необходимость. Пусть функция  возрастает и > . Тогда:

>

В связи с тем что промежутки знакопостоянства функции обобщения  и выражения  совпадают, то .

Достаточность. Пусть . Тогда:

Следовательно, имеем  Функция  возрастает.

Аналогично доказывается вторая часть теоремы 1. Что и требовалось.

Итак, решение неравенства  определяет промежутки возрастания функции. Решение неравенства  определяет промежутки убывания функции. Точки, в которых функция обобщения , называются критическими (точками экстремума).

При исследовании функции  на монотонность методом обобщения поступаем следующим образом.

 

Алгоритм исследования функции на монотонность методом обобщения

 

  1. Выбираем  из области определения, такие, что , т. е. .
  2. Записываем разность .
  3. Представляем разность в виде произведения:

( ; ), где .

  1. В выражении ( ; ) заменяем и  на , получаем функцию обобщения : ( .
  2. Находим промежутки возрастания функции  решением неравенства .
  3. Находим промежутки убывания функции  решением неравенства .
  4. Находим критические точки решением уравнения .
  5. Записываем промежутки монотонности с учетом критических точек.

 

Признак монотонности функции по первой производной

 

Сформулируем признак монотонности функции по первой производной.

Теорема 2. Если производная  в данном промежутке Р положительна, то функция возрастает, а если отрицательна – убывает в этом промежутке.

Доказательство теоремы 2 проведем, опираясь на геометрический смысл производной: значение производной функции  в точке  равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в той же точке  (рис. 8), т. е.

.

На самом деле, пусть дан график функции  (рис. 9). Возьмем на кривой  точки  и . Через точку  проведем касательную и секущую . Угол касательной с осью  обозначим через . Угол секущей с осью  обозначим через .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем: уравнение касательной :  уравнение секущей
; ;

Предположим, что точка  остается неподвижной, а точка , перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к . Тогда:

-          секущая  поворачивается вокруг точки  стремясь занять положение касательной;

-          , а следовательно,

-          угол  стремится к углу .

Тогда  Итак,

Таким образом, пусть , тогда , т. е. угол  острый, а это возможно по определению 2 лишь при возрастании функции.

Если , тогда , т. е. угол тупой, а это возможно лишь при убывании функции по определению 2.

Итак, возрастание или убывание функции в промежутке вполне определяется знаком производной этой функции. Решение неравенства  определяет промежутки возрастания функции. Решение неравенства  определяет промежутки убывания функции.

Точки, в которых производная , называются критическими.

В связи со сказанным интересно проследить поведение функции в критических точках. С этой целью рассмотрим рис. 10–14.

 

На рис. 10 возрастание функции ( ) сменяется на убывание ( ). Решение уравнения  определяет точку максимума .

На рис. 11 убывание функции ( ) сменяется на возрастание ( ). Решение уравнения  определяет точку минимума .

На рис. 12 решение уравнения  определяет точку, при которой не меняется характер монотонности, функция возрастает, так как 0 во всей области определения. В этом случае критическая точка является точкой перегиба.

На рис. 13 решение уравнения  определяет точку, при которой не меняется характер монотонности, функция убывает, так как 0 во всей области определения. В этом случае критическая точка является точкой перегиба.

Особенностью функций на рис. 14 и 15 является то, что они монотонны на всей области определения и

Во всех случаях на рис. 12–15 в точках перегиба меняется характер выпуклости графика функции.

 

Замечание. 1. Для рациональных функций теорема 1 и теорема 2 взаимозаменяемы: функцию обобщения  можно заменить производной , и наоборот.

На самом деле, пусть дана функция

Тогда  где

 

Для рациональных функций множитель

.

Имеем:

Таким образом, . Значит, Получаем:

 откуда

Итак, для рациональных функций функция обобщения  и производная  совпадают. Существуют и нерациональные функции, для которых в разложении  можно выделить множитель . Например, , тогда

 

;  

Найдем : . .

Найдем : .

Итак, .

Для трансцендентных функций такое представление выражения  невозможно.

2. Несмотря на то что функции  и  совпадают, получаются они различными способами: первая получается с использованием метода обобщения, а вторая – с использованием теории пределов. Но в основе их лежит операция предельного перехода.

При исследовании функции  на монотонность с использованием первой производной поступаем следующим образом.

Алгоритм исследования функции на монотонность

с использованием первой производной

 

  1. Вычисляем производную  данной функции.
  2. Находим точки, в которых производная  равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции .
  3. Найденными точками область определения функции  разбивается на промежутки, на каждом из которых производная  сохраняет свой знак.
  4. Находим промежутки возрастания функции  решением неравенства .
  5. Находим промежутки убывания функции  решением неравенства .
  6. Находим критические точки решением уравнения .
  7. Записываем промежутки монотонности с учетом критических точек.

 

3. ПРИМЕРЫ

 

  1. Найти промежутки монотонности графика функции : а)с использованием функции обобщения ; б)с использованием первой производной .

Решение

а)    

 

 где

Найдем функцию обобщения:

. Итак, .

 при  критическая точка.

при .Функция убывает при . В точке  нет смены монотонности:  точка перегиба.

б)     Определим первую производную функции :

Функция убывает на всей области определения .

  1. Исследовать на монотонность функцию  а)с использованием функции обобщения ; б)с использованием первой производной .

Решение

а)     Пусть, с учетом периодичности функции ,

 или  .

В силу свойств числовых неравенств в первом и во втором случаях:

 .

Имеем:

 

 где

Найдем функцию обобщения: .

Имеем, .

; ;  – критические точки.

функция  возрастает.

функция  убывает.

Так как критические точки являются точками экстремума, имеем: функция синус возрастает на каждом из промежутков

,

и убывает на каждом из промежутков

, .

б)    Определим первую производную функции : .

Далее решение смотрите выше, так как

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В статье представлен новый метод исследования функций на монотонность – метод обобщения. С помощью метода обобщения можно исследовать функции в полном объеме до изучения производной. О возможности использования метода обобщения в обучении математике в школе говорится в статье [2].