Olga IvanovaВысшая математика является обязательным предметом в российских высших учебных заведениях. Для студентов нематематических факультетов основными целями преподавания математических дисциплин в вузе являются: ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач профильных дисциплин; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложениям; развить логическое и алгоритмическое мышление; повысить общий уровень математической культуры; выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение перевести профессиональную задачу на математический язык. В последнее время в высшей школе выявлена тенденция к уменьшению количества аудиторных часов на изучение математики при увеличении количества часов на самостоятельную работу студентов. Современный преподаватель столкнулся с проблемой: как студентам за меньший промежуток времени усвоить большее количество информации? Решение данной проблемы приводит к необходимости сгущения учебной информации [1]. «Сгущением может быть назван тот процесс, в силу которого становится простым и не требующим усилия мысли то, чтo прежде было мудрено и сложно» [2]. Как показывает практика, один из наиболее эффективных дидактических путей сгущения информации – это путь создания крупномодульных опор. Достижению указанных выше целей будет способствовать применение сгущения информации в изложении содержания курса высшей математики.
Преподавателями кафедры информационных образовательных технологий факультета математики и компьютерных наук КубГУ по всем математическим разделам были составлены крупномодульные опоры по таким типам, как блок-схемы (см. рисунок) [3], граф-схемы, прямоугольные таблично-матричные модули (см. таблицу). В каждой из опор использованы такие логические средства, как формула, символическая запись. В символьных записях используются логические и математические знаки операций. Крупномодульные опоры относятся к визуальному представлению учебной информации, которое уже становится требованием современности [4].
Алгоритмическая блок-схема нахождения закона распределения дискретной случайной величины
Прямоугольный таблично-матричный модуль нахождения уравнения прямой
|
Уравнения прямой на плоскости |
Рисунок |
||||||||||
|
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору : |
|||||||||||
|
Общее уравнение прямой Ax+By+C=0, где – вектор нормали |
|||||||||||
|
Уравнение прямой «в отрезках»: |
|||||||||||
|
Каноническое уравнение прямой , где – направляющий вектор |
|||||||||||
|
Параметрическое уравнение прямой |
|||||||||||
|
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, М1 и М2: |
|||||||||||
|
Уравнение прямой , проходящей через заданную точку М(х0;y0) с заданным угловым коэффициентом |
|
||||||||||
|
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
|
|||||||||||
|
Если прямые заданы общими уравнениями , то угол между прямыми – это угол между векторами нормалей : |
|
||||||||||
|
Если прямые заданы каноническими уравнениями то угол между прямыми – это угол между направляющими векторами : |
|
|
|||||||||
|
Если прямые заданы угловыми коэффициентами , то находят тангенс угла
|
|
|
|||||||||
|
Расстояние от точки М1(x1,y1) до прямой Аx +By + C = 0 |
|
||||||||||
|
Точки лежат на одной прямой |
|
||||||||||
Подобная форма представления учебной информации позволяет определить структуру изучаемого материала, выделить связи между его основными составляющими, способствует формированию у студентов умений самостоятельно работать. Идеи создания крупномодульных опор, а также методические приемы их использования были взяты из методики В. Ф. Шаталова [5]. Опорные схемы давно уже используются в преподавании учащимся основной и средней школы и способствуют их успешному обучению [6]. В высших учебных заведениях опорные схемы или крупномодульные опоры используются крайне редко. Для того чтобы составленные крупномодульные опоры были эффективным средством обучения, были продуманы методические приемы их использования как на лекционных, так и на практических занятиях.
Вначале лекции преподаватель дает представление по всей изучаемой теме – знакомит студентов с соответствующей опорой: она может быть представлена посредством электронной доски. После ознакомления с опорой – это сгущение лекционного материала, студентам предлагается план лекционного занятия. В каждом пункте плана преподаватель раскрывает структурные составляющие опоры и приводит конкретные примеры.
Ведение лекционного занятия с применением крупномодульных опор можно сравнить с пазлами, из которых составляется картинка. Если брать каждый пазл в отдельности и рассматривать его подробно, то целостное восприятие картинки может и не сложиться. А если вначале показать картинку, то по ней легко составить рисунок из пазл. Такой методический прием заставляет студентов слушать и понимать учебную математическую информацию, а не зазубривать математическую теорию. На лекционных занятиях при наращивании учебного материала преподаватель возвращается к опоре, неоднократно её повторяя, и в конце лекции на доске появляется та самая опора, с который студенты знакомились в начале лекции. Лекцию преподаватель заканчивает повторением структурных составляющих крупномодульной опоры. Студентам при подготовке к следующей лекции можно за 15 минут повторить лекционный материал, пробежав глазами опоры.
На следующей лекции преподаватель напоминает студентам об изученной опоре на прошлой лекции посредством электронной доски. На электронной доске на представленной опоре преподаватель делает соответствующие пометки с использованием ответов студентов, на что должно уходить не более 10 минут. Если прошлая крупномодульная опора связана с новой лекцией, то преподаватель об этом говорит и предлагает новую порцию учебного материала.
Эффективность опоры тем выше, чем больше идей можно развернуть на основе представленных символов. Крупномодульная опора является своего рода тренировочным материалом для студентов, так как в ней используется математическая терминология, например символьные определения с использованием аппарата математической логики, в связи с чем усиливается смысловая нагрузка. Одна из разновидностей крупномодульных опор – алгоритмические блок-схемы (см. рисунок). Блок-схемы описывают алгоритмы решения задач, в которых отдельные этапы решения задач изображаются в виде блоков различной формы, соединенных между собой направленными линиями, указывающими на последовательность рассуждений. Работа с такими схемами имеет некоторые отличительные особенности. На лекционных занятиях преподаватель вначале обращает внимание студентов на окончательный результат блок-схемы, затем показывает различие между результатами и пути следования к ним. В течение лекции идет объяснение решений задач строго по алгоритму, представленному с помощью блок-схемы. Подводя итог лекции, преподаватель уже читает блок-схему по направленным линиям.
Использование крупномодульных опор на практических занятиях значительно расширяет их возможности. Каждое практическое занятие начинается с письменного воспроизведения опоры в течение заданного, заранее оговоренного времени на отметку. После письменного опроса опора воспроизводится преподавателем на доске (желательно использовать электронную доску) вместе со студентами. Студенты решают задачи, используя каждую структурную составляющую опоры. Стоит отметить, что на практическое занятие преподаватель обязан подготовить достаточное количество разноуровневых задач на каждую структурную составляющую изучаемой опоры. Студент сам выбирает, какую группу задач он будет решать как на аудиторном занятии, так и самостоятельно дома. Если опора рассчитана на несколько тем практических занятий, то на первом практическом занятии её использование обязательно, на последующих занятиях преподаватель предлагает студентам по возможности не пользоваться опорами, а на последних занятиях темы, в частности на контрольных и самостоятельных работах, запрещается пользоваться опорами. Помимо домашних заданий – решение задач студентам также задается на дом – расшить опорную схему надо с приложением примеров, то есть на каждую структурную составляющую крупномодульной опоры необходимо письменно указать по одному примеру из домашних задач.
Рассмотрим на конкретном примере обучения решению задач по математическому разделу «Элементы теории вероятностей» с использованием блок-схемы (см. рисунок) на практическом занятии «Законы распределения дискретных случайных величин».
Задача 1. Монета брошена 2 раза. Найти вид распределения случайной величины Х – числа выпадений «герба» – и составить её закон распределения.
Решение. Схема (см. рисунок) у всех студентов перед глазами (на электронной доске, ксерокопия).
1) Определим, о каком событии А идет речь. А: «Выпадение герба»;
2) определим число испытаний n: сколько раз бросили монету, n = 2;
3) проверяем условие: n > 1 – да;
4) находим вероятность события А в каждом из испытаний, (какова вероятность выпадения герба при одном подбрасывании?);
5) проверяем условие: испытания прекращаются после появления события А? – нет;
6) определяем возможные значения случайной величины Х = xi, из условия задачи случайной величиной Х является число выпадений «герба». При двух бросаниях монеты «герб» может либо совсем не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, таким образом, xi= m = 0, 1, 2;
7) проверяем условие: и – выбираем стрелку с пометкой «нет»;
8) мы пришли к виду распределения дискретной случайной величины – биномиальное распределение;
9) найдем соответствующие вероятности по формуле , вероятность появления «герба» в каждом бросании монеты . Следовательно, вероятность непоявления «герба» . Р(Х = х1) = Р0,2 = (0,5)2 = 0,25, Р(Х = х2) = Р1,2 = = 2 · 0,5 · 0,5 = 0,5,
Р(Х = х3) = Р2,2 = = (0,5)2 = 0,25.
|
Х |
0 |
1 |
2 |
|
р |
0,25 |
0,5 |
0,25 |
10) составим таблицу распределения: Проверим .
Задача 2. В урне 7 шаров, из которых 4 белых, а остальные черные. Из этой урны наудачу извлекаются 3 шара. Х – число извлеченных белых шаров. Установить вид распределения числа извлеченных белых шаров, составить закон распределения Х и найти вероятность события Х ≥ 2.
Решение. По схеме (см. рисунок) определяем с 1–10-е действия.
1) Определим, о каком событии А идет речь. А: «Извлечение белого шара»;
2) определим число испытаний n: сколько было попыток извлечь шары (не возвращая обратно), n = 1;
3) проверяем условие: n > 1 – нет;
4) определяем возможные значения случайной величины Х = xi, из условия задачи случайной величиной Х является число извлечённых белых шаров, возможные значения случайной величины Х: х1 = 0, х2 = 1, х3 = 2, х4 = 3;
5) проверяем условие «Число благоприятных исходов равно 1» – нет;
6) определяем множество М – множество всех шаров в урне;
7) Х = xi= m = 0, 1, 2, 3, k = 3 – число элементов выборки;
8) N = 7 – всего шаров в урне, s = 4 – всего 4 белых шара;
9) устанавливаем вид распределения – гипергеометрическое распределение вероятностей случайной величины Х с N = 7, m = 0, 1, 2, 3, k = 3; s = 4;
10) найдем соответствующие вероятности p0, p1, p2, p3 по формуле , , , , ,
;
|
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
р |
11) составим таблицу распределения случайной величины Х;
12) найдем вероятность появления события Х ≥ 2:
.
Аналогично рассматриваются на практическом занятии задачи 3–5.
Задача 3. Бросается игральная кость до первого появления шестерки. Случайная величина Х равна количеству бросаний кости. Найти закон распределения случайной величины Х и вероятность события Х > 6.
Задача 4. Завод отправил на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения каждого изделия в пути равна 0,002. Найти закон распределения случайной величины Х, равной числу поврежденных изделий, и найти вероятность события Х < 3.
Задача 5. Составьте закон распределения вероятностей случайного числа очков, выпавших на верхней грани игрального кубика при одном подбрасывании.
После рассмотрения всех видов распределения, представленных на блок-схеме, остальные задачи, подготовленные для данного практического занятия, решаются самостоятельно.
Неоценимую роль играют опоры при подготовке к коллоквиуму, а к успешной сдаче экзамена и зачета. Так как крупномодульные опоры – это краткое содержание теоретического материала в виде схем и таблиц, то преподаватель задает студентам на дом прочитать несколько раз не лекции, а схемы и таблицы по соответствующей лекции. Крупномодульные опоры являются хорошим подспорьем при самостоятельной работе студентов, облегчают нагрузку как преподавателя, так и студента.
Практика использования крупномодульных опор на лекционных и практических занятиях показала, что они положительно влияют на активное усвоение студентами основ высшей математики.