Three-step transition from intuitive sense of limit to a precise definition

1. Введение. Наличие строгого понятия предела – основное качественное отличие высшей, «вузовской» математики (по крайней мере, аналитических дисциплин) от математики элементарной, «школьной». Производная и интеграл, составляющие внешнюю сторону специфики математического анализа, определяются также путём некоторого предельного перехода. Поэтому без освоения логической структуры понятия предела невозможно претендовать на качественное знание математического анализа. При этом недостаточно просто запомнить некоторую сложную, но единичную конструкцию (логическое высказывание), которая выражала бы собой данное понятие, поскольку существует достаточно большое число разновидностей пределов (предел последовательности, предел функции при том или ином стремлении аргумента, различные интегральные конструкции и т. д.). Кроме того, хорошее понимание определения по сравнению с механическим запоминанием сильно облегчает понимание доказательств.

Основной целью данной статьи является описание найденного автором способа поэтапного перехода от интуитивного понятия предела к строгому определению. Заметим, что этот способ так или иначе применим ко всем вариантам предельных конструкций. Данное описание содержится в третьем разделе статьи. Однако, прежде чем дать его, автор, желая сделать статью максимально полезной для коллег, ищущих оптимальный подход к теме изучения предела, считает полезным проанализировать (во втором разделе статьи) имеющиеся проблемы и методические находки в этой области. Разумеется, такой анализ не претендует на окончательную полноту хотя бы в силу огромного разнообразия учебных пособий по основам анализа. Тем не менее возникающие при изучении предела основные трудности и пути их преодоления не столь многочисленны, и мы постараемся их охватить.

2. Трудности, возникающие при изучении предела, и опыт их преодоления. Когда мы утверждаем, что некоторое понятие является сложным для восприятия, может показаться, что эта сложность – дело субъективное, зависящее от прилагаемых усилий и способностей обучаемого и обучающего. Впрочем, даже с субъективной точки зрения можно сравнивать одни понятия с другими по их сложности, и если результаты такого сравнения оказываются чаще всего одинаковыми у разных людей, то за этим различием сложности не может не скрываться какая-то объективная сторона. Однако для математических понятий, определения которых могут быть записаны в виде логических высказываний, можно предложить вполне конкретную и простую «меру» сложности в виде количества внутренних переменных^[1], которые используются в определении. Например, понятие делимости целых чисел имеет первый (низкий) уровень сложности, поскольку делимость m на n означает, что ⱻk: m = kn. Если ввести предварительно обозначение делимости, тогда и при определении простоты числа можно будет обойтись одной вспомогательной переменной: p простое, если оно не делится ни на какое t≠1, p. А если расписывать определение делимости внутри определения простого числа (для чего понадобится ещё один параметр), то последнее станет на уровень сложнее. Этот простой пример показывает, что сложность того или иного определения можно (иногда!) понизить с помощью изучения предварительных понятий.

Если обратиться к понятию предела (например, функции в точке), то мы увидим в его определении уже три вспомогательных параметра: lim_x→af(x) = A, если^[2]

Ɐε>0 ⱻδ>0:Ɐx0<|x-a|<δ⟹|f(x)-A|<ε.        (1)

Разумеется, это определение, как и любые другие, может быть записано и без использования логической символики, «словами», но каждый внутренний параметр будет тогда порождать своё придаточное предложение («каково бы ни было положительное ε, найдётся такое δ, что...»), и выглядеть такая фраза будет слишком громоздко на фоне соответствующего логического высказывания, пусть и содержащего, возможно, непривычные для обучаемого кванторы. Поэтому, помимо содержательной сложности, сравнительно большое количество вспомогательных параметров в определении предела неудобно тем, что заставляет обращаться к логической символике. И разумеется, символика эта должна быть освоена (в том числе на практических занятиях) студентом к моменту его знакомства с пределами. Преподавателями, давно привыкшими хотя бы за время своей учёбы к использованию этой символики, этот момент может недооцениваться, и тогда студенту приходится одновременно осваивать и сам язык логики, и достаточно сложное понятие на этом языке. Это всё равно что начать изучать химию на французском, не выучив предварительно французского.

Подытоживая сказанное к данному моменту, мы можем выделить две проблемы, связанные с изучением предела:

1)        использование логической символики, требующее предварительного её освоения;

2)     принципиальная сложность определения, выражаемая в использовании трёх внутренних переменных.

Кроме этого можно выделить ещё две принципиальные трудности:

1)     чаще всего изучение предела начинают со случая последовательностей (ввиду большего удобства, скажем, при разборе примеров), в то время как в школе гораздо больше внимания уделяется функциям^[3];

2)     существует большое число вариантов понятия предела (последовательности, функции в точке, односторонние и т. д.), что усиливает требования к студенту и может привести к неоправданному увеличению объёма учебного материала, посвященного теории пределов.

Перейдём теперь к обзору средств, позволяющих преодолеть или облегчить все эти трудности.

Изучение и практическое освоение основ математической логики представляет собой обширную тему, требующую отдельной статьи. Речь идёт, конечно, не только о навыке использования символики при записи высказываний (здесь достаточно запомнить два с половиной значка: Ɐ, ⱻ и ⱻ!), но и о типичных действиях с высказываниями и вообще о развитии логического мышления. Нужно добиться того, чтобы за счёт использования логических символов не только преподавателю надо было меньше писать, но и студенту надо было меньше думать, чтобы какие-то детали и свойства понимались бы при взгляде на логическую запись сразу или при помощи кратких устных комментариев. Должны, на наш взгляд, кроме привычки к самим логическим записям и каким-то их типичным сокращениям выработаться следующие навыки:

1)     различение внешних и внутренних переменных (при понимании того, что истинность высказывания зависит только от значений внешних переменных);

2)     построение отрицаний к высказываниям (к дизъюнкции, конъюнкции, следствию и высказываниям с кванторами);

3)     умение доказывать (или опровергать, доказывая отрицания) достаточно простые высказывания (при понимании того, что вводимая квантором существования переменная может зависеть от всех внешних и ранее введённых внутренних переменных, например, фраза Ɐxⱻy: x + y = 1 истинна, так как можно взять y = 1 – x, а для фразы ⱻy: Ɐxx + y = 1 это уже не пройдёт, так как y появился раньше, чем x).

Осваивать начала логики можно или в виде отдельной темы, или параллельно с изучением тех или иных подготовительных по отношению к теории пределов тем.

К сожалению, в большинстве своём авторы учебников по анализу стараются или вовсе избежать логических символов, видя в них дополнительную трудность, или использовать их ограниченно, приводя логическую запись определений в дополнение к основной, вербальной формулировке. При этом упускается, что при чтении лекций для краткости записей эта символика всё равно появится, а значит, без неё в любом случае не обойтись. Такой разрыв между литературой и практикой учебного процесса объясняется, видимо, тем, что письменная традиция по природе своей более консервативна, чем устная, и если изначально учебники появлялись как конспекты лекций крупных математиков, то в дальнейшем манера чтения лекций менялась быстрее, чем копировавшие друг друга, по крайней мере стилистически, учебники. Из общепризнанных учебников математического анализа приятным исключением в этом плане является учебник В. А. Зорича [1], который активно (но без злоупотреблений, об опасности которых упоминается) использует логическую символику, при этом аккуратно предварительно разбирая связанные с ней нюансы (§ 4, п. 3). Упомянем также учебник Л. Д. Кудрявцева [2], ориентированный на несколько более низкий уровень студентов, в котором при введении логических символов (п. 1.5) приводится соответствующая запись свойств функций (чётность, периодичность и т. п.) и строятся их отрицания, что является, на наш взгляд, особенно удобным для студентов среднего уровня в силу привычности для них этой тематики по школьному курсу.

Впрочем, дело, как мы отмечали уже, не только в символике, но и в развитии логического мышления на примере понятий более простых, чем предел. Приведём небольшой обзор учебной литературы с точки зрения такой подготовительной тематики. В большинстве учебников в её основе лежит определение множества вещественных чисел через дедекиндовы сечения (чаще всего) или бесконечные десятичные дроби ([3] или [4])^[4], зачастую в сочетании с аксиоматическим подходом, который особенно удобен для параллельного изучения логической символики и овладения логическими навыками. С определением множества действительных чисел тесно связаны понятия точных граней множества, которые по своей логической структуре напоминают предел, но имеют лишь второй уровень сложности (верхняя грань a множества A будет точной, если Ɐε>0 ⱻbϵA:b>a-ε – нам понадобилось два внутренних параметра). Конечно, эти понятия будут способствовать пониманию предела, только если их определения приводятся в подобном виде, как сделано в уже упомянутых учебниках [6] и [7] и ряде других. К определению вещественных чисел может прилагаться подробный разговор о функциях (строгое построение элементарных функций, как у Г. М. Фихтенгольца [8], или изучение сопряжённых понятий – композиции, образа и прообраза множества, как у Зорича [9], или просто повторение школьных понятий, как у Кудрявцева [10]), а к точным граням и аксиоме полноты – её эквивалентные формулировки в виде трёх известных лемм (Зорич) или хотя бы одной из них (Кудрявцев). Основы теории множеств, присутствующие (хотя бы в виде операций) в большинстве учебников, очень полезны для изучения логики в силу полного соответствия высказываний и множеств (множеству A соответствует высказывание xϵA, объединению соответствует дизъюнкция и т. д.). Впрочем, многие авторы идут дальше операций и касаются сравнения мощностей ([11–13], а Зорич кроме этого приводит и аксиоматику Цермело – Френкеля). Хорошим материалом для привыкания к логическим символам и доказательствам несложных утверждений является теория метрических пространств, развиваемая прежде определения предела в книгах У.Рудина [14] и уже упомянутой Никитина и Фомичёва [15], что, кстати, позволяет при желании и определение предела рассматривать в метрическом пространстве, т. е. с большей общностью, чем числовой предел. Прекрасной тренировкой на логические рассуждения является доказательство утверждений с помощью принципа индукции, примеры чего опять находим, в частности, у Зорича и Кудрявцева. Наконец, по вкусу преподавателя можно добавлять перед введением пределов и другие темы, развивающие математическое мышление и даже вырабатывающие определённое благоговение перед математической наукой (дабы этим компенсировать обилие необходимых, но зачастую однообразных доказательств во вводных темах анализа). Так, Никитин и Фомичёв рассматривают множество Кантора и другие фрактальные структуры. В заключение этого обзора заметим, что, когда изучение анализа происходит не в жёстких рамках вузовской программы, а самостоятельно, вводную тематику можно расширять вплоть до рассмотрения истории математики, предшествующей появлению определения предела и «вейерштрассовой строгости», т. е. хоть до начала XX в. Тогда изучающий, при должном терпении, придёт к понятию предела тем же неблизким, но интереснейшим путём, что и всё человечество до него. Такая попытка предпринята в книге М. Ю. Пантаева [16].

Рассмотрим теперь вторую проблему из сформированного нами списка – проблему высокой логической сложности определения предела. У Пантаева [17] также содержится интересная для практических занятий идея трактовать высказывания (точнее, процесс проверки их истинности) как поединок, в котором одна сторона задаёт по своему усмотрению значения внутренних параметров, вводимых с квантором всеобщности, а другая – вводимых с квантором существования. Очерёдность «ходов» определяется порядком появления параметров в высказывании. Если вторая сторона может гарантированно добиться истинного высказывания в конце поединка (как бы ни «ходила» первая), всё высказывание с параметрами будет истинным, в противном случае – ложным. В чём-то это напоминает шахматы, только не практическую игру, где число ходов не важно, а задачи, где надо поставить мат за определённое число ходов. Определение предела Пантаев сравнивает [18] с ситуацией «белые не дают мат в два хода»: для любого хода белых найдётся такой ход чёрных, что для любого следующего хода белых на доске мата нет (ситуация отсутствия мата здесь соответствует истине вида |a_n-A|<ε).

Другой подход к проблеме сложности заключается в попытке её понижения путём введения вспомогательных понятий (см. начало этого раздела). Сложность понятия предела можно однократно понизить, введя подготовительные понятия окрестностей, вложенности множеств и образа множества относительно функции, после чего в определении (1) можно обойтись двумя параметрами вместо трёх:

Ɐε>0 ⱻδ>0: V_ε(A)ﬤf(Ú_δ(a)).

Подобная идея характерна для современных учебников и содержится, например, в [19] или [20]. Однако, чтобы такая форма определения не оставалась схоластикой, понятие образа множества должно быть хорошо практически освоено к этому моменту. Дальнейшее понижение сложности уже невозможно, поиск дельты для эпсилона составляет неотъемлемую специфику понятия предела.

Впрочем, для предела последовательности есть трюк, позволяющий (при использовании вербальной формулировки) свести дело к первому уровню сложности: число a есть предел последовательности a_n, если вне любой его окрестности (за размер которой отвечает единственный подразумеваемый вспомогательный параметр) лежит лишь конечное число элементов последовательности. Этот трюк плох тем, что его нельзя переделать на случай функциональных пределов. И хотя можно, определив таким путём предел последовательности, определить затем предел функции по Гейне, но это будет изучением без понимания. Раскаяние неминуемо придёт позже, хотя бы при изучении понятия равномерной сходимости – придётся сразу прыгнуть на четвёртый уровень сложности, не побывав до того ни на втором, ни на третьем.

Из вышесказанного видно, тем не менее, что предел последовательности в каких-то отношениях проще предела функции, и потому имеет смысл поработать над преодолением третьей трудности – непривычности последовательностей по сравнению с функциями для студента. Средство здесь простое – показать со всех возможных сторон, что последовательность – это тоже функция, только определённая на натуральных аргументах (полезно даже писать первое время a(n),постепенно заменяя это обозначение на a_n). Надо дать и проиллюстрировать определения монотонности, периодичности, ограниченности применительно к последовательностям (что одновременно будет и тренировкой на логику), порисовать состоящие из отдельных точек графики. Всем должно стать ясно, что последовательность – это как функция, только в чём-то проще (например, понятие возрастания последовательности сводится к первому уровню сложности: a_n возрастает, если Ɐna_n+1>a_n, а для функций такого сведения нет). Для общего развития мышления можно рассмотреть числа Фибоначчи и другие рекуррентно заданные последовательности, вывести и проверить по индукции формулы для их членов.

Начинать изучение предела со случая последовательностей удобно не только ввиду возможных упрощений. Рассмотрение сложных понятий полезно предварять изучением похожих, но на уровень легче. Одно такое предварительное понятие (точная грань) мы уже упомянули. В книгах соавторства академика В. А. Ильина [21], [22], [23] или его учеников (например, [24]) принята следующая цепочка определений. При рассмотрении свойств последовательностей вводится понятие неограниченности (второго уровня сложности: ⱯM>0ⱻn: |x_n|>M), потом понятие бесконечно большой последовательности ⱯM>0ⱻN: Ɐn>N|x_n|>M), подчёркивается строгая импликация (последовательность 1, 2, 1, 4, 1, 6, … неограничена, но и не бесконечно большая), потом переходом к α_n=1/x_n и ε=1/M получается определение бесконечно малой, а дальше, очевидно, a_n→ A⟺ a_n – A → 0. Определения пределов функции пишутся и легко воспринимаются уже по аналогии. Таким образом, определение предела как-то постепенно вырастает из более простых понятий. Именно такую цель преследует и метод, излагаемый в данной статье, но прежде чем перейти к нему, упомянем о последней, четвёртой выделенной проблеме в определении предела – проблеме «многоликости» этого понятия.

Если стоит задача только написать различные варианты определения, то удобно ориентироваться на следующий общий шаблон: для любой окрестности V предела значения (т. е. функции или последовательности) найдётся окрестность U предела аргумента, образ которой целиком попадает в V. Можно этот единственный шаблон запомнить и без то ли облегчающего, то ли усложняющего понятия образа:

ⱯVⱻU: ⱯxϵU (или nϵU) V϶f(x) (или a_n).

Дальше остаётся только конкретизировать понятия окрестностей для бесконечностей со знаком или без, одностороннего стремления аргумента, не забыть «проколоть» окрестность аргумента при обычном стремлении к точке и т. д. Наиболее последовательно этот подход проведён у Кудрявцева. Разумеется, подобная единая точка зрения в любом случае помогает, хотя бы за счёт ссылок на аналогию, сократить доказательства свойств тех или иных пределов, но возникает вопрос: какими свойствами должно обладать понятие окрестности, чтобы этих свойств было достаточно для доказательства всего, что нужно знать общего о пределе?

Ответом является концепция предела по базе, созданная во второй половине XX в. французским математиком А. Картаном в работах по общей топологии, но оказавшаяся удобной и для усовершенствования изложения стандартного курса анализа. Базой ß называется непустое семейство непустых множеств, такое, что пересечение любых двух его элементов содержит в себе ещё какой-то элемент базы. Окрестности аргумента в общем определении предела и должны быть элементами базы, то есть обладать сформулированным свойством. Тогда определение (конечного) предела lim_ßf(x)=A запишется как

Ɐε>0ⱻBϵß: ⱯxϵB|f(x)-A|<ε.

Естественные свойства предела будут выводиться на основе свойства элементов базы. Заметим, что здесь x совершенно необязательно числовой параметр, он может обозначать, например, разбиение отрезка, а f(x) – соответствующую интегральную сумму, тогда приведённое определение будет определением римановского интеграла, и его свойства как предела (единственность или линейность, скажем) уже не нуждаются в отдельном доказательстве.

Но у понятия предела по базе есть свой недостаток: высокий уровень абстракции. Поэтому его обычно используют только при обучении студентов математических специальностей. В частности, в нашем списке литературы предел по базе излагается только у Зорича и Архипова, Садовничего, Чубарикова [25]. Также стоит отметить, что эквивалентная общая концепция предела (в терминах упорядоченных множеств) существовала у Фихтенгольца ещё в первых изданиях трёхтомника [26], см. дополнение в конце т. 3.

3. Алгоритм построения строгого определения предела. Предлагаемый метод направлен, во-первых, на содержательное усвоение понятия предела через постепенное продвижение от интуитивного представления к строгому определению и, во-вторых, на облегчение запоминания разных вариаций предела. Из опыта преподавания известно, что вычислить тот или иной предел студенту бывает легче, чем сформулировать его строгое определение. Получается парадоксальная с гносеологической точки зрения ситуация: студент ищет и верно находит что-то, но не знает, что именно. Так получается потому, что при вычислении предела используются типовые приёмы: арифметические свойства, домножение на сопряжённое, эквивалентности и т. д. Определения же надо, как считается, «зубрить», а это отдельный труд, откладываемый обычно до экзамена. Наш подход даёт чёткий практический способ выписывать определение того или иного предела и устраняет тем самым этот свойственный данной теме качественный разрыв между теорией и практикой.

Продемонстрируем алгоритм на примере конечного предела последовательности (это удобно не в силу простоты этого случая, о которой говорилось ранее, а потому, что здесь присутствуют и конечное, и бесконечное стремление). Итак, что же означает высказывание: «последовательность a_n стремится к числу A при стремящемся к бесконечности n»? Отметим, что студенту, знакомому с основами математической логики, уже должно быть ясно, что ответом на этот вопрос должна быть логическая формула, имеющая в качестве внешних параметров объекты данного высказывания (число A и члены последовательности a_n), и только их. Вначале запишем наше высказывание с помощью символа «→», заменяющего собой слова «стремится», «приближается» и им подобные^[5]: a_n→aпри n→+∞.

Переход к точному определению будет содержать три принципиальных шага.

1. Шаг «от динамики к статике». Вначале избавимся от слов и символов, имеющих динамический характер (то есть апеллирующих к образам движения и изменения во времени), а именно: высказывание «a_n стремится a» запишем в «статичном» варианте: «a_nблизко к a». Аналогичное, казалось бы, высказывание «n близко к плюс бесконечности» было бы неудачным, поскольку понятие бесконечности само по себе динамическое (ведь никакой бесконечности, во всяком случае бесконечного числа, в природе нет, есть только приближение к нему, и то чисто умозрительное). Поэтому вторую часть высказывания (после слова «при») мы перепишем как «при большом n».

Итог первого шага – высказывание

a_n близко к a при больших n.                 (2)

1. Шаг «от слов к неравенствам». На этом шаге избавимся от слов, перейдя к точным математическим высказываниям. Если мы задумаемся над смыслом фразы «a_n близко к a», то нам придётся констатировать её недостаточную определённость: надо прежде договориться о некотором критерии близости двух величин. Скажем, близко ли число π к 3,14? Смотря какая точность нам требуется: если во втором знаке после запятой (то есть точность до 0,01), то да, если в третьем (то есть до 0,001), то не совсем: правильнее тогда сказать, что π близко к 3,141 или к 3,142. В общем случае критерий близости двух величин задаётся некоторым положительным числом ε: две величины объявляются близкими, если модуль их разности меньше, чем ε. Таким образом, близость двух величин – понятие относительное: величины можно называть близкими или не близкими только при наличии критерия, определяемого этим ε. Итак, вместо «a_n близко к a» мы можем теперь писать «|a_n-a|<ε». Аналогично тот факт, что n является большим, тоже относителен: надо договориться, какие n мы будем считать большими: большие миллиона, или миллиарда, или ещё какого-то натурального N. Опять получается неравенство с некоторым новым параметром: объявляется, что n велико, если n>N. Наконец, предлог «при» подразумевал, что для всех больших n выполняется близость a_n и a, потому его можно заменить квантором всеобщности. Окончательно имеем после второго шага высказывание

             Ɐn>N |a_n-a|<ε.                      (3)

1. Шаг «расстановка кванторов». Уже получилось строгое логическое высказывание. Чего же нам ещё не хватает? Того, о чём мы сказали вначале: внешними параметрами искомого определения должны быть только элементы a_n данной последовательности и число a, но у получившегося пока остаются внешними также N и ε. Их надо сделать внутренними, расставив перед ними кванторы. Этот последний шаг, пожалуй, самый неочевидный в понятии предела, хотя формально довольно простой. Правило здесь следующее: по произвольной требуемой близости значений к своему пределу подбирается нужная близость аргумента к своему пределу. Проще говоря: перед параметром, отвечающим за значения, надо поставить квантор всеобщности, а затем перед параметром, отвечающим за аргументы, – квантор существования. Для обоснования этого правила можно истолковать имеющиеся неравенства на аргументы n и значения a_n в категориях цели и средства: мы хотим, чтобы было |a_n-a|<ε (это цель) за счёт того, что n>N (это средство, гарантирующее Ɐn попадание в цель). Для любой цели (более или менее трудной, т. е. для разных ε) мы хотим иметь достаточное средство, т. е. подобрать соответствующий N. Таким образом мы и приходим к выделенному правилу, применение которого приводит к окончательному определению:

      Ɐε>0ⱻN:Ɐn>N |a_n-a|<ε.   (4)

Положительность ε мы отмечали на втором шаге. Натуральность n нами, конечно, всегда подразумевается. Поскольку N вводится после ε, то оно может от ε зависеть, поэтому иногда, подчёркивая эту зависимость, пишут N(ε)$ вместо N. Но если логическая тема рассматривалась подробно, это и так должно быть понятно. Словами определение (4) можно пересказать так: a_n сколь угодно близко к a для всех достаточно больших n. В этом пересказе мы передали не только «близость» величин, но и кванторы: «сколь угодно» подразумевает «Ɐε», а «достаточно больших» подразумевает «начиная с какого-то N, которое точно существует».

Можно отметить, что возможна форма записи высказывания (4) с помощью следствия:

Ɐε>0 ⱻN: Ɐnn>N⟹ |a_n-a|<ε,

и что такая форма удобна для рассмотрения примеров, в то время как форма (4) – для построения отрицания.

Рассмотрим ещё несколько примеров. Построим, используя описанный трёхшаговый алгоритм, строгое определение того, что a_n→∞ при n→+∞ (последовательность a_n стремится к бесконечности без знака).

1. Какими словами выразить высказывание «n→+∞», мы уже знаем: «n достаточно большой». При стремлении к бесконечности без знака имеется в виду неограниченное увеличение модуля при произвольном знаке, то есть «a_n→∞» означает, что «a_n велико по модулю». Итак, вместо (2) имеем:

a_n велико по модулю при большом n.

1. Второй шаг очевиден: надо задать критерий «великости» |a_n|. При этом нужно выбрать другой параметр, чем для n, поскольку иначе не удастся сделать третий шаг:

Ɐn>N|a_n|>M.

1. Согласно сформулированному правилу ставим перед M квантор всеобщности, а перед N – квантор существования:

ⱯM>0ⱻN: Ɐn>N |a_n|>M.

Ясно, что имеет смысл рассматривать только M>0, ведь для отрицательных M неравенство |a_n|>M справедливо всегда. Студентам стоит указать, что традиция предписывает для параметров, у которых принципиальны малые значения, использовать греческие буквы, а для параметров, у которых важны большие значения, – заглавные латинские.

Перейдём к функциям числового аргумента. Дадим определение того, что функция f имеет в точке a конечный предел A, т. е. lim_x→af(x)=A, илиf(x) →A, x → a.

1. Первый шаг: f(x) близко к A, когда x близок к а, но не равен ему. Последняя оговорка нужна, чтобы понятие предела функции в точке не зависело бы от значения в самой точке, которое, возможно, и не определено вовсе. Для последовательности подобная оговорка была не нужна, так как n и так не могло быть в точности равно +∞.
2. Второй шаг удобнее писать в форме следствия, поскольку на x накладывается фактически два условия. Мерой близости аргументов x и a выберем, следуя традиции, число δ>0, а мерой близости значений, как и для последовательностей, число ε>0:

Ɐx 0<|x-a|<δ⟹ |f(x)-A|<ε.

1. Применяем правило расстановки кванторов:

Ɐε>0 ⱻδ>0: Ɐx 0<|x-a|<δ⟹ |f(x)-A|<ε.

Рассмотрим теперь понятие одностороннего, например правостороннего, предела функции в точке, для разнообразия отрицательно-бесконечного. Записьf(x) →- ∞, x → a +0 означает, что

1)     f(x) велико по модулю и отрицательно, когда x близок к a и больше него, или

2)     Ɐx0<x-a<δ⟹f(x)<-M, точнее 3. ⱯM>0 ⱻδ>0: Ɐx 0<x-a<δ⟹f(x)<-M.

Неравенство f(x)<-M на втором шаге очевидно как из геометрических соображений (f(x) должно располагаться «сильно слева» на числовой оси), так и из точно сказанного на первом шаге: |f(x)|>M и f(x)<0 означает, что -f(x)>M, т. е. f(x)<-M.

Приведённый алгоритм применим и к более сложным вариантам предела, например к интегральным конструкциям. Введя понятия отмеченного разбиения X и его диаметра diam X, а также интегральной суммы Σ(f,X), мы, опираясь на понимание интеграла Римана R как предела интегральных сумм при стремящемся к нулю диаметре разбиения, можем сказать: 1) Σ(f,X) близка к R, когда diamXмал; или 2) ⱯXdiamX<δ⟹|Σ(f,X)-R|<ε, а точнее; 3) Ɐε>0 ⱻδ>0: ⱯXdiamX<δ⟹| Σ(f,X)-R|<ε.