Elena PopovaКурс «Случайные процессы» обязательно изучают студенты приборостроительных специальностей, так как этот курс необходим при освоении статистической радиотехники. Вероятностные методы нашли широкое применение в радиотехнике по следующим причинам:
1) Радиосигнал распространяется через среду с меняющимися параметрами и терпит случайные искажения.
2) В работе радиотехнических устройств всегда имеются внешние и внутренние шумы и помехи, которые носят случайный характер.
3) Элементы радиооборудования могут отказать или работать в режиме, не соответствующем заданному.
В статье показано, как с помощью формул, связывающих спектральную плотность входного и выходного сигналов, формул Винера – Хинчина и теории вычетов можно рассчитать характеристики сигнала на выходе пропорционально-интегрирующего фильтра.
Преобразование стационарного случайного процесса линейными
динамическими системами с постоянными коэффициентами
Данная тема широко используется в теории радиотехнических цепей. Радиотехнические цепи, применяемые для преобразования сигналов, весьма разнообразны по своему составу, структуре и характеристикам. В общем случае любую радиотехническую цепь можно описать формализованным соотношением, определяющим преобразование входного сигнала (случайный процесс) X(t) в выходной сигнал (случайный процесс) Y(t), которое символически можно представить в виде: , где T – оператор, указывающий правило, по которому осуществляется преобразование входного сигнала в выходной. По виду оператора проводят классификацию радиотехнических цепей. Радиотехническая цепь является линейной, если оператор удовлетворяет условиям аддитивности и однородности, то есть
, где .
Эти условия выражают суть принципа суперпозиции, свойственного только линейным цепям. Функционирование линейных цепей описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.
Линейное преобразование сигнала любой формы не сопровождается появлением в спектре выходного сигнала гармонических составляющих с новыми частотами, то есть не приводит к обогащению спектра сигнала.
Радиотехническая цепь является нелинейной, если оператор не является линейным. Функционирование таких цепей описывается нелинейными дифференциальными уравнениями.
Структурно линейные цепи содержат только линейные устройства (усилители, фильтры, длинные линии и пр.). Нелинейные цепи содержат одно или несколько нелинейных устройств (генераторы, детекторы, умножители, ограничители и др.).
Итак, сигнал – это случайный процесс. Часто встречаются случайные процессы, протекающие на некотором интервале времени приблизительно однородно и имеющие вид случайных колебаний вокруг некоторого постоянного среднего значения, причем характер этих колебаний существенно не изменяется. Такие случайные процессы называют стационарными. Примерами таких процессов являются: шумы в радиоприемнике, колебания напряжений в электрической сети и пр.
Как правило, случайный процесс в любой динамической системе начинается с нестационарной стадии – с так называемого «переходного процесса». Но после затухания переходного процесса система обычно переходит в установившийся режим, и тогда протекающие в ней случайные процессы можно считать стационарными.
Рассмотрим задачу преобразования стационарного случайного процесса линейной динамической системой с постоянными коэффициентами. Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание постоянно и ковариационная функция зависит только от разности аргументов.
Линейной динамической системой с постоянными коэффициентами называется система, описываемая линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами
, (1)
где X(t) – входной сигнал, а Y(t) – выходной сигнал.
Передаточной функцией линейной динамической системы называется функция комплексной переменной p, определяемая по формуле
. (2)
Функция Ф(р), как видно из определения, есть отношение преобразованных по Лапласу выходного сигнала к входному сигналу, определяемых из уравнения (1) при нулевых начальных условиях.
Свойство сигнала на выходе линейной динамической системы полностью определяется свойствами передаточной функции Ф(р) и свойствами входного сигнала X(t).
Говорят, что линейная динамическая система удовлетворяет условию устойчивости, если Ф(р) не имеет полюсов в полуплоскости .
Если на вход линейной динамической системы с постоянными коэффициентами подается стационарный входной сигнал, то по прошествии достаточно большого времени с момента начала воздействия (при , где – характерное время релаксации переходных процессов) сигнал на выходе системы будет близок к стационарному.
Если X(t) – входной сигнал с математическим ожиданием и спектральной плотностью , то соответствующие характеристики выходного сигнала Y(t) в стационарном режиме (т. е. при ) будут
(3)
(4)
Функция называется амплитудно-частотной характеристикой системы.
Напомним также, что спектральная плотность и ковариационная функция стационарного случайного процесса связаны формулами Винера – Хинчина:
(5)
(6)
Пример. Работа пропорционально-интегрирующего фильтра (см. рис. 1) описывается линейным дифференциальным уравнением
.
На вход фильтра поступает стационарный нормальный «белый шум» X(t) с нулевым средним значением ( ) и ковариационной функцией , где – дельта-функция Дирака. Определить спектральную плотность и ковариационную функцию на выходе фильтра.
Решение. Находим спектральную плотность сигнала X(t) по формуле (6)
.
Передаточную функцию определяем по формуле (2)
.
Квадрат ее модуля определяется соотношением
.
Спектральную плотность на выходе фильтра найдем по формуле (4)
.
Ковариационную функцию на выходе фильтра определяем с помощью формулы (5)
Вычислим интегралы: , а интеграл вычислим с помощью теории вычетов. Функция имеет два полюса первого порядка, один из которых лежит в верхней полуплоскости, а другой – в нижней полуплоскости.
При имеем: .
При имеем: .
Следовательно, для любого .
Таким образом, получаем выражение для ковариационной функции
В статье приведены факты из теории радиотехнических цепей и теории случайных процессов. Применение математических формул из теории случайных процессов в практических задачах радиотехники делает изложение материала более интересным и полезным для студентов.