Full text

Применение координатно-векторного метода при решении задач по стереометрии, в частности при решении задачи 14 Единого государственного экзамена по математике (профильный уровень), позволяет сделать решение задачи более сжатым, алгоритмичным. В данном случае нет необходимости давать подробные описания с целью обосновать тот или иной шаг решения. Как правило, этот метод применяют в задачах, в которых рассматривается прямоугольный параллелепипед. Гораздо реже прямоугольные координаты и векторы используются в решении, если в задаче речь идет о других многогранниках. С целью развития и совершенствования навыка применения координатно-векторного метода у старшеклассников в статье рассматриваются задачи, которые можно использовать на занятиях по математике как вместе с педагогом, так и для самостоятельной работы. Отметим, что решение одной задачи различными способами, например координатно-векторным методом, в сочетании с другими дает возможность показать учащимся одну из эстетических граней математики.

  1. В кубе ABCDA1B1C1D1 найти косинус угла между прямыми AB и A1C [1].

Решение

Пусть а – длина ребра куба. Введем прямоугольную систему координат. Направим ось x вдоль ребра DА, ось y – вдоль ребра DC и ось z направим вдоль DD1 (см. рис. 1).

 

 

Рис. 1

 

Точки А, В, С и А1 имеют следующие координаты: А(а;0;0), В(а; а;0), С(0; а; 0), А1(а; 0; а).

Обозначим через α угол между прямыми АВ и А1С. Тогда cosα =  .

Вычислим координаты и модули векторов  и , получим: {0; а; 0},  {-а; а; -а}, ,  = а 143"> .

Скалярное произведение векторов       ∙  = .

cosα =  =  = .

Ответ: .

  1. В правильном тетраэдре ABCD точка E – середина ребра CD. Найти косинус угла между прямыми ВС и АЕ [2].

Решение

Пусть а – длина ребра правильного тетраэдра ABCD. О – центр, АМ – медиана основания АВС.

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке О. Направим ось x параллельно ребру ВС, ось y – перпендикулярно ребру ВС по направлению медианы АМ, ось z направим вдоль высоты тетраэдра ОD (см. рис. 2).

Рассмотрим ∆АВС (см. рис. 3).

О – точка пересечения медиан ∆АВС. Из ∆АВМ найдем АМ = .

Тогда АО = АМ = ; ОМ = АМ = .

По условию точка Е – середина DC. Из прямоугольного ∆DОМ по теореме Пифагора найдем катет DO = a 1423.">  (см. рис. 2).

 

 

Рис. 2

 

Рис. 3

 

Точка D имеет координаты (0; 0; a 1423"> ).

Получим следующие координаты точек: А(0; - 14 a33"> ;0), В ( 14a2"> ; ; 0), точка С симметрична точке В относительно оси y, поэтому С (- 14a2"> ; ; 0). Координаты точки Е вычислим как координаты середины отрезка DC, получим Е ( 14- a4"> ; ; ).

Обозначим через α угол между прямыми ВС и АЕ. cosα =  .

Вычислим координаты и модули векторов  и , получим: {- а; 0; 0},  { 14- a4"> ; ; }, ,  = .

Скалярное произведение векторов  ∙  = . Таким образом, cosα =  = .

Ответ: .

  1. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра равны 1. Найти косинус угла между прямыми АВ и СА1 [3].

Решение

По условию длины всех ребер призмы равны 1. Введем прямоугольную систему координат. Направим ось x вдоль ребра AС, ось z направим вдоль СС1, ось y перпендикулярно АC и СС1 так, как показано на рис. 4.

 

 

Рис. 4

 

Обозначим через α угол между прямыми АВ и СА1.

cosα = 14ABв€™РЎРђ1ABв€™РЎРђ1"> .

Точки А, А1 и С имеют координаты: А(1; 0; 0), А1 (1; 0; 1), С (0; 0; 0).

Координаты точки В определим из прямоугольных треугольников ВВxС и ВВyС, в которых острые углы равны 30° и 60°, а гипотенузы равны 1. Вx и Вy – проекции точки В на координатные оси (см. рис. 5).

Получим В ( ; ; 0). Найдем координаты и модули векторов  и : {- 14 12"> ; ; 0},  {1; 0; 1}, ,  = .

Скалярное произведение  = - 1412"> .

Тогда cosα =  = . В ответе можно указать косинус угла π-α, равный  .

Ответ:

 

Рис. 5

 

       

  1. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1 [4].

Решение

Пусть точка О – центр правильного шестиугольника ABCDEF (нижнее основание призмы) со стороной 1, О1 – центр верхнего основания A1B1C1D1E1F1. Направим ось x вдоль ОA, ось z направим вдоль ОО1, ось y перпендикулярно АО и ОО1 так, как показано на рис. 6.

 

Рис. 6

 

Пусть α – угол между прямыми АВ1 и ВС1.

cosα = 14РђР’1в€™Р’РЎ1РђР’1в€™Р’РЎ1"> .

Найдем координаты точек A, В, B1 и C1. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники ОВxВ и ОВyВ, в которых острые углы равны 30° и 60°, а гипотенуза ОВ равна 1. Получим ОВx = , ОВy =  (рис. 7). Отметим, что точки В и С симметричны относительно оси y, что следует учесть при нахождении координат точки С1.

 

 

Рис. 7

 

Таким образом, А(1; 0; 0), В ( 14 12"> ; ; 0), В1 ( 14 12"> ; ; 1), С1 ( 14- 12"> ; ; 1).

Найдем координаты и модули векторов  и :  {- 14 12"> ; ; 1},  {-1; 0; 1},   14Р’РЎ1">  = . Скалярное произведение ∙ 14Р’РЎ1">  = +1 = .

cosα =  = .

Ответ: .

  1. Основание треугольной пирамиды DABC – равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС = 13, АС = 24. Ребро DВ перпендикулярно плоскости основания и равно 20. Найти тангенс двугранного угла при ребре АС [5].

Решение

Введем прямоугольную систему координат. Направим ось x вдоль ребра AВ, ось z направим вдоль ВD, ось y перпендикулярно АВ и BD так, как показано на рис. 8.

 

Рис. 8

 

Проведем в равнобедренном ∆АВС медиану ВМ к основанию АС. ВD – перпендикуляр к плоскости ∆АВС, DМ – наклонная, ВМ – проекция DМ. ВМ перпендикулярно АС по свойству медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию. По теореме о трех перпендикулярах получим, что наклонная DМ перпендикулярна АС.

Таким образом, угол DМВ – линейный угол двугранного угла при ребре АС.

Рассмотрим 14∆"> АВС, по теореме косинусов АС2 = АВ2 + ВС2 – 2АВ ∙ ВС ∙ cosABC, откуда получим, что cosABC ˂ 0, то есть ∆АВС тупоугольный, что необходимо учесть при изображении координатных осей на планиметрическом чертеже (см. рис. 9).

Вычислим cosα, а затем определим tgα, где α – угол DМВ, то есть угол между векторами 14РњР’">  и 14РњD.">  Найдем координаты точек В, D, М. В(0; 0; 0), D (0; 0; 20). Из треугольников ММxВ и ММyВ найдем ММx = 146013"> , ММy = 142513"> , где Мx и Мy – проекции точки М на координатные оси (см. рис. 9).

Точка М ( 142513"> ; 146013"> ; 0).

Найдем координаты и модули векторов  и : {- 14 6013"> ; - 14 2513"> ; 0},  {- 14 6013"> ; - 14 2513"> ; 20},  ,  = . Скалярное произведение ∙ 14РњD">  = + 14252132">  = .

cosα =  = .

1+ tg 2α =  

tg 2α = 141cos2О±">   – 1.

tg 2α = 14(17"> )2 – 1 = 16.

tgα = 4.

Ответ: 4.

 

Рис. 9

 

В качестве дополнительных задач можно предложить учащимся следующие.

  1. В кубе ABCDA1B1C1D1 найти косинус угла между прямыми AB1 и ВС1. Ответ: 1433">   [6].
  2. В кубе ABCDA1B1C1D1 найти косинус угла между прямыми DA1 и BD1. Ответ: 1436">  [7].
  3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми A D1 и СЕ1, где D1 и Е1 – соответственно середины ребер A1C1 и B1C1. Ответ: 1424">  [8].
  4. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания АВ = , а боковое ребро АА1 = 11. Найти угол между прямыми SA и ВС. Ответ: 30° [9].
  5. Дана правильная четырехугольная пирамида PABCD с вершиной Р. Отрезок ВМ является медианой треугольника ВРD. Найти угол между прямыми ВМ и АС. Ответ дайте в градусах. Ответ: 90° [10].

Для итогового самостоятельного повторения теоретического материала и решения задач учащимся можно предложить следующую литературу ([11–17]) или любые другие справочные материалы.