Olga VergazovaОсевая симметрия – один из самых первых видов симметрии окружающего мира, подмеченных человеком. С древних времен использование зеркальной симметрии было самым простым способом создавать изображения, радующие глаз. Как правило, ось симметрии на подобных изображениях вертикальна, так как вертикальные оси симметрии чаще всего можно наблюдать в природе. Например, симметрия левого и правого, проявляющаяся в строении растений, живых существ и человека. Явное предпочтение, которое природа отдает вертикальным осям, объясняется очень просто – сила тяжести направлена сверху вниз. Вследствие этого всё в природе стремится равномерно развиваться или распространяться в горизонтальной плоскости.
Осевая (применяются также термины зеркальная, билатеральная) симметрия широко распространена в произведениях искусства первых в истории человечества цивилизаций. Она занимала существенное место в первобытной живописи, древнеегипетском искусстве, была отчетливо отражена в средневековой религиозной живописи [1].
Однако, помимо хорошо известных примеров проявления зеркальной симметрии в природе и искусстве (живопись, скульптура, архитектура), зеркальная симметрия находит отражение в палиндромах. В данной статье рассмотрим симметрию как числовых палиндромов, так и палиндромов, которые встречаются в словах, предложениях, стихотворениях и рассказах.
Выдающийся американский популяризатор науки математик и писатель Мартин Гарднер в своей книге «Этот правый, левый мир» пишет: «Если забыть о форме букв и считать, что предложение – это ряд символов, расположенных вдоль одной линии, то зеркальным отражением можно пользоваться для получения разного рода забавных вещей. Мы называем палиндромами (выд. нами. – О. В.) слова, которые билатерально симметричны, то есть пишутся одинаково в обоих направлениях: радар, ротатор. Малайалам – язык, на котором говорят некоторые народности в Индии. Уассамассау – палиндромическое название болотистой местности в графстве Беркли, Южная Каролина. “Морднилап” (палиндром наоборот) – это слово, которое превращается в другое слово, если его перевернуть, например: live – жить и evil – зло, straw – соломинка и warts – бородавки… Если симметрией отражения обладает целое предложение, его тоже называют палиндромическим» [2].
В книге М. Гарднера можно найти следующие примеры на английском языке.
A man, a plan, a canal, – Panama!
(Человек, план, канал – Панама!)
Straw? No, too stupid a fad. I put soot on warts.
(Соломой? Нет, это слишком глупая причуда. Я мажу сажей бородавки.)
Не видно морд ни лап, а палиндромон дивен!
Упомянем также всем известную фразу «А роза упала на лапу Азора».
Мартин Гарднер указывает, что очень распространено написание палиндромических стихотворений и рассказов, в которых порядок слов абсолютно одинаков в обоих направлениях. В качестве примера приведем палиндромический рассказ Фредерика Брауна «Конец».
THE END
Professor Jones had been working on time theory for many years.
“And I have found the key equation”, he told his daughter one day. “Time is a field. This machine I have made can manipulate, even reverse, that field”.
Pushing a button as he spoke, he said, “This should make time run backward run time make should this”, said he, spoke he as button a pushing.
“Field that, reverse even, manipulate can made have I machine this. Field a is time”. Day one daughter his told he, “Equation key the found have I and”.
Years many for theory time on working been had Jones Professor.
END THE [3].
Перевод:
КОНЕЦ
Профессор Джонс долгие годы разрабатывал теорию времени.
«Я открыл ключевое уравнение, – сказал он однажды дочери. – Время – это поле. Видишь машину, мной построенную. Эта машина изменяет и обращает поле».
Нажимая кнопку, он произнес: «Сейчас время потечет обратно – обратно потечет время сейчас», – произнес он, кнопку нажимая.
«Поле обращает и изменяет машина эта. Построенную мной машину видишь. Поле – это время, – дочери однажды он сказал. – Уравнение ключевое открыл я».
Времени теорию разрабатывал годы долгие Джонс профессор.
КОНЕЦ
Гораздо реже, считает Мартин Гарднер, пишутся палиндромические стихотворения, в которых «отражаемым элементом» является буква, а не слово. Примером может послужить стихотворение Грэхема Рейнолдса, напечатанное в журнале “New Departures” в 1960 г.
HYMN TO THE MOON
Luna, nul one,
Moon, nemo,
Drown word
In mutual autumn
I go;
Feel fog rob of all life
Fill labor
Go, flee fog
In mutual autumn
I drown
Word; omen; no omen.
O, Luna, nul.
Редакторы книги М. Гарднера «Этот правый, левый мир» предлагают читателю похожий палиндром В. Брюсова, в котором отдельно отражается каждая строчка, а не все стихотворение, как у Г. Рейнольдса [4].
ГОЛОС ЛУНЫ
Я – око покоя,
Я – дали ладья.
И чуть узорю розу тучи
Я, радугу лугу даря!
Я – алая,
Я – и лилия,
Веду Сельвана, в лесу дев,
Я, еле лелея.
В. Брюсов
Карл Левитин, автор книги «Геометрическая рапсодия», называет палиндром литературным упражнением, «не чуждым геометрического начала», и приводит пример палиндрома, который приписывают Наполеону: ABLE I WAS ERE I SAW ELBA. К. Левитин предлагает перевод: «Я был силен, пока не увидел Эльбу» [5].
В математике вызывают интерес палиндромические числа. Палиндромическое число не меняется, если изменить порядок его цифр на обратный. Последним палиндромическим годом был 2002. Ближайшим будет 2112. М. Гарднер отмечает следующий факт, связанный с палиндромическими числами: «Если взять какое-нибудь число, изменить порядок его цифр на обратный и сложить с исходным числом, затем ту же процедуру проделать с полученной суммой и так несколько раз повторить ее, то сможем ли мы получить на каком-нибудь этапе этого процесса палиндромическое число? Так, 89 + 98 = 187 – не палиндром. 187 + 781 = 968 – все еще не палиндром. Однако, продолжая «перевертывать и складывать», мы получим в конце концов после 24 сложений палиндром 8 813 200 023 188» [6].
Существует мнение, пишет М. Гарднер, что описанная процедура в применении к любому целому числу даст палиндром после конечного числа сложений. Однако калифорнийский математик Чарльз Тригг сомневается в справедливости этого предположения. Среди чисел меньше 10000 он нашел 251 число, каждое из которых не дает палиндрома при первых ста сложениях; наименьшее из этих чисел 196. Необходимо применение вычислительной техники для проверки подобных предположений. Мартин Гарднер также указывает: «Другой калифорнийский математик, Дьюи Дункан, показал, что в двоичной системе описанный процесс не всегда дает палиндром. Например, если взять за исходное двоичное число 10 110, то из него никогда не получится палиндром. Доказательство этому можно найти в задаче 5 в книге Роланда Спрага “Математический досуг”. В десятичной системе этот вопрос остался еще нерешенным» [7].
Особое внимание привлекают палиндромические простые числа, имеющие в качестве делителей единицу и само себя. Математик Норман Гриджмен (Оттава) заметил, что простые палиндромические числа с нечетным числом цифр часто образуют идентичные пары, за исключением средней цифры, которая у них отличается на единицу (можно сказать, что данная цифра играет роль оси симметрии). Например, среди первых 47 простых палиндромов таких пар известно 12:
2 919 13831
3 929 13 931
181 10 501 15 451
191 10 601 15 551
373 11 311 16 561
383 11 411 16 661
787 12 721 30 103
797 12 821 30 203
Доказано, что простых палиндромических чисел бесконечно много. М. Гарднер задается вопросом: является ли число таких пар бесконечным? Ссылаясь на мнение математика Гриджмена, Гарднер пишет, что ответ в данном случае положительный, но этот факт пока не доказан.
Таким образом, связь математического понятия симметрии и понятия палиндрома, которое обычно рассматривается как языковое явление, математические палиндромы и их свойства, многие из которых еще не изучены и не доказаны, могут служить необычной и интересной темой для внеклассных занятий по математике.