Faniya AhmetovaВведение
Основное достоинство операционного исчисления заключается в том, что решение дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений сводится к решению обычных алгебраических уравнений, не представляющих большой сложности. При использовании теории решения дифференциальных уравнений для нахождения частного решения необходимо предварительно найти общее решение однородного дифференциального уравнения, затем его частное решение неоднородного уравнения, после чего, используя начальные условия, находится частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. При использовании операционного подхода сразу находится требуемое решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям [1, 2].
Основные теоремы операционного исчисления
Определение. Функцией-оригиналом называют любую, в общем случае комплекснозначную функцию, удовлетворяющую следующим условиям:
1) при ;
2) кусочно-непрерывна на действительной оси, то есть она может иметь лишь точки разрыва 1-го рода, причем на любом конечном интервале их число конечно;
3) при имеет ограниченный показательный рост, то есть .
Отметим, что параметр в условии (3) определяется неоднозначно. Число , являющееся точной нижней гранью всех таких , называют порядком роста функции .
Определение. Преобразованием Лапласа называют интегральное преобразование, которое определяется соотношением
.
Несобственный интеграл, стоящий в правой части этого равенства, зависящий от комплексного параметра , называют интегралом Лапласа. При этом функцию называют изображением функции-оригинала .
Соответствие между оригиналом и изображением обозначают следующим образом: .
Функция , являющаяся изображением оригинала , аналитична в полуплоскости .
Таблица 1
Оригиналы и изображения
.
|
|
Комментарий к табл. 1. При записи функций-оригиналов указывают, например, функцию , подразумевая при этом функцию
Таблица 2
Основные теоремы операционного исчисления
|
Название и краткая формулировка теоремы |
Типовой пример: найти изображение для данного оригинала |
,
|
.
·
|
|
.
|
|
.
·
|
Если непрерывна при , а существует всюду, кроме, возможно, некоторого дискретного множества точек, и если все производные до го порядка включительно являются оригиналами, то
|
.
;
, · |
|
.
|
|
.
|
Если - оригинал и функция ограничена в окрестности нуля, то
|
.
( ограничена в окрестности нуля), ·
|
|
.
|
Способы восстановления оригинала по известному изображению
При решении задачи о восстановлении оригинала по известному изображению используют следующие способы:
- разложение изображения на сумму простых дробей с последующим применением таблицы оригиналов и изображений;
- применение теоремы о свертке;
- применение теорем разложения.
Определение. Сверткой двух функций-оригиналов и называют функцию
.
Теорема о свертке. Если и , то .
Первая теорема разложения. Если функция аналитична в окрестности бесконечно удаленной точки , имеет в нуль, то она является изображением. При этом если - ее разложение в ряд Лорана в окрестности , то .
Вторая теорема разложения. Каждая рациональная функция , у которой степень числителя меньше степени знаменателя, является изображением. При этом
,
где - полюсы функции с кратностями , а коэффициенты вычисляются по формуле
.
Следствие. Если - рациональная функция с простыми полюсами , обращающаяся в нуль в точке , и - несократимая дробь, то .
Третья теорема разложения. Пусть аналитична всюду на комплексной плоскости, кроме некоторой конечной или счетной последовательности точек являющихся ее изолированными особыми точками, причем все эти точки расположены в некоторой левой полуплоскости . Предположим, что выполнены следующие условия:
1) существует такая последовательность радиусов , , что ;
2) абсолютно интегрируема вдоль любой вертикальной прямой .
Тогда является изображением и .
Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение го порядка
и найдем его частное решение при заданных начальных условиях
, , …, .
Операционный метод решения данной задачи состоит в следующем. Искомую функцию и ее производные до го порядка включительно, а также правую часть считают функциями-оригиналами и переходят от дифференциального уравнения, связывающего функции-оригиналы, к алгебраическому уравнению относительно изображения неизвестной функции-оригинала .
Обозначим , и применим теорему о дифференцировании оригинала:
.
Тогда уравнение в изображениях примет вид
.
После преобразований приходим к линейному алгебраическому уравнению относительно неизвестного изображения:
,
где
,
.
Решая полученное уравнение, находим
,
а затем восстанавливаем функцию-оригинал по изображению .
Рассмотрим изложенную выше методику решения задачи Коши на конкретном примере.
Пример 1. Решить задачу Коши
Решение. Полагая , применим теорему о дифференцировании оригинала:
, .
Изображение функции-оригинала, стоящей в правой части дифференциального уравнения, находим по табл. 1:
.
Тогда уравнение в изображениях примет вид
,
или ,
откуда находим
.
Восстановим функцию-оригинал по изображению . Покажем, как это можно сделать с помощью теоремы о свертке и третьей теоремы разложения.
Первый способ (теорема о свертке)
Замечая, что , получаем
.
Второй способ (третья теорема разложения)
Особые точки и функции являются полюсами 2-го порядка. Найдем вычеты функции в этих точках:
;
.
Тогда, согласно третьей теореме разложения,
.
Особенность следующего примера заключается в том, что правая часть дифференциального уравнения в задаче Коши – составная функция. Классические методы решения такой задачи являются в значительной степени трудоемкими. Применение операционного исчисления представляет собой достаточно эффективный метод решения данного типа задач.
Пример 2. Решить задачу Коши
где
Решение. Функция является составной и может быть представлена в следующем виде:
.
Для того чтобы найти изображение этой функции, применим теорему запаздывания:
.
Далее обозначим и применим теорему о дифференцировании оригинала:
, .
В результате уравнение в изображениях примет вид
,
или .
Подставим в последнее соотношение полученное выражение для и найдем :
, где .
Восстановим функцию-оригинал по изображению . Применив теорему смещения, получим
.
Тогда, согласно теореме об интегрировании оригинала, изображению будет соответствовать функция-оригинал
,
а изображению - функция-оригинал
.
Для того чтобы восстановить функцию-оригинал , применим теорему запаздывания:
.
Подставив в полученное выражение найденные функции и , получим решение задачи Коши:
.
Формула Дюамеля
Рассмотрим задачу Коши с нулевыми начальными условиями:
Обозначим , и применим теорему о дифференцировании оригинала:
.
Тогда уравнение в изображениях примет вид
,
откуда находим
,
где .
В приложениях операционного исчисления функцию-оригинал , соответствующую изображению , называют передаточной функцией.
Далее рассмотрим вспомогательную задачу Коши, соответствующую исходной задаче, в которой :
Обозначим . Применяя теорему о дифференцировании оригинала и учитывая, что , получаем
.
Найдем, как связаны изображения решений исходной и вспомогательной задач Коши. Для этого выразим из последнего соотношения изображение передаточной функции и подставим его в формулу для определения :
.
Восстановим функцию-оригинал по изображению , замечая, что в силу нулевых начальных условий . Поэтому, применяя теорему о свертке, получаем формулу Дюамеля:
.
Следует отметить, что эту формулу можно записать и в другом виде. Действительно, учитывая, что
,
приходим к следующей форме записи формулы Дюамеля:
.
Проиллюстрируем на примере методику решения задачи Коши с помощью формулы Дюамеля.
Пример 3. Решить задачу Коши
Решение. Запишем вспомогательную задачу Коши:
Обозначим и применим теорему о дифференцировании оригинала. В результате уравнение в изображениях примет вид
,
откуда находим
.
Восстановим функцию-оригинал . Для этого разложим изображение на сумму простых дробей:
,
а затем воспользуемся таблицей 1:
.
Решение исходной задачи Коши найдем по формуле Дюамеля:
.
Данная методика применима и для решения задачи Коши с ненулевыми начальными условиями. В этом случае, согласно принципу суперпозиции, решение исходной задачи Коши следует искать в виде суммы двух функций: первая – решение однородного уравнения с ненулевыми начальными условиями, а вторая – решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями.