Methodical aspects of the presentation of the theme "Vector algebra" in the course "Analytical geometry"

Прежде всего, необходимо обратить внимание студентов на то, что в курсе аналитической геометрии рассматриваются так называемые свободные векторы. Под свободным вектором понимается множество направленных отрезков, расположенных на параллельных прямых и имеющих одинаковую длину и направление. При таком подходе все множество направленных отрезков в пространстве разбивается на множество классов равных направленных отрезков. Любой направленный отрезок  может быть представителем вектора . Таким образом, для любого вектора точка приложения может быть выбрана произвольно.

Коллинеарными называются векторы, лежащие на одной или на параллельных прямых.

Компланарными называются векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Рассмотрим три вектора  и , имеющих общее начало. Тройка векторов  называется правой, если из конца третьего вектора  кратчайший поворот от первого вектора  ко второму  виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов левая.

Осью называется прямая, на которой установлено положительное направление.

Проекцией точки А на ось называется точка А₁ пересечения этой оси и перпендикуляра, опущенного на эту ось из точки А.

Проекцией вектора  на ось  называется алгебраическая величина отрезка , где  – проекции точек А и В на данную ось (т. е. длина отрезка , взятая со знаком +, если направление  совпадает с положительным направлением оси , и со знаком  в противном случае).

В курсе векторной алгебры особое внимание уделяют трем основным понятиям: скалярному, векторному и смешанному произведению векторов [1–5]. Определения и свойства этих произведений при проведении занятий целесообразно представить в виде табл. 1. Изложение теории в таком варианте более компактно, структурированно, наглядно показывает общее и различия в свойствах векторов, что позволяет облегчить запоминание данного материала.

Наиболее наглядным является представление свойства скалярного, векторного и смешанного произведений векторов в виде табл. 1.

Таблица 1

Рассмотрим некоторые примеры.

Задача 1. Даны векторы  и . Найти угол между ними.

Решение. По табл. 1 видно, что угол между векторами возникает и в определении скалярного и векторного произведений. Но этот угол . Поэтому при нахождении угла между двумя векторами определением векторного произведения не пользуются, так как нельзя понять, острый угол между векторами или тупой.

.

Задача о нахождении длины вектора в произвольном базисе, как правило, вызывает затруднение у студентов, поскольку привычные формулы, использующие теорему Пифагора, неприменимы. При решении такой задачи нужно обратить внимание учащихся на использование всех свойств скалярного произведения.

Задача 2. Найти проекцию вектора  на вектор , если угол между векторами  и  равен .

Решение. Воспользуемся формулой для нахождения проекции вектора . Начнем решение задачи с нахождения скалярного произведения, при этом используем его алгебраические свойства:

Вычислим длину вектора  с помощью формулы :

.

Подставляя все в формулу, получим:

.

Задача 3. Найти высоту BD треугольника АВС, заданного координатами своих вершин: .

Решение. Очевидно, . Однако, чтобы не ошибиться с коэффициентами, обычно пользуются стандартным приемом и достраивают треугольник до параллелограмма (см. рис. 1). Высота BD является общей для треугольника и параллелограмма ABA₁C. С одной стороны, , а с другой – . В итоге получаем .

Найдем . Здесь необходимо сделать проверку правильности вычисления векторного произведения. По определению векторного произведения  перпендикулярен каждому из сомножителей. Воспользуемся критерием ортогональности двух векторов ( ): . Проверка сошлась, можно переходить к вычислению длины векторного произведения: .

Найдем длину вектора .

Подставим все в формулу и получим: .

Для проверки в данной задаче мы воспользовались критерием ортогональности двух векторов. Не лишним будет напомнить студентам, что критерий – это теорема, которая формулируется и доказывается в две стороны. Поэтому в формулировке используются речевые конструкции «тогда и только тогда, когда» или «необходимо и достаточно». Формулируя необходимое условие, мы считаем, что событие произошло. Составим табл. 2.

Таблица 2

Задача 4. Найти объем тетраэдра ABCD, его высоту  и вектор , совпадающий с высотой, опущенной из вершины А на плоскость BCD, если .

Решение. В этой задаче используем тот же прием, что и задаче 3, и достроим наш тетраэдр до параллелепипеда с той же высотой, в основании которого лежит параллелограмм со сторонами BC и BD (рис. 2).

Тогда для нахождения высоты воспользуемся формулой: , где , а .

Найдем смешанное произведение векторов , используя формулу вычисления смешанного произведения в ортонормированном базисе и свойства определителей: .

Поскольку смешанное произведение отрицательно, то тройка векторов  – левая.

Теперь вычислим векторное произведение : .

Обязательно снова предложите студентам сделать проверку правильности нахождения векторного произведения, используя критерий ортогональности векторов: . Поскольку проверка сошлась, можно продолжить решение задачи.

Найдем высоту параллелепипеда: .

Осталось найти вектор , совпадающий с высотой. Поскольку  перпендикулярен плоскости основания параллелепипеда, а  перпендикулярен  и  (а эти векторы и лежат в основании параллелепипеда), то .

Зная высоту параллелепипеда, находим:

.

Величину  мы нашли. Как же выбрать знак? Как уже было отмечено, поскольку , то эта упорядоченная тройка векторов левая. Поэтому упорядоченная тройка векторов  тоже левая, а  – правая. По определению векторного произведения упорядоченная тройка векторов  – правая. Из этого заключаем, что сонаправлен с вектором . Отсюда понятно, что .

Структурирование теоретических сведений позволяет упростить процесс восприятия, облегчить усвоение данной информации. Сведение материала в таблицу помогает в поиске необходимых свойств, формул и теорем.

Предложенный вариант проверки правильности решения задачи (ограниченный самоконтроль) позволяет в дальнейшем избежать ошибок при решении задач по темам «Прямая и плоскость в пространстве», «Взаимное расположение прямых и плоскостей».