The method of presentation of the topic "Functions of random variables"

Случайные величины, которые функционально зависят от множества случайных факторов, встречаются практически во всех дисциплинах [1, 2]. Например, уровень благосостояния человека – это функция заработной платы, налогов, стоимости продовольственных и промышленных товаров и услуг и т. д., количество сердечных сокращений – функция возраста, высоты местности, температуры тела и т. д.

В приложениях при построении математических моделей часто рассматриваются случайные величины, связанные функциональной зависимостью. В простейшем случае для технических специальностей задача ставится следующим образом: на вход технического устройства поступает случайное воздействие X; устройство подвергает воздействие X некоторому функциональному преобразованию φ и на выходе дает случайную величину :

, или , или .

Нам известен закон распределения X, и требуется найти закон распределения Y.

Законы распределения функций случайной величины.

Функции одной переменной

Если X – дискретная случайная величина, имеющая закон распределения, задаваемый табл. 1, а , где  – неслучайная функция, то Y также дискретная случайная величина, причем ее возможные значения .

            Таблица 1

Если при этом  различны (например,  строго монотонна), то .

Если же среди  имеются одинаковые значения, то , то есть необходимо сложить вероятности тех , для которых .

Пример 1. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения, представленный в табл. 2. Найти закон распределения случайной величины .

Таблица 2

Решение. Значениям –2; –1; 0; 1; 2 случайной величины X соответствуют значения 9; 3; 1; 3; 9 случайной величины Y. Учитывая, что среди возможных значений Y встречаются одинаковые, получаем:

Итак, закон распределения Y имеет вид, представленный в табл. 3.

Таблица 3

Если X – непрерывная случайная величина, имеющая плотность распределения , а , причем  – монотонная непрерывно дифференцируемая функция, то Y также непрерывная случайная величина. Функция распределения и плотность распределения Y имеют, соответственно, вид:

 ,               (1)

 ,        (2)

где * – обратная функция к . Если же  – немонотонная функция, то

 ,                  (3)

где  означает k-й интервал оси OX, на котором . Например, , а  (рис. 1).

Плотность распределения  случайной величины Y находится дифференцированием  по y.

Математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y находим по формулам:

 , (4)

.       (5)

Можно также определить математическое ожидание и дисперсию Y, зная лишь плотность распределения вероятностей случайной величины X и функцию , по формулам:

,                   (6)

.  (7)

Пример 2. Пусть случайная величина X подчиняется закону распределения N(0;1) и . Найти: 1) математическое ожидание и дисперсию Y, используя плотность распределения вероятностей случайной величины X; 2) плотность распределения случайной величины Y; 3) математическое ожидание и дисперсию Y, используя найденную плотность распределения случайной величины Y.

Решение. По условию X имеетплотность распределения вероятностей .

1)     Вычислим математическое ожидание по формуле (6):

.

Первый член суммы стремится к нулю при , второй член представляет собой интеграл Пуассона. Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой (7). Вначале вычислим :

.

Следовательно, .

2)     Найдем плотность распределения случайной величины Y.Функция  имеет два интервала монотонности  и *, на каждом из которых определена обратная функция:  на  и  на . Найдем функцию распределения Y:

,

где  и  показаны на рис. 2.

Итак, при .

Применяя формулу дифференцирования определенного интеграла по параметру, получаем выражение для плотности распределения вероятностей при

Окончательно получаем

3)     Используя найденную плотность распределения случайной величины Y, найдем математическое ожидание и дисперсию по формулам (4) и (5).

, .

Полученные интегралы были вычислены в пункте 1.

Окончательно, . Обратим внимание, что числовые характеристики, вычисленные различными методами, совпадают.

Пример 3. Какому функциональному преобразованию надо подвергнуть случайную величину X, распределенную равномерно на отрезке , чтобы получить случайную величину Y, распределенную по закону Коши ?

Решение. По условию случайная величина X распределена равномерно на . Тогда плотность распределения X равна  Используя формулу (2), получаем , где  – обратная к функции , которую нужно найти. Имеем . Таким образом, , откуда получаем функцию .

Функции двух случайных величин

Пусть  – дискретный случайный вектор, имеющий закон распределения, заданный табл. 4, (где  ), и пусть , где  – неслучайная функция двух переменных.

Таблица 4

Тогда закон распределения случайной величины Z находят следующим образом:

1)     Вычисляют значения  для всех пар .

2)     Вычисляют вероятности . Если для различных пар  и  получаются одинаковые значения z, то соответствующие вероятности надо сложить, т. е. .

Пример 4. Двумерный случайный вектор задан своим законом распределения (табл. 5). Найти закон распределения случайной величины .

            Таблица 5

Решение. Найдем значения Z:

, , , , , , , , .

Итак, случайная величина Z принимает всего три значения: . Вычислим соответствующие вероятности:

Закон распределения Z запишем с помощью табл. 6:

Таблица 6

Если же  – непрерывный случайный вектор, имеющий двумерную плотность распределения  , а , где  – неслучайная функция двух переменных, то закон распределения Z находят по следующей схеме.

1)     Находят функцию распределения случайной величины Z по формуле:

.      (8)

2)     Если необходимо найти плотность  распределения случайной величины Z, то ее получают дифференцированием функции распределения .

Пример 5. Пусть непрерывный случайный вектор  распределен равномерно в области . Найти плотность распределения случайной величины  .

Решение. Двумерная плотность распределения случайного вектора  имеет вид:  Найдем функцию распределения случайной величины : , где  – область на плоскости , зависящая от значения действительной переменной z. Для фиксированного значения z область показана на рис. 3 горизонтальной штриховкой.

Учитывая, что отличен от нуля только в квадрате , то , где  – область, показанная на рис. 3 двойной штриховкой, а  – площадь этой области. Нетрудно видеть, что при  площадь области  равна , а при : . Следовательно, функция распределения величины Z имеет вид:

Дифференцируя  по z, получаем плотность распределения вероятностей:

Объединяя полученные результаты, имеем .

Закон распределения суммы двух случайных величин

Часто возникает задача об определении закона распределения суммы компонент случайного вектора по известному закону совместного распределения его компонент.

Пусть  – непрерывный случайный вектор с известной плотностью совместного распределения компонент . Тогда плотность распределения  имеет вид:

.        (9)

В том случае, когда X и Y – независимые случайные величины, формула (9) приобретает вид:

.         (10)

Если же, кроме того, X и Y независимы и принимают только неотрицательные значения, формула (10) может быть записана следующим образом:

.           (11)

Для случая, когда  – дискретный случайный вектор, закон распределения суммы  записывается в виде табл. 7, где , а .

Таблица 7

В частности, если  – дискретный случайный вектор с независимыми компонентами, то

.

В том случае, когда складываются независимые случайные величины X и Y, то говорят о композиции законов распределения. Очевидно, что композиция законов распределения непрерывных случайных величин – это свертка . Закон распределения называется устойчивым к композиции, если при композиции законов распределения одного типа снова получается тот же закон распределения, но с другими параметрами. Устойчивыми к композиции являются нормальный закон, закон распределения Эрланга, биномиальный, Пуассона.

Пример 6. Измеряется некоторая физическая величина X, равномерно распределенная на отрезке . Процесс измерения проводится в условиях воздействия аддитивной независимой от X помехи Y, распределенной по нормальному закону с параметрами . Найти плотность распределения вероятностей фактически измеряемой величины .

Решение. Плотности распределения вероятностей X и Y имеют вид соответственно:

 и .

В силу формулы (10) плотность распределения  записывается следующим образом:

где  – функция стандартного нормального распределения N(0,1).

Пример 7. Решить задачу композиции показательных распределений с параметрами  и  соответственно.

Решение. Плотности распределения вероятностей случайных величин X и Y соответственно равны:

                    (12)

                    (13)

Так как нам нужно решить задачу композиции, то X и Y независимы. Из (12) и (13) следует, что X и Y принимают только неотрицательные значения, следовательно, по формуле (11) имеем при :

Запишем окончательный вид плотности распределения :

.

Пример 8. Независимые случайные величины X и Y распределены по одному и тому же закону, задаваемому табл. 8. Описать закон распределения .

Таблица 8

Решение. Найдем возможные значения Z.

Вычислим соответствующие вероятности:

Итак, закон распределения  задается табл. 9.

Таблица 9

Методика, которая положена в основу данной работы, позволит достаточно быстро сформировать представление о способах решения широкого круга задач по теме «Функции случайных величин». Теоретический материал носит справочный характер и поможет преподавателям и студентам при подготовке к практическим занятиям.