Mechanisms for approbation and introduction of the course “Developmental mathematics” for students of the 5-6th grade in the practice of primary school

В настоящее время в методической науке происходят существенные изменения, связанные с модернизацией отечественного образования вообще и математического в частности. Это в первую очередь определяется изменением целевых установок, что связано с внедрением новых образовательных стандартов, базирующихся на методологии системно-деятельностного подхода, на основе которых разрабатываются образовательные программы как в основном, так и в дополнительном образовании школьников. Ко всему прочему в связи с широким внедрением в практику работы образовательных организаций информационно-коммуникационных и компьютерных технологий существенно изменились возможности ресурсного обеспечения учебного процесса, что не может не сказаться на методической системе обучения школьников математике на уровне форм, средств и методов обучения. Содержание школьного математического образования пусть не существенно, но также претерпевает изменения, углубляется и расширяется в соответствии с требованиями, предъявляемыми к выпускникам итоговой аттестацией за курс основной и средней школы. Таким образом возникает необходимость модернизации образовательных программ, создание учителями школ собственных подходов и авторских курсов, что определяется задачами Концепции развития математического образования в Российской Федерации [1].

Осуществление этих задач в образовательной организации возможно и на уровне построения целостной системы математического образования школьников, и на уровне реализации отдельных образовательных программ для конкретных возрастных категорий учащихся, в частности для учащихся 5–6-х классов.

К тому же, переход на федеральные государственные образовательные стандарты определяет осуществление деятельности учителя и ученического коллектива в новом формате: требуется переход на новые учебно-методические комплексы, соответствующие стандартам, а, следовательно, и выстраивание новой методической линии в работе учителя. Нужно учитывать, что учебный процесс должен осуществляться как на разных уровнях (базовый, продвинутый, профильный, углубленный), так и в разных формах: основное (урочная деятельность) и дополнительное образование (внеурочная и внеклассная деятельность), определяя при этом прирост не только предметных, но и личностных, и метапредметных результатов обучающихся.

В связи с этим требуется тщательная проработка образовательных программ основного и дополнительного математического образования в их взаимосвязи и взаимообусловленности, что может быть осуществлено на уровнях основных, дополнительных и междисциплинарных образовательных программ [2].

Так, на уровне дополнительных образовательных программ должна происходить разработка кружковых, элективных и факультативных курсов и их дидактического сопровождения в соответствии и во взаимосвязи с действующими основными образовательными программами; разработка программ преодоления индивидуальных трудностей учащихся при изучении математики как в классах, где математика изучается на общеобразовательном уровне, так и в классах с углубленным (профильным) изучением математики; разработка спецкурсов и спецсеминаров для классов углубленного изучения предмета или с предпрофильной подготовкой, проводимых педагогами дополнительного образования – преподавателями вузов; разработка новых курсов и их дидактического сопровождения для системы дополнительного математического образования школьников, проводимых как в течение учебного года, так и краткосрочных, осуществляемых, например, в ходе работы математического лагеря.

Учитывая ко всему прочему необходимость обеспечения обучающимся, проявляющим способности, условий для развития и популяризации математических знаний и образования, нами были предприняты шаги к разработке, апробации и внедрению в практику работы образовательного учреждения курса для учащихся 5–6-х классов «Развивающая математика» [3].

Здесь мы более подробно остановимся на описании подходов и механизмов апробации и внедрения подобных курсов в систему дополнительного матемтаического образования учебных заведений, что может оказаться полезным для творчески работающих педагогов и методистов, столкнувшихся с проблемой постановки курсов дополнительного математического образования в 5–6-х классах средней школы.

Условно весь процесс становления любого курса в дополнительном математическом образовании можно разбить на три крупных и продолжительных по времени этапа. В этом контексте опишем нашу работу над курсом «Развивающая математика».

Первый этап – подготовительный. Этот этап характеризуется поиском технических возможностей организации курса (за счет каких часов будет проводится, кто будет непосредственно осуществлять эту деятельность) и отбором возможного содержания для формируемого курса дополнительного математического образования.

Как правило, вопросы технического характера решаются достаточно легко. Так практически всегда в 5–6-х классах есть возможность осуществлять подобную деятельность за счет часов, отводимых на кружки и факультативы, а с введением новых стандартов эти возможности расширились в связи с появлением часов на ведение внеурочной деятельности. Также, обычно, постановкой нового курса занимается заинтересованный учитель, реже – группа педагогов под руководством методиста.

Курс «Развивающая математика» на начальных этапах его становления (2008–2012 годы) был организован как кружок по математике в классах с предпрофильной подготовкой к будущему углублению математики, при этом изначально оговаривалось, что посещение кружка обязательно для всех учащихся класса. Предполагалось, что занятия по формируемому курсу будет проводить не один учитель, а несколько, работающих параллельно или в последовательных параллелях. Это удавалось сделать не всегда, однако ежегодно хотя бы в одном классе такой курс проводился.

Бόльшие затруднения всегда вызывает отбор содержания для курса дополнительного математического образования. Несмотря на то, что сейчас достаточно много различной литературы как содержательного, так и методического характера по организации внеклассной работы учащихся 5–6-х классов по математике, как отмечают учителя, требуется много времени для подготовки к занятиям, поскольку нет какого-либо «стационарного» учебного пособия, которое было бы универсальным для проведения кружка как с достаточно «сильными» учениками, так и для поддержания интереса к математике у более «слабых» учеников. Поэтому отбор содержания становится основным камнем преткновения при организации подобного курса.

Стоит отметить, что качественная подготовка к занятиям на первых этапах постановки курса дает широкие возможности для дальнейшего анализа материала и его перекомпоновки. Невозможно разрабатывать курс сразу «начисто», для этого материал должен изначально быть апробирован, осмыслен и отнесен к соответствующему разделу или к соответствующему возрасту учеников. Усложняется процедура отсутствием каких-либо стандартов и многолетних апробаций в дополнительном математическом образовании, которые могли бы четко регламентировать эти вопросы. Уровень конкретных учащихся, их потенциальные возможности, возможности учителя, технические аспекты проведения занятий как раз и определяют вариативность курса, его универсальность.

К тому же, отбор содержания должен осуществляться не спонтанно, а отвечать тем требованиям, которые предъявляют к математическому образованию действующие образовательные стандарты, в том числе и в дополнительном математическом образовании. Проецируя эти задачи на курс дополнительного математического образования для учащихся 5–6-х классов, можно выделить ключевые аспекты его построения, существенно влияющие на отбор содержания:

‒    занятия курса должны быть разработаны в соответствии с требованиями образовательных стандартов, учитывающими прирост предметных, личностных и метапредметных результатов обучающихся;

‒    разработка курса должна вестись во взаимосвязи с основными образовательными программами, дополняя их и создавая положительную мотивацию к изучению основного материала;

‒    курс должен быть направлен на привитие учащимся познавательного интереса и мотивацию к изучению математики через ее междисциплинарный и гуманитарный потенциал;

‒    курс должен быть обеспечен разработкой современного многовариантного и многоаспектного дидактического сопровождения, в том числе в электронных и дистанционных форматах;

‒    курс должен обеспечивать включение учащихся в проектную и исследовательскую деятельность, возможно, на уровне мини-проектов;

‒    задания занятий курса должны быть направлены на активизацию научного творчества учащихся.

Таким образом, при отборе содержания курса мы остановились на следующих принципиальных подходах:

‒    материал курса не должен повторять материал основного курса математики, а лишь существенно дополнять, углублять и расширять его;

‒    на каждом занятии должны применяться разнообразные формы организации познавательной деятельности обучающихся, что должно положительно влиять на достижение ими предметных, личностных и метапредметных результатов, а, следовательно, должно быть подобрано соответствующее содержание;

‒    в содержание курса должны входить не только математические задачи, но и материал, способный обеспечить интерес учащихся к предмету, показать красоту математики, ее гуманитарный и общекультурный потенциал;

‒    для обеспечения развития метапредметных и личностных результатов обучающихся в содержание курса должны вкрапляться задания, способствующие формированию творческих способностей учеников, приобщающие их к научному творчеству;

‒    курс должен содержать задания, способствующие общему интеллектуальному развитию обучающихся.

В итоге содержание курса «Развивающая математика» оформилось следующими блоками заданий: серии нестандартных развивающих задач (в каждом наборе присутствуют задачи логического и комбинаторного характера, задача с геометрическим содержанием, задача, решаемая арифметическим способом, а также задача на смекалку), системы задач на одну из тем так называемой «олимпиадной» математики, серии задач на логику, смекалку и сообразительность, рисованные задачи (комиксы), задания для практических самостоятельных работ («экспериментальная» математика), головоломки, занимательные материалы, материалы для внеклассного чтения, серии творчески ориентированных задач открытого типа [4, 5].

Таким образом, результатом работы по курсу «Развивающая математика» на первом этапе стал отобранный содержательный материал в различных форматах пока не оформленный в плане единой методики проведения занятий.

Второй этап – апробация единого курса. Этот этап характеризуется разработкой единых методических и технологических подходов к проведению курса в процессе его практической реализации.

Так, если в основном образовании главной дидактической единицей является урок, и его структура и содержание вполне регламентированы, то в дополнительном образовании формы проведения занятий могут варьироваться в значительной степени. Формат занятий часто определяется составом участников образовательного процесса. Традиционно сложилось, что к участию в кружке привлекаются наиболее заинтересованные и способные учащиеся. Так, М. Б. Балк [6] дает развернутую методику проведения занятий кружка по математике, сводящуюся в целом к обсуждению той или иной тематики с докладами участников кружка. И. С. Петраков [7] предлагает следующую структуру занятия кружка: доклад одного из участников кружка на 5–10 минут по истории математики, сообщение руководителя или участника кружка по теме занятия; решение задач повышенной сложности; решение задач занимательного характера и задач на смекалку; ознакомление участников кружка с задачами, предлагавшимися при поступлении в вузы; ответы на вопросы учащихся. Примерно тех же взглядов придерживается и А. В. Фарков [8]. Однако такие формы проведения занятий кружка подходят скорее для учащихся старших классов с высоким уровнем мотивации к занятиям. Мы же, следуя рекомендациям авторов книги «Ленинградские математические кружки» [9], начинаем внеклассную работу по математике с учащимися младшего возраста – учениками 5-х классов, а в некоторых случаях и более младших ступеней обучения (3–4 классы).

Еще одним аргументом, способствовавшим в значительной мере пересмотру наших взглядов на структуру кружка, явилась возможность проведения занятий с целым классом без какого-либо отбора учащихся. Такие занятия проводятся один раз в неделю и являются связующим звеном между основным и дополнительным образованием школьников, расширяя и углубляя их знания по предмету. Очевидно, что в таком случае форма работы должна быть максимально приближена к урочной, но сводить занятия кружка полностью к ней (естественно, с другим содержанием) абсолютно нецелесообразно – перед нами стоят другие задачи.

Вернемся еще раз к рекомендациям авторов книги «Ленинградские математические кружки», выделив из них те, которыми мы руководствовались при разработке структуры кружковых занятий:

̶       неправильно заниматься с младшеклассниками одной темой в течение продолжительного промежутка времени; даже в рамках одного занятия полезно иногда сменить направление деятельности;

̶       необходимо постоянно возвращаться к пройденному; это можно делать, предлагая задачи в олимпиадах и других соревнованиях;

̶       необходимо постоянно обращаться к нестандартным и «спортивным» формам проведения занятий.

 Учитывая эти рекомендации и собственные соображения, нами была разработана модель курса дополнительного математического образования для учащихся 5–6-х классов средней школы. Курс имеет модульную структуру; каждый модуль содержит разнообразные формы занятий по решению нестандартных задач, изучению тем, расширяющих основной курс, и решению творчески ориентированных задач: это практические работы, соревнования, фронтальная и индивидуальная работа, внеклассное чтение по предмету. Курс прежде всего направлен на поддержание интереса учащихся к математике, создания им условий для творческой самореализации на материале математического характера.

В настоящее время программа курса предполагает прохождение учащимися 16 образовательных модулей – по четыре для каждой параллели 3–6-х классов, – каждый из которых имеет единую структуру, представленную на рисунке 1.

.

Рис. 1. Схема прохождения модуля с указанием ведущей идеи и основных организационных форм

В качестве конкретного примера приведем содержание модуля 5.1 (первый модуль для 5-го класса):

1)  серия нестандартных задач; головоломка «Многоликий воздушный шарик»;

2)  система олимпиадных задач комбинаторного характера по теме «Разберем все варианты» (метод перебора);

3)  проверка домашнего задания; серия нестандартных задач;

4)  серия творчески ориентированных задач математического характера;

5)  система олимпиадных задач логического характера по теме «Табличная логика»;

6)  проверка домашнего задания; серия нестандартных задач;

7)  практическая работа «Конструирование из одинаковых фигур»;

8)  повторение, обобщение и систематизация материала в форме соревнования «Математическая карусель»;

9)  внеклассное чтение «Считайте в уме как компьютер» [10].

На трех из девяти занятий модуля используется одна из серий нестандартных задач, подобранных таким образом, что дети получают возможность творчески развиваться в различных направлениях проявления математических способностей. Каждая такая серия состоит из шести задач, среди которых находят место задачи арифметического, логического, комбинаторного характера, задача с геометрическим содержанием и задача на смекалку.

Первое занятие каждого модуля начинается именно с такой серии задач, большинство из них решается практически устно, а ответы записываются в специальный столбик тетради с печатной основой, что ускоряет процесс оформления задачи. Здесь главным выступает развитие мышления и смекалки учащихся, приобщение их к математическому творчеству, а не строгая запись решения задачи. Важным при такой работе является акцент на вопрос «Почему именно так решили задачу?»

Далее детям предлагается головоломка. На занятиях они могут собирать готовую головоломку, самостоятельно изготавливать головоломки комбинаторного (типа танграма) или топологического характера (веревочные головоломки). Определяя необходимость работы с головоломками, Джером Сеймур Брунер, американский психолог и педагог, крупнейший исследователь в области когнитивных процессов, изучавший память, внимание, чувства, представление информации, логическое мышление, воображение, способность к принятию решения, сделал неслучайный вывод, что головоломка – именно тот инструмент, наиболее подходящий для развития креативности.

На втором занятии ребята знакомятся с методом перебора как одним из ключевых методов решения математических задач. Необходимо обсудить со школьниками задания для работы в классе, показав, как осуществляется и систематизируется перебор возможных вариантов. На домашнее задание можно предложить 1–2 задачи на метод перебора. На подобных занятиях других модулей курса «Развивающая математика» ученикам предлагается изучить следующие темы: «Переливания», «Эффект плюс-минус один», «Анализ с конца», «Правила комбинаторики», «Четность», «Принцип Дирихле». «Правило крайнего», «Оценка + пример», «Инварианты и раскраски», «Разрезания», «Игры», «Геометрия».

На третьем занятии проверяется решение домашних задач и рассматриваются еще 1–2 задачи, решаемые методом перебора, а закончить его можно новой серией нестандартных задач, о которых речь шла выше.

Четвертое занятие относится к разряду уроков актуализации научного творчества и посвящено задачам открытого или частично открытого типа [11]. Здесь нет однозначно верных ответов, есть только ответы, которые удовлетворяют или не удовлетворяют заданным условиям. Можно разобрать в форме мозгового штурма одну любую задачу. На остальных задачах лишь акцентируется внимание и предлагается их выполнить дома. На решение одной задачи рекомендуется отводить до одной недели.

Уроки актуализации научного творчества, пожалуй, являются самым неожиданным этапом в проведении дополнительных занятий по математике. Они строятся не только на математическом материале и направлены на знакомство учащихся с основными идеями и методами научного творчества, в частности, с элементами теории решения изобретательских задач. Так школьники знакомятся с методом проб и ошибок, морфологическим анализом, методом «наоборот», идеей идеального конечного результата, приемами разрешения противоречий и генерирования идей, методами системного мышления и многим другим.

На пятом занятии по теме «Табличная логика» дети знакомятся с отдельным видом логических задач. Нужно показать школьникам идею решения разными способами, но сделать упор на решение с помощью логических таблиц. Главная цель занятия – научить вести логическую цепочку при решении этих задач, что в значительной мере способствует не только развитию математической составляющей мышления, но и творческой составляющей личности, домой предлагается 1–2 задачи на «табличную» логику.

Шестое занятие начинается с проверки домашнего задания и рассмотрения более сложных задач, а заканчивается занятие вновь серией нестандартных задач.

Две темы, рассматриваемые в каждом модуле, подбираются так, что одна из них наиболее приближена к «олимпиадным» задачам комбинаторного характера, а вторая – логического. Делается это для планомерного приобщения учащихся к развитию двух системообразующих направлений развития математического мышления, определяющих общее творческое развитие личности ученика.

Седьмое занятие – это практическая работа, цель которой – научить детей самостоятельно по предложенной инструкции конструировать те или иные объекты и работать с ними. Здесь мы предлагаем пример «Конструирование из Т» из книги «Наглядная геометрия» [12]. Подобного рода занятия мы относим к так называемым урокам экспериментальной математики, которые направлены на реализацию деятельностного подхода в обучении математике, что напрямую согласуются с идеями системно-деятельностного подхода, активно внедряющегося в систему общего образования в Российской Федерации, а именно на обучение через эксперимент. Например, здесь может быть использован как арифметический, так и геометрический материал, требующий от школьников постановки гипотезы, следующей из неполной индукции перебора частных случаев. Также на таких уроках может быть предложено школьникам самостоятельное изготовление головоломок комбинаторного или топологического характера.

Восьмое занятие – этоигра-соревнование, которое может быть как индивидуальным, так и командным. В данном случае предлагается командная игра «Математическая карусель». В играх предлагаются разобранные в модуле задачи и подобные им. Целью таких занятий является закрепить и актуализировать изученный во время модуля материал, вызвать дополнительный интерес к предмету.

Целью таких занятий является создание духа соревновательности, так необходимого при культивировании интереса школьников к предмету. Здесь нужно выбирать такие формы соревнований, чтобы они были не продолжительны по времени, поскольку учащиеся 5–6-х классов быстро утомляются, даже при проведении занятий в игровой форме. Нами практикуются, например, «Математический брейн-ринг», «Математический хоккей», «Перестрелка», «Рыбалка» и др.

Модули занятий заканчиваются семинаром по внеклассному чтению, что в большой степени предполагает активизацию самостоятельной работы учащихся. Частично материал подбирается учителем. Но должен быть расширен и дополнен учеником самостоятельно при использовании списка литературы или материалов сети Интернет. Доклад учащихся заслушивается, дополняются другими учениками и резюмируются учителем. Основная цель этих занятий – знакомство учащихся с историей математики.

В домашних заданиях занятий модуля детям предлагается помимо задач олимпиадного характера многочисленный занимательный материал: задачи-шутки, софизмы, задачи-обманки, игры, ребусы, головоломки и т. д.

Таким образом формируется модульная система постановки курса дополнительного математического образования «Развивающая математика» в объеме 136 часов. Как показывает опыт многолетнего проведения курса учащиеся с радостью и огромным рвением посещают занятия курса, охотно выполняют задания, в том числе домашние, разбираются со сложным материалом. В целом же об успешной реализации курса говорят результаты деятельности учеников: они регулярно становятся победителями на соревнованиях городского, областного уровней, и показывают значительные успехи в овладении предметом.

Наконец, третий этап – трансляция опыта. Этот этап характеризуется широким распространением опыта ведения курса на другие образовательные организации, формированием методических рекомендаций к проведению курса, а также расширением дидактического материала к занятиям.

Это современный этап работы над курсом дополнительного математического образования «Развивающая математика» для учащихся 5–6-х классов. В настоящее время опыт работы по курсу представляется на всех проводимых Институтом развития образования Кировской области курсах повышения квалификации учителей математики: курс обсуждается, даются методические рекомендации, написаны сопроводительные материалы с решениями и ответами к задачам. Учителя математики охотно используют материалы курса в своей работе с учениками 5–6-х классов.

Стоит отметить, что на данном этапе развития курса идет обогащение его дидактической составляющей различными материалами, в частности, представленными в электронном виде: презентациями, анимированными элементами, тетрадями с печатной основой. Все это должно напрямую способствовать усилению мотивационной составляющей курса, осовременить его и дать возможность включения в образовательную среду новых средств для ведения образовательной деятельности.

Отметим также, что данная статья, как и ряд нескольких предыдущих статей, посвященных курсу «Развивающая математика», тоже являются своеобразным обобщением работы и представлением курса для широкой общественности.