Full text

В целях повышения уровня математической подготовки студентов математических и технических специальностей особое внимание уделяется тем вопросам высшей математики, без прочного знания которых невозможно стать хорошим специалистом в своей области. К таким важным темам относится тема несобственных интегралов, которые часто встречаются в задачах по механике и электростатике.

Предложенная в статье методика позволит достаточно быстро сформировать прочные навыки решения задач по этой теме. Цель работы – научить вычислять и исследовать на сходимость и расходимость несобственные интегралы.

Понятие определенного интеграла вводилось при двух условиях: 1) конечность отрезка интегрирования ; 2) непрерывность (а стало быть, ограниченность) функции на отрезке интегрирования. Рассмотрим естественное обобщение определенного интеграла в случае нарушения того или иного условия. В этом случае мы приходим к понятию несобственных интегралов 1- го рода и 2-го рода. Правда, интеграл – это площадь, а площадь неограниченно протяженной фигуры выглядит непривычно.

Несобственные интегралы 1-го рода. Это интегралы от непрерывных функций по бесконечному интервалу. Пусть функция  определена на множестве .

Определение 1. Несобственным интегралом 1-го рода называется предел определенного интеграла , где – первообразная функции , т. е. .

Определение 2. Если предел в правой части последней формулы существует и конечен, т. е. , то несобственный интеграл называется сходящимся. Если этот предел не существует (в частности, равен бесконечности), то несобственный интеграл  называется расходящимся [1].

Из этих определений следует, что если для некоторого действительного числа  сходится каждый из несобственных интегралов и , то сходится и несобственный интеграл , причем справедливо равенство:

.

При исследовании несобственного интеграла на сходимость первое, что надо сделать, – это попробовать вычислить интеграл, т. е. воспользоваться определением.

Пример 1. Вычислить интеграл .

. Интеграл сходится по определению.

Пример 2. Вычислить интеграл .

. Интеграл сходится по определению.

Пример 3. Вычислить интеграл .

. Интеграл расходится по определению.

Пример 4. Вычислить интеграл  в зависимости от .

. Видно, что этот предел зависит от :

Если  > 1, то , т. е. интеграл сходится.

Если < 1 , то , т. е. интеграл расходится.

Если  = 1, то , т. е. интеграл расходится.

Пример 5. Вычислить интеграл .

. Интеграл расходится по определению [2].

Пример 6. Исследовать на сходимость интеграл от степенной функции , – действительное число (интеграл Дирихле).

Интересен только случай , так как при  подынтегральная функция стремится к бесконечности при  и интеграл расходится.

.

Рассмотрим отдельно случай, когда .

. Интеграл расходится по определению.

Следовательно, интеграл Дирихле

Сходящиеся несобственные интегралы 1-го ряда имеют определенный геометрический смысл. График функции  ограничивает трапецию с бесконечным основанием.

 

Если несобственный интеграл  сходится, то площадь фигуры, ограниченная функцией , прямыми  и , имеет площадь, равную этому интегралу.

Заметим, что на сходящиеся несобственные интегралы распространяются все свойства определенного интеграла и вся техника вычислений (линейность, формула Ньютона– Лейбница, замена переменной, интегрирование по частям, интегрирование неравенств). Расходящиеся интегралы требуют некоторой аккуратности в записях, в частности, неверны (просто не имеют смысла) записи:

, , .

Вопрос о сходимости интеграла решается относительно просто, если найдена первообразная. Часто, однако, найти ее затруднительно, тогда выяснить сходимость/расходимость интеграла пытаются косвенным путем – с помощью тех или иных признаков.

Признак сравнения. Если для всех  выполняется неравенство , то из сходимости интеграла  следует сходимость интеграла , из расходимости  следует расходимость .

Схематическая запись признака сравнения выглядит так:

 

сходится                сходится

расходится             расходится.

Предельный признак сравнения. Если для всех  и  и существует конечный предел , , то интегралы  и  либо оба сходятся, либо оба расходятся [3].

Чтобы с помощью этих признаков исследовать интегралы на сходимость, надо иметь такие интегралы-эталоны, сходимость или расходимость которых была бы известна заранее. В качестве эталона обычно используют интеграл Дирихле.

Для его подбора полезно вспомнить неравенства, которыми при этом пользуемся: < , < <  (0< < ), , , и некоторые эквивалентности, которые справедливы при : , , , , , , .

Геометрический смысл ситуации очевиден: чем ближе кривая прижимается к оси абсцисс, тем лучше для сходимости.

Отметим, что обе формы признака сравнения, непосредственная и предельная, хорошо дополняют одна другую. Предельная форма выглядит, конечно, мощнее: здесь охватывается самое важное – порядок бесконечно малой подынтегральной функции. Но ведь порядка может и не быть, тогда поможет непосредственное сравнение.

Признак абсолютной сходимости. Если  – знакопеременная функция на и  сходится, то сходится абсолютно.

Из абсолютной сходимости интеграла следует его сходимость, но обратное неверно. Интеграл может сходиться, но не абсолютно. Такая сходимость называется условной сходимостью [4]. Рассмотрим следующие примеры.

Пример 8. Исследовать сходимость интеграла .

. Интеграл  сходится абсолютно из сравнения с интегралом Дирихле, так как . Значит, интеграл  сходится как сумма константы и сходящегося интеграла.

Пример 9. Исследовать сходимость интеграла .

Очевидно, что . При интегрировании этого равенства от 1 до  расходится как интеграл Дирихле с , а интеграл  сходится (мы только что рассматривали такой же, только с синусом). Значит, и интеграл  расходится – иначе бы  сходился как сумма сходящихся интегралов. Осталось применить признак сравнения, используя очевидное неравенство , и, стало быть, интеграл  расходится, т. е. интеграл  сходится, но не абсолютно, а условно.

Пример 9. Исследовать сходимость интеграла  .

При . Но интеграл  сходится как интеграл Дирихле с . Следовательно, по признаку сравнения исходный интеграл сходится.

Пример 10. Исследовать сходимость интеграла .

Оценим при  подынтегральную функцию . Но интеграл  расходится как интеграл Дирихле с . Константа на сходимость не влияет. Исходный интеграл расходится по признаку сравнения.

Пример 11. Исследовать сходимость интеграла .

При  подынтегральная функция знакопеременная. Оценим ее по модулю.

. Интеграл  сходится как интеграл Дирихле с . Тогда сходится по признаку сравнения. Исходный интеграл сходится абсолютно по признаку абсолютной сходимости [5].

Пример 12. Исследовать сходимость интеграла .

При . Интеграл от эквивалентной функции  расходится как интеграл Дирихле с . Исходный интеграл расходится по предельному признаку сравнения.

Пример 13. Исследовать сходимость интеграла .

При подынтегральная функция знакопеременная, поэтому исследуем ее по модулю: . Интеграл  сходится как интеграл Дирихле с . Следовательно, сходится по признаку сравнения. Тогда исходный интеграл сходится абсолютно по признаку абсолютной сходимости.

Несобственные интегралы 2-го рода. Это интегралы от разрывной функции по конечному отрезку .

Определение. Несобственным интегралом 2-го рода от функции, имеющей разрыв на левом конце отрезка , называется предел определенного интеграла , где  – первообразная функции .

Определение. Несобственным интегралом 2-го рода от функции, имеющей разрыв  на правом конце отрезка , называется предел определенного интеграла , где  – первообразная функции .

Определение. Если существуют и конечны пределы в правых частях формул, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если эти пределы не существуют или равны бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Определение. Если функция  имеет разрыв ,  внутри отрезка , тогда .Тогда несобственный интеграл  сходится, если сходятся оба интеграла в правой части формулы, и расходится, если расходится хотя бы один из этих интегралов [6].

Также исследование на сходимость начинаем с того, что пробуем интеграл вычислить.

Пример 14. Вычислить интеграл .

Функция имеет разрыв в точке . . Предел конечен, интеграл сходится по определению.

Пример 15. Вычислить интеграл .

Функция имеет разрыв в точке , т. е. на левом конце отрезка.

. Несобственный интеграл расходится по определению.

Сходящийся несобственный интеграл 2-го рода имеет геометрический смысл. В случае  он равен площади бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми линиями , ,  и .

 

И в этом случае вопрос о сходимости интеграла решается относительно просто, если найдена первообразная. Если найти ее затруднительно, сходимость/расходимость интеграла исследуют с помощью признаков.

Признак сравнения. Если функции  и  непрерывны и знакопостоянны  на  и ,  для всех , тогда из сходимости интеграла  следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла  следует расходимость интеграла .

Предельный признак сравнения. Если функции  и  непрерывны и знакопостоянны  для всех  и ,  и существует конечный предел , то интегралы  и  сходятся или расходятся одновременно.

Чтобы с помощью этих признаков исследовать интегралы на сходимость, надо иметь такие интегралы-эталоны, сходимость или расходимость которых была бы известна заранее, и уметь эти эталоны подбирать. В качестве эталона обычно используют интегралы Дирихле и , которые сходятся при  и расходятся при . Проверить это можно непосредственно по определению.

Для подбора интегралов для сравнения полезно вспомнить некоторые неравенства, которыми при этом пользуемся: , , и некоторые эквивалентности, которые справедливы при : , , , , , , .

Признак абсолютной сходимости. Если функция  знакопеременна на ,  и сходится несобственный интеграл , то несобственный интеграл  сходится абсолютно [7].

Пример 16. Исследовать сходимость интеграла .

Для . Вычислим по определению несобственный интеграл .

Интеграл расходится, следовательно, по признаку сравнения исходный интеграл расходится.

Пример 17. Исследовать сходимость интеграла .

Подынтегральная функция знакопеременная на отрезке . Для  выполняется неравенство . Но несобственный интеграл  сходится как интеграл Дирихле с . По признаку сравнения сходится интеграл . Тогда исходный интеграл  сходится абсолютно по признаку абсолютной сходимости.

Пример 18. Исследовать сходимость интеграла .

Подынтегральная функция имеет разрыв в точке . При , используя эквивалентности, подберем эквивалентную функцию . Несобственный интеграл  расходится как интеграл Дирихле с . Исходный несобственный интеграл также расходится по предельному признаку.

Пример 19. Исследовать сходимость интеграла .

Функция имеет разрыв в точке . При  подберем эквивалентную функцию для подынтегральной функции . Несобственный интеграл  сходится как интеграл Дирихле с . Исходный интеграл сходится по предельному признаку [8].

Подводя итог, сформулируем основные положения методики исследования сходимости/расходимости интегралов:

  1. Сначала оценить несобственный интеграл на предмет его вычисления, т. е. исследовать по определению. Вопрос о сходимости в этом случае решается легко, если найдена производная.
  2. Если первообразную функцию найти трудно, то переходим к использованию признаков сравнения. Для этого надо подобрать интеграл-эталон (интеграл Дирихле), проверить, применим ли он, удобен ли для применения. Качество признака сходимости определяется его применимостью, практичностью и чувствительностью.

Для самостоятельной работы и повторения практического материала можно предложить следующие задачи [9–11]:

Несобственные интегралы 1-го рода:

а)     Вычислить несобственные интегралы:

, , , , , , ,

, , .

б)     Исследовать сходимость/расходимость с помощью признаков сравнения:

, , , , , ,

, , , , .

Несобственные интегралы 2-го рода:

а)     Вычислить несобственные интегралы:

, , , , , , ,

, ,…. , .

б)     Исследовать сходимость/расходимость с помощью признаков сравнения:

, , , , , , ,

, , , , .