Full text

Площадь криволинейной трапеции, заданной условиями вида  равна S = (рис. 1).

 

Рис. 1

Если функция y = y(x) задана параметрическими уравнениями  причем  таковы, что x( ) = a, x( ) = b, то нужно в формуле (1) перейти к переменной t.

S = . Заметим, что из неравенства  не следует, что .

Рассмотрим пример решения задачи на вычисление площади разными способами. В качестве такой фигуры рассмотрим эллипс. При этом отметим ряд исторических фактов, касающихся истории открытия и изучения свойств указанной кривой.

 

 

 

Рис. 2

 

Эллипс – фигура (кривая), образованная точками, у которых сумма расстояний от двух заданных точек фиксирована (и больше расстояния между двумя указанными точками). Иными словами, если F1, F2 – данные точки, то эллипс образован точками М, для которых F1М + F2М = const ˃ F1 F2. Свойство эллипса, выраженное условием F1М+ F2М = const, называют фокальным свойством эллипса (рис. 2). Благодаря фокальному свойству можно быстро и просто начертить эллипс: достаточно закрепить в фокусах эллипса на листе бумаги две булавки, прикрепить к ним нитку длиной в две большие полуоси, затем, оттягивая нить острием карандаша, обвести одну половину эллипса, потом – вторую (рис. 3 [1]).

 

Рис. 3

 

Знаменитый ученый древности Менехм (IV в. до н. э.), ученик Евдокса, прославился работами по астрономии и математике, и прежде всего решением делосской задачи об удвоении куба. Изучение конуса привело Менехма к открытию конических сечений – кривых, полученных путем пересечения конуса секущей плоскостью. Менехм рассматривал исключительно конусы вращения. Конусы вращения в зависимости от величины угла при вершине (угла, составленного двумя образующими, расположенными в плоскости осевого сечения) Менехм делил на прямоугольные, тупоугольные и остроугольные. Для получения конических сечений рассматривалась плоскость, перпендикулярная образующей. Коническое сечение прямоугольного конуса дает параболу, тупоугольного конуса – гиперболу, остроугольного конуса – эллипс. Сами названия кривых, которые были введены Аполлонием Пергским (III в. до н. э.), связаны как раз с упомянутым выше углом при вершине конуса. Так, эллипс (έλλείψίς – изъян, недостаток угла конуса до прямого), гипербола (ύπέρβωλη – преувеличение, преобладание угла конуса над прямым), парабола (παραβολη – приближение, то есть равенство угла конуса прямому углу). Позже было установлено, что все данные кривые можно получить на одном конусе, изменяя наклон секущей плоскости, независимо от угла при вершине. При этом следует брать конус, состоящий из двух полостей, и полагать, что они простираются в бесконечность [2, 3] (см. рис. 4).

 

Рис. 4

 

Задача. Найти площадь, ограниченную эллипсом.

Решение

Рассмотрим в данном случае два способа вычисления площади фигуры.

  1. Пусть эллипс задан каноническим уравнением:

 

 

 

Вычислим четвертую часть площади: y =  x .

 

S = dx = =

=

Отметим, что интеграл dx вычисляется методом интегрирования по частям.

Ответ:

  1. Рассмотрим параметрическое задание эллипса –

Определим значения t1 и t2. t1 – решение системы  t2 – найдем, решив систему

S = dt =  = πab.

Ответ:

Следует также рассмотреть решение задачи, в которой требуется найти площадь фигуры, которая не является криволинейной трапецией.  

Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y= 1 и

Решение

Сделаем чертеж (рис. 5).

 

Рис. 5

 

Запишем формулу для нахождения площади этой фигуры в декартовой системе координат:

S=

 

где  – уравнение астроиды в декартовой системе координат.

Под знаком первого интеграла перейдем к новой переменной – параметру t. Тогда:

 

S =

 

Найдем значения  и b.

Из системы  получим , тогда . Подставим  в первое уравнение и найдем b= .

Из системы  найдем .

Таким образом,

 

 

 

 

=3

=3 (( ) – ) – = π

Ответ: π .

 

Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат

 

Криволинейным сектором называется фигура, ограниченная графиком функции ρ = ρ(φ) и лучами φ = α и φ = β (рис. 6).

 

S = .

 

 

Рис. 6

 

Если фигура не является криволинейным сектором, ее площадь находится как сумма или разность площадей криволинейных секторов.

Например, площадь S1:

 

S1 = - = ,

 

где α и β – решения системы уравнений  (рис. 7).

 

 

Рис. 7

 

Задача. Найти площадь фигуры, заданной неравенствами:

 

 

 

Решение

Построим кривые ρ = 4, ρ =  (см. рис. 8).

Определим лучи, проходящие через точки пересечения кривых, решив систему:

 

 

 

Получим φ = , φ = .

Проведем указанные лучи. Получим фигуру, площадь которой надо найти, – круговой сегмент. Учитывая, что фигура симметрична относительно φ = составим интеграл для вычисления площади.

S = 2 dφ =  = 16( ) + 4(ctg ctg ) =

Ответ:

Аналогично, площадь S2 = , β – решение системы уравнений  α и γ находятся из уравнений  соответственно, лучи φ = α, φ = γ – касательные лучи в полюсе (см. рис. 9).

 

Рис. 8

 

 

Рис. 9

 

Задача. Найти площадь фигуры, заданной неравенствами:

 

 

Решение

Построим кривые ρ = , ρ = .

Определим лучи, проходящие через точки пересечения кривых, решив систему:

 

 

 

Получим φ = .

Проведем указанный луч. Получим фигуру, площадь которой надо найти (рис. 10).

 

Рис. 10

 

Составим интеграл для вычисления площади.

 

S = dφ + dφ = dφ + dφ =

= + .

Ответ: + .

В заключение следует добавить, что для самостоятельной работы по данной теме можно рекомендовать задачи из источников [4–8].