Irina SitnikovaОбучение студентов математическим дисциплинам, математическому методу познания требует усиления мотивации, тщательного отбора содержания, особых методов работы, так как восприятие математики только как аппарата для вычислений, набора аксиом и теорем, характерное для «среднего» ученика средней школы, не способствует пониманию реальной роли математики в нашей жизни.
Получение математических знаний студентами есть и результат познания, и процесс получения этого результата. Для нас более важным в этом единстве процессов выступает процесс получения знаний, а для этого у студентов должны быть сформированы, как отмечает В. А. Тестов, «не только алгебраические, порядковые и топологические структуры, которые представляют собой прежде всего системы хранения знаний» [1], но и математические когнитивные схемы, являющиеся средствами, методами и приемами познания, а именно логические, алгоритмические, комбинаторные и образно-геометрические структуры. Это еще раз подтверждает необходимость развития у студентов алгоритмической и логической культуры мышления. Уровень развития данных структур и схем отдельной личности проявляется в ее математических способностях.
Математика и по своему объему, и по времени изучения, и по своей трудоемкости всегда занимала особое место в ряде других наук и учебных предметов. Процесс обучения математике следует рассматривать «как многоуровневую систему с обязательной опорой на нижележащие, более конкретные уровни научного познания» (под уровнями понимаются ступени в последовательно повышаемой содержательной значимости) [2].
Многие ученые (Дж. Брунер [3], А. Н. Колмогоров [4], П. М. Эрдниев [5]) выдвигали для процесса обучения принцип построения по спирали – это единение непрерывного и дискретного в обучении, двух составляющих процесса познания и перехода с одной ступени на другую – преемственности, которая выражает непрерывность процесса обучения, и многоступенчатостиобучения, которая определяет его дискретность.
При построении системы задач все это реализуется в установлении необходимых преемственных связей как в рамках учебного предмета и правильного соотношения между отдельными частями на разных ступенях его изучения [6], так и при рассмотрении отдельных тем «не изолировано друг от друга, а в такой взаимосвязи, которая позволяет изучение каждой текущей темы строить не только с опорой на прошлое, но и с широкой ориентировкой на последующие темы…» [7].
Следовательно, выделение и изучение преемственных связей, по нашему мнению, является необходимым и должно быть рассмотрено с различных точек зрения.
Основными линиями реализации принципа преемственности в рамках обучения математике студентов технических специальностей вузов, на наш взгляд, являются: 1) преемственность в системе «школа – вуз» и 2) преемственность в рамках самого курса высшей математики в вузе.
Рассмотрим проблемы реализации первого направления. Реального успеха при обучении математике в вузе можно достичь в том случае, если преподавание на уровне средней и высшей школы будет вестись с единых методических позиций, идей и с использованием общего математического языка формул и понятий. Преемственность обучения в вузе предполагает сформированность уже в школе основных умений и навыков, необходимых для дальнейшего обучения.
Взаимодействие между школой и вузом должно осуществляться в обе стороны. Школа – первая наиболее серьезная ступень современного образования. Если была допущена нечеткость или присутствовал описательный характер в изложении математики, это может привести к определенным трудностям и потребует значительных затрат на переобучение. Поэтому выпускники школ должны обладать такими базовыми знаниями, чтобы обучение математике в вузе способствовало их углублению, систематизации и развитию.
Например, изучение понятия производной и интеграла начинается в школе, так как этого требует современный образ жизни. Изложение этого материала должно вестись более глубоко и полно, чтобы не приводить к устойчивым заблуждениям и ошибкам, устранение которых требует времени, или должно быть перенесено в вузовские программы.
С другой стороны, в вузе при изучении новых тем для лучшего восприятия математики следует пользоваться, если это возможно, знакомой символикой и опираться на известные по школе понятия, определения и методы (преемственность на уровне «школа – вуз»). В качестве примера рассмотрим систему задач, основанную на реализации идеи преемственности.
При рассмотрении темы «Операционное исчисление» приходится сталкиваться с проблемой изображения полигональной функции. Полигональной функцией называется [8] кусочно-аналитическая функция, для которой все ее «элементы» – fk(t) линейные функции fk(t) = akt + bk. Таким образом, график полигональной функции составлен из отрезков прямых. Проблема нахождения изображения для таких функций возникает после изучения основных понятий оригинала и изображения и их основных свойств. Однако ряд теорем о свойствах функций (теорема запаздывания и смещения) вызывает определенные трудности. Правильное построение формулы для функции оригинала – полигональной функции также требует умелого использования этих теорем. В сборниках задач по математике, предлагаемых для применения в вузе, нет целенаправленной, «удобной» системы, обеспечивающей правильное усвоение данного раздела.
Рассмотрим систему упражнений, позволяющую повысить уровень усвоения. Представленная система является наглядной и удобной для восприятия [9].
В основе принципа построения – теория параллельного переноса (сдвига) вдоль координатных осей при исследовании и построении графиков элементарных функций:
у = f(t) Þ y = f(t + const) Þ y = f(t) + const.
Покажем, как можно поэтапно формировать понятие полигональной функции, опираясь на указанную выше цепочку и сформированные в школе умения преобразовывать графики функций.
I этап – формирование «ступеньки» (определенной высоты):
а)
|
f(t)=2η(t) |
|
f(t)=-3η(t) |
|
t |
|
t |
|
t |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
2 |
|
1 |
|
-3 |
|
f(t)=η(t) |
|
f |
|
f |
|
f |
в начале координат: f(t) = δη(t), где δ − высота «ступеньки»;
|
t |
|
η (t) |
|
η (t) |
|
η (t) |
|
η (t) |
|
t |
|
t |
|
1,5 |
б) в любой точке t0 (0,+ ): f(t) = δη(t − t0), где t0 − сдвиг «ступеньки».
|
t0=1 f (t)=η(t-1) |
|
t |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
t0= 2 f(t) =-2η(t-2) |
|
-2 |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
t |
|
f |
|
f |
|
а) и б) |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
t |
|
f |
|
t0=3 f(t)=1,5η(t-3) |
II этап – формирование фрагментов ступенек (суперпозиция) или ступенчатой функции («лесенка»).
|
f |
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
f(t)=η(t)+(-1)η(t-1) |
|
t |
|
f |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
f(t)=η(t)+2η(t-1)+(-1)η(t-3) |
|
t |
|
1 |
|
2 |
|
f |
|
0 |
|
Δ – высота ступеньки |
|
t |
|
f(t)=η(t)+δ∙η(t-t0) |
|
При t<t0 η(t-t0)=0, где t0 − точка подъема (спуска) |
|
t0 |
III этап – формирование «уголка»:
а) в начале координат (y = kt);
|
f |
|
1 |
|
2 |
|
t |
|
1 |
|
k=1 |
|
f(t)=t∙η(t) |
|
f |
|
t |
|
0 |
|
k=2 |
|
f(t)=2tη(t) |
|
f |
|
t |
|
1 |
|
2 |
|
-1 |
|
k=− |
|
f(t)=− t∙η(t) |
|
Общий вид: f(t)=k∙η(t) |
б) в любой произвольной точке t Î (0; +¥): y = kt + b.
|
f |
|
t |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
1 |
|
t0= 2 |
|
1) Сдвиг в точке t0 = 2 → η(t-2)
2) Уравнение прямой: Δf = 1 → k=1 Δt = 1 y = kt + b → y(t0) = 1 ∙ t0+ b 0=1∙2+b b=−2 y=t−2 |
|
f(t) = (t−2)∙η(t−2) |
IV этап – построение произвольных кусочно-непрерывных линейных функций:
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
t |
|
f |
|
1 |
|
2 |
|
0 |
|
δ=1 |
|
t0= 2 |
|
сложить |
|
f |
|
1 |
|
1 |
|
t |
|
t |
|
f |
|
0 |
|
0 |
|
2 |
|
3 |
|
1 |
|
4 |
|
(1) |
|
(2) |
|
2 |
|
3 |
|
1 |
|
4 |
Для первого графика (1)имеем: η(t − 2) + (−1) ∙ η(t − 3) = η(t − 2)− η(t − 3).
Для второго графика (2) получается: D f = 1 и D t = 1 → k= 1
y (t0) = 1× t0+ b y = 1 × t − 2 1 = 1 ∙ 3 + b b = − 2
f(t) = (t – 2) × h (t – 3)
В итоге h (t – 2) − h (t – 3) + («почистили» место в t0 = 3) + (t – 2) × h (t – 3)
f(t) = h (t – 2) – h (t – 3) + (t – 2) × h (t – 3).
Данная совокупность задач основывается на уже сформированных в школе умениях и навыках – умении строить и преобразовывать графики функций с помощью параллельного переноса. В вузе необходимо научить студентов выполнять суперпозицию графиков функций. Предложенный выше набор задач характеризуется последовательностью в формировании основных умений; позволяет использовать единую терминологию и символику, обладает свойством структурной полноты, реализует принцип наглядности и доступности.
Выстраивая функциональную линию преобразований на функционально-графической основе, развивая эту содержательную линию школьного курса – преобразование и построение графиков функций с помощью параллельного переноса, можно добиться, как показывает наш опыт, лучшего результата в приобретении необходимых умений и навыков.