Наряду с явным заданием кривых на плоскости в декартовой системе координат Oxy, когда зависимость x от y определяется выражением , и неявным, когда x и y связаны между собой уравнением  [1], часто используется параметрическое задание. Поэтому, как и при рассмотрении графиков функций, заданных в декартовой системе координат, возникает задача эскизирования кривых, заданных параметрически. Под эскизированием графика функции (кривой на плоскости) понимают построение эскиза (наброска) графика функции (кривой на плоскости) без проведения полного исследования функции (функций или уравнений, задающих кривую) с привлечением первой и второй производной [2]. Однако такой эскиз должен достаточно точно отражать основные особенности поведения функции (кривой).

Зафиксируем на плоскости декартову прямоугольную систему координат Oxy. Множество точек плоскости, координаты которых x и y определяются непрерывными на некотором множестве  значений параметра t функциями

, называют параметрически заданной кривой. Если за параметр t принять время, то приведенные формулы определяют закон движения материальной точки на плоскости, а кривую, получающуюся при этом движении, называют траекторией.

Фиксированному значению x из первого уравнения соответствует некоторое значение t, по которому из второго уравнения можно определить значение y. При этом может оказаться, что одному значению x соответствует несколько значений параметра t и, соответственно, переменной y. В этом случае задаваемая соотношениями функция является многозначной.

Иногда возможно перейти от параметрического задания кривой к явному аналитическому виду. Для этого выражают из уравнения  параметр t через x и, подставив результат в уравнение , получают зависимость y от x ( ). Тогда задача эскизирования кривой, заданной параметрически, сводится к аналогичной задаче для явно заданной функции .

Однако такой переход не всегда возможен, или зависимость  достаточно сложна для построения кривой. В этом случае для эскизирования кривой, заданной параметрически, можно использовать вспомогательные графики. Идея построения кривой в этом случае состоит в том, что, построив два вспомогательных графика  и , искомую кривую в системе координат Oxy получают путем соединения кусков (частей) кривой соответствующих нулям, точкам экстремума и бесконечности каждой из функций  и  при одинаковых значениях параметра t.

Пример 1. Рассмотрим построение кривой, задаваемой параметрически уравнениями , этим способом.

Строим два вспомогательных графика:  (рис. 1) и  (рис. 2). График первой функции можно построить путем «сложения» [3] графика прямой x = t и гиперболы . Аналогично, складывая графики параболы  и гиперболы , получаем второй график функции.

Отметим, что из уравнения кривой видно, что она симметрична относительно оси ординат: при изменении знака t меняется только знак абсциссы и сохраняется знак и абсолютное значение ординаты. Следовательно, достаточно построить кривую только для отрицательных значений t или только для положительных значений t.

Определяем те значения параметра t, при которых либо первая, либо вторая функция достигает нулевых, экстремальных значений или не определена. Нулей (точек пересечения с осями координат) ни у одной из рассматриваемых функций нет. При  обе функции не определены, причем при приближении к этому значению с положительной части оси  обе функции принимают неограниченно большие положительные значения, а с отрицательной части оси  – вторая функция  в силу её чётности также неограниченно возрастает, а первая функция  в силу её нечётности принимает неограниченно большие отрицательные значения, т. е. неограниченно убывает.

Из построения графиков (рис. 1 и 2) видно, что функция  достигает экстремальных значений при  и , а функция  – при  и , причем абсолютные значения  и  больше, чем абсолютные значения  и . Простым перебором значений  нетрудно установить, что функция  достигает локального максимума при  (т. е. ) и локального минимума при  (т. е. ), а функция  достигает локального минимума при  (т. е. ) и  (т. е. ).

Переходим к построению искомой кривой на плоскости . При изменении параметра  от  до точки  значения  возрастают от  до , а значения  убывают от  до . Исходя из этого, для удобства изложения поставим точку М при достаточно больших в масштабе рассматриваемого графика отрицательных значениях  и положительных значениях , и точку С с координатами  и . Соединяем эти две точки плавной непрерывной кривой (см. рис. 3).

Далее, при изменении параметра  от  до  значения  и  возрастают соответственно от  до  и от  до , оставаясь одинаковыми по знаку. Отметим точку А( , ) и соединим точки А и С. При изменении параметра  от  до 0 значения  убывают от  до , а значения  возрастают от  до , также оставаясь неизменными по знаку. Поставим точку N, имеющую достаточно большие в масштабе рассматриваемого графика отрицательные координаты по  и положительные по . Соединяем точки А и N непрерывной кривой так, чтобы она на всем своём протяжении лежала выше кривой MC, так как одинаковым отрицательным значениям  на графике функции  (см. рис. 1) соответствуют большие положительные значения  правее точки , чем левее неё, на графике функции  (см. рис. 2) и, как следствие, на кривой AN, чем на кривой MC.

Вторую ветвь искомой кривой, лежащую в первом квадранте, можно построить аналогично или, с учётом установленной выше симметрии, отразив симметрично относительно оси ординат построенную кривую.

Пример 2. Построить на плоскости кривую, заданную параметрически следующими уравнениями .

Как и в примере 1, строим два вспомогательных графика: (рис. 4) и (рис. 5).

Графиком первой функции является парабола, проходящая через начало координат, с ветвями, направленными в положительную сторону оси Оt [4]. График второй функции можно простроить, например, перемножением трех функций, графиками которых являются прямые  [5].

Отметим, что обе функции  и  определены при всех значениях параметра t. Функция  принимает нулевое значение в точке t = 0, которая является также точкой ее минимума. Функция  обращается в ноль в точках t = 0 (так как функция  в этой точке обращается в ноль), t = 1 (так как функция  в этой точке обращается в ноль) и t = 2 (так как функция  в этой точке обращается в ноль). В точке , расположенной между точками t = 0 и t = 1, функция  достигает максимального значения, а в точке , расположенной между точками t = 1 и t = 2, – минимального значения.

Отметив особенности поведения графиков вспомогательных функций и определив их характерные точки, приступаем к построению искомой кривой на плоскости  (рис. 6).

При изменении параметра t от  до 0 значения x убывают от  до 0, а значения y возрастают  до 0. Поэтому поставим точку М при достаточно больших в масштабе рассматриваемого графика положительных значениях x и отрицательных значениях y и соединим ее с точкой О – началом координат, непрерывной прямой.

Далее, при изменении параметра t от 0 до a значения x и y возрастают от 0 до соответственно  и . Отметим точку  и соединим точки О и А. При изменении параметра t от a до 1 значения x продолжают возрастать, достигая при  значения , а значения y убывают от  до 0 при . Отметим точку , соответствующую значениям  и , и соединим ее с точкой А. Дальнейшее увеличение параметра t от 1 до b приводит к уменьшению значений y от 0 до  при увеличивающихся значениях x от 1 до . Отметим точку  и соединим ее с точкой  плавной непрерывной кривой. И наконец, при изменении параметра t от b до  значения x и y возрастают соответственно от  до  и от  до , причем при  значение x равно 4, а значение y – 0 (точка ). Поэтому поставим точку N при достаточно больших в масштабе рассматриваемого графика положительных значениях x и y. Соединяя точки B,  и N, получаем окончательный вид искомой кривой.

Другой способ построения состоит в представлении функций, параметрически задающих кривую на плоскости, в виде вектора.

Пример 3. Рассмотрим построения кривой, задаваемой уравнениями: , этим способом.

Будем рассматривать значения  и  как координаты некоторого вектора, записывая их, как это принято, в столбец. Тогда правую часть рассматриваемых уравнений можно представить в виде суммы векторов, задаваемых столбцами своих координат:

.

Рассмотрим, как изменяется вектор  в зависимости от параметра . Очевидно, что вектор  представляет собой вектор единичной длины (в силу того, что ), приложенный к началу координат – точке О. При этом при фиксированном значении  он образует угол , откладываемый против часовой стрелки (в положительном направлении) от положительного направления оси . Таким образом, конец вектора  при изменении параметра  пробегает единичную окружность с центром в начале координат. Координата же  вектора  по сравнению с соответствующей координатой вектора  увеличивается в два раза, а  – в четыре раза. Следовательно, искомую кривую (см. рис. 7) образуют концы векторов, координаты которых при фиксированном значении , равном , увеличиваются, соответственно, в два (координата ) и в четыре (координата ) раза по сравнению с соответствующими координатами соответствующих единичных векторов с началом в точке О (0;0). Из рис. 7 видно, что полученная кривая является эллипсом с полуосями, равными двум и четырем. Убедиться в этом можно, подставив в каноническое уравнение эллипса  вместо  и  координаты рассматриваемого вектора.

Продолжая построение заданной кривой, прибавим к вектору  постоянный (не зависящий от ) вектор с координатами . Исходя из правила сложения векторов в координатной форме, заключаем, что координата  всех точек полученного эллипса увеличивается на одну единицу, а координата  – на пять единиц, что, в свою очередь, эквивалентно смещению этого эллипса на одну единицу в положительном направлении оси  и на пять единиц в положительном направлении оси . Окончательный вид искомой кривой показан на рис. 8.

Пример 3. Построить на плоскости кривую, заданную параметрически следующими уравнениями  (Циклоида).

По аналогии с примером 1 представим заданные уравнения в векторном виде:

.

Рассмотрим первое слагаемое в правой части последнего выражения – вектор . При изменении параметра t от  до  конец этого вектора лежит на прямой , так как первая его координата x изменяется от  до , а вторая координата y остается постоянной и равной 1. Конец вектора , представляющего собой второе слагаемое в рассматриваемом векторном выражении, как было показано в примере 1, пробегает единичную окружность с центром в начале координат.

Зафиксируем некоторое значение t, равное . Известно, что угол в  радиан соответствует длине дуги единичной окружности – . Пусть центр единичной окружности находится в точке  с координатами  (рис. 9) и эта окружность имеет возможность «катиться» без проскальзывания по оси  так, что ее центр перемещается по прямой . Тогда, если окружность «откатится» на расстояние  в положительном направлении оси , то ее центр переместится в точку  с координатами , что соответствует значению первого слагаемого в уравнении, задающем искомую кривую, при . Вектор с координатами  представляет собой единичный вектор , образующий угол  с отрицательным направлением оси  и отложенный в отрицательном направлении, т. е. по часовой стрелке. Таким образом, этот вектор совпадает с вектором , где точка А₁ принадлежит «катящейся» окружности. Следовательно, искомый вектор  получается сложением векторов, первый из которых соединяет начало координат и центр «катящейся» окружности , а второй представляет собой вектор , где точка  будет концом вектора . Соединяя полученные таким образом точки , получаем искомую кривую, которую называют циклоидой.

Нетрудно заметить, что циклоида представляет собой не ограниченную в направлении оси  и ограниченную в направлении оси  периодическую функцию, описываемую точкой окружности (колеса), катящейся без проскальзывания по оси .

В некоторых случаях для более точного построения кривых, заданных параметрически на плоскости, целесообразно выяснить вопрос о существовании асимптот и, в случае утвердительного ответа, найти эти асимптоты. Если кривая, задаваемая уравнениями , имеет вертикальную асимптоту при , то , в то время как . При этом уравнение вертикальной асимптоты будет . Для существования наклонной (в частности, горизонтальной асимптоты) необходимо, чтобы . Если при этом существуют и конечны пределы:  и , то кривая имеет наклонную асимптоту, уравнение которой . (В частности, если , то кривая имеет горизонтальную асимптоту.) [6]

Например, для кривой, задаваемой уравнениями , имеем  (способы вычисления пределов см. [7]). Таким образом,  – вертикальная асимптота.

Найдем наклонные асимптоты: , следовательно, при  могут быть наклонные асимптоты. Определяем коэффициенты k и b при :

и при :

.

Таким образом, наклонные асимптоты имеют уравнения:  и .

Варианты для самостоятельной работы студентов

Построить эскизы кривых на плоскости, заданных параметрически.