Full text

Применение графического метода при решении задач с параметром, в частности при решении задачи 18 Единого государственного экзамена по математике (профильный уровень), позволяет сделать решение более сжатым и алгоритмичным. Умение изобразить графически кривые второго порядка [1–3] часто помогает при решении различных задач с параметрами. В первую очередь это относится к задачам, связанным с определением количества решений систем уравнений в зависимости от параметра. Применение графического метода помогает либо полностью решить задачу, либо существенно упростить решение. И даже при аналитическом решении задачи понимание графического смысла исследуемых уравнений и умение изобразить соответствующий чертеж позволяет убедиться в правильности полученного решения. Отметим, что решение одной задачи различными способами, например аналитическим и графическим, дает возможность показать учащимся одну из эстетических граней математики. Ниже разобраны некоторые примеры решения задач с параметром графическим методом с применением кривых второго порядка.

Пример 1. Найдите число решений, которое имеет система уравнений в зависимости от параметра:.

Решение. Очевидно, что при отрицательном  первое уравнение системы решений не имеет, так как сумма квадратов не может быть отрицательной. При  первое уравнение имеет единственное решение , которое не удовлетворяет второму уравнению.

Рассмотрим теперь случай . Применим графический метод. Все точки, являющиеся решениями первого уравнения, принадлежат окружности  центром в начале координат, радиуса . Решения второго уравнения лежат на квадрате, вершинами которого являются точки (1;0), (0;1), (–1;0), (0;–1). Изобразим эти линии на чертеже (рис. 1). Решениями системы будут все точки пересечения окружности и квадрата. Очевидно, что, пока радиус окружности мал, она квадрат не пересекает. Впервые она касается окружности сразу в четырех точках (одна из них – точка А). При этом радиус окружности равен , т. е. . При увеличении радиуса окружность пересекает квадрат дважды на каждой его стороне, всего в восьми точках. Когда окружность пройдет через вершины квадрата (радиус равен 1), точек пересечения будет четыре, а при дальнейшем увеличении радиуса точек пересечения не будет.

Ответ:

при  система не имеет решений;

при  система имеет четыре решения;

при  система имеет восемь решений.

 

 

Рис. 1

 

Пример 2. Решить систему уравнений при всех значениях параметра :

.

Решение. Выделив полные квадраты, получим: .

Первое уравнение описывает окружности с центром в точке и радиусами, равными . Второму уравнению соответствует гипербола с асимптотами , , центр гиперболы – точка с координатами , ось – вертикальная прямая  (см. рис. 2).

 

Рис. 2

 

При каждом значении параметра решением системы уравнений будут координаты общих точек окружности и гиперболы.

Пока окружность имеет радиус меньший 2, общих точек у гиперболы и окружности нет. Значит, при  решений у системы нет.

При  окружность касается верхней ветви гиперболы в точке (1;4), ее координаты дают единственное решение системы в этом случае.

При  окружность пересекает одну ветвь гиперболы в двух точках. Исключив переменную , для другой переменной получаем квадратное уравнение . В данном случае подходит только один из его корней: , при этом .

При  к двум полученным выше решениям добавляется точка , в которой окружность касается нижней ветви гиперболы.

При  точек пересечения четыре.

Ответ:

при  решений нет;

при  единственное решение (1;4);

при  система имеет два решения:

;

при  – три решения (–1;2); ;

при  – четыре решения

; .

 

Пример 3. Найти наименьшее значение , при котором система имеет одно решение: .

Решение. Первое уравнение системы удобно представить в виде .

Это уравнение задает семейство окружностей постоянного радиуса, равного 1, причем центры окружностей лежат на прямой  (рис. 3).

 

Рис. 3

 

Построим также график функции . Система имеет единственное решение, когда окружность из описанного семейства пересекает его в единственной точке. Таких положений окружности четыре. По условию задачи надо выбрать из них такое, при котором значение параметра наименьшее. Очевидно, что это будет окружность, у которой абсцисса центра наименьшая – окружность с центром в точке . Для нее . Из треугольника . Отсюда . Тогда из . Итак, . Поскольку положению центра соответствует , то получаем .

Ответ: .

Пример 4. Решить неравенство.

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

 

На координатной плоскости  первая система задает множество точек первого и четвертого координатных углов, одновременно лежащих внутри круга с центром и радиусом и вне круга с центром и радиусом 1. Вторая система – множество точек, одновременно лежащих вне первого круга, но находящихся во втором. Все решения исходного неравенства являются точками заштрихованной области (рис. 4).

 

 

Рис. 4

 

Заметим, что горизонтальная прямая  пересекает окружности в точках с абсциссами: , , .

Теперь, пользуясь рис. 4, несложно выписать ответ.

Ответ:

если , то ;

если , то  или ;

если , то нет решений.

Пример 5. При каких значениях параметра  система имеет два различных решения ?

Решение. Первому уравнению системы на плоскости  соответствует семейство окружностей радиуса , центры которых, имеющие координаты , расположены на вертикальной прямой  (рис. 5).

 

 

Рис. 5

 

Второе уравнение имеет смысл только при (в противном случае в знаменателе будет ноль), при это уравнение не имеет решений (левая часть обращается в ноль). При положительных значениях решениями этого уравнения являются все пары чисел , связанные соотношением . Геометрической иллюстрацией этого соотношения является луч – биссектриса четвертого координатного угла, исключая начало координат. Представим себе, что окружность перемещается так, что ее центр движется по прямой  (например, снизу вверх). Окружность и луч не имеют общих точек, пока при  окружность не коснется луча. В этой точке система имеет единственное решение. При движении окружности вверх по прямой окружность пересекает луч в двух точках, пока (при ) одной из точек пересечения не станет начало координат, которое уже не принадлежит рассматриваемому лучу. При увеличении параметра  система имеет одно, а затем ни одного решения. Таким образом, два решения возможны лишь при .

Ответ: .

 

Пример 6. Исследовать количество решений системы уравнений в зависимости от значений параметра . Выписать соответствующие решения.

.

Решение. Чтобы представить, какие кривые на плоскости задаются уравнениями, входящими в систему, выделим полные квадраты. В первом уравнении соберем слагаемые таким образом:  или . На плоскости этому уравнению соответствует окружность с центром в точке и радиусом, равным 2.

Второе уравнение преобразуется так:  или .

Кривая на плоскости, соответствующая этому уравнению, зависит от значения параметра.

При  уравнение имеет вид . Представив как разность квадратов, получим . Уравнение выполняется, если хотя бы один из сомножителей равен нулю, т. е. имеет место совокупность . На плоскости это пара прямых, которые пересекаются в точке . При каждом значении второе уравнение исходной системы можно записать в таком виде: .

На плоскости оно задает гиперболу, для которой рассмотренные прямые являются асимптотами. Расстояние от точек пересечения ветвей гиперболы с ее действительной осью равно . Каждым двум значениям параметра, равным по модулю, но отличающимся знаком, соответствует одна и та же гипербола. Решением исходной системы являются координаты точек пересечения окружности и гиперболы, получающиеся для каждого конкретного значения параметра (прямых для ) (рис. 6).

 

 

Рис. 6

 

Рассмотрим такое положение гиперболы, при котором правая ее ветвь касается окружности (это происходит при ), единственная общая точка гиперболы и окружности имеет координаты .

Если , то ветви гиперболы удаляются от центра, общих точек нет, а значит, нет решений у системы.

Пусть теперь , окружность пересекает только правая ветвь гиперболы, точек пересечения две. Чтобы найти их координаты, исключим переменную , вычтя второе уравнение исходной системы из первого. Получим квадратное уравнение , его корни  и . Подходит только больший из них, а именно . Ему соответствуют два значения , которые получаются, если подставить в любое из исходных уравнений. Так, из первого уравнения следует . После преобразований получим

и .

Итак, при  два решения: , .

При  левая ветвь гиперболы касается окружности в точке с координатами , и есть еще две точки пересечения, их координаты . При уже обе ветви гиперболы пересекают окружность, точек пересечения четыре:

, , , .

Ответ:

при  решений нет;

при  единственное решение ;

при  два решения ;

при  три решения ; ;

при  четыре решения

 , .

 

Пример 7. При каких значениях параметра система уравнений имеет единственное решение: ?

Решение. Выделяя полные квадраты и приводя уравнения к каноническому виду, получим:

.

Первое уравнение описывает эллипс с центром в , с полуосями длины 2 и 3. Второе уравнение определяет окружность радиуса, центр которой, точка , перемещается по действительной оси. Требуется выяснить, при каком положении окружности она имеет с эллипсом только одну общую точку.

 

Рис. 7

 

На рис. 7 показаны все такие положения. Абсцисса центра такой окружности и есть требуемое значение параметра.

Ответ: система имеет единственное решение при .

В качестве дополнительных задач для самостоятельного решения можно предложить следующие [4–6]:

  1. Определить количество решений системы в зависимости от параметра:

.

  1. Определить количество решений системы в зависимости от параметра:

.

  1. Определить количество решений системы в зависимости от параметра:

.

  1. При каких значениях параметра система имеет два различных решения? Найти эти решения.

.

  1. Определить количество решений системы в зависимости от параметра:

.

  1. При каких значениях параметра система уравнений имеет ровно 3 различных решения? Не имеет решений?

.

  1. Решить систему уравнений при всех значениях параметра .

.

  1. Определить количество решений системы в зависимости от параметра:

.