Faniya AhmetovaРанее в статье [1] была изложена методика построения графиков линейных функций, содержащих знак модуля. Усложним задачу. Рассмотрим графики функций, заданных в виде суммы или разности нескольких функций, также содержащих знак модуля. Приведем некоторые теоретические сведения из [2], необходимые для дальнейшего изложения.
Определение. Функцией называется закон (соответствие или правило) , по которому каждому элементу из множества ставится в соответствие единственный элемент из множества .
Иногда говорят короче: однозначная функция – это закон отображения множества на множество . Множество называют обычно областью определения функции, а множество – множеством значений функции.
Определение. Функция называется однозначной, если каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции.
Определение. Множество значений , при которых функция определена (существует), называется областью определения функции.
Для обозначения области определения функции обычно используют обозначение или .
Определение. Множеством значений функции называют все значения, которые принимает переменная .
Для обозначения множества значений функции обычно используют символ или .
Обобщением понятия однозначной функции является многозначная функция, которая допускает наличие нескольких значений функции для одного аргумента.
Определение. Многозначной функцией называется закон (соответствие или правило) , по которому хотя бы одному элементу из множества ставится в соответствие более одного значения из множества .
Функция или функциональная зависимость может быть задана различными способами: таблицей, аналитически или графически. Часто используется аналитический способ задания функции (т. е. через формулу, устанавливающую зависимость между переменными и ).
Под графиком функции будем понимать множество точек плоскости , прямоугольные декартовые координаты которых и удовлетворяют уравнению . Напомним, что ось в прямоугольной декартовой системе координат называется осью абсцисс, а ось – осью ординат.
По графику функции можно определить ее область определения и область значения. Для нахождения области определения нужно спроектировать график функции на ось абсцисс, а для нахождения области значений функции – на ось ординат.
Так как целью статьи является не просто рассмотрение функций, а построение графиков функций, содержащих знак модуля, введем это понятие.
Определение. Модулем числа называется выражение:
Как видно из определения, модуль всегда является положительной величиной.
Пользуясь определением модуля, можно записать следующие равенства:
Замечание 1. Отметим, что функция является четной – это легко проверить. Действительно, . Следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат. Это свойство поможет нам при построении графика функции .
Замечание 2. Функция неотрицательна.
Следовательно, график данной функции расположен не ниже оси абсцисс. Данным свойством также будем пользоваться при построении графиков.
Методы построения графиков функций, заданных в виде суммы или разности нескольких линейных функций, содержащих знак модуля
Методы построения таких графиков в корне отличаются от методов, описанных в [3]. Сформулируем вначале общий алгоритм построения графиков линейных комбинаций функций с модулем, а затем рассмотрим его применение на конкретных примерах.
Рассмотрим две функции вида: , .
1-й шаг: разобьем числовую ось на промежутки точками, в которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль.
2-й шаг: в каждом из полученных промежутков раскроем модуль с нужным знаком и выпишем аналитическое представление функции для каждого из промежутков.
3-й шаг: построим в каждом из промежутков график соответствующей функции.
Рассмотрим случай, тогда числовая ось разобьется на следующие промежутки: . Разберем первую функцию, представленную в виде суммы двух модулей: .
При , , , следовательно, функция примет вид . Графиком данной функции является прямая с угловым коэффициентом .
При , , , следовательно, функция примет вид . Графиком данной функции является прямая, параллельная оси абсцисс.
При , , , следовательно, функция примет вид . Графиком данной функции является прямая с угловым коэффициентом .
Таким образом, запишем общий вид функции:
Приведем график первой разобранной функции (рис. 1).
Рис. 1. График функции
Замечание 3. График таких функций будем называть «корытом».
Замечание 4. В случае описанный метод построения графика остается прежним.
Проиллюстрируем изложенный метод на примере.
Пример 1. Построить график функции .
Здесь , , .
1-й шаг: имеем три промежутка: .
2-й шаг: при , , , следовательно, функция примет вид .
При , , , следовательно, функция примет вид .
При , , , следовательно, функция примет вид . В точке , . В точке , .
3-й шаг: строим график (рис. 2) функции
Рис. 2. График функции
Рассмотрим теперь вторую функцию, представленную в виде разности двух модулей: .
При , , , следовательно, функция примет вид . Графиком данной функции является прямая, параллельная оси абсцисс.
При , , , следовательно, функция примет вид . Графиком данной функции является прямая с угловым коэффициентом .
При , , , следовательно, функция примет вид . Графиком данной функции вновь является прямая, параллельная оси абсцисс.
Таким образом, запишем общий вид функции:
Приведем график второй разобранной функции (рис. 3).
Рис. 3. График функции
Замечание 5. Графики таких функций будем называть «ступеньками».
Замечание 6. В случае алгоритм построения графика остается прежним. Отличие заключается в том, что на промежутке получим прямую с угловым коэффициентом . На двух остальных промежутках также будут прямые, параллельные оси абсцисс.
Проиллюстрируем изложенный метод на примере.
Пример 2. Построить график функции .
Здесь , , .
1-й шаг: имеем три промежутка на числовой оси: .
2-й шаг: при , , , следовательно, функция примет вид . Графиком этой функции является прямая, параллельная оси абсцисс.
При , , , следовательно, функция примет вид . Графиком данной функции является прямая с угловым коэффициентом .
При , , , следовательно, функция на этом промежутке имеет вид . В точке , . В точке , .
3-й шаг: строим график (рис. 4) функции
Рис. 4. График функции
Овладение навыками построения графиков будет полезным при выполнении целого спектра задач. Более того, геометрическая интерпретация удобна и доступна для понимания некоторых алгебраических задач, которые перестают быть абстрактными и отвлеченными. Таким образом, формируется геометрическое мышление, т. е. развивается умение оперировать различными геометрическими объектами, интерпретировать алгебраические задачи геометрически.