В некоторых случаях, например при исследовании вращательных движений, для задания кривых на плоскости удобно использовать полярную систему координат [1]. Поэтому, как и при рассмотрении графиков функций, заданных в декартовой системе координат, возникает задача эскизирования кривых, заданных в полярной системе координат. Под эскизированием графика функции (кривой на плоскости) понимают построение эскиза (наброска) графика функции (кривой на плоскости) без проведения полного исследования функции (функций или уравнений, задающих кривую) с привлечением первой и второй производной [2]. Однако такой эскиз должен достаточно точно отражать основные особенности поведения функции (кривой).

Известно, что положение любой точки на плоскости можно задать при помощи различных систем координат. Для определения полярных координат зададим произвольную точку О, называемую полюсом, и луч Оp, называемый полярной осью (см. рис. 1). Выберем на полярной оси точку Е так, что длина отрезка  задает величину масштаба для измерения длин отрезков. Тогда положение произвольной точки М на плоскости характеризуется полярным радиусом , равным расстоянию от полюса О до точки М, выраженному в единицах выбранного масштаба, и полярным углом – углом, выраженным в радианах, между полярной осью и радиусом вектором . Числа  и  называют полярными координатами точки М. При этом если угол  откладывается против часовой стрелки от полярной оси, то он считается положительным и может изменяться от 0 до +∞, а если по часовой стрелке – то отрицательным и может изменяться от -∞ до 0. Для полюса (  = 0) угол  не имеет определенного значения. Для остальных точек плоскости полярный радиус всегда принимает положительные значения, так как он является длиной радиус-вектора , а полярный угол имеет бесконечно много возможных значений, отличающихся друг от друга на величину 2πn, где . Таким образом, каждой паре полярных координат , за исключением (0, ), однозначно соответствует точка на плоскости. Обратное же утверждение неверно.

Если на плоскости ввести полярную систему координат так, что полярная ось Оp совпадает с положительной осью Ox декартовой системы координат и для измерения , x и y выбраны равные единицы масштаба (рис. 2), то тогда из очевидных геометрических соотношений в прямоугольном треугольнике декартовы координаты (x, y) произвольной точки М связаны с её полярными координатами  формулами:

,

и, наоборот,

причем угол  в последней формуле выбирается в соответствии со знаками декартовых координат x и y рассматриваемой точки.

Рассматривая функциональную зависимость , заданную на некотором множестве значений j, можно построить график заданной функции. При этом рассматриваемые функции могут быть как однозначные, так и многозначные (одному значению аргумента соответствует два или более значений функции). Мы не будем разделять их, называя графики этих функций кривыми на плоскости.

Построение кривой, задаваемой уравнением , можно осуществлять по точкам. Задавая значение  из области определения рассматриваемой функции, проводим луч из полюса О под углом  к полярной оси и затем на этом луче отмечаем точку M( , ) искомой кривой, находящуюся на расстоянии  с учетом выбранного масштаба от точки О.

Для построения кривой в полярных координатах  целесообразно использовать вспомогательный график, откладывая значения  и  как значения x и y в декартовой системе координат, по двум взаимно перпендикулярным осям.

Пример 1. Построить на плоскости кривую, заданную в полярных координатах уравнением  = | | (спираль Архимеда).

Основываясь на определении модуля числа, нетрудно заметить, что в заданном уравнении при положительных значениях полярного угла  полярный радиус  совпадает с этим значением, а при отрицательных значениях – принимает противоположные по знаку, но равные по абсолютной величине полярному углу  значения.

Задавая на плоскости полярную систему координат (рис. 3), проводим из полюса O лучи, соответствующие нескольким выбранным значениям полярного угла  (например, 0, ). Откладываем в выбранном масштабе на каждом луче отрезок OM_i, равный абсолютному значению (модулю) соответствующего ему значению полярного угла . Соединяя полученные точки M_i, получаем искомую кривую (рис. 3). Заметим, что, во-первых, полученная кривая состоит из двух бесконечных ветвей, одна из которых раскручивается против хода часовой стрелки (  > 0), а другая – по ходу часовой стрелки (  < 0); во-вторых, она симметрична относительно полярной оси, на которой лежат точки пересечения двух ее ветвей и, в-третьих, расстояние между двумя соседними точками пересечения любого луча с началом в точке О с одной из ветвей равно .

Пример 2. Построить на плоскости кривую, заданную в полярных координатах уравнением  = 3(sin + 1) (кардиоида).

По заданному уравнению строим вспомогательный график (рис. 4), расположив оси  и  как соответственно оси  и  декартовой системы координат и выбрав необходимые масштабы по этим осям [3].

Заметим, что построенный график является периодическим с периодом, равным 2π. Таким образом, достаточно найти точки, принадлежащие кривой лишь в пределах одного периода, например в диапазоне  от 0 до 2π (рис. 5).

Для этого выбираем на оси  несколько точек  в пределах выбранного интервала, например 0; π/16; π/8; 3π/16; π/4; и т. д. Для каждого значения  находим по вспомогательному графику соответствующий ему отрезок . Вычисляем или замеряем его длину. Откладываем на луче, образующем угол с полярной осью Оp, отрезок ОМ_к длиной равной  (рис. 6).

Точка М_к будет принадлежать искомой кривой. Для рассматриваемого уравнения, например, точке  соответствует отрезок  длиной равной трем, точке  – отрезок  длиной равной ( ) ≈5,1, точке  – отрезок длиной равной шести и т. д. (рис. 5). Соединяя плавной кривой точки М_0, М_1, М₂, М₃ и т. д., получаем искомую кривую, которую называют кардиоида (рис. 6).

Пример 3. Построить на плоскости кривую, заданную в полярных координатах уравнением  (лемниската Бернулли).

Заметим, что угол  не может принимать значения в интервалах от  до , , т. е. те значения, при которых  меньше нуля, так как правая часть данного уравнения должна быть неотрицательна. Таким образом, в указанных интервалах точек, принадлежащих искомой кривой, не будет. Учитывая это, так же как и в примере 2, строим вспомогательный график (рис. 7), откладывая значения  и соответствующие им значения  по двум взаимно перпендикулярным осям, как значения x и y в декартовой системе координат [4]. Отметим, что график построенной функции является периодическим, с периодом равным . Таким образом, с учетом выявленных особенностей исследуемого графика функции, достаточно найти точки, принадлежащие кривой, только, например, в интервале значений  от  до  и от  до  (рис. 8).

Выбираем на оси  несколько точек  в указанном интервале, например    и т. д. Для каждого значения  находим по вспомогательному графику соответствующий ему отрезок . Вычисляем или замеряем его длину. Откладываем на луче, образующем угол  с полярной осью Op, отрезок ОМ_к длиной равной  (см. рис. 9). Точка М_к будет принадлежать искомой кривой. Для рассматриваемого уравнения, например, точке  соответствует отрезок  длиной равной нулю, точке  – отрезок  длиной равной двум, точке  – отрезок  длиной равной , точке  соответствует отрезок  длиной равной нулю и т. д. (рис. 8). Соединяя плавной кривой точки М_0, М_1, М₂, М₃ и т. д., получаем искомую кривую, состоящую из двух лепестков, которую называют лемниската Бернулли.

Анализируя проведенное построение кривой (вид вспомогательного графика, получающиеся значения  и ), можно заключить, что она имеет две оси симметрии: полярная ось и прямая, проходящая через полюс перпендикулярно полярной оси.

При необходимости более точного построения кривой, заданной в полярной системе координат, можно увеличить число точек , а в некоторых случаях бывает целесообразно задавать значения  неравномерно, сгущая их на тех интервалах вспомогательного графика функции, на которых производная функции резко изменяется, т. е. функция сильно возрастает или сильно убывает.

Построить эскизы кривых на плоскости, заданных в полярной системе координат.