Research methodology on alternating number series convergence

Рядом в математике называется выражение вида , составленное из чисел, занумерованных в определенном порядке, которые называются членами ряда. Многоточие, в котором и заключается суть ряда, указывает, что выражение не имеет последнего слагаемого, за каждым слагаемым всегда стоит следующее. Таким образом, ряд есть бесконечная сумма.

Четкое определение сходимости ряда, основанное на понятии предела последовательности частичных сумм, появилось лишь в конце XIX в. Тогда же началось систематическое изучение рядов. Заметим, что все рассмотренные ряды имели ясный и вполне определенный закон образования их членов. Обычно ряд задается формулой -го члена ряда , его называют общим членом ряда. Из этой формулы подстановкой вместо  определенного значения – номера члена ряда – находят слагаемое, имеющее этот номер.

При сложении конечного числа слагаемых всегда получается определенный числовой результат, вычислить же сумму бесконечного числа слагаемых, вообще говоря, не сможет ни человек, ни машина, поскольку процесс сложения членов ряда (по самому определению) никогда не кончается. Поэтому записанное выше выражение – это лишь некий математический символ, которому надлежит придать определенный смысл [1].

Если все члены ряда , то ряд называется знакоположительным, если же все члены ряда , то ряд называется строго положительным. Сумма первых  слагаемых называется частичной суммой ряда; . Для положительного ряда очевидно, что , т. е. последовательность частичных сумм оказывается возрастающей. Вспоминая теорему о пределе монотонной последовательности, приходим к следующему основному в теории положительных рядов утверждению.

Положительный ряд всегда имеет сумму. Если эта сумма конечна, то ряд будет сходящимся; а если бесконечна, то ряд – расходящийся. Все признаки исследования знакоположительных рядов на сходимость и расходимость основаны на этой теореме. Основные определения, формулировки и признаки исследования на сходимость таких рядов представлены в литературе [2–4].

Ряды, члены которых могут иметь произвольные знаки, называются знакопеременными. Пусть имеем знакопеременный ряд  (  имеют произвольные знаки). Ряд, составленный из модулей членов этого ряда, обозначим . Между этими рядами существует связь.

Определение. Если сходится ряд , то сходится и знакопеременный ряд , и он называется абсолютно сходящимся. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей его членов  (теорема об абсолютной сходимости).

Из расходимости ряда  нельзя сделать вывод о сходимости или расходимости ряда . Он может сходиться или расходиться.

Определение. Если знакопеременный ряд сходится, а ряд  расходится, то ряд исходный называется неабсолютно сходящимся или условно сходящимся.

Из сказанного следует:

1)     исследование знакопеременного ряда на сходимость удобно начинать с исследования на сходимость ряда из модулей , потому что сразу можно получить ответ;

2)     исследовать знакопеременный ряд на сходимость – значит ответить на вопрос, сходится ли ряд, и если сходится, то как – абсолютно или условно.

Первоначальная схема исследования может иметь вид:

   сходится – исходный ряд сходится абсолютно

  расходится  исходный ряд надо исследовать дальше.

Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних члена ряда имеют противоположные знаки. Знакочередующийся ряд можно записать в виде , .

Основным свойством абсолютно сходящегося числового ряда является возможность перестановки членов этого ряда без изменения сходимости, т. е. свойство, в силу которого от перестановки членов в абсолютно сходящемся ряде сумма не меняется [5].

Теорема. Если ряд сходится абсолютно, то любой ряд , полученный из  изменением порядка следования членов, тоже сходится абсолютно. Более того, он имеет ту же сумму.

Условно сходящийся ряд содержит бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов, так как в противном случае он сходился бы абсолютно. И теорема о перестановке членов ряда для таких рядов несправедлива. Приведем пример.

Пример 1. Найдем сумму ряда ...... Этот ряд сходится к числу . В самом деле, по формуле Маклорена имеем:

, где , .

Положив в этой формуле , получим, что исследуемый ряд сходится к числу . Ряд из модулей расходится как гармонический. Тогда исходный ряд сходится условно к .

Рассмотрим теперь ряд, полученный из исходного перестановкой членов:

.

После перестановки членов ряда получилась половина суммы исходного ряда.

Итак, в неабсолютно сходящемся числовом ряде от перестановки его членов сумма ряда может меняться и переставить члены можно таким образом, что получится сумма ряда, равная наперед заданному числу.

Более того, можно доказать следующий результат: если в ряде ...... члены ряда переставить так, чтобы после группы  последовательных положительных членов стояла группа  последовательных отрицательных членов, то сумма ряда будет равна .

Для знакочередующихся рядов существует меньше признаков для исследования на сходимость, чем для знакоположительных рядов.

Признак Лейбница. Если все члены знакопеременного ряда монотонно убывают по абсолютной величине <  ( ) и общий член ряда стремится к 0 ( ), то ряд сходится.

Замечание. При замене суммы ряда сходящегося знакочередующегося ряда суммой  его первых членов ошибка не превышает абсолютного значения первого из отброшенных членов ряда, т. е. .

Все три условия признака Лейбница: 1) знакочередование членов ряда, 2) монотонное убывание членов ряда, 3)  – существенны [6].

Полезные советы. При доказательстве на монотонную убываемость членов ряда можно воспользоваться следующими приемами: 1) < 1, 2) < 0, 3)   – и показать, что  < 0.

При исследовании знакочередующегося ряда на сходимость можно предложить следующую наглядную схему:

                    сходится данный ряд сходится абсолютно

расходится

признак Лейбница

     не выполняется                 выполняется

данный ряд расходится

по необходимому признаку

Кроме признака Лейбница при исследовании знакопеременных числовых рядов используются признаки Дирихле и Абеля.

Признак Дирихле. Знакопеременный ряд  сходится хотя бы условно, если:

1)     частичные суммы ограничены, т. е. ;

2)     числа , ( ) образуют монотонную последовательность, стремящуюся к 0.

Замечание. Признак Лейбница является частным случаем признака Дирихле.

В самом деле, , , и для полученного ряда выполнены все условия признака Лейбница.

Признак Абеля. Ряд  сходится хотя бы условно, если:

1)     сходится ряд ;

2)     числа  образуют монотонную ограниченную последовательность.

Разберем теоретический материал на примерах [7, 8].

Пример 2. Исследуем на сходимость ряд .

Составим ряд модулей . Этот ряд сходится по признаку Коши: < 1. Тогда исходный ряд сходится абсолютно по теореме об абсолютной сходимости.

Пример 3. Исследуем на сходимость ряд .

Составим ряд модулей .

По признаку Коши < 1. Ряд модулей сходится по радикальному признаку Коши. Тогда исходный ряд сходится абсолютно по теореме об абсолютной сходимости.

Пример 4. Исследуем на сходимость ряд .

Составим ряд модулей . Используем необходимый признак: . Необходимый признак не выполняется, . Ряд не удовлетворяет и признаку Лейбница. Исходный ряд расходится.

Пример 5. Исследуем на сходимость ряд .

Составим ряд модулей . Этот ряд расходится как ряд Дирихле с < 1. Тогда исходный ряд проверяем по признаку Лейбница: общий член ряда стремится к 0 ; члены ряда монотонно убывают. Покажем это, составив функцию, по которой образуются члены ряда, если . Эта функция . Ее производная < 0, что показывает монотонную убываемость членов ряда, если вместо  подставлять , то есть каждый последующий член ряда меньше предыдущего члена.

Ряд сходится условно, так как он удовлетворяет признаку Лейбница, и при этом ряд модулей расходится.

Пример 6. Исследуем на сходимость ряд .

Составим ряд модулей . Это ряд гармонический, он расходится. Ряд модулей расходится. Тогда исследуем исходный ряд по признаку Лейбница.

Проверим выполнение двух пунктов этого признака: 1) общий член ряда стремится к 0 ; 2) покажем монотонную убываемость членов ряда. Для этого составим функцию, по закону которой получаются члены ряда . Ее производная , а значит, каждый последующий член ряда меньше предыдущего члена.

Ряд удовлетворяет признаку Лейбница, поэтому он сходится. Но эта сходимость условная, так как ряд модулей расходится. Ряд сходится условно.

Пример 7. Исследуем на сходимость ряд  при условии, что невозрастающая последовательность  стремится к 0.

Если , то  при всех  и ряд сходится.

Пусть . Докажем, что частичные суммы ряда  ограничены в совокупности. Пусть . Тогда

.

Итак, .

Отсюда, учитывая, что  и, следовательно , получаем

, . Таким образом, для любой невозрастающей последовательности , являющейся бесконечно малой при , и любом  ряд  удовлетворяет условиям признака Дирихле и поэтому сходится.

Пример 8. Исследуем на сходимость ряд .

Из предыдущего примера следует, что ряд  сходится при любом , поскольку последовательность  не возрастает и является бесконечно малой. Возрастающая последовательность  стремится к  при . Следовательно, в силу признака Абеля исследуемый ряд сходится при любом .

Подводя итог, сформулируем основные положения методики исследования на сходимость знакопеременных рядов:

1. Исследовать знакопеременный ряд на сходимость – это значит ответить на вопрос, сходится ли ряд, и если сходится, то как – абсолютно или условно.
2. Исследование знакопеременного ряда на сходимость полезно начинать с исследования на сходимость ряда из модулей , применяя необходимый и достаточные признаки.
3. Если на втором этапе доказана сходимость ряда из модулей, то исходный ряд сходится абсолютно по признаку абсолютной сходимости. Если ряд модулей расходится, то используем далее признак Лейбница, Дирихле или Абеля, и если они выполняются (общий член ряда при этом стремится к 0 и члены ряда монотонно убывают), то данный ряд сходится условно. Если признаки не выполняются, то надо исследовать структуру ряда, так как эти признаки не являются необходимыми. Если общий член ряда не стремится к 0, то исходный ряд расходится
4. Если расходимость ряда модулей доказана по необходимому признаку, то ответ готов – исходный ряд расходится.

Для самостоятельной работы и повторения практического материала можно предложить следующие задачи [9, 10].

Исследовать на абсолютную и условную сходимость данные знакопеременные числовые ряды:

 ; ; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; ;. ;

; ; ; ; ;

; ,; ;. ;

; ; ; ; ;

; ; ; ; .

Возможные варианты контрольной работы по теме «Числовые ряды»: