Methods of logarithmic inequalities solving in students’ training for the Unified State Exam in mathematics

В процессе подготовки к сдаче Единого государственного экзамена по любому предмету, в частности по математике, помимо знаний, умений, навыков от старшеклассника требуется научиться оптимальным образом использовать время, отведенное на экзамен. Рациональная организация работы с экзаменационным материалом – залог успешной сдачи экзамена.

В связи с этим особое внимание при подготовке к сдаче Единого государственного экзамена по математике профильного уровня уделяется рациональным приемам вычислений и решения математических задач. Например, при изучении темы «Решение логарифмических неравенств» старшеклассникам рекомендуют применять метод рационализации (метод декомпозиции, метод замены множителей). Изучение данного метода решения обычно завершает изучение темы «Логарифмические неравенства», когда сформированы навыки вычисления логарифмов и преобразований выражений с логарифмами, изучены свойства логарифмической функции, рассмотрены основные приемы решения неравенств данного типа. Данный метод представляет особый интерес для старшеклассников, которые готовятся к экзамену профильного уровня и имеют целью поступить в высшие учебные заведения на специальности математического, экономического и технического направлений. Рассмотрим особенности метода рационализации в применении к решению логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма, и его роль в процессе подготовки к экзамену.

Метод рационализации заключается в замене неравенств F(x) ˃ 0, F(x) ˂ 0, F(x)  0, F(x) ≤ 0 на более простые неравенства G(x) ˃ 0, G(x) ˂ 0, G(x)  0, G(x) ≤ 0 (рациональные) соответственно. Неравенство G(x) 0 равносильно неравенству F(x)  0 в области определения выражения F(x), где символ ∨ заменяет один из знаков неравенств: ˃, ˂, , (табл. 1) [1].

Таблица 1

При знакомстве с методом рационализации старшеклассники уже обладают достаточными знаниями и умениями, чтобы с помощью учителя или самостоятельно доказать любое из приведенных в табл. 1 выражений. Недопустимы рекомендации ВЫУЧИТЬ указанные переходы от выражения F( ) к G( ) (табл. 1) для применения при решении неравенств на экзамене. Необходимо учить обосновывать рассуждения, с тем чтобы будущие первокурсники были подготовлены к обучению в высшем учебном заведении. Иначе в дальнейшем студенты будут испытывать затруднения при нахождении области определения функции, применении приема логарифмирования, например при вычислении пределов, и т. д.

Докажем первую замену в табл. 1.

Доказательство

Пусть  где , , ˃ 0.

Тогда .

Если то , то есть  ˂ 0, и справедлива система неравенств

Если то , то есть  ˃0, и справедлива система неравенств

Таким образом, выражение  будет положительным как для убывающей, так и для возрастающей функции. Следовательно, справедливо неравенство ( ˃ 0.

Обратно, если выполнено неравенство ( ˃ 0 в области допустимых значений входящих в него переменных, то в этой области неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств

 и

Из каждой системы следует неравенство , то есть .

Аналогично доказываются случаи F(x) ˂ 0, F(x) 0, F(x) 0.

Приведем примеры решения неравенств методом, основанным на монотонности логарифмической функции, и методом рационализации [2].

Пример 1. Решить неравенство ˂ –1.

Решение. Область допустимых значений переменных удовлетворяет системе неравенств

(1)

Учитывая область допустимых значений переменных, рассмотрим два случая, когда логарифмическая функция с основанием x является убывающей ( ) и возрастающей ( .

1-й случай

Применим метод интервалов, получим решение системы: рис. 1).

Рис. 1

2-й случай

Решением последней системы неравенств является пустое множество.

Ответ: .

Отметим, что при решении данного неравенства можно было применить следующий равносильный переход.

Неравенство где , , ˃ 0, равносильно совокупности двух систем

Рассмотрим решение неравенства с применением методов рационализации.

Решение. Область допустимых значений переменных удовлетворяет системе неравенств (1).

Выражение где , ,  ˃ 0, можно заменить выражением ( .

Приведем исходное неравенство к виду ˂ 0.

 ˂ 0,

( - 1)(  ˂ 0,

( - 1)

( 1) .

Таким образом, с учетом области допустимых значений переменных (система (1)), решением исходного неравенства являются все , удовлетворяющие системе:

Применим метод интервалов, получим решение системы:

Ответ: .

Пример 2 [3]. Решить неравенство  1.

Решение. Область допустимых значений переменных удовлетворяет системе неравенств

(2)

 (-5; -3) (-3; 3) (3; 4) (рис. 2).

Рис. 2

Отметим, что при всех (–3; 3) функция будет возрастающей, при  (–5; –3) (3; 4) – убывающей.

Решим неравенство  .

В случае возрастающей функции получим систему неравенств

Таким образом,  (-3; 1) (см. рис. 3).

Рис. 3

В случае убывающей функции, при  (–5; –3) (3; 4), получим неравенство

после преобразований неравенство примет вид .

Рис. 4

Таким образом,  (3; 4) (рис. 4).

Ответ:  (–3; 1) (3; 4).

Теперь решим то же неравенство с применением методов рационализации.

Решение. Область допустимых значений переменных удовлетворяет системе неравенств (2), решив которую получим, что  (–5; –3) (–3; 3) (3; 4).

Представим исходное неравенство в виде 0.

Выражение вида 0, где , , можно заменить (  ˃ 0.

Перейдем к неравенству )( ) ˃ 0, выполним преобразования и получим неравенство

(3) ( )(

Изобразим на числовой прямой область допустимых значений переменных и решение неравенства (3) (рис. 5).

Рис. 5

Ответ:  (-3; 1) (3; 4).

Как видно из приведенных примеров, по трудоемкости оба метода – метод, основанный на монотонности логарифмической функции, и метод с применением приемов рационализации – практически не отличаются. И в том и в другом случае от старшеклассника требуется умение проанализировать и применить свойства логарифмической функции (область определения, монотонность). Если формулы рационализации на обобщающих уроках по теме «Логарифмические неравенства» рассматриваются с доказательством перечисленных в табл. 1 выражений, с обоснованием всех рассуждений на каждом этапе решения, с обсуждением всех возможных методов решения той или иной задачи, то такой подход, безусловно, способствует повышению уровня подготовки будущего студента-первокурсника [4–11].

В заключение приведем примеры для самостоятельного решения [12].

1)     0;

2)     0;

3)     1;

4)     ;

5)     1.