Methodical aspects of the topic presentation "Continuity of a function at a point. Points of discontinuity" in "Mathematical Analysis" course

Прежде всего, отметим, что в курсе «Математический анализ» основным объектом изучения является функция. На первых занятиях первокурсники на базе школьных знаний разбирают такие вводные понятия, как область определения, четность, нечетность функций, построение их графиков с помощью элементарных преобразований [1, 2]. Однако при рассмотрении математических моделей многих физических процессов используются функции с различным характером поведения. Они могут обладать свойствами непрерывности или иметь точки разрыва, но в любом случае для точного решения математических задач интуитивных представлений об этих понятиях недостаточно. Необходимо знать условия, при выполнении которых функция считается непрерывной, и теоремы, необходимые при решении задач [3–6].

Перейдем к рассмотрению основного определения непрерывности функции. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a числовой прямой.

Определение 1. Функцию называют непрерывной в точке , если в этой точке существует конечный предел функции и он совпадает со значением  в этой точке: .

Точку, в которой функция непрерывна, называют точкой непрерывности этой функции.

Следует отметить, что предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и правый, и левый пределы и они равны.

Определение 2. Точка  называется точкой непрерывности функции , если выполнены все следующие условия:

1. Функция определена в самой точке  (т. е. существует ) и в некоторой ее окрестности.
2. Существуют односторонние конечные пределы функции:  и .
3. Эти односторонние пределы совпадают, т. е. .
4. Совпадающие односторонние пределы равны значению функции в точке , т. е. .

Таким образом, при исследовании функции на непрерывность студент должен проверить все четыре пункта определения 2 и убедиться в их выполнении.

Полезно напомнить важные теоремы о свойствах функций, непрерывных в точке.

Теорема 1. Если функции  и  непрерывны в точке , то  (с – постоянная), сумма , произведение , и частное  (при условии что ) являются функциями, непрерывными в точке .

Теорема 2. Если функция  непрерывна в точке , а функция  непрерывна в соответствующей точке , то сложная функция  непрерывна в точке .

Таким образом, операция предельного перехода перестановочна с операцией взятия непрерывной функции, то есть .

Всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных функций, называется просто элементарной функцией. Поэтому из приведенных выше теорем и рассуждений вытекает следующее важное утверждение.

Утверждение 1. Всякая элементарная функция непрерывна в своей области определения.

Таким образом, если точка  принадлежит области определения элементарной функции, то значение предела этой функции при  совпадает с ее значением  в этой точке.

Например, , если  и .

Определение 3. Если функция  не является непрерывной в точке , то эта точка называется точкой разрыва функции , а функция  называется разрывной в этой точке.

Точки разрыва можно разделить на две группы согласно причинам, вызвавшим разрыв. Рассмотрим классификацию точек разрыва.

Определение 4. Точка разрыва  называется точкой устранимого разрыва, если в ней существует конечный предел , но в точке  функция  либо не определена, либо имеет значение , отличное от значения предела в этой точке: .

Таким образом, в точке устранимого разрыва не выполняется условие 4 из определения 2.

Название «точка устранимого разрыва» обусловлено тем, что в этой точке функцию  можно видоизменить или доопределить (если она не была определена в точке ), положив . Видоизмененная таким образом функция будет непрерывной в точке , и в этом случае говорят, что разрыв в точке  можно устранить.

Пример 1. Рассмотрим функцию . Эта функция имеет в точке  разрыв, так как она не определена в ней. Поскольку существует конечный , то точка  является точкой устранимого разрыва. График функции представлен на рис. 1.

Рис. 1. График функции

Доопределим функцию до непрерывной:

.

Измененная таким образом функция будет непрерывной на всей числовой оси.

Определение 5. Точка разрыва  называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция  имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы: .

Итак, для точки разрыва первого рода выполнено, по крайней мере, условие 2 непрерывности функции в точке. Величина  называется скачком функции в точке .

Таким образом, из определений 3 и 4 видно, что общим для точек устранимого разрыва и точек разрыва первого рода является наличие конечных пределов  и .

Пример 2. Примером функции, имеющей разрыв первого рода, может служить функция . Она является элементарной и поэтому непрерывна во всех точках своей области определения. Единственной точкой разрыва является точка , так как в ней функция не определена. Однако при  функция имеет конечные левый и правый пределы, причем эти пределы различны:

  .

Следовательно, согласно определению 5, точка  является точкой разрыва первого рода. Скачок функции в этой точке:

.

График функции в окрестности точки  изображен на рис. 2.

Рис. 2. График функции

Все остальные точки разрыва относятся к точкам разрыва второго рода.

Определение 6. Точка разрыва  называется точкой разрыва второго рода, если в ней хотя бы один из односторонних пределов функции бесконечен или не существует.

Пример 3. Хорошо известная студентам функция  является основной элементарной функцией и непрерывна во всех точках своей области определения. Следовательно, точками разрыва будут точки , так как  не существует. Чтобы определить вид точек разрыва, вычислим односторонние пределы функции:

 ,

.

Согласно определению 6, точки  являются точками разрыва второго рода. Поскольку в этом случае функция имеет бесконечные односторонние пределы, то говорят, что функция имеет бесконечный разрыв. График этой функции изображен на рис. 3.

Рис. 3. График функции

Пример 4. В качестве еще одного примера функции, имеющей разрыв второго рода, рассмотрим функцию . Она определена, а следовательно, и непрерывна всюду, кроме точки . Однако эта функция при  не имеет ни правого, ни левого предела, ни конечного, ни бесконечного.

Следовательно,  – точка разрыва второго рода.График этой функции изображен на рис. 4.

Рис. 4. График функции

Для систематизации теоретического материала и удобства восприятия классификации точек разрыва представим изложенные выше результаты в виде таблицы.

В таблице указаны разобранные выше примеры. Для лучшего закрепления материала полезно будет предложить студентам заполнить третью графу самостоятельно, подобрав соответствующие примеры.

В заключение рассмотрим функцию, которая задается различными аналитическими выражениями на разных интервалах множества изменения переменной . В этом случае необходимо дополнительно исследовать на непрерывность функцию на границах этих интервалов.

Пример 5. Исследовать на непрерывность функцию . Указать все точки разрыва и определить их характер. Дать графическую иллюстрацию.

Решение. Сразу отметим, что точками разрыва будут те точки, в которых не определены функции, входящие в выражение, задающее функцию. Кроме того, точкой возможного разрыва будет точка , поскольку в этой точке правый и левый пределы могут не совпадать.

Таким образом, имеем две точки:  – точка разрыва функции и  – точка возможного разрыва функции.

Определим характер разрыва в точке ; для этого вычислим односторонние пределы:

Поскольку пределы конечны и равны, при функция имеет устранимый разрыв.

Теперь определим характер разрыва в точке , для этого также вычислим односторонние пределы, не забывая о том, что слева и справа от этой точки функции определены по-разному:

Таким образом, оба предела конечны и совпадают; кроме того, они равны значению функции в этой точке: . Следовательно, согласно определению 1, функция непрерывна в точке . График функции в окрестностях точек разрыва изображен на рис. 5.

Рис. 5. График функции

Функцию можно видоизменить так, чтобы она стала непрерывной:

Подводя итог, можно сказать, что предложенная в статье методика позволит достаточно быстро сформировать прочные навыки решения задач на непрерывность функции в точке. Сформулируем основные положения и этапы решения:

1. Исследовать функцию на непрерывность – это значит ответить на вопрос: есть ли точки разрыва или нет? Для этого студент должен проверить все четыре пункта определения 2, убедиться в их выполнении и считать функцию непрерывной.
2. Если функция имеет точки разрыва, то необходимо определить их характер и классифицировать.
3. Если функция задана различными аналитическими выражениями на разных интервалах множества изменения переменной , то необходимо проверить левый и правый пределы в точках возможного разрыва и в точках «стыковки» функции, т. е. на границах этих интервалов.
4. Для наглядности полезно дать геометрическую иллюстрацию в окрестностях точек разрыва и на границах различных интервалов, если они имеются.

Овладение навыками исследования функций на непрерывность в точках будет полезным при выполнении целого спектра задач.