Full text

Основным методом аналитической геометрии служит метод координат. Основные понятия координатного метода и многие факты аналитической геометрии известны студенту первого курса из школьного курса геометрии. Изучение данного раздела геометрии в техническом вузе отличается большой строгостью и систематичностью, что предполагает тщательный отбор теоретического материала, его изложение в соответствии с основными дидактическими принципами – научности, систематичности, последовательности, доступности, наглядности; также требуется уделить особое внимание системе упражнений для развития и совершенствования умений и навыков.

«Чертеж – язык техники» – эти слова принадлежат Гаспару Монжу, основоположнику современной начертательной геометрии. Успешное освоение языка чертежа и технического рисунка является залогом формирования, развития и совершенствования пространственного воображения инженера, конструктора, дизайнера, а также базой для изучения многих дисциплин в вузе: черчения, деталей машин и механизмов, теоретической и строительной механики.

Практическая деятельность будущего инженера неразрывно связана с умением представить свою идею в виде чертежа. Но чертеж – это последняя стадия конструкторской работы, а рождающаяся в сознании человека новая техническая идея требует создания математической модели, графического выражения и компьютерного представления такой идеи, то есть студенту технического университета необходимо комплексное развитие математических навыков и навыков инженерной графики. Изучение начертательной геометрии формирует и развивает геометрическое мышление, умение отображать пространственные объекты в виде рисунка, чертежа или компьютерной модели на дисплее, способствует развитию пространственного воображения, без которого невозможно никакое техническое творчество.

Для успешного усвоения указанной темы студенты должны изучить следующий теоретический материал в курсах аналитической геометрии и инженерной графики.

Парабола представляет собой геометрическое место точек плоскости, которые равноудалены от заданной точки F и прямой d, не проходящей через F. Это определение называется геометрическим (рис. 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1

 

Парабола относится к линиям конических сечений, открытие которых, как полагают исследователи истории математики, принадлежит Менехму. Учение о конических сечениях развивалось Евклидом и Аполлонием Пергским, рассмотревшим в своих трудах все виды таких сечений и их свойства. Труды Аполлония примечательны тем, что представляют собой совокупность аналитической и начертательной геометрии в современном представлении.

Точка F называется фокусом параболы, прямая d – директрисой параболы, середина O перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, – вершиной параболы, расстояние p от фокуса до директрисы – параметром параболы, а расстояние p/2 – фокусным расстоянием (рис. 1). Прямую, проходящую через фокус и перпендикулярную директрисе, называют осью параболы. Отрезок FM, соединяющий произвольную точку M параболы с фокусом, называют фокальным радиусом точки M. Отрезок, который соединяет две точки параболы, называется хордой параболы. Отметим, что геометрическое определение выражает директориальное свойство параболы.

Существует также аналитическое определение параболы, согласно которому параболой называется линия, задаваемая уравнением вида:

 

y2 = 2p .                    (1)

 

Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2

 

Оба определения параболы, как аналитическое, так и геометрическое, равносильны. Действительно, рассмотрим следующую прямоугольную систему координат (рис. 2). Пусть вершина O параболы будет началом системы координат. Прямую, перпендикулярную директрисе, которая проходит через фокус, примем за ось абсцисс. Условимся, что положительным будет направление на данной оси от точки O к точке F. Прямая, перпендикулярная оси абсцисс и проходящая через вершину параболы, будет осью ординат. Направление на оси ординат выберем так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой. Составим уравнение параболы, используя её геометрическое определение.

В выбранной системе координат определяем координаты фокуса F( ;0) и уравнение директрисы x = − . Для произвольной точки M (x, y), принадлежащей параболе, имеем: FM = MMd, где Md( ;y) – ортогональная проекция точки M (x, y) на директрису.

Применим формулу расстояния между точками плоскости для точек F и M. Запишем равенство FM = MMd в координатной форме:

 

+ .

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

 

(x − )2 + y2 = x2 + p x + .

Приведем подобные члены и получим каноническое уравнение параболы:
y2 = 2p  (1), т. е. выбранная система координат является канонической.

При доказательстве обратного утверждения следует показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому параболой. Таким образом, эквивалентность аналитического и геометрического определений параболы доказана.

Рассмотрим геометрический смысл параметра p в каноническом уравнении параболы (1). Подставляя в уравнение (1) x =  , получаем: y2 = p2, т. е. y = ± p. Следовательно, параметр p – это половина длины хорды параболы, проходящей через её фокус перпендикулярно оси параболы.

Параболо́идом называется тип поверхности второго порядка в трёхмерном евклидовом пространстве. Параболоид можно определить как незамкнутую нецентральную, то есть не имеющую центра симметрии, поверхность второго порядка.

В декартовых координатах канонические уравнения параболоида имеют вид:

 

{\displaystyle z=tx^{2}+uy^{2}}

В зависимости от знаков величин t и u, а также их равенства нулю возможны следующие типы параболоидов (табл. 1).

Таблица 1

 

t {\displaystyle t}∙ u˃0 {\displaystyle u}

t = u

t {\displaystyle t}∙ u˂0 {\displaystyle u}

T= 0 или u = 0

Эллиптический параболоид

Параболоид вращения

Гиперболический параболоид

Параболический цилиндр

 

Сечения параболоида вертикальными, то есть параллельными оси {\displaystyle z}z, плоскостями общего положения являются параболами. Сечения горизонтальными (параллельными осям {\displaystyle x}x и {\displaystyle y}y) плоскостями общего положения для эллиптического параболоида представляют собой эллипсы, для гиперболического параболоида – гиперболы. Иногда сечением может оказаться прямая или пара прямых (для гиперболического параболоида или параболического цилиндра) или одна точка (для эллиптического параболоида).

Рассмотрим, какие виды параболоидов существуют.

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат Oxyz каноническим уравнением:

 

.             (2)

 

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат Oxyz каноническим уравнением .

В обоих уравнениях параметры a и b – положительные параметры, характеризующие параболоиды, причем для эллиптического параболоида a ⩾ b. И в том и в другом параболоидах начало координат называют вершиной параболоида.

Плоскость Oxz пересекает эллиптический параболоид по линии, имеющей в этой плоскости уравнение , которое равносильно уравнению  параболы с фокальным параметром  . При подстановке x = 0 в уравнение  получим уравнение сечения параболоида плоскостью Oyz. Данное уравнение равносильно уравнению  = 2qz параболы с фокальным параметром   Указанные сечения называются главными параболами эллиптического параболоида.

Уравнения сечений эллиптического параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy, можно получить, подставляя z = h, где h – произвольная постоянная (параметр), в уравнение (2).

При z = h получим:

.                         (2′)

Возможны следующие случаи, представленные в табл. 2.

Следовательно, эллиптический параболоид можно представить как поверхность, образованную эллипсами с вершинами на главных параболах (см. рис. 3) [1–2].

Методы инженерной графики позволяют задавать поверхности черчением или рисованием, то есть графически (от греч. graphos – пишу).

Эллиптический параболоид относится к разряду так называемых нелинейчатых поверхностей (см. рис. 4). Каркас его поверхности содержит параболы и эллипсы.

Таблица 2

 

Знак h

h < 0

h = 0

h > 0

 

 

 

Корни (2′)

 

 

не имеет действительных корней

 

 

имеет единственный вещественный корень

 

 

определяет эллипс, уравнение которого имеет вид

 

Полуоси эллипса равны a′=a и b′=b

 

Вид сечения

Плоскость z = h не пересекает параболоид (2)

Точка O (0;0) – вершина параболоида

Эллипс с центром на оси аппликат и вершинами на главных параболах

 

 

 

 

Рис. 3

 

Рис. 4

 

В инженерной графике поверхностью вращения называют поверхность, которая получается при вращении какой-либо образующей линии (прямой или кривой) вокруг неподвижной прямой. Неподвижная прямая носит название оси поверхности. В поверхности вращения, как правило, можно вписать шары с касанием по окружности. На чертеже поверхность вращения можно задать образующей и положением оси. При своем движении вокруг оси каждая точка образующей линии описывает окружность. Такие окружности называются параллелями. Плоскости, перпендикулярные к оси поверхности вращения, пересекают поверхность по параллелям.

Плоскость, проходящая через ось поверхности вращения, называется меридианальной плоскостью. Как следует из названия, такая плоскость пересекает поверхность по меридиану.

На рис. 5а представлен эпюр (чертеж) параболоида вращения, а на рис. 5б – его объемно-геометрическое изображение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5а            Рис. 5б

 

В случае параболоида вращения парабола (меридиан) вращается вокруг оси i, (i⊥π1). h(h’’, h’) – параллель, M∈h.

В начертательной геометрии принят кинематический способ образования поверхностей. Применение данного способа подразумевает, что поверхность рассматривается как совокупность положений в пространстве движущейся линии (образующей), а закон перемещения образующей задается направляющими линиями.

Гиперболический параболоид относится к классу линейчатых поверхностей, имеющих две направляющие и плоскость параллелизма. Эти поверхности также носят название поверхностей Каталана.

Гиперболический параболоид в инженерной графике носит также название косой плоскости, а также линейчатого параболоида. Линейчатый параболоид можно получить перемещением прямолинейной образующей по двум прямолинейным направляющим, не принадлежащим одной плоскости. На рис. 6 прямые d1(d1’’, d1’) и d2(d2’’, d2’)являются направляющими, а прямые g1(g1’’, g1’) и g2(g2’’, g2’) – образующими, параллельными плоскости параллелизма α0/ (рис. 6).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6

 

В аналитической геометрии доказывается, что косую плоскость, или гиперболический параболоид, можно получить в результате движения параболы BOB1. При этомдвижении ось симметрии параболы остается параллельной оси Z, вершина параболы перемещается по параболе AOA1, и плоскость параболы BOB1 остается параллельной плоскости XOZ. Сечение гиперболического параболоида плоскостью, параллельной XOY, является гиперболой. Если такая плоскость, параллельная XOY, проходит через вершину O, то гиперболический параболоид пересекается по двум прямым, проходящим через точку O. Сечения гиперболического параболоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям YOZ и XOZ, являются параболами. Благодаря форме, гиперболический параболоид носит также название седло (рис. 7).

                 

 

Рис. 7

 

Параболический цилиндр представлен на рис. 8. Образующая (g) и направляющая (d, парабола) парабоического цилиндра могут меняться местами друг с другом [3–9].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 8

 

Гиперболический параболоид и параболический цилиндр находят применение в архитектуре для создания крыш, покрытий и сводов. Так, крыша стадиона «Олимпийский» до реконструкции, а также крыша Цирка на проспекте Вернадского имеют форму гиперболического параболоида. На рис. 9 приведены проекции и аксонометрическая схема покрытия. Поверхность покрытия образована пересечением трех параболических цилиндров, имеющих общую точку О, и плоскостью, которая касается цилиндров по прямолинейным образующим, проходящим через вершины направляющих парабол. Отсеки цилиндров пересекаются по плоским кривым – параболам (рис. 9).

 

Рис. 9

 

Уникальные геометрические особенности параболы и параболоида обусловили их широкое применение в технике. Благодаря тому что параллельный пучок света собирается в фокусе параболы, а также если из фокуса параболы выпустить луч, то после отражения от кривой луч станет параллелен оси, параболоид вращения широко применяется в оптике. Так, форму эллиптического параболоида имеют контактные линзы. Свойства параболоида применяются и в других оптических устройствах – зеркалах, лампах, телескопах. В силу корпускулярно-волновой природы света свойства света применимы также и для электромагнитного излучения другой частоты, поэтому оптические свойства параболы были использованы в составных частях различных радиопередающих устройств, в частности узконаправленных и спутниковых антеннах, изготовляемых в основном из дюралюминия и стали (рис. 10).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 10

 

Из школьного курса физики известно, что тела, брошенные с поверхности земли под углом к горизонту, в поле силы тяжести (при условии, что сила вязкого трения с воздухом достаточно мала) имеют параболическую траекторию. Также такую траекторию имеют многие кометы и планеты, движущиеся в космическом пространстве вокруг массивных объектов. Упомянем также одно интересное свойство жидкостей. Например, если взять стакан с водой и начать мешать воду ложкой, то поверхность воды примет форму параболоида вращения (см. рис. 11)[10].

Изучение данного теоретического материала обязательно сопровождается решением задач. Студентам для самостоятельного решения можно рекомендовать следующие задачи.

 

 

Рис. 11

 

1)     Установить тип заданных поверхностей и построить их, применяя методы инженерной графики.

а)     Z = 2 (1 – );

б)     + = 2az, a≠0;

в)     2z = +

2)     Найти точки пересечения поверхности и прямой:

 +  = z и  = =  [11].

Таким образом, объединение математических методов и методов инженерной графики при работе с учебными задачами обеспечивает глубокое понимание теоретической основы изучаемого вопроса, мотивирует студента на поиск рационального решения той или иной задачи. Межпредметные связи, устанавливаемые в процессе изучения темы «Парабола и параболоид», расширяют кругозор, способствуют формированию и развитию воображения и мышления будущего инженера.