Mariya KorchemkinaЛетом 2016 года для учащихся 1–6-х классов на базе КОГАОУ ДО «Центр дополнительного образования одаренных школьников» был впервые организован летний городской образовательный лагерь с круглосуточным пребыванием детей «Головоломка». Разработанная специально для него сбалансированная программа состоит из трёх частей: образовательной, экскурсионной и спортивно-развлекательной. В свою очередь, образовательная часть состоит из занятий по математике, физике, биологии и химии.
Поскольку большинство перечисленных дисциплин не изучаются младшими школьниками в условиях общеобразовательной школы, перед педагогами, отвечающими за содержание образовательной части программы, была поставлена задача не столько углубить знания участников лагеря, сколько заинтересовать их процессом обучения, показав, что уроки могут быть по-настоящему увлекательными.
Статья освещает некоторые особенности подготовки учебного курса по математике и наиболее интересные выводы, сформулированные авторами в процессе его реализации.
В рамках лагерной смены не планировалось разделения детей одного отряда на подгруппы и проведения занятий в одновозрастных подгруппах, а также предполагалось, что количество детей в каждой параллели будет примерно одинаковым и разница детей по возрасту внутри отрядов будет не более одного года. Разработчикам рабочих программ по учебным дисциплинам требовалось составить программы для трёх учебных групп: младшей (дошкольники и ученики 1–2-х классов), средней (ученики 3–4-х классов) и старшей (ученики 5–6-х классов). При этом при разработке цикла занятий необходимо было учесть следующие факторы.
Во-первых, выдвинутое предположение о равенстве количества детей в разных параллелях ничем не обосновано. Во избежание образования малокомплектных групп и ситуации, когда ребенку отказывают в получении путевки в лагерь из-за того, что группа его возраста уже набрана, в каждую лагерную смену велась регистрация шестидесяти детей, а их деление на три отряда происходило перед самым началом смены. Таким образом, по факту был получен большой разброс учащихся по возрасту, особенно в младшей группе, в которую в одну из смен попали дети 1–4-х классов. Следовательно, необходимо было разработать интересный, нетривиальный и в то же время имеющий оптимальную сложность для довольно широкого диапазона возрастов комплект занятий.
Во-вторых, очевидным было существенное различие не только уровня математической подготовки обучающихся, но и степени их заинтересованности математикой, поскольку конкурсный отбор в лагерь не проводился и не предусматривалось выделения учебной группы с углубленным изучением отдельного предмета.
В-третьих, существенным было ограничение по времени: на одно занятие планировалось всего 45 минут в день. В этих условиях традиционная схема работы математического кружка: постановка общей задачи и обсуждение путей ее решения, самостоятельная работа учащихся над набором упражнений, подводящих к решению общей задачи, и индивидуальное устное обсуждение их решения с преподавателем, завершающий занятие разбор решения наиболее важных упражнений и общей задачи – несостоятельна. Возникла необходимость пожертвовать некоторыми этапами описанной схемы построения занятия: либо самостоятельным исследованием задачи, либо разбором её решения. В первом случае большинство учеников не успевают сформулировать собственные идеи поиска решения или изучить особенности предложенных другими методов решения, то есть ребята сразу получают некоторый «рецепт» нахождения верного ответа, не сделав особого вклада в его составление. Во втором – остаются без обсуждения идеи, предложенные преподавателем или другими членами учебной группы. В силу разнообразной и насыщенной культурно-развлекательной программы во второй половине дня целесообразность выдачи «домашнего» задания вызвала сомнения, как и перенос разбора изучаемой задачи на следующий день.
Наконец, необходимо выдержать конкуренцию с более зрелищными и разнообразными по формам исследовательской деятельности занятиям по естественным наукам – биологии, физике, химии.
Общую концепцию разработанного цикла занятий можно описать так:
− математика – это красиво;
− математика – это умение думать, рассуждать, объяснять свои мысли, а не слепо следовать заданному алгоритму;
− готового рецепта решения может не быть;
− математики тоже проводят зрелищные опыты;
− вокруг нас множество источников нетривиальных математических задач;
− автором интересной задачи может стать любой.
Заметим, что сформулированные нами цели во многом созвучны задачам математического кружка для младших школьников, о которых преподаватель Московского центра педагогического мастерства Е. М. Кац пишет в [1]. Говоря о стадийности математического образования, А. Я. Канель-Белов отмечает, что «при первом знакомстве математика – это, прежде всего, наука о решении занимательных задач и головоломок (и немного – о некоторых интересных природных закономерностях)» и поначалу полезнее показать, что строгие рассуждения позволяют получить нетривиальный результат, не требуя настоящей строгости при обсуждении вполне очевидных вещей [2]. Те же выводы обнаруживаем у А. К. Звонкина: «вопросы важнее ответов», они оставляют простор для самостоятельного решения [3].
Мы выделили три крупных тематических блока: алгоритмические задачи, геометрические головоломки, математические игры. Основное внимание сосредоточили на определении и логическом обосновании разного рода закономерностей, грамотной организации перебора, определении понятия оптимальности решения и способов его обнаружения. Распределение часов между блоками определялось возрастными особенностями соответствующей учебной группы. Так, например, для младшей учебной группы предпочтение отдавалось работе с раздаточным и наглядным материалом, так как детям в начале изучения темы проще работать не с абстрактными понятиями и идеальными математическими объектами, а с реальными предметами. Для старшей группы предлагалось больше занятий на абстрактные модели, идеальные объекты и доказательства.
Рассмотрим фрагмент учебной программы лагеря, посвященный занятиям по математике, и дадим подробное описание содержания каждого из блоков. Распределение часов по тематическим блокам для учебных групп приведено в таблице.
Учебно-тематический план
|
Тема |
Количество часов |
||
|
Младшая группа |
Средняя группа |
Старшая группа |
|
|
Алгоритмы |
2 |
4 |
4 |
|
Занимательная геометрия |
4 |
2 |
1 |
|
Математические игры |
2 |
2 |
3 |
Алгоритмы. Использование перебора в решении задач, методы организации перебора, отсечение заведомо невозможных случаев, нахождение закономерностей.
Темы занятий:
− младшая группа – японские кроссворды, элементы классической криптографии;
− средняя группа – японские кроссворды, элементы классической криптографии, задачи на шахматной доске, задачи о часах со стрелками;
− старшая группа – японские кроссворды, элементы классической криптографии, элементы структурной лингвистики, оптимальные стратегии и инварианты в комбинаторных играх.
Занимательная геометрия. Задачи и головоломки, связанные с описанием и изучением свойств плоских и пространственных геометрических объектов.
Темы занятий:
− младшая группа – знакомство с головоломками на разрезание-складывание плоских фигур («Волшебный квадрат», «Колумбово яйцо») и пространственных конструкций (кубики Никитиных), рисунок одним росчерком, симметрия;
− средняя группа – головоломки на разрезание-складывание плоских фигур («Пифагор», «Танграм»), паркеты;
− старшая группа – головоломки на разрезание-складывание плоских фигур («Пентамино», «Гексатрион»).
Математические игры. Определение принципов оптимальности поведения в известных играх двух игроков, настольные игры с математическим содержанием, интерактивные математические игры.
Темы занятий:
− младшая группа – игра «Сет», «Морской бой»;
− средняя группа – игра «Сет», «Морской бой»;
− старшая группа – игра «Геометрика», «Морской бой», «Математический аукцион».
Математика входит не только в образовательную, но и в спортивно-развлекательную часть программы – в виде командной математической игры. Для младшей группы была выбрана игра «Математические крестики-нолики», а для средней и старшей – «Математический лабиринт». Обе игры являются командными соревнованиями по решению математических задач за отведенное время, при этом на проверку жюри сдаются только ответы.
Отличия игр состоят в способе начисления очков за правильно решенные задачи, а также в том, что в «крестиках-ноликах» все задачи выдаются команде в начале игры, и команды по мере решения задач сдают ответы, а в «лабиринте» в каждый момент времени у команды на руках не больше двух задач, и каждая новая задача получается после сдачи предыдущей. Подробные правила приведены, например, в [4]. Наш опыт показал, что математические соревнования лучше проводить для более заинтересованной в решении математических задач аудитории, поскольку некоторые члены команд (по отзывам детей) никак не участвовали в процессе игры.
Занятия, посвященные решению головоломок, строились так, чтобы при обсуждении процесса поиска ответа можно было продемонстрировать некоторую содержательную идею – например, возможность оптимизации перебора вариантов. Когда дети могли и хотели придумывать свои задания для той же головоломки вместо предложенной, мы им в этом не препятствовали; наиболее интересные обсуждались со всей учебной группой. Так, например, была построена работа с головоломками на составление плоских геометрических фигур и пространственных конструкций из заранее заготовленного набора деталей: «Колумбово яйцо», «Танграм», «Пентамино», «Игра Пифагора», «Магический квадрат», кубики Никитиных и другие [5–9].
Многие темы, которые традиционно относят к олимпиадной математике, не имеют строгого возрастного ограничения, поскольку не требуют знания специального математического аппарата. В результате сформировался некоторый пропедевтический блок занятий, где обсуждались отдельные идеи геометрии, комбинаторики, теории графов, теории игр. Часть из них проводилась с использованием развивающих обучающих настольных игр. Отличным материалом, например, оказалась «Геометрика» компании «Банда Умников» [10]. Цель игры – составление набора фигур, обладающих некоторым общим набором признаков. В процессе участники не только сравнивают и анализируют свойства фигур, изображенных на карточках, но и знакомятся с геометрическими терминами и учатся оперировать ими. Ученики младших классов и дошкольники учатся измерять углы при помощи транспортира. Специального разъяснения используемых в наборе определений и формулировок перед началом игры не проводилось, так как игровой комплект сопровождается их подробными иллюстрациями. Кроме того, с каждой группой играющих находился преподаватель, который помогал преодолевать возникавшие затруднения. Как в любой из популярных сейчас настольных игр, внутренняя терминология изучается непринужденно, «на ходу». Нужно лишь уметь рассуждать. Стоит отметить, что старшие участники лагеря с удовольствием продолжали играть в «Геометрику» и после занятий до конца смены.
Другой удачный пример – игра «Сет». Это не только хороший «тренажер» для развития наблюдательности, внимания и логического мышления, но и повод для обсуждения основ комбинаторики: правила суммы и правила произведения. Карточки комплекта характеризуются четырьмя признаками: вид фигуры, количество фигур, их цвет и способ закрашивания. Каждый из них принимает одно из трех возможных значений, карточки уникальны. Цель игры – поиск среди выложенного на столе набора трех карточек («сета»), отвечающих определенным требованиям [11]. Занятие начиналось с обсуждения правил; при этом детям предлагалось выяснить, сколько всего карточек в комплекте, есть ли хотя бы один «сет» в предложенном наборе, сколькими способами можно дополнить то или иное множество карточек так, чтобы в нем можно было обнаружить заданное количество «сетов». Затем ребята разбивались на небольшие группы и остаток занятия проводили за игрой. С учениками младшего отряда обсуждать много сложных случаев на первом этапе нецелесообразно – процесс поиска «сета» сам по себе достаточно нетривиален, и возможность поближе познакомиться с игрой кажется более важной. Им предлагались упрощенные варианты игры, описанные в [11].
Популярные задания на внимательность из развивающих пособий – например, «обведи одним росчерком» – не только развивают наблюдательность, но могут стать темой для более серьезного разговора. Речь может идти, например, о построении эйлерова пути в графе и обнаружении причин, препятствующих его существованию, что, по нашему мнению, вполне под силу младшим школьникам (разумеется, при некоторой помощи преподавателя). Опыт показал, что тщательно подобранная коллекция примеров и вовремя заданные вопросы приводят к тому, что ребята сами на доступном им языке формулируют критерии эйлеровости и полуэйлеровости графа. Разделив предложенные примеры на три группы: фигуру нельзя обвести, фигуру можно обвести, начав и закончив линию в одной и той же вершине, фигуру можно обвести, но только незамкнутой линией, участники лагеря смогли описать общую закономерность и выявить «закон», по которому строится данная классификация.
Со старшей группой обсуждались основные понятия комбинаторной теории игр: правильная игра, оптимальность действий игроков, простейшие идеи поиска выигрышных стратегий. Поскольку указанная тема достаточно обширна и подробно изучается на математических кружках, основная цель состояла в том, чтобы дать участникам возможность провести небольшое самостоятельное исследование предложенной игры. Занятие было посвящено разбору нескольких игр-шуток (исход любой партии определяется лишь начальными условиями и особенностями правил игры и не зависит от действий игроков). Примеры подобных задач можно найти в [12]. Стоит отметить, что с поиском инвариантов некоторые участники справлялись достаточно успешно, а предложение «поиграть» на занятии всегда воспринимается позитивно.
В алгоритмический блок для всех возрастных групп было включено занятие о классических шифровальных алгоритмах. Вместе с тем обсуждались цели и задачи шифрования вообще, а также использование достижений криптографии в настоящее время и причины непригодности классических шифровальных алгоритмов для передачи секретной информации в современных условиях. Младшая группа знакомилась с шифром замены. Такое занятие удобно проводить с «реквизитом»: карточками, на одной стороне которых напечатан исходный алфавит, а на другой – символы, заменяющие эти буквы в шифровке. Примерный набор заданий: расшифровать предложенный преподавателем текст, составить зашифрованное письмо соседу, расшифровать полученное сообщение. Средняя и старшая группы работали с шифровальной решеткой Кардано и, помимо указанных выше задач, исследовали особенности построения шифровальных решеток и их свойства.
Прекрасно иллюстрирует выбранное нами направление работы над образовательной программой занятие, посвященное игре «Морской бой». Мы предполагали, что правила известны большинству ребят (кроме, возможно, младшей возрастной группы), и планировали сразу обозначить два интересных с точки зрения игры вопроса: как расставлять корабли, чтобы их было как можно сложнее искать, и как искать корабли противника, чтобы как можно скорее их обнаружить. Отметим, что известны лишь достаточно общие ответы на поставленные вопросы, поэтому целью занятия было поупражняться в выдвижении и проверке гипотез. На практике оказалось, что слышали об игре, на удивление, немногие, поэтому первым (и самым необычным) заданием было сыграть одну-две партии с соседом по парте. Далее ребята высказывали свои предположения по поводу обозначенных выше проблем и пытались проверить или опровергнуть свои идеи. Затем обсуждались идеи поиска одиночных кораблей на игровых полях разного размера и порядка размещения кораблей на игровом поле. Анализируя процесс поиска одиночного корабля за наименьшее число ходов, мы знакомили учеников с идеей раскраски игрового поля. Уровень строгости рассуждения для разных возрастных групп был разным, но во всех группах школьники были увлечены происходящим. При наличии времени тема может быть дополнена задачами, в которых используются нетрадиционные наборы и схемы расположения кораблей, примеры которых можно найти в [13].
Следует отметить, что игры «с карандашом и бумагой» – великолепный источник задач, в том числе задач, которые школьники могут придумывать самостоятельно.
Во-первых, легко построить набор заданий с постепенным увеличением уровня сложности: от разбора правил, разыгрывания партий и завершения предложенной партии за наименьшее количество ходов до анализа вариантов дальнейшего развития игровой ситуации и определения критериев оптимальности поведения игроков. Мы предложили ребятам достаточно обширный класс задач, связанных с грамотной организацией перебора, поиском закономерностей, выделением факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на положение игроков, и критическим обоснованием корректности выбранной стратегии поведения.
Во-вторых, сама возможность играть так, чтобы обязательно выигрывать (выигрывать побольше или хотя бы поменьше проигрывать), очень привлекательна для детей. На занятиях ребята с удовольствием придумывали способы, позволяющие этого добиться. Результаты подобного «мозгового штурма» были достаточно интересными.
В-третьих, игры указанного класса очень разнообразны. Анализируя одни из них, можно объяснить общие методы решения задач – например, уже упомянутое использование раскраски клетчатой доски. Для других игр существует изящная математическая теория («Хакенбуш» [14]), и можно обсуждать её построение. Третьи до конца не исследованы («Гекс», «Рассада» [15]), а четвертые (например, «Брюссельская капуста» [16]), несмотря на кажущуюся сложность, являются играми-«шутками» (исход партии зависит лишь от начальной конфигурации игрового поля и не зависит от поведения игроков). Участникам старшей группы предлагалось построить примеры партий игры «Рассада», заканчивающихся при заданном количестве лунок в точности за указанное количество ходов. В процессе исследования игры «Брюссельская капуста» ребята должны были эмпирически вывести общую формулу, определяющую зависимость количества ходов в партии от количества крестиков в её стартовой конфигурации. Доказательство этой формулы демонстрировалось преподавателем.
Игры «с карандашом и бумагой» позволили школьникам понять, что совсем не обязательно иметь смартфон, чтобы интересно провести свободное время.
Данная образовательная программа была реализована в образовательном лагере «Головоломка». По отзывам участников и их родителей, авторам удалось заинтересовать младших школьников процессом обучения, подготовить необычные и запоминающиеся занятия, к материалам которых дети обращались в течение учебного года между сменами. На наш взгляд, подобный результат обусловлен разнообразием форм организации и проведения занятий, созданием педагогами творческой атмосферы в процессе обучения, возможностью продолжения участниками самостоятельного исследования запомнившихся им нестандартных математических задач.
Состоятельность описанного подхода к подготовке образовательной программы лучше всего подтверждают слова участников лагеря: «Я думал, что будем примеры решать, как в школе, а тут – интересно», – подобными впечатлениями с нами делились многие ребята.