Robert MaierВ середине XX века на стыке психологии, педагогики и математики возникла математическая теория обучения (далее – МТО), занимающаяся изучением закономерностей функционирования дидактических систем путем построения абстрактных моделей ученика, учителя и их исследования методами математического моделирования. Важной проблемой МТО является математическое решение оптимизационной задачи обучения, заключающейся в определении условий организации учебного процесса, при которых его результативность максимально высока. Для повышения эффективности учебного процесса «идеальный учитель» стремится приблизиться к оптимальному распределению учебного материала, уровня требований, длительности занятий, при которых объем знаний учащихся в конце обучения достигнет заданного значения, а сам процесс обучения будет удовлетворять наложенным ограничениям на затраты времени и усилий. Все это обусловливает актуальность обозначенной выше проблемы оптимизации учебного процесса. Для ее решения используются методы математического и компьютерного моделирования; результат зависит от распределения элементов учебного материала (далее – ЭУМ) по сложности и важности, от коэффициента усвоения ученика и длительности занятий.
Цель работы состоит в построении компьютерной модели дидактической системы и поиске оптимальных длительностей изучения отдельных вопросов (ЭУМ) различной сложности и важности при фиксированном времени обучения и других ограничениях. Можно предположить, что, используя методы математического и компьютерного моделирования, а также метод стохастической оптимизации, возможно решить обозначенную выше проблему и исследовать зависимость оптимального пути обучения от сложности и важности изучаемых вопросов.
Обзор отечественной и зарубежной литературы
Проблема поиска оптимального пути развития системы «учитель – ученик» многократно обсуждалась различными учеными-дидактами как с теоретической, так и с практической точки зрения. В книге Ю. К. Бабанского «Оптимизация процесса обучения» рассмотрены различные подходы к построению общей теории оптимизации дидактических систем. При этом обсуждается структура процесса обучения, определено понятие оптимизации учебного процесса, сформулированы критерии и методологические требования к выбору оптимальной структуры обучения, проанализированы типичные затруднения учителей, выявлены условия оптимального построения учебного процесса, рассмотрены способы оптимизации учебной деятельности «слабых» и «сильных» учеников. Под оптимизацией понимается такое управление дидактической системой, «которое организуется на основе всестороннего учета закономерностей, принципов обучения, современных форм и методов обучения, а также особенностей данной системы, ее внутренних и внешних условий с целью достижения наиболее эффективного (в пределе оптимального) функционирования процесса с точки зрения заданных критериев» [1].
Д. А. Новиков, используя кибернетический подход, рассматривает процесс обучения как управление учебной деятельностью учащихся с целью формирования у них требуемых знаний, умений и навыков [2]. При этом оптимизация функционирования дидактической системы представляется как адаптация ее различных компонентов друг к другу, а также к целям и методам обучения. В своей книге «Системы гибридного интеллекта» В. Ф. Венда утверждает, что образование – это процесс взаимной адаптации человека и природы, общества и техники [3]. Исходя из аналогичных рассуждений, А. В. Соловов в книге «Электронное обучение: проблематика, дидактика, технология» выделяет две составляющие оптимального проектирования процесса обучения [4]: 1) задача «максимизации уровня обученности при ограничениях (сверху) на время обучения»; 2) задача «минимизации времени обучения при ограничениях (снизу) на уровень обученности». Их решение также предполагает адаптацию, которая «реализуется посредством использования знаний о предметной области, обучаемом и стратегиях обучения для обеспечения гибкой индивидуализированной учебной деятельности». Обсуждая использование автоматических обучающих систем, А. В. Соловов отмечает, что большое значение имеют «математические модели процессов автоматизированного обучения, позволяющие прогнозировать результаты и оптимизировать саму процедуру (алгоритм) обучения» [5].
Фундаментальные идеи математической теории обучения были сформулированы в монографиях Р. Аткинсона, Г. Бауэра и Э. Кротерса [6], Р. Буша и Ф. Мостеллера [7], а также А. П. Свиридова [8], Л. П. Леонтьева и О. Г. Гохмана [9]. В них представлены различные подходы к построению математических моделей дидактических систем путем «замены» ученика его абстрактной моделью – системой уравнений или вероятностным автоматом. В. М. Томашевский и И. М. Дмитрик в своей статье [10] проанализировали различные методы и модели статистической теории обучения, предложенные Л. Терстоуном, К. Халлом, Р. Бушем и Ф. Мостеллером, Р. Кричевским, Р. Аткинсоном, Г. Бауэром и Э. Кротерсом и другими учеными.
Развитие информационных технологий позволило иначе взглянуть на проблему моделирования дидактических систем. Например, Д. Гибсон создал компьютерную систему simSchool, которая служит тренажером для учителей и студентов педвузов [11]. Система simSchool является компьютерной имитацией современного урока; она помогает смоделировать деятельность учителя на занятии и может быть использована для подготовки будущих учителей. При ее запуске пользователь оказывается в виртуальном классе, заполненном «школьниками», каждый из которых характеризуется уникальным набором параметров. Играя роль преподавателя, пользователь руководит учебной деятельностью «школьников», задает вопросы, оценивает их «знания». Все характеристики «учеников» во время урока сохраняются и могут быть представлены в графическом виде. Это позволяет проанализировать проведенный «урок» и выяснить, как изменялись настроение и активность «учеников» во время обучения.
Методологическая база исследования
Кроме перечисленных выше источников, методологическую основу исследования составляют работы В. П. Беспалько [12], Б. М. Величковского [13], В. И. Загвязинского [14], В. М. Кроль [15], А. М. Новикова [16] (теория обучения), В. Г. Разумовского и В. В. Майера [17], Ф. С. Робертс [18] (математическое моделирование учебного процесса), Д. Х. Имаева и Е. Е. Котовой [19], Е. И. Умрюхина [20], М. В. Ядровской [21] (моделирование в педагогике), Ю. С. Харина, В. И. Малюгина и В. П. Кирилицы [22], Р. Шеннона [23] (имитационное моделирование), Д. А. Новикова [24] (управление образовательными системами). Хотя имитационное моделирование не имеет строгого обоснования и его применение относится к эвристическим методам познания, данный метод широко используется при изучении поведения человека в обществе и в процессе обучения [25, 26]. Нами применялся системный подход [27], информационно-кибернетическое моделирование [28, 29], программирование и методология мягких систем [30]. Оптимизация времени изучения отдельных ЭУМ осуществляется методом стохастической оптимизации с возвратом [31, 32]. Для этого была создана специальная компьютерная программа, моделирующая процесс обучения и решающая оптимизационную задачу. Она многократно случайным образом варьирует оптимизируемые величины; если «результаты обучения» оказываются ниже, чем на предыдущем шаге, то компьютер возвращается в предыдущее состояние и все повторяет снова. Если «результаты обучения» выше, то изменения оптимизируемых величин принимаются и последующий шаг производится из нового состояния. Постепенно программа приближается к оптимальным значениям длительностей изучения отдельных ЭУМ.
Рассмотрим сущность применяемого подхода. Любая учебная дисциплина представима в виде совокупности элементов учебного материала (ЭУМ) – небольших порций учебной информации. Каждый ЭУМ характеризуется информационным объемом, сложностью и важностью. Информационный объем ЭУМ равен минимальному количеству значимых слов, необходимых для передачи всей заключенной в ЭУМ полезной информации, и может измеряться в условных единицах. Сложность определяется степенью свернутости информации относительно заданного уровня знаний (например, уровня 5-го класса). Приведенный информационный объем равен минимальному количеству значимых слов, требующихся для объяснения ЭУМ ученику, у которого знаний. При этом Коэффициент важности ЭУМ (или просто важность) тем выше, чем больше необходимость усвоения данного ЭУМ для понимания последующих вопросов этой и других дисциплин. Можно предположить, что после окончания изучения дисциплины (или ее части) организуется тестирование, позволяющее проверить знание изученного материала. Чем больше число заданий теста требует использования данного ЭУМ, тем выше его важность. Если тестирование не проводится, то для определения важности каждого ЭУМ может быть использован метод экспертных оценок. Отбор изучаемых ЭУМ для конкретной дисциплины и оценка их важности зависят от целей обучения.
Для получения плавных зависимостей удобно считать, что ученик во время обучения рассматривает достаточно много ЭУМ (например, 200–500), полагая, что освоение 10–20 ЭУМ соответствует изучению одного элементарного вопроса. С целью сохранения общности выводов количество сообщаемой информации и объем усвоенных знаний будем измерять в условных единицах информации (далее – УЕИ), а длительность обучения – в условных единицах времени (далее – УЕВ). Допустим, что ученик изучает последовательность 300 ЭУМ в течение времени УЕВ. Все ЭУМ делятся на 10 градаций по сложности 1, 2, … , 10); это задается матрицей ЭУМ одной сложности делятся на три одинаковые по объему категории по важности ( 1, 2, 3): ЭУМ с низкой, средней и высокой важностью Все ЭУМ образуют 30 групп. При «обучении» в течение времени уровень знаний ЭУМ увеличивается от 0 (полное незнание) до некоторого значения, не превышающего 1. Если ЭУМ изучен полностью, то равно уровню требований учителя . Предполагая, что знания ученика увеличиваются со скоростью, пропорциональной разности между требованиями учителя и получаем дифференциальное уравнение первого порядка [33, 34]: Коэффициент усвоения ученика зависит от уровня сформированных знаний, умений и навыков, а также от его активности, то есть скорости совершения элементарных действий, связанных с изучением рассматриваемой совокупности ЭУМ.
После окончания «обучения» проводится «тестирование», результат которого пропорционален взвешенной сумме знаний «учеником» всех ЭУМ с учетом их важности и находится по формуле:
Определив уровень усвоения каждого ЭУМ, можно рассчитать в конце «обучения». Если 1 для всех и то 1. Коэффициент усвоения абстрактной модели ученика необходимо выбирать так, чтобы при заданном (разумном) распределении учебного материала количество знаний, усвоенных «учеником», составляло 30–90% от объема информации, сообщенной учителем.
Общее время «обучения» остается постоянным: Задача состоит в том, чтобы найти оптимальные длительности изучения каждой группы ЭУМ ( 1, 2, 3), при которых «результаты тестирования» максимальны. Те ЭУМ, у которых сложность и важность соответственно равны, усваиваются одинаково хорошо; поэтому достаточно рассчитать для одного ЭУМ из каждой группы.
Применяемый метод стохастической оптимизации с возвратом состоит в следующем. Задаются начальные значения оптимизируемых параметров: 1, 2, 3 . Компьютер случайным образом выбирает 2–10 значений и изменяет их на небольшие случайные величины, после чего рассчитывает новое суммарное время изучения всех ЭУМ . Так как время не должно изменяться, то вычисляется коэффициент , а затем все уменьшаются в раз так, что их сумма остается равной . Программа должна моделировать изучение ЭУМ c 0,1 и в течение времени , затем изучение ЭУМ c 0,2 и в течение времени , … , изучение ЭУМ c 1 и 3 в течение времени и т. д. При этом количество параметров оптимизации равно 30 (три категории важности, десять градаций сложности).
Можно представить многомерное пространство, образованное 30 осями ; состояние системы на каждом том шаге оптимизации соответствует точке . Компьютерная программа делает шаг в случайном направлении и моделирует изучение выбранной совокупности ЭУМ при новых длительностях . Если «результаты тестирования» в конце «обучения» ниже, чем на предыдущем шаге, то компьютер возвращается в предыдущее состояние и снова делает шаг в случайном направлении. При повышении «результатов тестирования» изменения оптимизируемых величин принимаются и последующий шаг производится из нового состояния . Постепенно программа приближается к оптимальным значениям длительностей изучения ЭУМ.
Компьютерная программа PR-1 (Free Pascal).
{$N+} uses crt, graph;
const T0=1000; dt=0.005; a=1; M1=90; M=3; X1=410; X2=810;
NZ1:array[1..10]of word=(3,5,8,14,20,20,14,8,5,3);
NZ2:array[1..10]of word=(3,5,8,14,20,20,14,8,5,3);
NZ3:array[1..10]of word=(3,5,8,14,20,20,14,8,5,3);
var i,j,s,v,u,Gd,Gm,N,NN: integer; SZ,t,vr,R0,R,St,D: single;
NS: array[0..11] of integer; NZ: array[1..10,1..3] of integer;
Z,tz,tt: array[0..11,0..4] of single; k: longint; RR: string; Label mm, mm1;
Procedure Uch; begin
For s:=1 to 10 do For v:=1 to 3 do Z[s,v]:=0; t:=0; s:=1; v:=1; vr:=tz[1,1];
Repeat t:=t+dt; Z[s,v]:=Z[s,v]+a/s*(1-Z[s,v])*dt;
If t>vr then begin If v=3 then begin inc(s); v:=1; end else inc(v); vr:=vr+tz[s,v]; end;
until (s>10)and(v=M); R:=0; D:=0;
For s:=1 to 10 do For v:=1 to 3 do begin R:=R+v*Z[s,v]*NZ[s,v];
D:=D+v*NZ[s,v]; end; end;
Procedure Grafik; begin cleardevice; k:=0;
For s:=1 to 10 do For v:=1 to M do begin
circle(15+round(s*30),650-round(tz[s,v]*M1),5);
circle(X2+round(s*30),650-round(NZ[s,v]*Z[s,v]*30),5);
circle(X1+round(s*30),650-round(Z[s,v]*600),5);
If s<10 then line(X2+round(s*30),649-round(NZ[s,v]*Z[s,v]*30),
X2+30+round(s*30),649-round(NZ[s+1,v]*Z[s+1,v]*30)); end;
For s:=1 to 9 do For v:=1 to M do begin
line(16+round(s*30),651-round(tz[s,v]*M1),46+round(s*30),651-round(tz[s+1,v]*M1));
line(X1+round(s*30),651-round(Z[s,v]*600),X1+30+round(s*30),651-round(Z[s+1,v]*600));
end; Str(R/D,RR); OuttextXY(20,20,RR); line(X1,650-600,1400,650-600);
line(X1,650-300,1400,650-300); line(0,650,1400,650); line(20,0,20,650);
rectangle(0,650-round(4*M1),20,650); rectangle(0,650-round(2*M1),20,650); end;
BEGIN Gd:=Detect; InitGraph(Gd,Gm,''); Randomize; NN:=0;
For s:=1 to 10 do begin NZ[s,1]:=NZ1[s]; NZ[s,2]:=NZ2[s]; NZ[s,3]:=NZ3[s];
NN:=NN+NZ[s,1]+NZ[s,2]+NZ[s,3]; end; N:=NN;
For s:=1 to 10 do for v:=1 to M do tz[s,v]:=T0/N;
For s:=1 to 10 do For v:=1 to 3 do SZ:=SZ+Z[s,v];
Repeat Uch; R0:=R; u:=0; inc(k); For s:=1 to 10 do For v:=1 to M do tt[s,v]:=tz[s,v];
Repeat inc(u); s:=round(random(104)/10); v:=round(random(345)/100);
tz[s,v]:=tz[s,v]+random(10000)/1E+5-0.05;
If tz[s,v]<0 then tz[s,v]:=0; until u>round(random(60)/10)+1;
St:=0; For s:=1 to 10 do For v:=1 to M do St:=St+NZ[s,v]*tz[s,v];
For s:=1 to 10 do For v:=1 to M do tz[s,v]:=tz[s,v]*T0/St; Uch;
If R<R0 then For s:=1 to 10 do For v:=1 to M do tz[s,v]:=tt[s,v];
If (R>R0)and(k>2000) then begin Grafik; end;
until KeyPressed; END.
Используемая компьютерная программа ПР-1 содержит:
1) блок, в котором задаются коэффициент усвоения «ученика», общее время обучения , распределение ЭУМ по категориям сложности 1, 2, … , 10) начальные значения оптимизируемых переменных ;
2) процедуру Uch, в которой осуществляется моделирование обучения. Она, исходя из известных , определяет уровень знаний «ученика» по каждому му вопросу и вычисляет «результат тестирования» ;
3) процедуру Grafik, которая очищает экран и строит графики: а) зависимостей времени изучения различных ЭУМ от их сложности при различных значениях важности ; б) зависимостей количества знаний «ученика» для отдельных ЭУМ в конце обучения от их сложности при различных значениях важности ; в) зависимостей количества суммарных знаний «ученика» для каждой группы ЭУМ в конце обучения от их сложности при различных значениях 1, 2, 3;
4) цикл «Repeat … until», в котором осуществляется оптимизация. В нем случайным образом выбираются 2–7 ЭУМ, изменяется их время изучения на небольшие случайные величины и определяется новое значение . Затем пересчитываются все остальные так, чтобы общая сумма оставалась равной . Для этого в цикле вычисляются новые значения . Снова моделируется изучение вопросов (процедура Uch) и определяется «результат тестирования» . Если он оказывается выше предыдущего, то изменения принимаются, а иначе – отвергаются, и все повторяется еще раз. Так продолжается до тех пор, пока значение не приблизится к глобальному максимуму (то есть перестанет увеличиваться).
Результаты исследования
Результаты оптимизации времени изучения отдельных ЭУМ и соответствующие им зависимости от сложности и важности при различных распределениях ЭУМ по категориям сложности приведены на рис. 1, 3, 4, 5. Из графиков видно, что чем больше важность ЭУМ, тем выше оптимальное время изучения и выше уровень знаний «ученика» при той же сложности С ростом уровень знаний «ученика» отдельных ЭУМ убывает по почти линейному закону. При не очень высоких значениях коэффициента усвоения для конкретного значения важности существует критический уровень сложности ЭУМ ; те вопросы, у которых , изучать не следует ( 0, 0). При этом повышение коэффициента усвоения эквивалентно увеличению длительности обучения или уменьшению количества изучаемых ЭУМ. Поэтому моделируемые ситуации имеет смысл характеризовать величиной Во всех случаях 1000 УЕВ, 300.
Ситуация 1. ЭУМ равномерно распределены по всем категориям сложности, то есть 10 для любых и . Пусть 1000 УЕВ, 300, 2 УЕВ ( 6,7). В оптимальном случае с ростом (рис. 1.1): 1) время изучения ЭУМ с низкой важностью ( 1) при 0,4 возрастает, а затем убывает до 0,83 УЕВ; 2) время изучения ЭУМ со средней и высокой важностью ( 2 и 3) возрастает до 4,3 и 6,3 УЕВ соответственно; 3) уровни знаний ЭУМ с важностью 1, 2, 3 убывают по линейному закону от 0,92–0,97 до 0,15, 0,58 и 0,72 соответственно. Результат тестирования: 0,77.
Рис. 1. Результаты оптимизации: ситуация 1 при 2 и 1 УЕВ
При уменьшении коэффициента усвоения до 1 УЕВ ( 3,33) получаются графики, изображенные на рис. 1.2. В оптимальном случае с ростом : 1) время изучения ЭУМ при любом сначала возрастает, а затем убывает; 2) для ЭУМ с низкой важностью ( 1) существует критическое значение при время 0 и знания 0, то есть данные ЭУМ изучать не следует; 3) уровни знаний ЭУМ с важностью 1, 2, 3 убывают по линейному закону. Результат тестирования: 0,57.
Рис. 2. Различные распределения ЭУМ по градациям сложности
Ситуация 2. Учебный материал в основном состоит из простых ЭУМ ( 0,5), а сложных ЭУМ мало (рис. 2.1). Распределение ЭУМ по сложности задается матрицей (54, 54, 54, 48, 36, 24, 12, 6, 6, 6). Задано: 1000 УЕВ, 300, 1 УЕВ ( 3,33). Результаты оптимизации представлены на рис. 3.
Рис. 3. Результаты оптимизации: ситуация 2
В оптимальном случае с ростом : 1) время изучения ЭУМ при любом сначала возрастает, а затем убывает; 2) для ЭУМ с низкой важностью ( 1) существует критическое значение при время 0 и знания 0, то есть данные ЭУМ изучать не следует; 3) уровни знаний ЭУМ с важностью 1, 2, 3 убывают по линейному закону; 4) суммарные количества знаний с низкой, средней и высокой важностью при 0,1 высоки (15–17), а затем убывают до 0–1. Результат тестирования: 0,70.
Ситуация 3. Учебный материал содержит ЭУМ с высокой и низкой сложностью; количество ЭУМ средней сложности невелико (рис. 2.2). Распределение ЭУМ по сложности задается матрицей (48, 42, 33, 18, 9, 9, 18, 33, 42, 48). Задано: 1000 УЕВ, 300, 1 УЕВ ( 3,33). В оптимальном случае с ростом (рис. 4): 1) время изучения ЭУМ при любом сначала возрастает, а затем убывает; 2) для ЭУМ с низкой важностью ( 1) существует критическое значение при время 0 и знания 0, то есть данные ЭУМ изучать не следует; 3) уровни знаний ЭУМ с важностью 1, 2, 3 убывают по линейному закону; 4) суммарные количества знаний ЭУМ с низкой важностью при 0,1 высоки ( 14), а затем убывают и при 0,7 равны 0; 5) суммарные количества знаний со средней и высокой важностью при 0,1 высоки ( 15), затем убывают до 2 при 0,5–0,6, после чего возрастают. Результат «выполнения теста» после окончания обучения 0,60.
Рис. 4. Результаты оптимизации: ситуация 3
Ситуация 4. Учебный материал содержит большое количество ЭУМ со средней сложностью; количество ЭУМ с высокой и низкой сложностью мало (рис. 2.3). Распределение ЭУМ по сложности задается матрицей (9, 15, 24, 42, 60, 60, 42, 24, 15, 9). Задано: 1000 УЕВ, 300, 1 УЕВ ( 3,33). В оптимальном случае с ростом (рис. 5): 1) время изучения ЭУМ при любом сначала возрастает, а затем убывает; 2) для ЭУМ с низкой важностью ( 1) существует критическое значение при время 0 и знания 0, то есть данные ЭУМ изучать не следует; 3) уровни знаний ЭУМ с важностью 1, 2, 3 убывают по линейному закону; 4) суммарные количества знаний с низкой важностью при 0,4 возрастают, а затем убывают и при 0,6 обращаются в 0; 5) суммарные количества знаний со средней и высокой важностью при 0,5 возрастают до 11–14, а затем убывают до 1–2 при 1. Результат 0,54.
Рис. 5. Результаты оптимизации: ситуация 4
Сравнивая результаты оптимизации (см. рис. 1, 3, 4, 5), можно обнаружить, что графики и практически не зависят от распределения ЭУМ по категориям сложности. Графики сильно зависят от распределения Наличие максимума у графиков объясняется влиянием двух противодействующих факторов: 1) чем больше сложность ЭУМ, тем больше требуется времени для его изучения; 2) в условиях дефицита времени ЭУМ с низкой сложностью следует изучать более основательно.
Заключение
В настоящей статье рассмотрен один из подходов к решению оптимизационной задачи математической теории обучения. Для выбранной математической модели дидактической системы с помощью компьютера исследована зависимость оптимального распределения времени изучения отдельных ЭУМ от их сложности важности при различных распределениях ЭУМ по градациям сложности. Проанализированы следующие ситуации: 1) изучаемый материал содержит равные количества ЭУМ различной сложности; 2) учебный материал преимущественно состоит из простых ЭУМ; 3) учебный материал содержит ЭУМ с высокой и низкой сложностью; количество ЭУМ средней сложности невелико; 4) учебный материал содержит большое количество ЭУМ средней сложности; количество ЭУМ с высокой и низкой сложностью мало. Получены графики зависимостей времени изучения различных ЭУМ и количества знаний ученика от их сложности при различных значениях важности. Коэффициент усвоения, длительность обучения и количество изучаемых ЭУМ подобраны так, чтобы имитационная модель соответствовала обучению успешного ученика. В результате решения оптимизационной задачи установлено: 1) при фиксированной сложности чем больше важность ЭУМ, тем выше оптимальное время изучения ; 2) оптимальные длительности несильно зависят от распределения ЭУМ по градациям сложности ; 3) для заданных значений параметров и существует критическое значение сложности ; вопросы с изучать нецелесообразно. Теоретическая значимость работы состоит в том, что в ней поставлена и решена проблема оптимизации времени изучения отдельных ЭУМ, отличающихся сложностью и важностью, которая является частной оптимизационной задачей математической теории обучения. Обсуждаемые результаты оптимизации времени изучения ЭУМ соответствуют основным положениям дидактики и представляют безусловный интерес для дальнейшего совершенствования математической теории обучения. Применяемые методы способствуют развитию методологии моделирования процесса обучения, повышению разнообразия применяемых подходов, созданию более совершенных математических и компьютерных моделей дидактических систем.